2022-2023學年北京市大興區(qū)九年級（上）期中數學試卷【含解析】

第1頁（共1頁）2022-2023學年北京市大興區(qū)九年級（上）期中數學試卷一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1一8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個1．（2分）對稱給人們一種美感，下列圖形屬于中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（2分）拋物線y＝2（x﹣3）2+1的頂點坐標是（）A．（3，1） B．（﹣3，1） C．（2，1） D．（2，3）3．（2分）將拋物線y＝x2向下平移3個單位，則得到的拋物線解析式為（）A．y＝x2+3 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+3）2 D．y＝（x﹣3）24．（2分）用配方法解方程x2+2x＝1，變形后的結果正確的是（）A．（x﹣1）＝2 B．（x﹣1）2＝0 C．（x+1）2＝0 D．（x+1）2＝25．（2分）在方格紙中，選擇標有序號①②③④中的一個小正方形涂黑，與圖中四個涂黑的小正方形組成的圖形是中心對稱圖形，選擇的小正方形的序號是（）A．① B．② C．③ D．④6．（2分）已知點A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在二次函數y＝（x﹣1）2的圖象上，則y1，y2，y3的大小關系正確的是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y17．（2分）若關于x的一元二次方程（a+1）x2﹣a2﹣a＝0有一個根是x＝﹣1，則a的值為（）A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣1或18．（2分）在圖形的旋轉過程中，下面有四種說法：①對應點到旋轉中心的距離相等；②對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；③旋轉前、后圖形的形狀和大小都不變；④旋轉前、后圖形的位置一定會改變．上述四種說法正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．（2分）方程x2﹣3x＝0的根為．10．（2分）請寫出一個開口向上，且過原點的拋物線表達式．11．（2分）已知點A（a，﹣2）與點B（3，b）關于原點O中心對稱，則a+b＝．12．（2分）若方程xm﹣x+1＝0是關于x的一元二次方程，則m的值為．13．（2分）據國家能源局數據公布顯示，2022年5月份全社會用電量為6716億千瓦時，7月份全社會用電量為8324億千瓦時，若從5月至7月全社會用電量的月平均增長率都相同，求全社會用電量的月平均增長率．設月平均增長率為x，則所列的方程應為．14．（2分）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸及部分圖象如圖所示，則關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩根為．15．（2分）如圖，拋物線y1＝ax2（a≠0）與直線y2＝bx+c（b≠0）的兩個交點坐標分別為A（﹣2，4），B（1，1），則當y1＜y2時，x的取值范圍是．16．（2分）如圖，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，點O是AB的中點，將一塊邊長足夠大的三角板的直角頂點放在點O處，將三角板繞點O旋轉，始終保持三角板直角頂點與點O重合，一條直角邊與AC相交，交點為點D，另一條直角邊與BC相交，交點為點E．則線段CD與CE的長度之和為．三、解答題（本題共68分，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27-28題，每小題5分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17．（5分）解方程：2x2﹣6＝0．18．（5分）解方程：x2+6x+8＝0．19．（5分）如圖，網格中每個小正方形的邊長都是單位1．（1）畫出將△ABC繞點O順時針方向旋轉90°后得到的△A'B′C'；（2）請直接寫出A'，B′，C′三點的坐標．20．（5分）已知二次函數y＝x2﹣2x﹣3．（1）二次函數y＝x2﹣2x﹣3的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側），求A，B兩點的坐標；（2）畫出此函數的圖象．