第13章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

第13章線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)13.1狀態(tài)反饋與輸出反饋13.2閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置13.3狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)

13.1狀態(tài)反饋與輸出反饋

13.1.1狀態(tài)反饋狀態(tài)反饋就是將系統(tǒng)的每一個(gè)狀態(tài)變量乘以相應(yīng)的反饋系數(shù)反饋到輸入端與參考輸入相加,其和作為受控系統(tǒng)的輸入。多輸入多輸出系統(tǒng)的狀態(tài)反饋系統(tǒng)如圖13-1所示。

圖13-1狀態(tài)反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

圖13-1中系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

式中,A為n×n矩陣;B為n×r矩陣;C為m×n矩陣;D為m×r矩陣。

狀態(tài)反饋控制律為

式中,r為r×1參考輸入向量;K為r×n狀態(tài)反饋矩陣。

把式(13-2)代入式(13-1)中,則狀態(tài)反饋系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為

即

若D=0,則

閉環(huán)系統(tǒng)矩陣為

閉環(huán)特征多項(xiàng)式為

可見(jiàn),引入狀態(tài)反饋后,只改變了系統(tǒng)矩陣及其特征值,B、C陣均無(wú)變化。也就是狀態(tài)反饋陣K的引入,并沒(méi)有引入新的狀態(tài)變量,也不增加系統(tǒng)的維數(shù),但可通過(guò)K陣的選擇自由地改變閉環(huán)系統(tǒng)的特征值,從而使系統(tǒng)獲得所要求的性能。

如果系統(tǒng)為單輸入、單輸出系統(tǒng),k為1×n矩陣,即k=[k0

k1…kn-1],則稱為狀態(tài)反饋增益矩陣。

例13-1已知系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為

試畫出狀態(tài)反饋系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖。

解

其中,k=[k0

k1

k2],稱為狀態(tài)反饋系數(shù)矩陣或狀態(tài)反饋增益矩陣。

狀態(tài)反饋系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖如圖13-2所示。圖13-2例13-1狀態(tài)反饋系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖

13.1.2輸出反饋

輸出反饋就是將系統(tǒng)的輸出量乘以相應(yīng)的系數(shù)反饋到輸入端與參考輸入相加,其和作為受控系統(tǒng)的控制輸入。多輸入多輸出系統(tǒng)的輸出反饋系統(tǒng)如圖13-3所示。圖13-3輸出反饋系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖

圖13-3中系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

輸出反饋控制律為

式中,H為r×m輸出反饋矩陣。

把式(13-5)代入式(13-6)中,得

把式(13-7)代入式(13-5)中,則輸出反饋系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

若D=0,則

閉環(huán)系統(tǒng)矩陣為

閉環(huán)特征多項(xiàng)式為

可見(jiàn),引入輸出反饋后,只改變了系統(tǒng)矩陣及其特征值,B、C陣均無(wú)變化。

13.1.3對(duì)兩種反饋形式的討論

以上對(duì)兩種反饋形式的方框圖與狀態(tài)空間表達(dá)式作了介紹,下面就其特點(diǎn)和應(yīng)用方面略加討論。

(1)狀態(tài)反饋與輸出反饋的共同特點(diǎn)是:反饋的引入并不改變系統(tǒng)的狀態(tài)變量數(shù)目,即閉環(huán)系統(tǒng)與開(kāi)環(huán)系統(tǒng)具有相同的階數(shù)。

(2)兩種反饋構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)能控性與原系統(tǒng)一致,但對(duì)于能觀測(cè)性,狀態(tài)反饋可能改變?cè)到y(tǒng)的能觀測(cè)性,而輸出反饋仍保持原系統(tǒng)的能觀測(cè)性。

(3)輸出反饋相對(duì)于狀態(tài)反饋,其突出優(yōu)點(diǎn)是工程上構(gòu)造方便,但事實(shí)證明輸出反饋的基本形式往往不能滿足給定的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)要求,而狀態(tài)反饋可以使控制系統(tǒng)具有更好的特性,因而在控制工程實(shí)踐中,經(jīng)常采取狀態(tài)反饋形式。

13.2閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置13.2.1極點(diǎn)配置定理1.極點(diǎn)配置在經(jīng)典控制理論中我們已經(jīng)知道,系統(tǒng)的性能(各種動(dòng)態(tài)性能)主要是由閉環(huán)極點(diǎn)在s平面上的位置所決定的。

