人教版八年級數(shù)學上冊第15章《分式》全部教案（共12課時）

15.1.1《從分數(shù)到分式》教案

一、教學目標

（一）知識與技能：1.了解分式的概念，能判斷一個代數(shù)式是否為分式，會求分式的值；2.理

解當分母不為零時分式才有意義，在分式有意義的條件下，會求分式的分母中所含字母的取

值范圍，會確定分式的值為零的條件.

（二）過程與方法：經(jīng)歷與分數(shù)類比學習分式的過程，養(yǎng)成縝密的思維習慣，形成類比思想,

體驗數(shù)學的價值.

（三）情感態(tài)度與價值觀：通過類比思考，揭示分式有意義的條件，在實際操練中掌握分式有

意義的條件，體驗解題成功帶來的愉悅感.

二、教學重點、難點

重點：了解分式的概念，確定分式有意義的條件.

難點：確定分式有意義的條件，分式的值為零的條件.

三、教學過程

回顧與思考

1.下列兩個整數(shù)相除如何表示成分數(shù)的形式：

3+4=10+3=12+11=-7+2=

2.在代數(shù)式中，整式的除法是否也能類似地表示？試用類似分數(shù)的形式表示下列整式的除

法：

（1）90+x可以用式子（）來表示；60+（廠6）可以用式子（）來表示.

（2）n公頃麥田共收小麥m噸，平均每公頃產(chǎn)量可以用式子（）噸來表示.

章前引言

一艘輪船在靜水中的最大航速為30km/h,它以最大船速沿江順流航行90km所用時間,

與以最大航速逆流航行60km所用的時間相等，江水的流速是多少？

如果設江水的流速為vkm/h,則輪船順流航行90km所用時間為h,逆流航

行60km所用時間為h,由方程可以解出v的值.

思考

填空：

（1）長方形的面積為10cn?,長為7cm,則寬為—cm：長方形的面積為S,長為m寬

應為.

(2)把體積為200cm3的水倒入底面積為33cm2的圓柱形容器中，則水面高度為,

把體積為V的水倒入底面積為S的圓柱形容器中，則水面高度為.

分式

十二SVm906090旦?，有什么共同點？它們與分數(shù)有什么

可于——，一，—,—，-----，------

aSnxx-6030+v30-v

相同點和不同點？

可以發(fā)現(xiàn)，這些式子與分數(shù)一樣都是4(即A+B)的形式.分數(shù)的分子A與分母B都

B

是整數(shù)，而這些式子中的A,B都是整式，并且B中都含有字母.

一般地，如果A,B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子鳥叫做分式.分

B

式4中，A叫做分子，B叫做分母.

B

(1)分式是不同于整式的另一類式子.

(2)分母中含有字母是分式的一大特點.

(3)分式比分數(shù)更具有一般性.例如，分數(shù)2僅表示2+3的商，而分式土既可以表示2+3,

3y

又可以表示(-5)+2,8+(-9)等.

下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？

m{n+p)，一孫+/24

5x-7,3X2-1,―—―，，-5,-一,

2。+172x-\75b+c

JJJj

整式整式分式整式整式分式整式分式

整式與分式的區(qū)別：整式的分母中不含字母，而分式的分母中含有字母.

有理式

整式和分式統(tǒng)稱為有理式.有理式

［分式

思考

我們知道，要使分數(shù)有意義，分數(shù)中的分母不能為0.要使分式有意義，分式中的分母

應滿足什么條件？

分式的分母表示除數(shù)，由于除數(shù)不能為0,所以分式的分母不能為0,即當BW0時，

分式4才有意義.

B

例1下列分式中的字母滿足什么條件時分式有意義？

(1)—(2)上(3)—(4)山

3xx-\5-3bx-y

解：(1)要使分式2有意義，則分母3xW0,即xWO；

3x

⑵要使分式上有意義，則分母x-IWO,即xWl：

x-\

⑶要使分式」一有意義，則分母5-3匕￥0,即8W』：

5-3b3

(4)要使分式已有意義，則分母尸了*0,即x#y.

x-y

如無特別聲明，本章出現(xiàn)的分式都有意義.

練習

1.列式表示下列各量：

(1)某村有〃個人，耕地40hm2,人均耕地面積為hm2.

(2)4ABC的面積為S,BC邊長為a,則高AD為____.

(3)一輛汽車人h行駛akm,則它的平均車速為一km/h.一列火車行駛akm比這輛汽

車少用1h,則它的平均車速為km/h.

