人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第15章《分式》全部教案（共12課時(shí)）

15.1.1《從分?jǐn)?shù)到分式》教案

一、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識(shí)與技能：1.了解分式的概念，能判斷一個(gè)代數(shù)式是否為分式，會(huì)求分式的值；2.理

解當(dāng)分母不為零時(shí)分式才有意義，在分式有意義的條件下，會(huì)求分式的分母中所含字母的取

值范圍，會(huì)確定分式的值為零的條件.

（二）過(guò)程與方法：經(jīng)歷與分?jǐn)?shù)類(lèi)比學(xué)習(xí)分式的過(guò)程，養(yǎng)成縝密的思維習(xí)慣，形成類(lèi)比思想,

體驗(yàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值.

（三）情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)類(lèi)比思考，揭示分式有意義的條件，在實(shí)際操練中掌握分式有

意義的條件，體驗(yàn)解題成功帶來(lái)的愉悅感.

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：了解分式的概念，確定分式有意義的條件.

難點(diǎn)：確定分式有意義的條件，分式的值為零的條件.

三、教學(xué)過(guò)程

回顧與思考

1.下列兩個(gè)整數(shù)相除如何表示成分?jǐn)?shù)的形式：

3+4=10+3=12+11=-7+2=

2.在代數(shù)式中，整式的除法是否也能類(lèi)似地表示？試用類(lèi)似分?jǐn)?shù)的形式表示下列整式的除

法：

（1）90+x可以用式子（）來(lái)表示；60+（廠6）可以用式子（）來(lái)表示.

（2）n公頃麥田共收小麥m噸，平均每公頃產(chǎn)量可以用式子（）噸來(lái)表示.

章前引言

一艘輪船在靜水中的最大航速為30km/h,它以最大船速沿江順流航行90km所用時(shí)間,

與以最大航速逆流航行60km所用的時(shí)間相等，江水的流速是多少？

如果設(shè)江水的流速為vkm/h,則輪船順流航行90km所用時(shí)間為h,逆流航

行60km所用時(shí)間為h,由方程可以解出v的值.

思考

填空：

（1）長(zhǎng)方形的面積為10cn?,長(zhǎng)為7cm,則寬為—cm：長(zhǎng)方形的面積為S,長(zhǎng)為m寬

應(yīng)為.

(2)把體積為200cm3的水倒入底面積為33cm2的圓柱形容器中，則水面高度為,

把體積為V的水倒入底面積為S的圓柱形容器中，則水面高度為.

分式

十二SVm906090旦?，有什么共同點(diǎn)？它們與分?jǐn)?shù)有什么

可于——，一，—,—，-----，------

aSnxx-6030+v30-v

相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

可以發(fā)現(xiàn)，這些式子與分?jǐn)?shù)一樣都是4(即A+B)的形式.分?jǐn)?shù)的分子A與分母B都

B

是整數(shù)，而這些式子中的A,B都是整式，并且B中都含有字母.

一般地，如果A,B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子鳥(niǎo)叫做分式.分

B

式4中，A叫做分子，B叫做分母.

B

(1)分式是不同于整式的另一類(lèi)式子.

(2)分母中含有字母是分式的一大特點(diǎn).

(3)分式比分?jǐn)?shù)更具有一般性.例如，分?jǐn)?shù)2僅表示2+3的商，而分式土既可以表示2+3,

3y

又可以表示(-5)+2,8+(-9)等.

下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？

m{n+p)，一孫+/24

5x-7,3X2-1,―—―，，-5,-一,

2。+172x-\75b+c

JJJj

整式整式分式整式整式分式整式分式

整式與分式的區(qū)別：整式的分母中不含字母，而分式的分母中含有字母.

有理式

整式和分式統(tǒng)稱(chēng)為有理式.有理式

［分式

思考

我們知道，要使分?jǐn)?shù)有意義，分?jǐn)?shù)中的分母不能為0.要使分式有意義，分式中的分母

應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？

分式的分母表示除數(shù)，由于除數(shù)不能為0,所以分式的分母不能為0,即當(dāng)BW0時(shí)，

分式4才有意義.

B

例1下列分式中的字母滿(mǎn)足什么條件時(shí)分式有意義？

(1)—(2)上(3)—(4)山

3xx-\5-3bx-y

解：(1)要使分式2有意義，則分母3xW0,即xWO；

3x

⑵要使分式上有意義，則分母x-IWO,即xWl：

x-\

⑶要使分式」一有意義，則分母5-3匕￥0,即8W』：

5-3b3

(4)要使分式已有意義，則分母尸了*0,即x#y.

x-y

如無(wú)特別聲明，本章出現(xiàn)的分式都有意義.

練習(xí)

1.列式表示下列各量：

(1)某村有〃個(gè)人，耕地40hm2,人均耕地面積為hm2.

(2)4ABC的面積為S,BC邊長(zhǎng)為a,則高AD為_(kāi)___.

(3)一輛汽車(chē)人h行駛akm,則它的平均車(chē)速為一km/h.一列火車(chē)行駛akm比這輛汽

車(chē)少用1h,則它的平均車(chē)速為km/h.