在現(xiàn)代控制理論中,系統(tǒng)的極點(diǎn)實(shí)際上就是狀態(tài)方程中系數(shù)矩陣A所對(duì)應(yīng)的特征值,當(dāng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)確定后,A即確定,因而A所對(duì)應(yīng)的特征值就隨之確定,但當(dāng)系統(tǒng)中引入狀態(tài)反饋后,矩陣A就變成了A-BK,雖然A、B不能改變,但K可以人為改變,所以A-BK所對(duì)應(yīng)的特征值也能任意改變,通過(guò)對(duì)反饋增益矩陣K的設(shè)計(jì),使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)恰好處于s平面上所期望的位置。這種利用反饋矩陣K來(lái)改變系統(tǒng)閉環(huán)控制極點(diǎn)的方法,亦稱為“極點(diǎn)配置”。

2.極點(diǎn)配置定理

設(shè)SISO系統(tǒng)Σ0的狀態(tài)空間表達(dá)式為

通過(guò)狀態(tài)反饋

能使其閉環(huán)極點(diǎn)任意配置的充要條件是系統(tǒng)Σ0完全能控。

13.2.2狀態(tài)反饋增益矩陣k的計(jì)算

1.方法一

(6)根據(jù)狀態(tài)反饋控制規(guī)律在等價(jià)變換前后的表達(dá)式,即

故

即

所以,計(jì)算狀態(tài)反饋增益矩陣k的步驟為:

(1)計(jì)算能控性矩陣Uc,Uc-1,判斷系統(tǒng)是否能控;

(2)根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)的期望極點(diǎn)計(jì)算系統(tǒng)的期望特征多項(xiàng)式:

(3)根據(jù)式(13-17)求出f*(A);

(4)根據(jù)式(13-16)求出狀態(tài)反饋增益矩陣k。

例13-2已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

試設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋增益矩陣k,使閉環(huán)極點(diǎn)配置在-1,-2上。

解(1)系統(tǒng)的能控矩陣

因?yàn)閞ankUc=2,所以系統(tǒng)是能控的。

故可以通過(guò)狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)的任意配置

(2)期望閉環(huán)極點(diǎn)配置在-1,-2,由

得

(3)求狀態(tài)反饋增益矩陣k,則

(4)狀態(tài)反饋系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖如圖13-4所示。圖13-4狀態(tài)反饋系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖

2.方法二

求解實(shí)際問(wèn)題的狀態(tài)反饋增益矩陣k的步驟為:

(1)計(jì)算能控性矩陣Uc,判斷系統(tǒng)是否能控;

(2)根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)的期望極點(diǎn)計(jì)算系統(tǒng)的期望特征多項(xiàng)式:

(3)根據(jù)f(s)=sI-(A-bk),求出f(s);

(4)由f(s)=f*(s),求出狀態(tài)反饋增益矩陣k=[k1

k2…kn]。

例13-3已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

試設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋增益矩陣k,使閉環(huán)極點(diǎn)配置在-1,-2上。

解(1)系統(tǒng)的能控矩陣

系統(tǒng)是能控的。故可以通過(guò)狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)的任意配置。

(2)令狀態(tài)反饋陣,k=[k1

k2],則

(3)期望閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)配置在-1,-2,由

對(duì)比f(wàn)(s)和f*(s),令系數(shù)對(duì)應(yīng)相等,可得

需要說(shuō)明的是:

(1)狀態(tài)反饋不能改變系統(tǒng)的零點(diǎn),只能改變系統(tǒng)的極點(diǎn)。

(2)當(dāng)系統(tǒng)不完全能控時(shí),狀態(tài)反饋只能配置系統(tǒng)能控部分的極點(diǎn),而不能影響不能控部分的極點(diǎn)。

(3)若線性定常系統(tǒng)Σ(A,b,c)是能控的,則狀態(tài)反饋所構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)Σk(A-bk,b,c)也一定是能控制。

(4)狀態(tài)反饋可能影響系統(tǒng)的能觀測(cè)性。當(dāng)任意配置的極點(diǎn)與零點(diǎn)存在對(duì)消時(shí),狀態(tài)反饋系統(tǒng)的能觀測(cè)性將會(huì)改變,從而不能保持原受控系統(tǒng)的能觀測(cè)性。如果原受控系統(tǒng)不