2.下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？兩類式子的區(qū)別是什么？

1X42a-5Xm-nx2+2x+lc

x33b3+5'3x2-y2，m+nx~—2,x4-13（?！??）

JJjJjJJ

分式整式分式整式分式分式分式分式

3.下列分式中的字母滿足什么條件時分式有意義？

(1)-(2)四(3)上一(4)—(3)如W(4)-2—

ax-\3雨+2x-y3a-bx-1

解：(1)當分母nWO時，分式2有意義；

a

⑵當分母x-IWO,即xWl時，分式把1有意義；

x-i

(3)當分母3/M+2W0,即機W-時，分式一也L有意義；

3"7+2

(4)當分母方y(tǒng)WO,即xWy時，分式有意義；

x-y

(5)當分母3a"W0,即人W3a時，分式網(wǎng)業(yè)有意義；

3a-b

(6)當分母f-IWO,即xW±l時，分式--有意義.

x2-l

課堂小結(jié)

1.本節(jié)課你有哪些收獲？2.還有沒解決的問題嗎？

四、教學反思

本節(jié)采取的教學方法是引導學生獨立思考、小組合作，完成對分式概念及意義的自主探

索；通過“課后練習應用拓展”這一環(huán)節(jié)發(fā)展了學生思維，鞏固了課堂知識，增強了學生實

踐應用能力.提出問題讓學生解決，問題由易到難，層層深入，既復習了舊知識又在類比過

程中獲得了解決新知識的途徑.在這一環(huán)節(jié)提問應注意循序性，先易后難、由簡到繁、層層

遞進，臺階式的提問使問題解決水到渠成.

15.1.2《分式的基本性質(zhì)》教案

一、教學目標

（一）知識與技能：1.了解分式的基本性質(zhì)，體會類比的思想方法；2.掌握分式的約分，了解

最簡分式的概念.

（二）過程與方法：經(jīng)歷對分式基本性質(zhì)及符號法則的探究過程，通過分式的恒等變形提高學

生的運算能力，滲透類比轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法.

（三）情感態(tài)度與價值觀：在探究中獲得一些探索性質(zhì)的初步經(jīng)驗，感受成功的快樂，體驗解

決數(shù)學問題的過程，有克服困難的勇氣，具備學好數(shù)學的信心.

二、教學重點、難點

重點：使學生理解并掌握分式的基本性質(zhì)，這是學好本章的關(guān)鍵.

難點：靈活運用分式的基本性質(zhì)和變號法則進行分式的恒等變形.

三、教學過程

復習提問

1.下列各式中，屬于分式的是（）

Ax+12?1a

A.----DB.----C.—x2+yDn.—

2x+122

2.當x一時，分式5.有意義.

x—2

3.當x―時，分式也的值為零.

x-2

溫故而知新

（1）』=?!?的依據(jù)是什么？

62

分數(shù)的基本性質(zhì)：

一個分數(shù)的分子、分母乘（或除以）同一個不為0的數(shù)，分數(shù)的值不變.

（2）由分數(shù)的基本性質(zhì)可知，如果數(shù)cWO,那么2=至，生=a.

33c5c5

一般地，對于任意一個分數(shù)4，有@="，@=±i￡（cW0）,其中a,b,c是數(shù).

bbb?cbb+c

思考

類比分數(shù)的基本性質(zhì)，你能猜想分式有什么性質(zhì)嗎？

分式的基本性質(zhì)：

分式的分子與分母乘（或除以）同一個不等于0的整式，分式的值不變.

4=4二C,4=生￡（（；彳0）其中人，B,c是整式.

BB?CBB+C

例2填空:

x3()3x2+3xyx+y

⑴/1X—=---------，----------%—=------(2)==-~~-(^^0).

孫y6x()aha~ha~a~b

看分母如何變化，想分子如何變化.看分子如何變化，想分母如何變化.

解(])x3_%34-x_x23x2+3xy_(3f+3孫)+(3%)_x+y

xyxy-^-xy6x26x2+(3x)2x

Ia2a-bQa-b)?b2ah-b~

(2)—=----=---，-=--------------=-----m----

ahab?aa~baa~*ba'b

思考

聯(lián)想分數(shù)的約分，由例2你能想出如何對分式進行約分嗎？

與分數(shù)的約分類似，在例2（1）中，我們利用分式的基本性質(zhì)，約去3—十?群的分子和

6廠

分母的公因式3x,不改變分式的值，把+產(chǎn)V化為山.像這樣，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，

6x22X

把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分.經(jīng)過約分后的分式蟲，其分

2x

子與分母沒有公因式.像這樣分子與分母沒有公因式的分式，叫做最簡分式.

分式的約分，一般要約去分子和分母所有的公因式，使得結(jié)果成為最簡分式或者整式.

例3約分：

（I）-25a2bc3Q）_—96x2-12xy+6y2

15ab2cx2+6x+93x-3y

分析：為約分，要先找出分子和分母的公因式.