2.下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？?jī)深?lèi)式子的區(qū)別是什么？

1X42a-5Xm-nx2+2x+lc

x33b3+5'3x2-y2，m+nx~—2,x4-13（?！??）

JJjJjJJ

分式整式分式整式分式分式分式分式

3.下列分式中的字母滿(mǎn)足什么條件時(shí)分式有意義？

(1)-(2)四(3)上一(4)—(3)如W(4)-2—

ax-\3雨+2x-y3a-bx-1

解：(1)當(dāng)分母nWO時(shí)，分式2有意義；

a

⑵當(dāng)分母x-IWO,即xWl時(shí)，分式把1有意義；

x-i

(3)當(dāng)分母3/M+2W0,即機(jī)W-時(shí)，分式一也L有意義；

3"7+2

(4)當(dāng)分母方y(tǒng)WO,即xWy時(shí)，分式有意義；

x-y

(5)當(dāng)分母3a"W0,即人W3a時(shí)，分式網(wǎng)業(yè)有意義；

3a-b

(6)當(dāng)分母f-IWO,即xW±l時(shí)，分式--有意義.

x2-l

課堂小結(jié)

1.本節(jié)課你有哪些收獲？2.還有沒(méi)解決的問(wèn)題嗎？

四、教學(xué)反思

本節(jié)采取的教學(xué)方法是引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、小組合作，完成對(duì)分式概念及意義的自主探

索；通過(guò)“課后練習(xí)應(yīng)用拓展”這一環(huán)節(jié)發(fā)展了學(xué)生思維，鞏固了課堂知識(shí)，增強(qiáng)了學(xué)生實(shí)

踐應(yīng)用能力.提出問(wèn)題讓學(xué)生解決，問(wèn)題由易到難，層層深入，既復(fù)習(xí)了舊知識(shí)又在類(lèi)比過(guò)

程中獲得了解決新知識(shí)的途徑.在這一環(huán)節(jié)提問(wèn)應(yīng)注意循序性，先易后難、由簡(jiǎn)到繁、層層

遞進(jìn)，臺(tái)階式的提問(wèn)使問(wèn)題解決水到渠成.

15.1.2《分式的基本性質(zhì)》教案

一、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識(shí)與技能：1.了解分式的基本性質(zhì)，體會(huì)類(lèi)比的思想方法；2.掌握分式的約分，了解

最簡(jiǎn)分式的概念.

（二）過(guò)程與方法：經(jīng)歷對(duì)分式基本性質(zhì)及符號(hào)法則的探究過(guò)程，通過(guò)分式的恒等變形提高學(xué)

生的運(yùn)算能力，滲透類(lèi)比轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.

（三）情感態(tài)度與價(jià)值觀：在探究中獲得一些探索性質(zhì)的初步經(jīng)驗(yàn)，感受成功的快樂(lè)，體驗(yàn)解

決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，有克服困難的勇氣，具備學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：使學(xué)生理解并掌握分式的基本性質(zhì)，這是學(xué)好本章的關(guān)鍵.

難點(diǎn)：靈活運(yùn)用分式的基本性質(zhì)和變號(hào)法則進(jìn)行分式的恒等變形.

三、教學(xué)過(guò)程

復(fù)習(xí)提問(wèn)

1.下列各式中，屬于分式的是（）

Ax+12?1a

A.----DB.----C.—x2+yDn.—

2x+122

2.當(dāng)x一時(shí)，分式5.有意義.

x—2

3.當(dāng)x―時(shí)，分式也的值為零.

x-2

溫故而知新

（1）』=?!?的依據(jù)是什么？

62

分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：

一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母乘（或除以）同一個(gè)不為0的數(shù)，分?jǐn)?shù)的值不變.

（2）由分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)可知，如果數(shù)cWO,那么2=至，生=a.

33c5c5

一般地，對(duì)于任意一個(gè)分?jǐn)?shù)4，有@="，@=±i￡（cW0）,其中a,b,c是數(shù).

bbb?cbb+c

思考

類(lèi)比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，你能猜想分式有什么性質(zhì)嗎？

分式的基本性質(zhì)：

分式的分子與分母乘（或除以）同一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變.

4=4二C,4=生￡（（；彳0）其中人，B,c是整式.

BB?CBB+C

例2填空:

x3()3x2+3xyx+y

⑴/1X—=---------，----------%—=------(2)==-~~-(^^0).

孫y6x()aha~ha~a~b

看分母如何變化，想分子如何變化.看分子如何變化，想分母如何變化.

解(])x3_%34-x_x23x2+3xy_(3f+3孫)+(3%)_x+y

xyxy-^-xy6x26x2+(3x)2x

Ia2a-bQa-b)?b2ah-b~

(2)—=----=---，-=--------------=-----m----

ahab?aa~baa~*ba'b

思考

聯(lián)想分?jǐn)?shù)的約分，由例2你能想出如何對(duì)分式進(jìn)行約分嗎？

與分?jǐn)?shù)的約分類(lèi)似，在例2（1）中，我們利用分式的基本性質(zhì)，約去3—十?群的分子和

6廠

分母的公因式3x,不改變分式的值，把+產(chǎn)V化為山.像這樣，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，

6x22X

把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分.經(jīng)過(guò)約分后的分式蟲(chóng)，其分

2x

子與分母沒(méi)有公因式.像這樣分子與分母沒(méi)有公因式的分式，叫做最簡(jiǎn)分式.

分式的約分，一般要約去分子和分母所有的公因式，使得結(jié)果成為最簡(jiǎn)分式或者整式.

例3約分：

（I）-25a2bc3Q）_—96x2-12xy+6y2

15ab2cx2+6x+93x-3y

分析：為約分，要先找出分子和分母的公因式.