21．（5分）如圖，在△ABC中，∠CAB＝75°，在同一平面內，將△ABC繞點A旋轉到△AB'C′的位置，使得CC'∥AB，求∠BAB'的度數．22．（5分）已知關于x的一元二次方程x2+（3﹣k）x+2﹣k＝0．（1）求證：此方程總有兩個實數根；（2）若此方程恰有一個根大于1，求k的取值范圍．23．（6分）小明在畫一個二次函數的圖象時，列出了下面幾組x與y的對應值．x……﹣2﹣1012……y……﹣6﹣1232……（1）求該二次函數的解析式；（2）該二次函數的圖象與直線y＝m有兩個交點A，B，若A，B兩點間的距離小于4，請直接寫出m的取值范圍．24．（6分）雙手頭上前擲實心球是鍛煉青少年上肢力量和全身協(xié)調性的一個項目，實心球出手后飛行的路線可以看作是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標系，某校一名學生在投擲實心球時，從出手到落地的過程中，實心球的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數關系y＝﹣x2+x+2．（1）求該同學投擲實心球時，實心球在空中飛行時豎直高度的最大值；（2）判斷并說明，該同學此次投擲實心球的水平距離能否超過10米．25．（6分）在正方形ABCD中，AD＝4，點E在邊AB上，且AE＝3，將線段DE繞點D逆時針方向旋轉90°得到線段DF，連接EF．（1）如圖1，若點F恰好落在邊BC的延長線上，判斷△DEF的形狀，并說明理由；（2）若點F落在直線BC上，請直接寫出△DEF的面積.26．（6分）拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）與x軸的交點坐標是（﹣1，0），（3，0）．（1）請直接寫出這條拋物線的對稱軸；（2）已知點A（m，y1），B（m+1，y2）在拋物線上，若y1＜y2，求m的取值范圍．27．（7分）△ABC是等邊三角形，將線段AC繞點A逆時針旋轉α（0°＜α≤60°）得到線段AD，連接BD，交AC于點O，連接CD，過點A作AP⊥CD于點P，交BD于點E，連接CE．（1）如圖1，當α＝60°時，則∠BEC＝°；（2）如圖2，當0°＜α＜60°時，依題意補全圖2．①猜想（1）中結論是否仍然成立，并說明理由；②求證：BE＝AE+CE．28．（7分）在平面直角坐標系xOy中，已知四邊形OABC是平行四邊形，點A（4，0），∠AOC＝60°，點C的縱坐標為，點D是邊BC上一點，連接OD，將線段OD繞點O逆時針旋轉60°得到線段OE．給出如下定義：如果拋物線y＝ax2+bx（a≠0）同時經過點A，E，則稱拋物線y＝ax2+bx（a≠0）為關于點A，E的“伴隨拋物線”．（1）如圖1，當點D與點C重合時，點E的坐標為，此時關于點A，E的“伴隨拋物線”的解析式為；（2）如圖2，當點D在邊BC上運動時，連接CE．①當CE取最小值時，求關于點A，E的“伴隨拋物線”的解析式；②若關于點A，E的“伴隨拋物線”y＝ax2+bx（a≠0）存在，直接寫出a的取值范圍．

2022-2023學年北京市大興區(qū)九年級（上）期中數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1一8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個1．（2分）對稱給人們一種美感，下列圖形屬于中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據中心對稱圖形的概念判斷．把一個圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．【解答】解：選項A、C、D都不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形．選項B能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形．故選：B．【點評】本題考查的是中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與自身重合．2．（2分）拋物線y＝2（x﹣3）2+1的頂點坐標是（）A．（3，1） B．（﹣3，1） C．（2，1） D．（2，3）【分析】根據二次函數的頂點式的特點即可得出答案．【解答】解：由拋物線的頂點式y(tǒng)＝2（x﹣3）2+1可得：該拋物線的頂點坐標為（3，1），故選：A．【點評】本題主要考查拋物線的頂點式，關鍵是要牢記拋物線的頂點式的特點．3．