解（］）-25a2be3_5abc?5ac2_5ac2

I5ah2c5abe?3b3b

%2—9（x+3）（九一3）x—3

\2,）------------------------------=------

x2+6x+9（x+3）2x+3

（如果分子或分母是多項式，先分解因式對約分有什么作用？）

⑶6』-12母+6y2=^^

3x-3y3（x-y）

思考

聯(lián)想分數(shù)的通分，由例2你能想出如何對分式進行通分嗎？

與分數(shù)的通分類似，在例2（2）中，我們利用分式的基本性質(zhì)，將分子和分母同乘適當

的整式，不改變分式的值，把,和絲辿化成分母相同的分式.像這樣，根據(jù)分式的基本

aba

性質(zhì)，把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.

例4通分：

(1)3與E(2)二與三

2abctb"cx-5x+5

分析：為通分，要先確定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次塞的積作公分

母，它叫做最簡公分母.

解：(1)最簡公分母是.

3_3-bc_3>bca-b_(a-b)?2a_2a2-2ab

2a2b2a2b?be2a2b2c'ab2cab2c?2a2a2b2c

(2)最簡公分母是.

2x_2x(x+5)_2x2+1Ox3x_3x(x-5)_3x2-15x

x-5(x-5)(x+5)x2-25x+5(x+5)(x-5)x2-25

思考

分數(shù)和分式在約分和通分的做法上有什么共同點？這些做法的根據(jù)是什么？

它們的共同點:

1.分子和分母同乘(或除以)的都是同一個數(shù)或整式;

2.并且同乘(或除以)不能是0.

根據(jù):

分數(shù)的通分和約分根據(jù)的是分數(shù)的基本性質(zhì):

分式的通分和約分根據(jù)的是分式的基本性質(zhì).

練習

1.約分：

22

2bc⑵(x+y)y⑶x?+初

(1)⑷…2

acxy2(x+y)2

X

解:(1)原式=竺(2)原式=且(3)原式=亞型=

axy(x+y)x+y

原式=/一丁=(x+y)(x-y)=x+y

(4)

’(x-?x-y

2.通分：

王與2(2)至與竺(3)⑷2孫與x

(1)與y

abbebd4/ra(x+2)b(x+2)0+y)2x2-y2

解：⑴最簡公分母是He.二=旦，2=旦

ababcbeabc

⑵取簡公分母是皿?加市?4廠*’4從=畫屋

(4)最簡公公母臬〃人(丫+9)X.

耳日」Zx刀ClU\X~^).一，y

a{x+2)ah(x+2)b(x+2)ah(x+2)

(4)最簡公分母是(x+y)2(尸y).

2xy_2xy(x-y)_2x2y-2xy2x_x(x+y)_x1+xy

(x+y)2(x+y)2(x-y)(x+y)2(x-y)'x2-/(x+y)2(x-y)(x+y)2(x-^)-

課堂小結(jié)

1.本節(jié)課你有哪些收獲？2.還有沒解決的問題嗎？

四、教學反思

本節(jié)課的流程比較順暢，先探究分式的基本性質(zhì)，然后順勢探究分式變號法則.在每個

活動中，都設計了具有啟發(fā)性的問題，對各個知識點進行分析、歸納總結(jié)、例題示范、方法

指導和變式練習，一步一步的來完成既定目標，整個學習過程輕松、愉快、和諧、高效.

15.2.1.1《分式的乘除》教案

一、教學目標

（一）知識與技能：1.會通過類比的方法來理解和掌握分式的乘除法法則；2.熟練運用分式乘

除法法則，將分式乘除法全部化歸為分式乘法進行計算.

（二）過程與方法：經(jīng)歷探索分式的乘除法運算法則，通過類比分數(shù)的乘除法法則，提高聯(lián)想

能力和推理能力.

（三）情感態(tài)度與價值觀：通過化除為乘，體會化歸的思想方法，嘗試在數(shù)學活動中獲得成功

的喜悅，樹立自信心.

二、教學重點、難點

重點：分式的乘除法法則的運用.

難點：進行分式的乘除運算.

三、教學過程

兩個問題

問題1一個水平放置的長方體容器，其容積為V,底面的長為m寬為6,當容器內(nèi)的水占

容積的％時，水面的高度為多少？

n

長方體容器的高為：—

ab

水面的高度為：—（分式乘法）

abn

問題2大拖拉機m天耕地ahn?,小拖拉機n天耕地bhm2,3大拖拉機的工作效率是小

拖拉機的工作效率的多少倍?

大拖拉機的工作效率是—hn?/天，小拖拉機的工作效率是—hn?/天，大拖拉機的工

作效率是小拖拉機的工作效率的（0+2）倍.（分式除法）

mn

根據(jù)分數(shù)的乘除法的法則計算：

24_2x4_82^4_252x55

3X5-3^5-153^5~3X4-3^4-6

【分數(shù)的乘除法法則】

兩個分數(shù)相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母.

兩個分數(shù)相除，把除式的分子分母顛倒位置后，再與被除式相乘.

想一想

acac

—x——o?f—；—=.o.

bdbd

【分式的乘除法法則】

乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母.

除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘.