解（］）-25a2be3_5abc?5ac2_5ac2

I5ah2c5abe?3b3b

%2—9（x+3）（九一3）x—3

\2,）------------------------------=------

x2+6x+9（x+3）2x+3

（如果分子或分母是多項(xiàng)式，先分解因式對(duì)約分有什么作用？）

⑶6』-12母+6y2=^^

3x-3y3（x-y）

思考

聯(lián)想分?jǐn)?shù)的通分，由例2你能想出如何對(duì)分式進(jìn)行通分嗎？

與分?jǐn)?shù)的通分類(lèi)似，在例2（2）中，我們利用分式的基本性質(zhì)，將分子和分母同乘適當(dāng)

的整式，不改變分式的值，把,和絲辿化成分母相同的分式.像這樣，根據(jù)分式的基本

aba

性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來(lái)的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.

例4通分：

(1)3與E(2)二與三

2abctb"cx-5x+5

分析：為通分，要先確定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次塞的積作公分

母，它叫做最簡(jiǎn)公分母.

解：(1)最簡(jiǎn)公分母是.

3_3-bc_3>bca-b_(a-b)?2a_2a2-2ab

2a2b2a2b?be2a2b2c'ab2cab2c?2a2a2b2c

(2)最簡(jiǎn)公分母是.

2x_2x(x+5)_2x2+1Ox3x_3x(x-5)_3x2-15x

x-5(x-5)(x+5)x2-25x+5(x+5)(x-5)x2-25

思考

分?jǐn)?shù)和分式在約分和通分的做法上有什么共同點(diǎn)？這些做法的根據(jù)是什么？

它們的共同點(diǎn):

1.分子和分母同乘(或除以)的都是同一個(gè)數(shù)或整式;

2.并且同乘(或除以)不能是0.

根據(jù):

分?jǐn)?shù)的通分和約分根據(jù)的是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì):

分式的通分和約分根據(jù)的是分式的基本性質(zhì).

練習(xí)

1.約分：

22

2bc⑵(x+y)y⑶x?+初

(1)⑷…2

acxy2(x+y)2

X

解:(1)原式=竺(2)原式=且(3)原式=亞型=

axy(x+y)x+y

原式=/一丁=(x+y)(x-y)=x+y

(4)

’(x-?x-y

2.通分：

王與2(2)至與竺(3)⑷2孫與x

(1)與y

abbebd4/ra(x+2)b(x+2)0+y)2x2-y2

解：⑴最簡(jiǎn)公分母是He.二=旦，2=旦

ababcbeabc

⑵取簡(jiǎn)公分母是皿?加市?4廠*’4從=畫(huà)屋

(4)最簡(jiǎn)公公母臬〃人(丫+9)X.

耳日」Zx刀ClU\X~^).一，y

a{x+2)ah(x+2)b(x+2)ah(x+2)

(4)最簡(jiǎn)公分母是(x+y)2(尸y).

2xy_2xy(x-y)_2x2y-2xy2x_x(x+y)_x1+xy

(x+y)2(x+y)2(x-y)(x+y)2(x-y)'x2-/(x+y)2(x-y)(x+y)2(x-^)-

課堂小結(jié)

1.本節(jié)課你有哪些收獲？2.還有沒(méi)解決的問(wèn)題嗎？

四、教學(xué)反思

本節(jié)課的流程比較順暢，先探究分式的基本性質(zhì)，然后順勢(shì)探究分式變號(hào)法則.在每個(gè)

活動(dòng)中，都設(shè)計(jì)了具有啟發(fā)性的問(wèn)題，對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行分析、歸納總結(jié)、例題示范、方法

指導(dǎo)和變式練習(xí)，一步一步的來(lái)完成既定目標(biāo)，整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程輕松、愉快、和諧、高效.

15.2.1.1《分式的乘除》教案

一、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識(shí)與技能：1.會(huì)通過(guò)類(lèi)比的方法來(lái)理解和掌握分式的乘除法法則；2.熟練運(yùn)用分式乘

除法法則，將分式乘除法全部化歸為分式乘法進(jìn)行計(jì)算.

（二）過(guò)程與方法：經(jīng)歷探索分式的乘除法運(yùn)算法則，通過(guò)類(lèi)比分?jǐn)?shù)的乘除法法則，提高聯(lián)想

能力和推理能力.

（三）情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)化除為乘，體會(huì)化歸的思想方法，嘗試在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得成功

的喜悅，樹(shù)立自信心.

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：分式的乘除法法則的運(yùn)用.

難點(diǎn)：進(jìn)行分式的乘除運(yùn)算.

三、教學(xué)過(guò)程

兩個(gè)問(wèn)題

問(wèn)題1一個(gè)水平放置的長(zhǎng)方體容器，其容積為V,底面的長(zhǎng)為m寬為6,當(dāng)容器內(nèi)的水占

容積的％時(shí)，水面的高度為多少？

n

長(zhǎng)方體容器的高為：—

ab

水面的高度為：—（分式乘法）

abn

問(wèn)題2大拖拉機(jī)m天耕地ahn?,小拖拉機(jī)n天耕地bhm2,3大拖拉機(jī)的工作效率是小

拖拉機(jī)的工作效率的多少倍?

大拖拉機(jī)的工作效率是—hn?/天，小拖拉機(jī)的工作效率是—hn?/天，大拖拉機(jī)的工

作效率是小拖拉機(jī)的工作效率的（0+2）倍.（分式除法）

mn

根據(jù)分?jǐn)?shù)的乘除法的法則計(jì)算：

24_2x4_82^4_252x55

3X5-3^5-153^5~3X4-3^4-6

【分?jǐn)?shù)的乘除法法則】

兩個(gè)分?jǐn)?shù)相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母.

兩個(gè)分?jǐn)?shù)相除，把除式的分子分母顛倒位置后，再與被除式相乘.

想一想

acac

—x——o?f—；—=.o.

bdbd

【分式的乘除法法則】

乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母.

除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘.