（2分）將拋物線y＝x2向下平移3個單位，則得到的拋物線解析式為（）A．y＝x2+3 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+3）2 D．y＝（x﹣3）2【分析】根據拋物線平移的規(guī)律（左加右減，上加下減）求解．【解答】解：拋物線y＝x2向下平移3個單位，則得到的拋物線解析式為y＝x2﹣3．故選：B．【點評】本題考查了二次函數圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．4．（2分）用配方法解方程x2+2x＝1，變形后的結果正確的是（）A．（x﹣1）＝2 B．（x﹣1）2＝0 C．（x+1）2＝0 D．（x+1）2＝2【分析】方程兩邊加上1，利用完全平方公式化簡得到結果，即可作出判斷．【解答】解：用配方法解方程x2+2x＝1，變形得：x2+2x+1＝2，即（x+1）2＝2．故選：D．【點評】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．5．（2分）在方格紙中，選擇標有序號①②③④中的一個小正方形涂黑，與圖中四個涂黑的小正方形組成的圖形是中心對稱圖形，選擇的小正方形的序號是（）A．① B．② C．③ D．④【分析】根據中心對稱圖形的定義判斷即可．【解答】解：①的位置涂黑，整個圖形是中心對稱圖形．故選：A．【點評】本題考查利用旋轉設計圖案，解題的關鍵是理解中心對稱圖形的定義，屬于中考常考題型．6．（2分）已知點A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在二次函數y＝（x﹣1）2的圖象上，則y1，y2，y3的大小關系正確的是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1【分析】分別計算自變量為2、1、﹣1對應的函數值，然后比較函數值的大小即可．【解答】解：當x＝﹣1時，y1＝（x﹣1）2＝（﹣1﹣1）2＝4；當x＝1時，y2＝（x﹣1）2＝（1﹣1）2＝0；當x＝2時，y3＝（x﹣1）2＝（2﹣1）2＝1，所以y2＜y3＜y1．故選：C．【點評】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征：二次函數圖象上點的坐標滿足其解析式．7．（2分）若關于x的一元二次方程（a+1）x2﹣a2﹣a＝0有一個根是x＝﹣1，則a的值為（）A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣1或1【分析】把x＝﹣1代入方程（a+1）x2﹣a2﹣a＝0中得：（a+1）?（﹣1）2﹣a2﹣a＝0，然后進行計算可得a＝±1，再根據一元二次方程的定義可得a+1≠0，從而可得a≠﹣1，即可解答．【解答】解：把x＝﹣1代入方程（a+1）x2﹣a2﹣a＝0中得：（a+1）?（﹣1）2﹣a2﹣a＝0，a+1﹣a2﹣a＝0，1﹣a2＝0，a2＝1，a＝±1，∵a+1≠0，∴a≠﹣1，∴a＝1，故選：C．【點評】本題考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的解是解題的關鍵．8．（2分）在圖形的旋轉過程中，下面有四種說法：①對應點到旋轉中心的距離相等；②對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；③旋轉前、后圖形的形狀和大小都不變；④旋轉前、后圖形的位置一定會改變．上述四種說法正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據旋轉的性質即可得到結論．【解答】解：①對應點到旋轉中心的距離相等，故本說法符合題意；②對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角，故本說法符合題意；③旋轉前、后圖形的形狀和大小都不變，故本說法符合題意；④旋轉前、后圖形的位置一定會改變，故本說法符合題意；故選：D．【點評】本題考查了旋轉的性質，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵．二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．（2分）方程x2﹣3x＝0的根為x1＝0，x2＝3．【分析】根據所給方程的系數特點，可以對左邊的多項式提取公因式，進行因式分解，然后解得原方程的解．【解答】解：因式分解得，x（x﹣3）＝0，解得，x1＝0，x2＝3．故答案為：x1＝0，x2＝3．