新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第13講 解三角形（講）（原卷版）

第03講解三角形本講為高考命題熱點，分值10分，題型以選擇題為主，多出現(xiàn)于高考前六題選擇題中，平面向量主要考察線性運算，坐標(biāo)運算與數(shù)量積運算，近幾年多考察拓展類，例如平面向量中的范圍最值，平面向量與三角函數(shù)結(jié)合等內(nèi)容；復(fù)數(shù)主要考察復(fù)數(shù)的概念，四則運算與復(fù)數(shù)的模與幾何意義，考察邏輯推理能力，運算求解能力.考點一正余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理公式eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccos__A；b2＝c2＋a2－2cacos__B；c2＝a2＋b2－2abcos__C常見變形(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)考點二三角形解的情況A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的個數(shù)一解兩解一解一解無解考點三三角形面積公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示a邊上的高).(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(abc,4R).(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為內(nèi)切圓半徑).考點四測量中的幾個數(shù)據(jù)1.仰角和俯角在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角(如圖1).2.方位角從正北方向起按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角叫做方位角.如B點的方位角為α(如圖2).3.方向角：正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，如南偏東30°，北偏西45°等.4.坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值.解決與平面幾何有關(guān)的計算問題關(guān)鍵是找清各量之間的關(guān)系，從而應(yīng)用正、余弦定理求解.5.常用結(jié)論：三角形中的三角函數(shù)關(guān)系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；(4)coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.在△ABC中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，A>B?a>b?sinA>sinB?cosA<cosB.高頻考點一利用正余弦定理解三角形【例1】（四川省綿陽市2021-2022學(xué)年高三下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）在SKIPIF1<0中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．2 B．4 C．6 D．8【例2】（2022·黑龍江·哈爾濱市第四中學(xué)校高三模擬）在SKIPIF1<0中，內(nèi)角SKIPIF1<0所對的邊分別是SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【方法技巧】利用正弦定理可解決以下兩類三角形問題：一是已知兩角和一角的對邊，求其他邊與角；二是已知兩邊和一邊的對角，求其他邊與角(該三角形具有不唯一性，常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進(jìn)行判斷).利用余弦定理可解決以下兩類三角形問題：一是已知兩邊和它們的夾角，求其他邊與角；二是已知三邊求各個角.由于這兩種情形下的三角形是唯一確定的，所以其解也是唯一的.【變式訓(xùn)練】1．（2022·內(nèi)蒙古包頭·高三開學(xué)考試（理））在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．5 C．SKIPIF1<0 D．62．（2022·貴州·貴陽樂灣國際實驗學(xué)校高三開學(xué)考試（文））在SKIPIF1<0中，角A，B，C所對的邊分別為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，B=SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的面積S=2，則SKIPIF1<0=___________.高頻考點二正弦定理、余弦定理的應(yīng)用【例3】（2022·浙江省淳安中學(xué)高三開學(xué)考試）在平行四邊形SKIPIF1<0中，對角線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【例4】（2022·四川省武勝烈面中學(xué)校高三開學(xué)考試（文））SKIPIF1<0的三內(nèi)角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0且滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的形狀是（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【例5】（2022·湖南·隆回縣教育科學(xué)研究室高一期末）如圖，在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0°(1)求SKIPIF1<0的值；(2)求sinC的值；(3)若D為邊BC上一點，且cos∠ADC=SKIPIF1<0，求BD的長.【方法技巧】1.判定三角形形狀的途徑：(1)化邊為角，通過三角變換找出角之間的關(guān)系；(2)化角為邊，通過代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系，正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁.2.三角形面積計算問題要適當(dāng)選用公式，可以根據(jù)正弦定理和余弦定理進(jìn)行邊角互化.3.求解幾何計算問題要注意(1)根據(jù)已知的邊角畫出圖形并在圖中標(biāo)示.(2)選擇在某個三角形中運用正弦定理或余弦定理.【變式訓(xùn)練】1．（2022·安徽蚌埠·一模）圭表是我國古代通過觀察記錄正午時影子長度的長短變化來確定季節(jié)變化的一種天文儀器，它包括一根直立的標(biāo)桿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)桿垂直的長尺（稱為“圭”）.當(dāng)正午陽光照射在表上時，影子就會落在圭面上，圭面上影子長度最長的那一天定為冬至，影子長度最短的那一天定為夏至.如圖是根據(jù)蚌埠市（北緯SKIPIF1<0）的地理位置設(shè)計的圭表的示意圖，已知蚌埠市冬至正午太陽高度角（即SKIPIF1<0）約為SKIPIF1<0，夏至正午太陽高度角（即SKIPIF1<0）約為SKIPIF1<0.圭面上冬至線和夏至線之間的距離（即SKIPIF1<0的長）為7米，則表高（即SKIPIF1<0的長）約為（

）（已知SKIPIF1<0）A．SKIPIF1<0米 B．SKIPIF1<0米 C．SKIPIF1<0米 D．SKIPIF1<0米2．（2022·全國·高一課時練習(xí)）如圖，為了測量某障礙物兩側(cè)A，B兩點間的距離，給定下列四組數(shù)據(jù)，測量時最好選用數(shù)據(jù)（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·湖南·長沙一中高二開學(xué)考試）神舟十三號飛船于2022年4月16日首次實施快速返回技術(shù)成功著陸．若由搜救地面指揮中心的提供信息可知：在東風(fēng)著陸場搜索區(qū)域內(nèi)，A處的返回艙垂直返回地面．空中分隊和地面分隊分別在B處和C處，如圖為其示意圖，若A，B，C在同一水平面上的投影分別為A1，B1，C，且在C點測得B的仰角為26.6°，在C點測得A的仰角為45°，在B點測得A的仰角為26.6°，BB1=7km，∠B1A1C=120°．則CA1的長為________km．（參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1