-a?ca?cac=a—?~d~~_a*d.

bdb^dbdbcb，c

例1計算：

(i)生?名(2)”+衛(wèi)i

3y2x32c~4cd

解：⑴士?々=*3

3y2x36x3y3x~

小aby—5a2b2cib7,4cd4ab3cd2bd

2c2-4cd-2c2_5a2b2-\Oa2b2c2-5ac

運算結(jié)果應化為最簡分式.

例2計算：

//-4。+4a-\11

⑴-------——⑵-----7--9----

。2—2。+1。2-449-m"m~-Im

2

Q2-4Q+4.a-\2y.a-\_(a-2)(a-\)_a-2

cr—2n+1〃“一4(a—1)~(〃-2)(Q+2)(a—1)?3—2)(a+2)(a—l)(a+2)

m

⑵

49-nrnr-7m擊…7吁瑞高"7+7

例3如圖，“豐收1號”小麥的試驗田是邊長為am(“>1)的正方形去掉一個邊長為1m的

正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號，'小麥的試驗田是

邊長為(“T)m的正方形，兩塊試驗田的小麥都收獲了500

kg.

(1)哪種小麥的單位面積產(chǎn)量高？

(2)高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的多少倍？

解：(1)“豐收1號”小麥的試驗田面積是Q2-l)m2,單位面積產(chǎn)量是

500

號”小麥的試驗田面積是(a-1)2m2,單位面積產(chǎn)量是kg/m2.

(a-1)2

'：a>\

：.(a-1)2>0,a2-l>0

由上圖可得(a-l)2<a2-l

....500<^00^)即豐收2號小麥的單位面積產(chǎn)量高.

a2-l(“-I)?

(Va>1,/.(6Z-1)2-(a2-1)=((r-2a+1)-(a2-1)=-2(t?-1)<0,即<(a2-1))

Arj/c、500500500u~—1(a+l)(a—1)a+1

3-1)2a2-l(a-1)2500(?-1)2a-1

a+\

所以，“豐收2號”小麥的單位面積產(chǎn)量是“豐收1號”小麥的單位面積產(chǎn)量的倍.

一

練習

1.寫出本節(jié)中問題1和問題2的計算結(jié)果.

勒門日否［VmmV門反而cabanan

解：問題1：一?—=---，問題2：—+—=—?一=——

abnabntnnmbmb

2.計算：

⑴網(wǎng).譬(2)四十8卷(3)(-3孫)+支(4)立2.1

4b9a25a3xx-yx+y

解：(1)原式=9(2)原式=2?'-=上

3a5a10ar

⑶原式=(-3葉)?衛(wèi)7=-"⑷原式=T

'2y2y

3.計算:

/八3a-3h25a2b3小4y2-x2x-2y

(1)—;~~-r(2)—5-^------7+--~"—

\Oabcr-b~x2+2xy+y2x2+2xy

解：(D原式=—75"7'(4一初=15。一..

\Oab(a+b)(a—b)2a+2b

4y2-x22x2+2xy>(2y+x)(2y-x)2x(x+y)2x(2y+x)4xy+2x2

⑵原式=可)-----z-.---------=------芻---?-------=----------=----------

x+2xy+yx-2y(x+y)~x-2yx+yx+y

課堂小結(jié)

1.本節(jié)課你有哪些收獲？2.還有沒解決的問題嗎？

四、教學反思

本節(jié)是從分數(shù)的乘除法則的角度引導學生通過觀察、探究、歸納總結(jié)出分式的乘除法則.

這種溫故而知新的做法不僅有利于學生接受新知識，而且能體現(xiàn)由數(shù)到式的發(fā)展過程.在

學生得出分式的乘除法則時，要求他們分別用文字和式子兩種形式進行表述，這樣不僅加深

了學生對法則的理解，而且鍛煉了他們的數(shù)學表達能力.為了進一步加深學生對基本法則

的理解和運用，又由淺到深設計了一些練習題，這樣學生就會把所學的知識融會貫通.

15.2.1.2《分式的乘方》教案

一、教學目標

（一）知識與技能：理解分式乘方的運算法則，熟練地進行分式乘方的運算.

（二）過程與方法：通過類比的思想來學習分式乘方的運算.

（三）情感態(tài)度與價值觀：在合作探究的過程中，培養(yǎng)學生的類比，歸納能力.

二、教學重點、難點

重點：熟練地進行分式乘方的運算.

難點：熟練地進行分式乘、除、乘方的混合運算.

三、教學過程

復習鞏固

1.下面的計算對嗎？如果不對，應該怎樣改正？

⑴匚?學=迎X⑵竺+e=2X

解：原式=-3解：原式=生?蘭=竺

x3aa36r

2.計算：(取一工2)+：^_

孫

解：原式二My-x).-=f2y

x-y

判斷下列解答的正誤：計算：/+6?1

b

解：原式=〃2+1=n2,此解法是否正確？錯誤

錯因分析：上述解法是先算乘法后算除法，屬于運算順序錯誤，事實上，對不含括號乘除混

合運算應該從左到右的順序計算.

