抽象函數(shù)的對稱性、奇偶性與周期性常用結論

抽象函數(shù)的對稱性、奇偶性與周期性常用結論一.概念:抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像,只給出一些函數(shù)符號及其滿足的條件的函數(shù),如函數(shù)的定義域,解析遞推式,特定點的函數(shù)值,特定的運算性質等,它是高中函數(shù)部分的難點,也是大學高等數(shù)學函數(shù)部分的一個銜接點,由于抽象函數(shù)沒有具體的解析表達式作為載體,因此理解研究起來比較困難，所以做抽象函數(shù)的題目需要有嚴謹?shù)倪壿嬎季S能力、豐富的想象力以及函數(shù)知識靈活運用的能力1、周期函數(shù)的定義：對于定義域內的每一個，都存在非零常數(shù)，使得恒成立，則稱函數(shù)具有周期性，叫做的一個周期，則（）也是的周期，所有周期中的最小正數(shù)叫的最小正周期。分段函數(shù)的周期：設是周期函數(shù)，在任意一個周期內的圖像為C:。把個單位即按向量在其他周期的圖像：。2、奇偶函數(shù)：設=1\*GB3①若=2\*GB3②若。分段函數(shù)的奇偶性3、函數(shù)的對稱性：（1）中心對稱即點對稱：=1\*GB3①點=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④=5\*GB3⑤（2）軸對稱：對稱軸方程為：。=1\*GB3①關于直線=2\*GB3②函數(shù)關于直線成軸對稱。=3\*GB3③關于直線成軸對稱。二、函數(shù)對稱性的幾個重要結論（一）函數(shù)圖象本身的對稱性（自身對稱）若，則具有周期性；若，則具有對稱性：“內同表示周期性，內反表示對稱性”。1、圖象關于直線對稱推論1：的圖象關于直線對稱推論2、的圖象關于直線對稱推論3、的圖象關于直線對稱2、的圖象關于點對稱推論1、的圖象關于點對稱推論2、的圖象關于點對稱推論3、的圖象關于點對稱（二）兩個函數(shù)的圖象對稱性（相互對稱）（利用解析幾何中的對稱曲線軌跡方程理解）1、偶函數(shù)與圖象關于Y軸對稱2、奇函數(shù)與圖象關于原點對稱函數(shù)3、函數(shù)與圖象關于X軸對稱4、互為反函數(shù)與函數(shù)圖象關于直線對稱5.函數(shù)與圖象關于直線對稱推論1:函數(shù)與圖象關于直線對稱推論2:函數(shù)與圖象關于直線對稱推論3:函數(shù)與圖象關于直線對稱（三）抽象函數(shù)的對稱性與周期性1、抽象函數(shù)的對稱性性質1若函數(shù)y＝f(x)關于直線x＝a軸對稱，則以下三個式子成立且等價：（1）f(a＋x)＝f(a－x)（2）f(2a－x)＝f(x)（3）f(2a＋x)＝f(－x)性質2若函數(shù)y＝f(x)關于點（a，0）中心對稱，則以下三個式子成立且等價：（1）f(a＋x)＝－f(a－x)（2）f(2a－x)＝－f(x)（3）f(2a＋x)＝－f(－x)易知，y＝f(x)為偶（或奇）函數(shù)分別為性質1（或2）當a＝0時的特例。

2、復合函數(shù)的奇偶性定義1、若對于定義域內的任一變量x，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，則復數(shù)函數(shù)y＝f[g(x)]為偶函數(shù)。定義2、若對于定義域內的任一變量x，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，則復合函數(shù)y＝f[g(x)]為奇函數(shù)。說明：（1）復數(shù)函數(shù)f[g(x)]為偶函數(shù)，則f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，復合函數(shù)y＝f[g(x)]為奇函數(shù)，則f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。（2）兩個特例：y＝f(x＋a)為偶函數(shù)，則f(x＋a)＝f(－x＋a)；y＝f(x＋a)為奇函數(shù)，則f(－x＋a)＝－f(a＋x)（3）y＝f(x＋a)為偶（或奇）函數(shù)，等價于單層函數(shù)y＝f(x)關于直線x＝a軸對稱（或關于點（a，0）中心對稱）

3、復合函數(shù)的對稱性性質3復合函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝f(b－x)關于直線x＝（b－a）/2軸對稱性質4、復合函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝－f(b－x)關于點（（b－a）/2，0）中心對稱推論1、復合函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝f(a－x)關于y軸軸對稱推論2、復合函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝－f(a－x)關于原點中心對稱

4、函數(shù)的周期性若a是非零常數(shù)，若對于函數(shù)y＝f(x)定義域內的任一變量x點有下列條件之一成立，則函數(shù)y＝f(x)是周期函數(shù)，且2|a|是它的一個周期。①f(x＋a)＝f(x－a)②f(x＋a)＝－f(x)③f(x＋a)＝1/f(x)④f(x＋a)＝－1/f(x)5、函數(shù)的對稱性與周期性性質5若函數(shù)y＝f(x)同時關于直線x＝a與x＝b軸對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T＝2|a－b|性質6、若函數(shù)y＝f(x)同時關于點（a，0）與點（b，0）中心對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T＝2|a－b|性質7、若函數(shù)y＝f(x)既關于點（a，0）中心對稱，又關于直線x＝b軸對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T＝4|a－b|6、函數(shù)對稱性的應用（1）若,即（2）例題1、;2、奇函數(shù)的圖像關于原點（0，0）對稱：。3、若的圖像關于直線對稱。設.（四）常用函數(shù)的對稱性三、函數(shù)周期性的幾個重要結論1、()的周期為，()也是函數(shù)的周期2、的周期為3、的周期為4、的周期為5、的