3.4函數(shù)的應(yīng)用(一)課件高一上學期數(shù)學人教A版2

3.4函數(shù)的應(yīng)用(一)第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)人教A版

數(shù)學

必修第一冊基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學以致用·隨堂檢測促達標數(shù)學學習的最終目的是應(yīng)用,本單元主要學習給定數(shù)學模型的實際應(yīng)用.在此過程中,通過解決簡單的實際問題,逐步學會分析實際問題中存在的變量,以及變量之間的關(guān)系,體會應(yīng)用函數(shù)知識解決實際問題的能力,為后續(xù)學習更加復雜、需要根據(jù)實際背景建立數(shù)學模型的應(yīng)用問題作準備,初步提升數(shù)學建模素養(yǎng).學習目標1.理解函數(shù)是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學語言和工具.(邏輯推理)2.在實際情境中,會選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律.(數(shù)學建模)3.會應(yīng)用一次函數(shù)、二次函數(shù)和冪函數(shù)模型解決一些簡單的實際問題.(數(shù)學運算)基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點一:常見的函數(shù)模型1.一次函數(shù)模型形如y=kx+b(k≠0)的函數(shù)模型是一次函數(shù)模型,應(yīng)用一次函數(shù)的性質(zhì)及圖象解題時,應(yīng)注意:(1)一次函數(shù)有單調(diào)遞增(一次項系數(shù)為正)和單調(diào)遞減(一次項系數(shù)為負)兩種情況;(2)一次函數(shù)的圖象是一條直線.2.二次函數(shù)模型形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函數(shù)模型是二次函數(shù)模型.二次函數(shù)模型是重要的數(shù)學模型之一,依據(jù)實際問題建立二次函數(shù)的解析式后,利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求最值,從而解決利潤最大、用料最省等問題.3.分段函數(shù)模型這個模型實質(zhì)是多個不同類型函數(shù)模型的綜合.微思考在函數(shù)模型中,如何分析兩個變量屬哪種函數(shù)關(guān)系?提示

通常需要先畫出函數(shù)圖象,再根據(jù)圖象來確定兩個變量的關(guān)系,選擇函數(shù)類型.知識點二:實際問題的函數(shù)建模實際問題的函數(shù)建模是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的關(guān)鍵,一般步驟為(1)設(shè)恰當?shù)淖兞?研究實際問題中量與量之間的關(guān)系,確定變量之間的關(guān)系,并用x,y分別表示問題中的變量.(2)建立函數(shù)模型:將變量y表示為x的函數(shù),在中學數(shù)學階段,我們建立的函數(shù)模型一般都是函數(shù)的解析式,注意函數(shù)的定義域.(3)求解函數(shù)模型:根據(jù)已知條件求解函數(shù)模型.(4)給出實際問題的解:將數(shù)學模型的解還原為實際問題的解,得出實際問題的解.微思考函數(shù)模型在實際應(yīng)用中,函數(shù)的自變量有什么特點?提示

在實際應(yīng)用中,函數(shù)的自變量x往往具有實際意義,如x表示長度時,x≥0;x表示件數(shù)時,x≥0,且x∈Z等.在解答時,必須要考慮這些實際意義.重難探究·能力素養(yǎng)速提升問題1如何確定實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系?問題2實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題后,對于變量,是否有一定限制?探究點一一次函數(shù)、二次函數(shù)模型的應(yīng)用問題3一次函數(shù)、二次函數(shù)模型的特征有哪些?如何提取這些特征?【例1】

在一次會展期間某企業(yè)向展銷商銷售一種商品,根據(jù)市場調(diào)查,每件商品售價x(單位:元)與銷量t(單位:萬件)之間的函數(shù)關(guān)系為圖中直線的一部分,其中0≤x<30,如圖所示.又知供貨價格與銷量成反比,比例系數(shù)為50.(注:每件產(chǎn)品利潤=售價-供貨價格)(1)求售價20元時的銷量及此時的供貨價格.(2)當銷售價格為多少時總利潤最大?求出最大利潤.解(1)由題圖知每件商品的售價與銷量之間的函數(shù)關(guān)系為一次函數(shù),設(shè)t=kx+b,供貨價格為y元.當售價為20元時,銷量為t=-20+30=10(萬件).又供貨價格與銷量成反比,比例系數(shù)為50,此時的供貨價格為(2)商品供貨價格為設(shè)銷售商品總利潤為w萬元,則w=(x-)(-x+30)=-x2+30x-50=-(x-15)2+175.當銷售價格為15元時,總利潤w最大,最大值為175萬元.規(guī)律方法