正確解答是：解：原式=4?1.1=4

bbb1

例4計算

2x3x

5X-3^25X2-9,5X+3

解2x,3.x_2x.(5x+3)(5%-3).x_lx1

5x-325x2-95x+35x-335x+33

乘除混合運算可以統(tǒng)一為乘法運算.

回顧與思考

。"表示的意義是什么？其中。表示什么？〃表示什么？

a"是指〃個〃相乘，讀作a的八次方或(a的〃次惠)；

a表示底數(shù)，”表示指數(shù).

am?a"=(a"')n=(ab)n=

計算：(-3)2=—(a-23)2=

〃中的a可以是數(shù)，也可以是整式，那a可不可以是一個分式呢？即兩個整式的商的〃次

方？

思考

根據(jù)乘方的意義和分式乘法的法則，可得:

令器三即圖4

一般地，當，？是正整數(shù)時，

)bb

這就是說，分式的乘方要把分子、分母分別乘方.

例5計算：

(r-lcrb)14fl4/>2

解：⑴

(3c)2~9c2

/b丫2〃/°丫九32a.c1a%'、c1_a3b3

-cd3)，了,［五J=—c3d9一下,彳=—c3d§?五?#=一奇

式與數(shù)有相同的混合運算順序，先乘方，再乘除.

練習

1.計算：

⑴2Mn.5p2q5mnp⑵16-tz267-4^a-2

2

3Pq24/加3qa+8a+162a+8a+2

解：⑴原式=吟?坐?烏一

3Pq4/TWT5mnp2n"

⑵原式二(4+a)(4-a).2(a+4).a-2__-2(a-2)_4-2〃

(a+4)~a—4a+2a+2a+2

2.計算：

解：⑴原式=除8x12/

27z3

4a2"6a4-27c34a渺6n4-27?18//

(2)原式=426

kFbhcd*-p-*b

課堂小結(jié)

1.本節(jié)課你有哪些收獲？2.還有沒解決的問題嗎？

四、教學反思

在分式乘方的教學中，通過回憶乘方的定義，讓學生利用乘方的定義和分式的乘除法則

進行一些具體的計算，進而歸納出分式的乘方法則，再通過一組練習加深對乘方法則的理解

和應用.本節(jié)課知識點較多，對運算法則的推理過程占了相當多的時間，因此，對基本法則

的理解和熟練程度還有待在后續(xù)的練習中予以加強.

15.2.2.1《分式的加減》教案

一、教學目標

（一）知識與技能：1.理解掌握異分母分式加減法法則，類比分數(shù)加減法計算；2.能正確熟練

地進行同分母分式加減和異分母分式的加減運算.

（二）過程與方法：在課堂活動中培養(yǎng)學生樂于探究、合作學習的習慣，滲透類比、化歸數(shù)學

思想方法.

(三)情感態(tài)度與價值觀：在合作探究的過程中，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，重視在學習過程

中對學生的數(shù)學能力培養(yǎng).

二、教學重點、難點

重點：運用分式的加減法則進行運算.

難點：異分母分式加減的運算(異分母轉(zhuǎn)化為同分母).

三、教學過程

從分數(shù)所想到的……

-1-1--2=-5----2--

55—77—

你認為3=_以士—

CCCC

【同分母分數(shù)加減法的法則】同分母分數(shù)相加減，分母不變，把分子相加減.

同分母加減

【同分母分式加減法的法則】同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減.

計算下列各題：

5x+3y2x⑷x+3>_x+2y+2x-3y

x2-y2x2-yx-yx-yx-y

xxxx

小a2a3aa+2a-3a0八

⑵------1-------------=------------=-----=U

b+1b+lb+16+1b+1

小5x+3y2x5x+3y-2x3x+3y3(x+y)3

(3)-972~一7-—0T~—7-

x-yx~-yx~-yx-y(x+y)(x-y)x-y

⑷x+3y_x+2y+2x-3y=(x+3y)-(x+2y)+(2x-3y)=2x-2y=2(x-y)=2

x-yx-yx-yx-yx-yx-y

(1)注意分數(shù)線有括號的作用，分子相加減時，要注意添括號.

(2)把分子相加減后，如果所得結(jié)果不是最簡分式，要約分.

異分母轉(zhuǎn)化

異分母的分式黔一同分母的分式

a4a轉(zhuǎn)化

小明認為，只要把異分母的分式化成同分母的分式，異分母分式的加減問題就變成了同

分母的加減問題.小亮同意小明的這種看法，但他倆的具體做法不同.

311二3?4a]a3?1=3x4?1

a4〃一。，4〃4a*aa4Ga*44a

_12aa_13g_1312,113

4a24/4〃24a二赤+而二而

O

小明F小亮

你對這兩種做法有何評論？

異分母加減

【異分母分式加減法的法則】異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑偌訙p.