-a?ca?cac=a—?~d~~_a*d.

bdb^dbdbcb，c

例1計(jì)算：

(i)生?名(2)”+衛(wèi)i

3y2x32c~4cd

解：⑴士?々=*3

3y2x36x3y3x~

小aby—5a2b2cib7,4cd4ab3cd2bd

2c2-4cd-2c2_5a2b2-\Oa2b2c2-5ac

運(yùn)算結(jié)果應(yīng)化為最簡(jiǎn)分式.

例2計(jì)算：

//-4。+4a-\11

⑴-------——⑵-----7--9----

。2—2。+1。2-449-m"m~-Im

2

Q2-4Q+4.a-\2y.a-\_(a-2)(a-\)_a-2

cr—2n+1〃“一4(a—1)~(〃-2)(Q+2)(a—1)?3—2)(a+2)(a—l)(a+2)

m

⑵

49-nrnr-7m擊…7吁瑞高"7+7

例3如圖，“豐收1號(hào)”小麥的試驗(yàn)田是邊長(zhǎng)為am(“>1)的正方形去掉一個(gè)邊長(zhǎng)為1m的

正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號(hào)，'小麥的試驗(yàn)田是

邊長(zhǎng)為(“T)m的正方形，兩塊試驗(yàn)田的小麥都收獲了500

kg.

(1)哪種小麥的單位面積產(chǎn)量高？

(2)高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的多少倍？

解：(1)“豐收1號(hào)”小麥的試驗(yàn)田面積是Q2-l)m2,單位面積產(chǎn)量是

500

號(hào)”小麥的試驗(yàn)田面積是(a-1)2m2,單位面積產(chǎn)量是kg/m2.

(a-1)2

'：a>\

：.(a-1)2>0,a2-l>0

由上圖可得(a-l)2<a2-l

....500<^00^)即豐收2號(hào)小麥的單位面積產(chǎn)量高.

a2-l(“-I)?

(Va>1,/.(6Z-1)2-(a2-1)=((r-2a+1)-(a2-1)=-2(t?-1)<0,即<(a2-1))

Arj/c、500500500u~—1(a+l)(a—1)a+1

3-1)2a2-l(a-1)2500(?-1)2a-1

a+\

所以，“豐收2號(hào)”小麥的單位面積產(chǎn)量是“豐收1號(hào)”小麥的單位面積產(chǎn)量的倍.

一

練習(xí)

1.寫(xiě)出本節(jié)中問(wèn)題1和問(wèn)題2的計(jì)算結(jié)果.

勒門(mén)日否［VmmV門(mén)反而cabanan

解：?jiǎn)栴}1：一?—=---，問(wèn)題2：—+—=—?一=——

abnabntnnmbmb

2.計(jì)算：

⑴網(wǎng).譬(2)四十8卷(3)(-3孫)+支(4)立2.1

4b9a25a3xx-yx+y

解：(1)原式=9(2)原式=2?'-=上

3a5a10ar

⑶原式=(-3葉)?衛(wèi)7=-"⑷原式=T

'2y2y

3.計(jì)算:

/八3a-3h25a2b3小4y2-x2x-2y

(1)—;~~-r(2)—5-^------7+--~"—

\Oabcr-b~x2+2xy+y2x2+2xy

解：(D原式=—75"7'(4一初=15。一..

\Oab(a+b)(a—b)2a+2b

4y2-x22x2+2xy>(2y+x)(2y-x)2x(x+y)2x(2y+x)4xy+2x2

⑵原式=可)-----z-.---------=------芻---?-------=----------=----------

x+2xy+yx-2y(x+y)~x-2yx+yx+y

課堂小結(jié)

1.本節(jié)課你有哪些收獲？2.還有沒(méi)解決的問(wèn)題嗎？

四、教學(xué)反思

本節(jié)是從分?jǐn)?shù)的乘除法則的角度引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、探究、歸納總結(jié)出分式的乘除法則.

這種溫故而知新的做法不僅有利于學(xué)生接受新知識(shí)，而且能體現(xiàn)由數(shù)到式的發(fā)展過(guò)程.在

學(xué)生得出分式的乘除法則時(shí)，要求他們分別用文字和式子兩種形式進(jìn)行表述，這樣不僅加深

了學(xué)生對(duì)法則的理解，而且鍛煉了他們的數(shù)學(xué)表達(dá)能力.為了進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)基本法則

的理解和運(yùn)用，又由淺到深設(shè)計(jì)了一些練習(xí)題，這樣學(xué)生就會(huì)把所學(xué)的知識(shí)融會(huì)貫通.

15.2.1.2《分式的乘方》教案

一、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識(shí)與技能：理解分式乘方的運(yùn)算法則，熟練地進(jìn)行分式乘方的運(yùn)算.

（二）過(guò)程與方法：通過(guò)類(lèi)比的思想來(lái)學(xué)習(xí)分式乘方的運(yùn)算.

（三）情感態(tài)度與價(jià)值觀：在合作探究的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生的類(lèi)比，歸納能力.

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：熟練地進(jìn)行分式乘方的運(yùn)算.

難點(diǎn)：熟練地進(jìn)行分式乘、除、乘方的混合運(yùn)算.

三、教學(xué)過(guò)程

復(fù)習(xí)鞏固

1.下面的計(jì)算對(duì)嗎？如果不對(duì)，應(yīng)該怎樣改正？

⑴匚?學(xué)=迎X⑵竺+e=2X

解：原式=-3解：原式=生?蘭=竺

x3aa36r

2.計(jì)算：(取一工2)+：^_

孫

解：原式二My-x).-=f2y

x-y

判斷下列解答的正誤：計(jì)算：/+6?1

b

解：原式=〃2+1=n2,此解法是否正確？錯(cuò)誤

錯(cuò)因分析：上述解法是先算乘法后算除法，屬于運(yùn)算順序錯(cuò)誤，事實(shí)上，對(duì)不含括號(hào)乘除混

合運(yùn)算應(yīng)該從左到右的順序計(jì)算.