1.一次函數(shù)模型的重要特征是線性變化,滿足條件的點在一條直線上,求解時可設(shè)一次函數(shù)模型為y=kx+b,利用待定系數(shù)法建立方程(組)求k,b.2.二次函數(shù)模型的解析式為g(x)=ax2+bx+c(a≠0).在函數(shù)建模中,它占有重要的地位.在根據(jù)實際問題建立函數(shù)解析式后,可利用函數(shù)圖象、函數(shù)單調(diào)性等方法結(jié)合函數(shù)的定義域求最值.探究點二分段函數(shù)模型的應(yīng)用問題4分段函數(shù)模型的特征有哪些?如何提取這些特征?【例2】

某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品,每年投入固定成本0.5萬元,此外每生產(chǎn)100件這種產(chǎn)品還需要增加投資0.25萬元,經(jīng)預測可知,市場對這種產(chǎn)品的年需求量為500件,當出售的這種產(chǎn)品的數(shù)量為t(單位:百件)時,銷售所得的收入約為

萬元.(1)若該公司的年產(chǎn)量為x(單位:百件),試把該公司生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤表示為年產(chǎn)量x的函數(shù);(2)當這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時,當年所得利潤最大?分析

利潤=銷售收入-總的成本.由于本題中的銷量為500件,但生產(chǎn)的數(shù)量不確定,所以模型確定為分段函數(shù)模型.解(1)當0<x≤5時,產(chǎn)品全部售出,當x>5時,產(chǎn)品只能售出500件.所以,(2)當0<x≤5時,f(x)=-x2+4.75x-0.5,所以當x=4.75時,f(x)有最大值,f(x)max=10.781

25.當x>5時,f(x)<12-0.25×5=10.75.故當年產(chǎn)量為475件時,當年所得利潤最大.規(guī)律方法

1.分段函數(shù)主要是每一段的變化規(guī)律不全相同,可以先將其當作幾個問題,將各段的變化規(guī)律分別找出來,再將其合到一起,要注意各段自變量的取值范圍,特別是端點值.2.分段函數(shù)的最大值是各段最大值中最大的,分段函數(shù)的最小值是各段最小值中最小的.探究點三冪函數(shù)模型的應(yīng)用問題5冪函數(shù)模型的特征有哪些?如何提取這些特征?【例3】

為了給消費者提供放心的蔬菜,某農(nóng)村合作社每年投入資金200萬元,搭建甲、乙兩個無公害蔬菜大棚,每個大棚至少要投入資金20萬元,其中甲大棚種西紅柿,乙大棚種黃瓜.根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗,發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收入P、種黃瓜的年收入Q與各自的資金投入a1,a2(單位:萬元)滿足

.設(shè)甲大棚的資金投入為x(單位:萬元),每年兩個大棚的總收入為f(x)(單位:萬元).(1)求f(50)的值;(2)試問如何安排甲、乙兩個大棚的資金投入,才能使總收入f(x)最大.學以致用·隨堂檢測促達標123456789101112A級必備知識基礎(chǔ)練1.用一段長為50m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園,墻a長25m.當圍成的矩形菜園ABCD的面積最大時,這個矩形菜園ABCD的寬(矩形的較短邊)為(

)B解析

設(shè)矩形的不靠墻對邊長為x米,矩形的面積為S,則由題意可得矩形靠墻邊的長為50-2x,則0<x<25,所以矩形的面積為S=x(50-2x)=-2x2+50x=-2(x-12.5)2+312.5.因為0<x<25,所以當x=時,矩形面積取得最大值,故選B.1234567891011122.(多選題)某雜志以每冊2元的價格發(fā)行時,發(fā)行量為10萬冊.經(jīng)過調(diào)查,若單冊價格每提高0.2元,則發(fā)行量就減少5000冊.要使該雜志的銷售收入不少于22.4萬元,每冊雜志可以定價為(

)A.2.5元

B.3元 C.3.2元

D.3.5元BC1234567891011123.已知等腰三角形的周長為40cm,底邊長y(單位:cm)是腰長x(單位:cm)的函數(shù),則函數(shù)的定義域為(

)A.(10,20) B.(0,10) C.(5,10) D.[5,10)A1234567891011124.在固定電壓(電壓為常數(shù))的前提下,當電流通過圓柱形的電線時,其電流強度I(單位:安)與電線半徑r(單位:毫米)的三次方成正比.若已知電流通過半徑為4毫米的電線時,電流強度為320安,則電流通過半徑為3毫米的電線時,電流強度為(

)A.60安

B.240安 C.75安

D.135安D解析

設(shè)比例系數(shù)為k,則電流強度I=kr3,由已知可得當r=4時,I=320,故有320=43k,解得k==5,所以I=5r3,則當r=3時,I=5×33=135(安).1234567891011125.(多選題)某市出租車收費標準如下:起步價為8元,起步里程為3km(不超過3km按起步價付費);超過3km但不超過8km時,超過部分按每千米2.15元收費;超過8km時,超過部分按每千米2.85元收費,另每次乘坐需付燃油附加費1元.下列結(jié)論正確的是(