生嗯士徐曙異分母的分式算一同分母的分式

異分母分式通分時，通常取最簡公分母作為它們的共同分母.

計算下列各題:

11

⑴------H--------⑵高

2P+342p-3q

解:-------F------

2P+3,2p-3q

2p-3q2〃+3g_2〃-34+2〃+3g_4〃

Qp+3q)Qp-3q)+Qp+3q)Qp-3q)=Qp+3q)Qp-3q)=4p2-9^2

4P

結(jié)果也可以寫成

(2p+3g)(2p-3q)

⑵---a-2

。+2

4m+2)4_(a+2-4一，+4Q+4)/+4。

-----(6/4-2)=

4+2a+21。+2々+2。+2a+2

對于式子中出現(xiàn)的整式，可以把它看成分母是“1”的分式.

綜合運用

問題3甲工程隊完成一項工程需幾天，乙工程隊要比甲隊多用3天才能完成這項工程，

兩隊共同工作一天完成這項工程的幾分之幾？

解：甲工程隊一天完成這項工程的」，乙工程隊一天完成這項工程的」一，兩隊共同工作

n〃+3

一天完成這項工程的工+—L=」"+—^―=且二.

n拉+3n{n4-3)n(n+3)n(n+3)

問題42009年、2010年、2011年某地的森林面積(單位:kn?)分別是S”S2,S3,2011年

與2010年相比，森林面積增長率提高了多少？

解：2011年的森林面積增長率邑二邑，2010年的森林面積增長率是區(qū)二工，2011年與2010

S,S,

年相比，森林面積增長率提高了

邑

練習

(1)-4-+-^-

2c2d3c)2m-n(2m-n)2a2-b2a+h

2c3d+2c

解：（1）原式二-----------1----------------------

6c2d26c2d26c2d

12

（2）原式=

2m-n2m-n

a-bb

（3）原式二

a2-b2a2-b2a2-h2

/八w*a~i、era~

(4)原式=-----z(a+1)=-----------=----

a-\a-\a-\a-\

課堂小結(jié)

1.本節(jié)課你有哪些收獲？2.還有沒解決的問題嗎？

四、教學反思

從分數(shù)加減法引入，類比得出分式的加減法，最關(guān)鍵的是法則的探究，重點是法則的運

用，易錯點是分母互為相反數(shù)，要化成同分母分式，在這個過程中要注意變號.學生在教師

的指導下，先獨立進行自學，自己解決不了的問題在小組內(nèi)討論交流進行解決.

15.2.2.2《分式的混合運算》教案

一、教學目標

（一）知識與技能：能準確、熟綜地進行分式的加減、乖除運算.

（二）過程與方法：通過對分式混合運算的學習，提高學生的計算能力和分式的應用能力.

（三）情感態(tài)度與價值觀：在分式運算過程中培養(yǎng)學生具有一定代數(shù)化歸的能力，培養(yǎng)學生樂

于探究、合作交流的習慣，進一步培養(yǎng)學生“用數(shù)學的意識”.

二、教學重點、難點

重點：掌握分式加減乘除法的法則，并會運用法則進行分式加減乘除法的計算.

難點：能夠運用分式加減乘除法則來解決混合運算的實際問題.

三、教學過程

復習鞏固

1計.算:言+金的結(jié)果是-

10%5

2.計算:-----+-----的結(jié)果是

2x—11—2x

任二漢+立片的結(jié)果是_______

3計.算:

2xy2xy

4?分式J的最簡公分母是（）

A.xB.x3C.12xD.12X3

計算：⑴官』

解：⑴原式二嵩hr3公r胃尸=三

2aa+2_2。一(。+2)_a-2_1

（2）原式二

3—2)(a+2)(a-2)(a+2)(々-2)(a+2)(a—2)(〃+2)a+2

例7計算：俘

\b)a-bb4

解：原式=叱._!__0.4=」^__色=_4a5-。)

b2a-bbbb2(a-b)b2b2(a-b)b2(a-b)

_4a2-4a2+4ab_4ab_4a

kr{a-b)b2(a-b)ab-b1

式與數(shù)有相同的混合運算順序；先乘方，再乘除，然后加減.