【點評】本題考查了解一元二次方程的方法，當方程的左邊能因式分解時，一般情況下是把左邊的式子因式分解，再利用積為0的特點解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一種簡便方法，要會靈活運用．10．（2分）請寫出一個開口向上，且過原點的拋物線表達式y(tǒng)＝x2．【分析】由開口方向可確定二次項系數，由過原點可確定常數項，則可寫出其解析式．【解答】解：∵開口向上，∴二次項系數大于0，∵過原點，∴常數項為0，∴拋物線解析式可以為y＝x2，故答案為：y＝x2【點評】本題主要考查二次函數的性質，掌握二次項系數決定拋物線的開口方向是解題的關鍵．11．（2分）已知點A（a，﹣2）與點B（3，b）關于原點O中心對稱，則a+b＝﹣1．【分析】根據關于原點對稱的點的橫坐標互為相反數，縱坐標互為相反數，可得a、b的值，再代入計算即可．【解答】解：∵點A（a，﹣2）與點B（3，b）關于原點O中心對稱，∴a＝﹣3，b＝2，∴a+b＝﹣3+2＝﹣1．故答案為：﹣1．【點評】本題考查了關于原點對稱的點的坐標，利用關于原點對稱的點的橫坐標互為相反數，縱坐標互為相反數得出a、b的值是解題關鍵．12．（2分）若方程xm﹣x+1＝0是關于x的一元二次方程，則m的值為2．【分析】根據只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程進行分析即可．【解答】解：∵方程xm﹣x+1＝0是關于x的一元二次方程，∴m＝2．故答案為：2．【點評】此題主要考查了一元二次方程的定義，解題的關鍵是掌握判斷一個方程是否是一元二次方程應注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數”；“未知數的最高次數是2”；“二次項的系數不等于0”；“整式方程”．13．（2分）據國家能源局數據公布顯示，2022年5月份全社會用電量為6716億千瓦時，7月份全社會用電量為8324億千瓦時，若從5月至7月全社會用電量的月平均增長率都相同，求全社會用電量的月平均增長率．設月平均增長率為x，則所列的方程應為6716（1+x）2＝8324．【分析】設月平均增長率為x，根據2022年5月份全社會用電量為6716億千瓦，7月份全社會用電量為8324億千瓦進而可得方程．【解答】解：設年平均增長率為x，根據題意得：6716（1+x）2＝8324，故答案為：6716（1+x）2＝8324．【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系．14．（2分）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸及部分圖象如圖所示，則關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩根為x1＝﹣1，x2＝3．【分析】根據拋物線的對稱性即可求解．【解答】解：根據圖象可得：圖象與x軸的一個交點是（3，0），對稱軸是：x＝1，∴（3，0）關于x＝1的對稱點是：（1，0），則拋物線與x軸的交點是：（﹣1，0）和（3，0），∴關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩根為：x1＝﹣1，x2＝3．故答案為：x1＝﹣1，x2＝3．【點評】本題考查了二次函數的性質，理解二次函數與x軸的交點的橫坐標就是對應的方程的解是解題關鍵．15．（2分）如圖，拋物線y1＝ax2（a≠0）與直線y2＝bx+c（b≠0）的兩個交點坐標分別為A（﹣2，4），B（1，1），則當y1＜y2時，x的取值范圍是﹣2＜x＜1．【分析】利用圖象法即可解決問題，方程的解就是兩個函數圖象的交點的橫坐標．【解答】解：由圖象可知，直線y2＝bx+c（b≠0）在拋物線y1＝ax2（a≠0）的上方時，﹣2＜x＜1，∴當y1＜y2時，x的取值范圍是﹣2＜x＜1，故答案為：﹣2＜x＜1．【點評】本題考查拋物線與x軸交點、一次函數的應用、一元二次方程等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會利用圖象法解決實際問題，屬于中考?？碱}型．16．（2分）如圖，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，點O是AB的中點，將一塊邊長足夠大的三角板的直角頂點放在點O處，將三角板繞點O旋轉，始終保持三角板直角頂點與點O重合，一條直角邊與AC相交，交點為點D，另一條直角邊與BC相交，交點為點E．則線段CD與CE的長度之和為2．【分析】連接OC，證明△OCD≌△OBE，根據全等三角形的性質得到CD＝BE，證明結論．【解答】證明：連接OC．