正確解答是：解：原式=4?1.1=4

bbb1

例4計(jì)算

2x3x

5X-3^25X2-9,5X+3

解2x,3.x_2x.(5x+3)(5%-3).x_lx1

5x-325x2-95x+35x-335x+33

乘除混合運(yùn)算可以統(tǒng)一為乘法運(yùn)算.

回顧與思考

。"表示的意義是什么？其中。表示什么？〃表示什么？

a"是指〃個(gè)〃相乘，讀作a的八次方或(a的〃次惠)；

a表示底數(shù)，”表示指數(shù).

am?a"=(a"')n=(ab)n=

計(jì)算：(-3)2=—(a-23)2=

〃中的a可以是數(shù)，也可以是整式，那a可不可以是一個(gè)分式呢？即兩個(gè)整式的商的〃次

方？

思考

根據(jù)乘方的意義和分式乘法的法則，可得:

令器三即圖4

一般地，當(dāng)，？是正整數(shù)時(shí)，

)bb

這就是說(shuō)，分式的乘方要把分子、分母分別乘方.

例5計(jì)算：

(r-lcrb)14fl4/>2

解：⑴

(3c)2~9c2

/b丫2〃/°丫九32a.c1a%'、c1_a3b3

-cd3)，了,［五J=—c3d9一下,彳=—c3d§?五?#=一奇

式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序，先乘方，再乘除.

練習(xí)

1.計(jì)算：

⑴2Mn.5p2q5mnp⑵16-tz267-4^a-2

2

3Pq24/加3qa+8a+162a+8a+2

解：⑴原式=吟?坐?烏一

3Pq4/TWT5mnp2n"

⑵原式二(4+a)(4-a).2(a+4).a-2__-2(a-2)_4-2〃

(a+4)~a—4a+2a+2a+2

2.計(jì)算：

解：⑴原式=除8x12/

27z3

4a2"6a4-27c34a渺6n4-27?18//

(2)原式=426

kFbhcd*-p-*b

課堂小結(jié)

1.本節(jié)課你有哪些收獲？2.還有沒(méi)解決的問(wèn)題嗎？

四、教學(xué)反思

在分式乘方的教學(xué)中，通過(guò)回憶乘方的定義，讓學(xué)生利用乘方的定義和分式的乘除法則

進(jìn)行一些具體的計(jì)算，進(jìn)而歸納出分式的乘方法則，再通過(guò)一組練習(xí)加深對(duì)乘方法則的理解

和應(yīng)用.本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)較多，對(duì)運(yùn)算法則的推理過(guò)程占了相當(dāng)多的時(shí)間，因此，對(duì)基本法則

的理解和熟練程度還有待在后續(xù)的練習(xí)中予以加強(qiáng).

15.2.2.1《分式的加減》教案

一、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識(shí)與技能：1.理解掌握異分母分式加減法法則，類(lèi)比分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算；2.能正確熟練

地進(jìn)行同分母分式加減和異分母分式的加減運(yùn)算.

（二）過(guò)程與方法：在課堂活動(dòng)中培養(yǎng)學(xué)生樂(lè)于探究、合作學(xué)習(xí)的習(xí)慣，滲透類(lèi)比、化歸數(shù)學(xué)

思想方法.

(三)情感態(tài)度與價(jià)值觀：在合作探究的過(guò)程中，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，重視在學(xué)習(xí)過(guò)程

中對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力培養(yǎng).

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：運(yùn)用分式的加減法則進(jìn)行運(yùn)算.

難點(diǎn)：異分母分式加減的運(yùn)算(異分母轉(zhuǎn)化為同分母).

三、教學(xué)過(guò)程

從分?jǐn)?shù)所想到的……

-1-1--2=-5----2--

55—77—

你認(rèn)為3=_以士—

CCCC

【同分母分?jǐn)?shù)加減法的法則】同分母分?jǐn)?shù)相加減，分母不變，把分子相加減.

同分母加減

【同分母分式加減法的法則】同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減.

計(jì)算下列各題：

5x+3y2x⑷x+3>_x+2y+2x-3y

x2-y2x2-yx-yx-yx-y

xxxx

小a2a3aa+2a-3a0八

⑵------1-------------=------------=-----=U

b+1b+lb+16+1b+1

小5x+3y2x5x+3y-2x3x+3y3(x+y)3

(3)-972~一7-—0T~—7-

x-yx~-yx~-yx-y(x+y)(x-y)x-y

⑷x+3y_x+2y+2x-3y=(x+3y)-(x+2y)+(2x-3y)=2x-2y=2(x-y)=2

x-yx-yx-yx-yx-yx-y

(1)注意分?jǐn)?shù)線有括號(hào)的作用，分子相加減時(shí)，要注意添括號(hào).

(2)把分子相加減后，如果所得結(jié)果不是最簡(jiǎn)分式，要約分.

異分母轉(zhuǎn)化

異分母的分式黔一同分母的分式

a4a轉(zhuǎn)化

小明認(rèn)為，只要把異分母的分式化成同分母的分式，異分母分式的加減問(wèn)題就變成了同

分母的加減問(wèn)題.小亮同意小明的這種看法，但他倆的具體做法不同.