例8計算：(1)(m+2+-^—]?包二&(2)(4%——二」一]十±3

I2-mJ3-m廠―4x+4jx

解：(i)原式=(，，?+2)(2-，〃)+5.2，”4=”史?2(〃?-2)

2—m3-m2—m3—m

(3—m)(3+機)-2(2-〃z)

=------------?---------=-2(m+3)

2-7773-m

(2)j亨式—x+2x-11x_(x+2)(x-2)-(x-l)xx

'*x(x-2)(x-2)2Jx-4x(x-2)2x-4

練習

解：⑴原式=￡?上-=?二=二-三=空一”=心￡

4y2lxy12y2Sy2y48/8/8y4

(2)原式-x+1.4x~(%+1)—(x-1)4x24x2—4x—2

1x(x+1)2(x+l)(x-l)x+1(x+l)(x-l)x2+1

課堂小結(jié)

1.本節(jié)課你有哪些收獲？2.還有沒解決的問題嗎？

四、教學反思

在學習這部分內(nèi)容時，可以根據(jù)學生的具體情況，適當增加例題和習題，讓學生熟練學

握分式的運算法則并提高運算能力.但與整式、分數(shù)的運算相比，分式的運算步驟多，符號

變化復雜，所以在增加例題和習題時，要注意控制難度，特別是不要在分子、分母的因式分

解上增加難度.關(guān)鍵是讓學生通過基本的練習，弄清運算依據(jù)，做到步步有據(jù)，降低計算的

錯誤率.

15.2.3.1《整數(shù)指數(shù)塞》教案

一、教學目標

(一)知識與技能：1.理解和掌握負整數(shù)指數(shù)幕的意義；2.能熟練運用整數(shù)指數(shù)幕運算性質(zhì)進

行運算.

(二)過程與方法：I.通過觀察、思考，推理、總結(jié)得出負整數(shù)指數(shù)幕的意義；2.體驗利用負

整數(shù)指數(shù)累進行乘除法的轉(zhuǎn)化.

(三)情感態(tài)度與價值觀：啟發(fā)學生通過獨立思考、小組交流、自主發(fā)現(xiàn)問題來分析和解決問

題，從而提高學生學習主動性、積極性和學習數(shù)學的興趣，鼓勵學生在小組交流中敢于，積

極的發(fā)表自己的看法，積極的參與到與同學的討論和學習中去.

二、教學重點、難點

重點：理解負整數(shù)指數(shù)幕的意義，掌握運算性質(zhì).

難點：理解負整數(shù)指數(shù)幕的產(chǎn)生過程和意義.

三、教學過程

情境導入

從前，有一個“聰明的乞丐”，有一次他討了一塊大面包.他想，如果我第一天吃這塊

面包的一半，第二天再吃剩下的一半,……依次每天都吃前一天剩余面包的一半，這樣下去，

我就永遠不用再去討飯了.你能知道第十天，他將吃到多少面包嗎？他的想法對嗎？

算一算：

第1天：第2天：即工；第3天：4,即L…

2224238

第10天：』；即」一；第30天：4-;即——-——；

2,°10242301073741824

復習鞏固

當n是正整數(shù)時，an=a?a....a

正整數(shù)指數(shù)幕有以下運算性質(zhì)：

(1)cf1,an=am+n(/w,〃是正整數(shù));

(2)是正整數(shù))；

(3)(ab)n=(fbn(〃是正整數(shù));

(4)am^an=a,n-n(a^O,m,〃是正整數(shù)且相＞應；

(5)(￡)“=￡(〃是正整數(shù)).

此外，當時，?°=1(0指數(shù)幕的運算).

思考

am中指數(shù)m可以是負整數(shù)嗎？如果可以，那么負整數(shù)指數(shù)幕am表示什么？

做一做，你發(fā)現(xiàn)了什么？。3+?5=?

1

TIm工o)^a21

a

是正整數(shù)時，武=去（40）.這就是說，a

一般地，當n（aWO）是a"的倒數(shù).

-_1

例如：a'=-5=

a"71

引入負整數(shù)指數(shù)'幕后，指數(shù)的取值范圍就擴大到全體整數(shù).

你現(xiàn)在能說出當m分別為正整數(shù)、0、負整數(shù)時，am各表示什么意思嗎？

am（m是正整數(shù)）

a1"="1（〃?=0,且awO）

（“是負整數(shù)，且aw0）

.a

思考

引入負整數(shù)指數(shù)和0指數(shù)后，a"1?a"=產(chǎn)"（m,"是正整數(shù)）這條性質(zhì)能否推廣到〃?,

n任意整數(shù)的情形？

/?/=金二=/=/句，即a，.a-5=/MT)

aa

d即不―

a'?a~5=1?J=二=a-—a0+(-5)即/.4-5=4?！督?/p>

歸納

am-a"=am+"這條性質(zhì)對于相，”是任意整數(shù)的情形仍然適用.

整數(shù)指數(shù)基有以下運算性質(zhì):

（1）{tn,"是整數(shù)）；

（2）（""）"="""（〃?，〃是整數(shù)）；

⑶（加『如（〃是整數(shù)）；

（4）（"W0,相，〃是整數(shù)）；

⑸（〃是整數(shù)）.

\h）h

（6）當a#0時，a°=l（0指數(shù)基的運算）.