∵AC＝BC，AO＝BO，∠ACB＝90°，∴∠ACO＝∠BCO＝∠ACB＝45°，OC⊥AB，∠A＝∠B＝45°，∴OC＝OB，∵∠BOE+∠EOD+∠AOD＝180°，∠EOD＝90°，∴∠BOE+∠AOD＝90°，又∵∠COD+∠AOD＝90°，∴∠BOE＝∠COD，在△OCD和△OBE中，，∴△OCD≌△OBE（SAS），∴CD＝BE，∴CD+CE＝BE+CE＝BC＝2，故答案為：2．【點評】本題考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．三、解答題（本題共68分，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27-28題，每小題5分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17．（5分）解方程：2x2﹣6＝0．【分析】首先移項，把﹣6移到等號右邊，再兩邊同時除以2，然后兩邊開平方即可．【解答】解：移項得：2x2＝6，x2＝3，開平方得：x＝±．【點評】此題主要考查了直接開平方法解一元二次方程，解這類問題要移項，把所含未知數的項移到等號的左邊，把常數項移項等號的右邊，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用數的開方直接求解．18．（5分）解方程：x2+6x+8＝0．【分析】先把方程左邊進行因式分解得到（x+2）（x+4）＝0，然后解一元一次方程即可．【解答】解：∵x2+6x+8＝0，∴（x+2）（x+4）＝0，∴x+2＝0或x+4＝0，∴x1＝﹣2，x2＝﹣4．【點評】本題主要考查了因式分解法解一元二次方程的知識，解答本題的關鍵是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．19．（5分）如圖，網格中每個小正方形的邊長都是單位1．（1）畫出將△ABC繞點O順時針方向旋轉90°后得到的△A'B′C'；（2）請直接寫出A'，B′，C′三點的坐標．【分析】（1）利用旋轉變換的性質分別作出A，B，C的對應點A′，B′，C′即可；（2）根據點的位置寫出坐標即可．【解答】解：（1）如圖，△A'B′C'即為所求；（2）A'（4，0），B′（0，1），C′（2，2）．【點評】本題考查作圖﹣旋轉變換，解題的關鍵是掌握旋轉變換的性質，屬于中考?？碱}型．20．（5分）已知二次函數y＝x2﹣2x﹣3．（1）二次函數y＝x2﹣2x﹣3的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側），求A，B兩點的坐標；（2）畫出此函數的圖象．【分析】（1）令y＝0，則x2﹣2x﹣3＝0，解這個方程即可得到A，B的橫坐標；（2）利用描點法畫出函數的圖象．【解答】解：令y＝0，則x2﹣2x﹣3＝0，解這個方程得：x1＝﹣1，x2＝3，∵A點在B點左側，∴A（﹣1，0），B（3，0）；（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴對稱軸為x＝1，頂點坐標為（1，﹣4），令x＝0，則y＝﹣3，∴拋物線與y軸的交點為（0，﹣3）．建立坐標系，利用描點法畫出函數的圖象如下圖：【點評】本題主要考查了二次函數的圖象，拋物線與x軸的交點，令y＝0，解一元二次方程即可得到A，B的橫坐標是解題的關鍵．21．（5分）如圖，在△ABC中，∠CAB＝75°，在同一平面內，將△ABC繞點A旋轉到△AB'C′的位置，使得CC'∥AB，求∠BAB'的度數．【分析】先利用平行線的性質得∠ACC′＝∠CAB＝75°，再根據旋轉的性質得AC＝AC′，∠CAC′＝∠BAB′，然后利用等腰三角形的性質和三角形內角和可計算出∠CAC′，從而得到∠BAB′的度數．【解答】解：∵CC′∥AB，∴∠ACC′＝∠CAB＝75°，∵△ABC繞點A旋轉到△AB′C′的位置，∴AC＝AC′，∠CAC′＝∠BAB′，∴∠ACC′＝∠AC′C＝75°，∴∠CAC′＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∴∠BAB′＝30°．【點評】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．22．（5分）已知關于x的一元二次方程x2+（3﹣k）x+2﹣k＝0．（1）求證：此方程總有兩個實數根；（2）若此方程恰有一個根大于1，求k的取值范圍．【分析】（1）先計算判別式的值，利用非負數的性質判斷Δ≥0，然后根據判別式的意義得到結論．