第03講 不等關(guān)系與一元二次不等式（解析版）

第03講不等關(guān)系與一元二次不等式1．兩個實數(shù)比較大小的依據(jù)(1).(2).(3).2．不等式的性質(zhì)(1)對稱性：；(2)傳遞性：；(3)可加性：(4)可乘性：(5)可乘方性：(6)可開方性：.3．一元二次不等式的解法步驟(1)將不等式化為右邊為零，左邊為二次項系數(shù)大于零的不等式或．(2)求出相應(yīng)的一元二次方程的根．(3)利用二次函數(shù)的圖象與軸的交點確定一元二次不等式的解集．4．一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系判別式二次函數(shù)的圖象一元二次方程的根有兩相異實根，()有兩相等實根沒有實數(shù)根的解集的解集5．一元二次不等式恒成立問題(1)不等式，恒成立(2)不等式，恒成立.6.簡單分式不等式(1)(2)7．能成立問題(有解問題）的轉(zhuǎn)化：能成立；能成立.考點一不含參數(shù)的一元二次不等式1．（貴州貴陽市·貴陽一中高三月考（文））已知集合，則()A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，解得，，故集合，又因為，所以.故選:C.2．（沭陽縣修遠中學(xué)高三月考）函數(shù)的定義域為（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】要使函數(shù)有意義，須，即，即，解得：，即函數(shù)的定義域為.故選：A.3．（全國（文））解下列不等式：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）不等式兩邊同乘以，原不等式可化為，即，則.所以不等式的解集是.（2）由得，所以.所以不等式的解集為.4．（全國（文））解下列不等式：（1）；（2）：【答案】(1)；(2).【詳解】(1)因為的兩根為，，所以原不等式的解集為.(2)由，得，即，所以，所以，所以原不等式的解集為.5．（全國高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式.（1）若該不等式的解集為，求的值；（2）若，求此不等式的解集.【答案】（1），；（2）答案見解析.【詳解】（1）根據(jù)題意得，解得，.（2）當時，，即.當，即時，原不等式的解集為；當，即時，原不等式的解集為；當，即時，原不等式的解集為.考點二含參數(shù)的一元二次不等式1．（湖南高三月考）若，則關(guān)于的不等式的解集為（）A． B．C．或 D．或【答案】B【詳解】解：方程的兩個根為和，因為，所以，故不等式的解集為．故選：B．2．（全國）已知不等式的解集為，則不等式的解集為（）A． B．{或}C． D．或【答案】A【詳解】不等式的解集為，的兩根為，2，且，即，，解得，，則不等式可化為，解得，則不等式的解集為．故選：A3．（全國高三開學(xué)考試（理））設(shè)，，若的必要不充分條件是，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，解得，，若的必要不充分條件是，則是的必要不充分條件，即且等號不能同時成立，解得：．故選：A．4．（全國高三專題練習(xí)（理））已知命題：，命題：，若是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值集合是A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：由得，而是的充分不必要條件，即，所以.選.考點：1.充要條件；2.簡單不等式的解法.5．（全國（文））已知函數(shù).若，解關(guān)于的不等式.【答案】答案見解析.【詳解】不等式可化為，即，①當時，，解得，②當時，，解得.③當時，，解得.綜上，當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.6．（全國高三專題練習(xí)）解關(guān)于的不等式.【答案】答案見解析【詳解】①當a＝0時，原不等式即為－x＋1<0，解得x>1.②當a<0時，原不等式化為>0，解得或x>1.③當a>0時，原不等式化為<0.若a＝1，即＝1時，不等式無解；若a>1，即<1時，解得<x<1；若0<a<1，即>1時，解得1<x<.綜上可知，當a<0時，不等式的解集為；當a＝0時，不等式的解集為{x|x＞1}；當0＜a＜1時，不等式的解集為；當a＝1時，不等式的解集為?；當a>1時，不等式的解集為.考點三一元二次不等式恒成立問題1．（河南南陽市·南陽中學(xué)（理））設(shè)函數(shù)，若對于任意的，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C．或 D．【答案】A【詳解】若對于任意的，恒成立,即可知：在上恒成立,令，對稱軸為.當時，恒成立，當時，有開口向下且在上單調(diào)遞減，在上，得，故有.當時，有開口向上且在上單調(diào)遞增在上，∴綜上，實數(shù)的取值范圍為，故選：A.2．