例9計算:

⑴a'2-^-a5(2)(勺)

(3)(.a'b2)3(4)a2b2?(a2/?-2)-3

(1)a2^-a5=a'2'5=a1=-^-

解:

a

⑵

(/匕。-匕

⑶2)3=36=4

a

(4)a'2b2,(a2b'2)'3-a2b2,a_6/?6=a-8i>8=

ax

當"?，〃為整數(shù)時，<f,^(f=amn,am?an=a",+[-n)=an-",因此a"+a"=d"",即同底數(shù)塞的除

法可轉(zhuǎn)化為同底數(shù)幕的乘法特別地，^=a^b=a-b',所以(')=(。法“)"，

即商的乘方可以轉(zhuǎn)化為積的乘方(。-b-'y.這樣，整數(shù)指數(shù)塞的運算性質(zhì)可以歸結(jié)為：

(1)""?/=*"(/?,〃是整數(shù));(2)(〃7,〃是整數(shù))；(3)(ab)n=a"bn(〃是整

數(shù)).

練習

L計算：

(1)3°=_,3?=_；(2)(-3)°=—,(-3)2=_；(3)卬=—,b2=—(6W0).

2.計算：

⑴x2/3G"y)3(2)(2加c,3)-2((a%)3

解：⑴原式二fy3?爐,3二%-iy?！?/p>

X

⑵原式=(-a%%6)+06M=1=

444b7

課堂小結(jié)

1.本節(jié)課你有哪些收獲？2.還有沒解決的問題嗎？

四、教學反思

整數(shù)指數(shù)累是在學生學習了分式的基本性質(zhì)及乘除法之后的教學,在復習累的有關(guān)運算

性質(zhì)后提出問題“累的這些運算性質(zhì)中指數(shù)都要求是正整數(shù)，如果是負整數(shù)又表示什么意義

呢？”通過提問讓學生尋找規(guī)律，猜想出零指數(shù)幕和負整數(shù)基的意義，不但調(diào)動了學生學習

的積極性，而且印象更深，當然也達到了課堂的預期效果.

15.2.3.2《用科學記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)》教案

一、教學目標

（一）知識與技能：理解和掌握絕對值小于1的數(shù)用科學記數(shù)法表示的方法.

（二）過程與方法：經(jīng)歷絕對值小于1的數(shù)用科學記數(shù)法表示的探究過程，體會負整數(shù)指數(shù)幕

的應用.

（三）情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)觀察、遷移、交流的意識，形成良好的學習態(tài)度，感悟數(shù)學的

演繹推理的價值.

二、教學重點、難點

重點：掌握用科學記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)的方法.

難點：學會正整數(shù)指數(shù)與負整數(shù)指數(shù)用于科學記數(shù)法的區(qū)別.

三、教學過程

復習

1.用科學記數(shù)法表示下列各數(shù)：

（1）光速約為300000000米/秒；

（2）太陽半徑約為696000千米；

（3）目前世界人口約為7600000000.

2.如何用科學記數(shù)法表示一個數(shù)？

像上面這樣，把一個大于10的數(shù)表示成“X10”的形式（其中10,〃是正整數(shù)），

使用的是科學記數(shù)法.

3.用科學記數(shù)法表示下列各數(shù)：

300000=.；-5230000=；12600=.

預備知識

4-"='（"六0,"是正整數(shù)）

an

10°=____,10"=____,10-2=,10-3=,10-4=

一般地，10-"=’-=.（〃是正整數(shù)）

10w

因此，0.000-01=___.（〃等于第一個非0數(shù)前面所有0的個數(shù)）

―芯0’

嘗試：我們已經(jīng)知道一些較大的數(shù)適合用科學記數(shù)法表示，例如：65300000=6.53X107.你

能利用10的負整數(shù)指數(shù)累，將以下較小的數(shù)表示成類似形式嗎？

0.01=_____；0.000001=；

0.0000257=2.57X___=；

0.000000125=1.25X=.

小于1的正數(shù)可以用科學記數(shù)法表示為aX10-"的形式，其中l(wèi)Wa<10,"是正整數(shù).

這種形式更便于比較數(shù)的大小，例如2.57X10-5顯然大于2.57X10-8,前者是后者的1()3倍.

類似的：-0.0000000135=-!.35X10'8.

學以致用

用科學記數(shù)法表示下列各數(shù)：

(1)0.00016；

(2)-0.00000562；

(3)0.0000000102；

(4)某種細胞的直徑約為百萬分之一米；

(5)某種新型高速計算機的存儲器完成一次存儲時間大約為十億分之一秒.一

思考

對于一個小于1的正小數(shù)，如果小數(shù)點后至第一個非0數(shù)字前有8個0,用科學記數(shù)法

表示這個數(shù)時，10的指數(shù)是如果有相個0時，10的指數(shù)是一.

例10納米(nm)是非常小的長度單位，lnm=10-9m.把inn?的物休放到乒乓球上，就如同把

乒乓球放到地球上.Imn?的空間可以放多少個Inn?的物休(物體之間的間隙忽略不計)?

解：lmm=l(y3m,lnm=1