（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1＝﹣1，x2＝k﹣2，根據方程有一根大于1，即可得出關于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范圍．【解答】（1）證明：∵Δ＝（3﹣k）2﹣4×（2﹣k）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，∴方程總有兩個實數根．（2）解：∵x2+（3﹣k）x+2﹣k＝（x+1）（x+2﹣k）＝0，∴x1＝﹣1，x2＝k﹣2．∵方程有一個根大于1，∴k﹣2＞1，解得：k＞3，∴k的取值范圍為k＞3．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數根；當Δ＜0時，方程無實數根．也考查了解一元二次方程以及解不等式．23．（6分）小明在畫一個二次函數的圖象時，列出了下面幾組x與y的對應值．x……﹣2﹣1012……y……﹣6﹣1232……（1）求該二次函數的解析式；（2）該二次函數的圖象與直線y＝m有兩個交點A，B，若A，B兩點間的距離小于4，請直接寫出m的取值范圍．【分析】（1）根據待定系數法即可求得；（2）把函數的問題轉化為方程的問題，利用根與系數的關系即可得到關于m的不等式，解不等式即可求得．【解答】解：（1）由表格數據結合二次函數圖象對稱性可得圖象頂點為（1，3），設二次函數的表達式為y＝a（x﹣1）2+3（a≠0），將（﹣1，﹣1）代入得4a+3＝﹣1，解得a＝﹣1，∴該二次函數的表達式為y＝﹣（x﹣1）2+3（或y＝﹣x2+2x+2）；（2）令﹣x2+2x+2＝m，整理得x2﹣2x﹣2+m＝0，設點A、B的橫坐標為x1，x2，∴x1，x2是方程x2﹣2x﹣2+m＝0的兩個實數根，∴x1+x2＝2，x1x2＝m﹣2，∵AB＜4，∴|x1﹣x2|＜4，∴（x1﹣x2）2＜16，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＜16，即4﹣4（m﹣2）＜16，∴m＞﹣1，∴m的取值范圍是m＞﹣1．【點評】本題主要考查待定系數法求二次函數解析式，二次函數的圖象和性質，把函數問題轉化為方程問題是解題的關鍵．24．（6分）雙手頭上前擲實心球是鍛煉青少年上肢力量和全身協(xié)調性的一個項目，實心球出手后飛行的路線可以看作是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標系，某校一名學生在投擲實心球時，從出手到落地的過程中，實心球的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數關系y＝﹣x2+x+2．（1）求該同學投擲實心球時，實心球在空中飛行時豎直高度的最大值；（2）判斷并說明，該同學此次投擲實心球的水平距離能否超過10米．【分析】（1）把拋物線化為頂點式，從而求出函數的最大值；（2）令y＝0，解一元二次方程即可．【解答】解：（1）y＝﹣x2+x+2＝﹣（x2﹣6x）+2＝﹣（x﹣3）2+，∵﹣＜0，∴當x＝3時，y有最大值，最大值為，答：實心球在空中飛行時豎直高度的最大值為；（2）令y＝0，則＝﹣x2+x+2＝0，解得x1＝﹣2，x2＝8，∵8＜10，∴該同學此次投擲實心球的水平距離不能超過10米．【點評】本題考查二次函數和一元二次方程的應用，關鍵是對二次函數性質的掌握和運用．25．（6分）在正方形ABCD中，AD＝4，點E在邊AB上，且AE＝3，將線段DE繞點D逆時針方向旋轉90°得到線段DF，連接EF．（1）如圖1，若點F恰好落在邊BC的延長線上，判斷△DEF的形狀，并說明理由；（2）若點F落在直線BC上，請直接寫出△DEF的面積.【分析】（1）由正方形的性質可得DA＝DC，∠ADC＝∠DAB＝∠DCB＝90°，由“HL”可證Rt△ADE≌Rt△CDF，可得∠ADE＝∠CDF，可得結論；（2）根據三角形的面積公式即可得到結論．【解答】解：（1）△DEF是等腰直角三角形，理由如下：在正方形ABCD中，DA＝DC，∠ADC＝∠DAB＝∠DCB＝90°．∵F落在邊BC的延長線上，∴∠DCF＝∠DAB＝90°．∵將點E繞點D逆時針旋轉得到點F，∴DE＝DF，在Rt△ADE和Rt△CDF中，，∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），∴∠ADE＝∠CDF，∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠CDF+∠EDC＝90°，即∠EDF＝90°．