)A.出租車行駛2km,乘客需付費8元B.出租車行駛10km,乘客需付費25.45元C.某人乘出租車行駛5km兩次的費用超過他乘出租車行駛10km一次的

費用D.某人乘坐一次出租車付費22.6元,則此次出租車行駛了9kmBCD123456789101112解析

在A中,出租車行駛2

km,乘客需付起步價8元和燃油附加費1元,共9元,A錯誤;在B中,出租車行駛10

km,乘客需付費8+2.15×5+2.85×(10-8)+1=25.45(元),B正確;在C中,乘出租車行駛5

km,乘客需付費8+2×2.15+1=13.30(元),乘坐兩次需付費26.6元,26.6>25.45,C正確;在D中,設(shè)出租車行駛x

km時,付費y元,由8+5×2.15+1=19.75<22.6知x>8,因此由y=8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6,解得x=9,D正確.1234567891011126.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為200萬元,并且生產(chǎn)量每增加1單位,成本增加1萬元,又知總收入R是生產(chǎn)數(shù)量Q的函數(shù)R(Q)=4Q-Q2,則總利潤L(Q)的最大值是

萬元,這時產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量為

.(總利潤=總收入-成本)

2503001234567891011127.為了引導居民節(jié)約用電,某城市對居民生活用電實行“階梯電價”,按月用電量計算,將居民家庭每月用電量劃分為三個階梯,電價按階梯遞增.第一階梯:月用電量不超過240千瓦時的部分,電價為0.5元/千瓦時;第二階梯:月用電量超過240千瓦時但不超過400千瓦時的部分,電價為0.6元/千瓦時;第三階梯:月用電量超過400千瓦時的部分,電價為0.8元/千瓦時.若某戶居民10月份交納的電費為360元,則此戶居民10月份的用電量為

千瓦時.

580解析

設(shè)用電量為x千瓦時,電費為y元,若y=360時,當0≤x≤240時,則0.5x=360,解得x=720?[0,240],不滿足題意;當240<x≤400時,則0.6(x-240)+120=360,解得x=640?(240,400],不滿足題意;當x>400時,則0.8(x-400)+216=360,解得x=580∈(400,+∞),滿足題意.故該戶居民10月份的用電量為580千瓦時.1234567891011121234567891011128.某公司生產(chǎn)一類電子芯片,且該芯片的年產(chǎn)量不超過35萬件,每萬件電子芯片的計劃售價為16萬元.已知生產(chǎn)此類電子芯片的成本分為固定成本與流動成本兩個部分,其中固定成本為30萬元/年,每生產(chǎn)x萬件電子芯片需要投入的流動成本為f(x)(單位:萬元),當年產(chǎn)量不超過14萬件時,f(x)=x2+4x;當年產(chǎn)量超過14萬件時,f(x)=17x+-80.假設(shè)該公司每年生產(chǎn)的芯片都能夠銷售完.(1)寫出年利潤g(x)(單位:萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(單位:萬件)的函數(shù)解析式;(注:年利潤=年銷售收入-固定成本-流動成本)(2)如果你作為公司的決策人,為使公司獲得的年利潤最大,每年應(yīng)生產(chǎn)多少萬件該芯片?123456789101112123456789101112123456789101112B級關(guān)鍵能力提升練9.(多選題)甲同學家到乙同學家的途中有一座公園,甲同學家到公園的距離與乙同學家到公園的距離都是2km.如圖所示表示甲同學從家出發(fā)到乙同學家經(jīng)過的路程y(單位:km)與時間x(單位:min)的關(guān)系,下列結(jié)論正確的是(

)A.甲同學從家出發(fā)到公園的時間是30minB.甲同學從家到公園的速度比從公園到乙同學家的速度慢C.當0≤x≤30時,y與x的關(guān)系式為y=xD.當30≤x≤60時,y與x的關(guān)系式為y=x-2ABC解析

由題中圖象知,A正確;甲同學從家到公園所用的時間比從公園到乙同學家所用的時間長,而距離相等,所以甲同學從家到公園的速度比從公園到乙同學家的速度慢,B正確;當0≤x≤30時,設(shè)y=kx(k≠0),則2=30k,解得k=,C正確;當30≤x≤40時,題中圖象是平行于x軸的線段,D錯誤.12345678910111212345678910111210.如圖,點P在邊長為1的正方形邊上運動,設(shè)M是CD的中點,則當P沿A-B-C-M運動時,點P經(jīng)過的路程x與△APM的面積y之間的函數(shù)y=f(x)的圖象大致是(

)A123456789101112再結(jié)合題圖知應(yīng)選A.123456