311二3?4a]a3?1=3x4?1

a4〃一。，4〃4a*aa4Ga*44a

_12aa_13g_1312,113

4a24/4〃24a二赤+而二而

O

小明F小亮

你對(duì)這兩種做法有何評(píng)論？

異分母加減

【異分母分式加減法的法則】異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減.

生嗯士徐曙異分母的分式算一同分母的分式

異分母分式通分時(shí)，通常取最簡(jiǎn)公分母作為它們的共同分母.

計(jì)算下列各題:

11

⑴------H--------⑵高

2P+342p-3q

解:-------F------

2P+3,2p-3q

2p-3q2〃+3g_2〃-34+2〃+3g_4〃

Qp+3q)Qp-3q)+Qp+3q)Qp-3q)=Qp+3q)Qp-3q)=4p2-9^2

4P

結(jié)果也可以寫(xiě)成

(2p+3g)(2p-3q)

⑵---a-2

。+2

4m+2)4_(a+2-4一，+4Q+4)/+4。

-----(6/4-2)=

4+2a+21。+2々+2。+2a+2

對(duì)于式子中出現(xiàn)的整式，可以把它看成分母是“1”的分式.

綜合運(yùn)用

問(wèn)題3甲工程隊(duì)完成一項(xiàng)工程需幾天，乙工程隊(duì)要比甲隊(duì)多用3天才能完成這項(xiàng)工程，

兩隊(duì)共同工作一天完成這項(xiàng)工程的幾分之幾？

解：甲工程隊(duì)一天完成這項(xiàng)工程的」，乙工程隊(duì)一天完成這項(xiàng)工程的」一，兩隊(duì)共同工作

n〃+3

一天完成這項(xiàng)工程的工+—L=」"+—^―=且二.

n拉+3n{n4-3)n(n+3)n(n+3)

問(wèn)題42009年、2010年、2011年某地的森林面積(單位:kn?)分別是S”S2,S3,2011年

與2010年相比，森林面積增長(zhǎng)率提高了多少？

解：2011年的森林面積增長(zhǎng)率邑二邑，2010年的森林面積增長(zhǎng)率是區(qū)二工，2011年與2010

S,S,

年相比，森林面積增長(zhǎng)率提高了

邑

練習(xí)

(1)-4-+-^-

2c2d3c)2m-n(2m-n)2a2-b2a+h

2c3d+2c

解：（1）原式二-----------1----------------------

6c2d26c2d26c2d

12

（2）原式=

2m-n2m-n

a-bb

（3）原式二

a2-b2a2-b2a2-h2

/八w*a~i、era~

(4)原式=-----z(a+1)=-----------=----

a-\a-\a-\a-\

課堂小結(jié)

1.本節(jié)課你有哪些收獲？2.還有沒(méi)解決的問(wèn)題嗎？

四、教學(xué)反思

從分?jǐn)?shù)加減法引入，類(lèi)比得出分式的加減法，最關(guān)鍵的是法則的探究，重點(diǎn)是法則的運(yùn)

用，易錯(cuò)點(diǎn)是分母互為相反數(shù)，要化成同分母分式，在這個(gè)過(guò)程中要注意變號(hào).學(xué)生在教師

的指導(dǎo)下，先獨(dú)立進(jìn)行自學(xué)，自己解決不了的問(wèn)題在小組內(nèi)討論交流進(jìn)行解決.

15.2.2.2《分式的混合運(yùn)算》教案

一、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識(shí)與技能：能準(zhǔn)確、熟綜地進(jìn)行分式的加減、乖除運(yùn)算.

（二）過(guò)程與方法：通過(guò)對(duì)分式混合運(yùn)算的學(xué)習(xí)，提高學(xué)生的計(jì)算能力和分式的應(yīng)用能力.

（三）情感態(tài)度與價(jià)值觀：在分式運(yùn)算過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生具有一定代數(shù)化歸的能力，培養(yǎng)學(xué)生樂(lè)

于探究、合作交流的習(xí)慣，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)的意識(shí)”.

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：掌握分式加減乘除法的法則，并會(huì)運(yùn)用法則進(jìn)行分式加減乘除法的計(jì)算.

難點(diǎn)：能夠運(yùn)用分式加減乘除法則來(lái)解決混合運(yùn)算的實(shí)際問(wèn)題.

三、教學(xué)過(guò)程

復(fù)習(xí)鞏固

1計(jì).算:言+金的結(jié)果是-

10%5

2.計(jì)算:-----+-----的結(jié)果是

2x—11—2x

任二漢+立片的結(jié)果是_______

3計(jì).算:

2xy2xy

4?分式J的最簡(jiǎn)公分母是（）

A.xB.x3C.12xD.12X3

計(jì)算：⑴官』

解：⑴原式二嵩hr3公r胃尸=三

2aa+2_2。一(。+2)_a-2_1

（2）原式二

3—2)(a+2)(a-2)(a+2)(々-2)(a+2)(a—2)(〃+2)a+2

例7計(jì)算：俘

\b)a-bb4

解：原式=叱._!__0.4=」^__色=_4a5-。)

b2a-bbbb2(a-b)b2b2(a-b)b2(a-b)

_4a2-4a2+4ab_4ab_4a

kr{a-b)b2(a-b)ab-b1

式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序；先乘方，再乘除，然后加減.