∴△DEF是等腰直角三角形；（2）∵∠A＝90°，AD＝4，AE＝3，∴DE＝＝＝5，當點F落在線段BC上時，如圖2，∵∠C＝90°，DF＝DE＝5，∴CF＝＝3，∴BE＝BF＝1，∴△DEF的面積＝S正方形ABCD﹣S△ADE﹣S△CDF﹣S△BEF＝4×4﹣﹣﹣＝3.5；當點F恰好落在邊BC的延長線上時，如圖1，△DEF的面積＝＝12.5，綜上所述，△DEF的面積為3.5或12.5．【點評】本題考查了旋轉的性質，正方形的性質，全等三角形的判定和性質，三角形的面積公式，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵．26．（6分）拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）與x軸的交點坐標是（﹣1，0），（3，0）．（1）請直接寫出這條拋物線的對稱軸；（2）已知點A（m，y1），B（m+1，y2）在拋物線上，若y1＜y2，求m的取值范圍．【分析】（1）根據拋物線與x軸的交點，即可求出對稱軸；（2）畫出函數的大致圖象，由二次函數的性質判斷即可．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）與x軸的交點坐標是（﹣1，0），（3，0），∴拋物線的對稱軸為x＝＝1；（2）由（1）可知，二次函數y＝ax2+bx+c（a＞0）的大致圖象如圖所示：∵a＞0，對稱軸x＝1，∴①當m+1＜1時，y1＞y2；②當m＞1時，y1＜y2；③當m與m+1在1的兩側且到1的距離相等時，y1＝y(tǒng)2，此時m＝1﹣＝，綜上，m＞時，y1＜y2．【點評】本題考查拋物線與x軸的交點以及二次函數的性質，關鍵是對二次函數性質的掌握．27．（7分）△ABC是等邊三角形，將線段AC繞點A逆時針旋轉α（0°＜α≤60°）得到線段AD，連接BD，交AC于點O，連接CD，過點A作AP⊥CD于點P，交BD于點E，連接CE．（1）如圖1，當α＝60°時，則∠BEC＝60°；（2）如圖2，當0°＜α＜60°時，依題意補全圖2．①猜想（1）中結論是否仍然成立，并說明理由；②求證：BE＝AE+CE．【分析】（1）當α＝60°時，△ACD是等邊三角形，AB＝BC＝CD＝DA，四邊形ABCD是菱形，可得BD⊥AC，易證∠CAE＝∠ACE，因為AP⊥CD，所以∠CAE＝30°，進而可求出∠BEC的值；（2）依題意畫圖即可；①成立；AC＝AD，AP⊥CD，可得△ACE≌△ADE，∠ACE＝∠ADE，AB＝AD，則∠ABO＝∠ADE，可得∠ABO＝∠ACE，由三角形內角和定理可得∠BEC的值；②用截長補短法，在BE上截取EF＝CE，可得△ACD是等邊三角形，CE＝EF，證明△BCF≌△ACE，則BF＝AE，進而可證明BE＝AE+CE．【解答】解：（1）∵∠CAD＝α＝60°，AC＝AD，∴△ACD是等邊三角形，∴AD＝CD＝AC，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∠ABE＝∠CBE，∴∠EOC＝90°，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE，∴∠CAE＝∠ECO，∵AP⊥CD，△ACD是等邊三角形，∴∠CAE＝∠ECO＝30°，∴∠BEC＝180°﹣（∠EOC+∠ECO）＝180°﹣（90°+30°）＝60°．故答案為：60；（2）如圖2所示：①（1）中結論是否仍然成立，理由如下：如圖2所示：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠BCA＝60°，∵AC＝AD，∴AB＝AD，∴∠ABO＝∠ADE，∵AC＝AD，AP⊥CD，∴∠CAE＝∠DAE，∴△CAE≌△DAE（SAS），∴∠ACE＝∠ADE，∴∠ABO＝∠ACE，∵∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝60°，∠ABO＝∠ACE，∴∠ACE+∠EBC＝60°，∵∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠BCE），∠BCE＝∠BCA+∠ACE，∴∠BEC＝180°﹣（∠BCA+∠ACE+∠EBC），∵∠ACE+∠EBC＝60°，∠BCA＝60°，∴∠BEC＝180°﹣（∠BCA+∠ACE+∠EBC）＝180°﹣（60°+60°）＝60°；②如圖3所示：在BE上截取EF＝CE，∵∠BEC＝60°，EF＝CE，∴△CEF是等邊三角形，∴EF＝CE＝CF，∠FCE＝60°∵△ABC是等邊三角形，∴BC＝AC，∠BCA＝60°，∴∠FCE＝∠BCA，∵∠FCE＝∠FCO+∠ACE，∠BCA＝∠FCO+∠BCF，∠FCE＝∠BCA，∴∠ACE＝∠BCF，在△BCF和△ACE中，，∴△BCF≌△ACE（SAS），∴B