（山東棗莊市·棗莊八中高三月考）若關(guān)于的不等式在區(qū)間內(nèi)有解，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：令，則函數(shù)的圖象為開口朝上且以直線為對稱軸的拋物線，故在區(qū)間上，（4），若不等式在區(qū)間內(nèi)有解，則，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故選：B．3．（江蘇南京一中高三開學(xué)考試）若命題“，使得”是真命題，則實數(shù)的取值集合是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】當時，等價于不滿足對于恒成立，不符合題意；當時，若對于恒成立，則即可得：，綜上所述：實數(shù)的取值集合是，故選：B.4．（寧夏銀川市·銀川一中高三月考（文））若關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】不等式在內(nèi)有解等價于時，.當時，，所以.故選：A.5．（長嶺縣第二中學(xué)高三）若不等式對任意成立，則的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題得不等式對任意成立，所以，即，解之得或.故選：A6．（全國（文））已知時，不等式恒成立，則的取值范圍為A．(-∞，2)∪(3，+∞) B．(-∞，1)∪(2，+∞)C．(-∞，1)∪(3，+∞) D．(1，3)【答案】C【詳解】由題意，因為時，不等式恒成立，可轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，則對應(yīng)任意恒成立，則滿足，解得：或，即的取值范圍為.故選：C7．（全國高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式恒成立，則的取值范圍為（）．A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為關(guān)于的不等式恒成立，分以下兩種情況討論：（1）當時，可得，合乎題意；（2）當時，則有，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故選：B.8．（全國高三（理））對任意，函數(shù)的值恒大于零，則的取值范圍是（）A． B．或 C． D．或【答案】B【詳解】對任意，函數(shù)的值恒大于零設(shè)，即在上恒成立.在上是關(guān)于的一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù)，其圖象為一條線段.則只需線段的兩個端點在軸上方，即，解得或故選：B9．（全國高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意得：關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，等價于不等式在區(qū)間上有解，設(shè)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以實數(shù)的取值范圍為，故選：D.10．（全國高三專題練習(xí)）若關(guān)于的不等式有實數(shù)解，則的取值范圍是（）.A． B． C． D．【答案】D【詳解】當時，符合題意，當時，，解得，所以故選：D.11．（全國（理））在區(qū)間上，不等式有解，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：令當時，原不等式為，解得，滿足條件；當時，函數(shù)的對稱軸為，要使不等式在區(qū)間有解，只需，即解得當時，函數(shù)的對稱軸為，要使不等式在區(qū)間有解，當，即時，只需，即無解；當，即時，只需，即解得；當，即時，只需，即解得；綜上可得故選：C12．（江蘇高三專題練習(xí)）若不等式在上恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】構(gòu)造函數(shù)，其圖象開口向上，由于不等式在上恒成立，所以，即，所以的取值范圍是.故選：D.13．（全國（理））若不等式對于一切成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】對于一切成立，對于一切成立，對于一切成立，在區(qū)間上是增函數(shù)，，．故選：C．14．（全國高三專題練習(xí)（文））若不等式對于一切恒成立，則的最小值是（）A．0 B．-2 C． D．-3【答案】B【詳解】，，由對勾函數(shù)性性質(zhì)可知，當為減函數(shù)，當時，為增函數(shù)，故，即恒成立，，故的最小值為-2故選：B15．（全國高三專題練習(xí)）當時，不等式恒成立，則的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)：，由于當時，不等式恒成立，即，解得，即，故選A.（寧夏吳忠市