例8計(jì)算：(1)(m+2+-^—]?包二&(2)(4%——二」一]十±3

I2-mJ3-m廠―4x+4jx

解：(i)原式=(，，?+2)(2-，〃)+5.2，”4=”史?2(〃?-2)

2—m3-m2—m3—m

(3—m)(3+機(jī))-2(2-〃z)

=------------?---------=-2(m+3)

2-7773-m

(2)j亨式—x+2x-11x_(x+2)(x-2)-(x-l)xx

'*x(x-2)(x-2)2Jx-4x(x-2)2x-4

練習(xí)

解：⑴原式=￡?上-=?二=二-三=空一”=心￡

4y2lxy12y2Sy2y48/8/8y4

(2)原式-x+1.4x~(%+1)—(x-1)4x24x2—4x—2

1x(x+1)2(x+l)(x-l)x+1(x+l)(x-l)x2+1

課堂小結(jié)

1.本節(jié)課你有哪些收獲？2.還有沒(méi)解決的問(wèn)題嗎？

四、教學(xué)反思

在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，可以根據(jù)學(xué)生的具體情況，適當(dāng)增加例題和習(xí)題，讓學(xué)生熟練學(xué)

握分式的運(yùn)算法則并提高運(yùn)算能力.但與整式、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算相比，分式的運(yùn)算步驟多，符號(hào)

變化復(fù)雜，所以在增加例題和習(xí)題時(shí)，要注意控制難度，特別是不要在分子、分母的因式分

解上增加難度.關(guān)鍵是讓學(xué)生通過(guò)基本的練習(xí)，弄清運(yùn)算依據(jù)，做到步步有據(jù)，降低計(jì)算的

錯(cuò)誤率.

15.2.3.1《整數(shù)指數(shù)塞》教案

一、教學(xué)目標(biāo)

(一)知識(shí)與技能：1.理解和掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的意義；2.能熟練運(yùn)用整數(shù)指數(shù)幕運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)

行運(yùn)算.

(二)過(guò)程與方法：I.通過(guò)觀察、思考，推理、總結(jié)得出負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的意義；2.體驗(yàn)利用負(fù)

整數(shù)指數(shù)累進(jìn)行乘除法的轉(zhuǎn)化.

(三)情感態(tài)度與價(jià)值觀：?jiǎn)l(fā)學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考、小組交流、自主發(fā)現(xiàn)問(wèn)題來(lái)分析和解決問(wèn)

題，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性、積極性和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，鼓勵(lì)學(xué)生在小組交流中敢于，積

極的發(fā)表自己的看法，積極的參與到與同學(xué)的討論和學(xué)習(xí)中去.

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：理解負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的意義，掌握運(yùn)算性質(zhì).

難點(diǎn)：理解負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的產(chǎn)生過(guò)程和意義.

三、教學(xué)過(guò)程

情境導(dǎo)入

從前，有一個(gè)“聰明的乞丐”，有一次他討了一塊大面包.他想，如果我第一天吃這塊

面包的一半，第二天再吃剩下的一半,……依次每天都吃前一天剩余面包的一半，這樣下去，

我就永遠(yuǎn)不用再去討飯了.你能知道第十天，他將吃到多少面包嗎？他的想法對(duì)嗎？

算一算：

第1天：第2天：即工；第3天：4,即L…

2224238

第10天：』；即」一；第30天：4-;即——-——；

2,°10242301073741824

復(fù)習(xí)鞏固

當(dāng)n是正整數(shù)時(shí)，an=a?a....a

正整數(shù)指數(shù)幕有以下運(yùn)算性質(zhì)：

(1)cf1,an=am+n(/w,〃是正整數(shù));

(2)是正整數(shù))；

(3)(ab)n=(fbn(〃是正整數(shù));

(4)am^an=a,n-n(a^O,m,〃是正整數(shù)且相＞應(yīng)；

(5)(￡)“=￡(〃是正整數(shù)).

此外，當(dāng)時(shí)，?°=1(0指數(shù)幕的運(yùn)算).

思考

am中指數(shù)m可以是負(fù)整數(shù)嗎？如果可以，那么負(fù)整數(shù)指數(shù)幕am表示什么？

做一做，你發(fā)現(xiàn)了什么？。3+?5=?

1

TIm工o)^a21

a

是正整數(shù)時(shí)，武=去（40）.這就是說(shuō)，a

一般地，當(dāng)n（aWO）是a"的倒數(shù).

-_1

例如：a'=-5=

a"71

引入負(fù)整數(shù)指數(shù)'幕后，指數(shù)的取值范圍就擴(kuò)大到全體整數(shù).

你現(xiàn)在能說(shuō)出當(dāng)m分別為正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)時(shí)，am各表示什么意思嗎？

am（m是正整數(shù)）

a1"="1（〃?=0,且awO）

（“是負(fù)整數(shù)，且aw0）

.a

思考

引入負(fù)整數(shù)指數(shù)和0指數(shù)后，a"1?a"=產(chǎn)"（m,"是正整數(shù)）這條性質(zhì)能否推廣到〃?,

n任意整數(shù)的情形？

/?/=金二=/=/句，即a，.a-5=/MT)

aa

d即不―

a'?a~5=1?J=二=a-—a0+(-5)即/.4-5=4?！督?/p>

歸納

am-a"=am+"這條性質(zhì)對(duì)于相，”是任意整數(shù)的情形仍然適用.

整數(shù)指數(shù)基有以下運(yùn)算性質(zhì):

（1）{tn,"是整數(shù)）；

（2）（""）"="""（〃?，〃是整數(shù)）；

⑶（加『如（〃是整數(shù)）；

（4）（"W0,相，〃是整數(shù)）；

⑸（〃是整數(shù)）.

\h）h

（6）當(dāng)a#0時(shí)，a°=l（0指數(shù)基的運(yùn)算）.

例9計(jì)算:

⑴a'2-^-a5(2)(勺)

(3)(.a'b2)3(4)a2b2?(a2/?-2)-3

(1)a2^-a5=a'2'5=a1=-^-

解:

a

⑵

(/匕。-匕

⑶2)3=36=4

a

(4)a'2b2,(a2b'2)'3-a2b2,a_6/?6=a-8i>8=

ax

當(dāng)"?，〃為整數(shù)時(shí)，<f,^(f=amn,am?an=a",+[-n)=an-",因此a"+a"=d"",即同底數(shù)塞的除

法可轉(zhuǎn)化為同底數(shù)幕的乘法特別地，^=a^b=a-b',所以(')=(。法“)"，

即商的乘方可以轉(zhuǎn)化為積的乘方(。-b-'y.這樣，整數(shù)指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)可以歸結(jié)為：

(1)""?/=*"(/?,〃是整數(shù));(2)(〃7,〃是整數(shù))；(3)(ab)n=a"bn(〃是整

數(shù)).

練習(xí)

L計(jì)算：

(1)3°=_,3?=_；(2)(-3)°=—,(-3)2=_；(3)卬=—,b2=—(6W0).

2.計(jì)算：

⑴x2/3G"y)3(2)(2加c,3)-2((a%)3

解：⑴原式二fy3?爐,3二%-iy?！?/p>

X

⑵原式=(-a%%6)+06M=1=

444b7

課堂小結(jié)

1.本節(jié)課你有哪些收獲？2.還有沒(méi)解決的問(wèn)題嗎？

四、教學(xué)反思

整數(shù)指數(shù)累是在學(xué)生學(xué)習(xí)了分式的基本性質(zhì)及乘除法之后的教學(xué),在復(fù)習(xí)累的有關(guān)運(yùn)算

性質(zhì)后提出問(wèn)題“累的這些運(yùn)算性質(zhì)中指數(shù)都要求是正整數(shù)，如果是負(fù)整數(shù)又表示什么意義

呢？”通過(guò)提問(wèn)讓學(xué)生尋找規(guī)律，猜想出零指數(shù)幕和負(fù)整數(shù)基的意義，不但調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)

的積極性，而且印象更深，當(dāng)然也達(dá)到了課堂的預(yù)期效果.

15.2.3.2《用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值小于1的數(shù)》教案

一、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識(shí)與技能：理解和掌握絕對(duì)值小于1的數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示的方法.

（二）過(guò)程與方法：經(jīng)歷絕對(duì)值小于1的數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示的探究過(guò)程，體會(huì)負(fù)整數(shù)指數(shù)幕

的應(yīng)用.

（三）情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)觀察、遷移、交流的意識(shí)，形成良好的學(xué)習(xí)態(tài)度，感悟數(shù)學(xué)的

演繹推理的價(jià)值.

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：掌握用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值小于1的數(shù)的方法.

難點(diǎn)：學(xué)會(huì)正整數(shù)指數(shù)與負(fù)整數(shù)指數(shù)用于科學(xué)記數(shù)法的區(qū)別.

三、教學(xué)過(guò)程

復(fù)習(xí)

1.用科學(xué)記數(shù)法表示下列各數(shù)：

（1）光速約為300000000米/秒；

（2）太陽(yáng)半徑約為696000千米；

（3）目前世界人口約為7600000000.

2.如何用科學(xué)記數(shù)法表示一個(gè)數(shù)？

像上面這樣，把一個(gè)大于10的數(shù)表示成“X10”的形式（其中10,〃是正整數(shù)），

使用的是科學(xué)記數(shù)法.

3.用科學(xué)記數(shù)法表示下列各數(shù)：

300000=.；-5230000=；12600=.

預(yù)備知識(shí)

4-"='（"六0,"是正整數(shù)）

an

10°=____,10"=____,10-2=,10-3=,10-4=

一般地，10-"=’-=.（〃是正整數(shù)）

10w

因此，0.000-01=___.（〃等于第一個(gè)非0數(shù)前面所有0的個(gè)數(shù)）

―芯0’

嘗試：我們已經(jīng)知道一些較大的數(shù)適合用科學(xué)記數(shù)法表示，例如：65300000=6.53X107.你

能利用10的負(fù)整數(shù)指數(shù)累，將以下較小的數(shù)表示成類(lèi)似形式嗎？

0.01=_____；0.000001=；

0.0000257=2.57X___=；

0.000000125=1.25X=.

小于1的正數(shù)可以用科學(xué)記數(shù)法表示為aX10-"的形式，其中l(wèi)Wa<10,"是正整數(shù).

這種形式更便于比較數(shù)的大小，例如2.57X10-5顯然大于2.57X10-8,前者是后者的1()3倍.

類(lèi)似的：-0.0000000135=-!.35X10'8.

學(xué)以致用

用科學(xué)記數(shù)法表示下列各數(shù)：

(1)0.00016；

(2)-0.00000562；

(3)0.0000000102；

(4)某種細(xì)胞的直徑約為百萬(wàn)分之一米；

(5)某種新型高速計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)器完成一次存儲(chǔ)時(shí)間大約為十億分之一秒.一

思考

對(duì)于一個(gè)小于1的正小數(shù)，如果小數(shù)點(diǎn)后至第一個(gè)非0數(shù)字前有8個(gè)0,用科學(xué)記數(shù)法

表示這個(gè)數(shù)時(shí)，10的指數(shù)是如果有相個(gè)0時(shí)，10的指數(shù)是一.

例10納米(nm)是非常小的長(zhǎng)度單位，lnm=10-9m.把inn?的物休放到乒乓球上，就如同把

乒乓球放到地球上.Imn?的空間可以放多少個(gè)Inn?的物休(物體之間的間隙忽略不計(jì))?

解：lmm=l(y3m,lnm=1