含閉環(huán)零點(diǎn),則狀態(tài)反饋系統(tǒng)能保持原有的能觀測(cè)性。

(5)引入狀態(tài)反饋前后,系統(tǒng)零點(diǎn)不發(fā)生改變。

13.2.3采用輸出反饋配置系統(tǒng)的極點(diǎn)

對(duì)完全能控的單變量系統(tǒng)Σ0(A,b,c),不能采用輸出線性反饋來(lái)實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)的任意配置,這正是輸出線性反饋的基本弱點(diǎn)。

為了克服這個(gè)弱點(diǎn),在經(jīng)典控制理論中,采取引入附加校正網(wǎng)絡(luò),通過(guò)增加開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)的方法,改變根軌跡走向,使其落在指定的期望位置上。

在現(xiàn)代控制理論中,對(duì)完全能控的單變量系統(tǒng)Σ0(A,b,c),通過(guò)對(duì)動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的輸出反饋,實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)任意配置的充要條件是:

(1)系統(tǒng)Σ0(A,b,c)完全能觀測(cè);

(2)動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的階數(shù)為n-1。

動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的階數(shù)是任意配置極點(diǎn)的條件之一,針對(duì)具體問(wèn)題時(shí),如果并不要求任意配置極點(diǎn),那么,補(bǔ)償器的階數(shù)可以進(jìn)一步降低。

13.3狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)

狀態(tài)反饋可以有效地改善系統(tǒng)的性能,在對(duì)控制系統(tǒng)利用狀態(tài)反饋進(jìn)行極點(diǎn)配置時(shí),曾假設(shè)所有的狀態(tài)變量均可有效地用于反饋,然而實(shí)際情況中,并不是所有的狀態(tài)變量都能方便地測(cè)量到,比如狀態(tài)變量本身無(wú)物理意義或有些狀態(tài)變量信號(hào)很微弱,在測(cè)量點(diǎn)易混進(jìn)噪聲等,都會(huì)使得狀態(tài)變量無(wú)法測(cè)量或難以應(yīng)用。在不易直接獲得系統(tǒng)狀態(tài)變量的情況下,可以構(gòu)造一個(gè)裝置對(duì)狀態(tài)變量進(jìn)行估計(jì)和觀測(cè),使得其輸出變量無(wú)限逼近原系統(tǒng)的狀態(tài)變量,這個(gè)裝置就叫狀態(tài)觀測(cè)器。

13.3.1狀態(tài)觀測(cè)器模型

如圖13-5所示,觀測(cè)器與原系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型相同。當(dāng)觀測(cè)器輸入與原系統(tǒng)輸入相同時(shí),觀測(cè)器重新構(gòu)造的狀態(tài)變量x^是對(duì)原系統(tǒng)狀態(tài)變量x的估計(jì)值。由于觀測(cè)器重構(gòu)的狀態(tài)變

量與原系統(tǒng)狀態(tài)變量維數(shù)相同,所以這種觀測(cè)器被稱為全維觀測(cè)器。

圖13-5所示觀測(cè)器為開(kāi)環(huán)形式,由于其初始狀態(tài)可能與原系統(tǒng)不完全相同,且兩者的數(shù)學(xué)模型也會(huì)有些差異,另外兩者受到的外界或內(nèi)部的噪聲干擾也可能不同,因而該開(kāi)環(huán)觀

測(cè)器重構(gòu)的狀態(tài)向量會(huì)與原系統(tǒng)狀態(tài)向量產(chǎn)生較大的誤差。圖13-5開(kāi)環(huán)觀測(cè)器

假設(shè)原系統(tǒng)是可觀測(cè)的,其狀態(tài)空間方程和初始狀態(tài)分別為

觀測(cè)器的狀態(tài)空間方程和初始狀態(tài)為圖13-6多變量系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)器

13.3.2觀測(cè)器的定義及存在條件

13.3.3狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)

觀測(cè)器的狀態(tài)方程為

其特征多項(xiàng)式為

其特征多項(xiàng)式為

(3)根據(jù)公式

求出反饋陣

2.直接代入法

例13-4已知線性定常系統(tǒng)

試設(shè)計(jì)觀測(cè)器,使得觀測(cè)器特征值為s1,2=-10。

解(1)先判斷系統(tǒng)的能觀測(cè)性,因?yàn)?/p>

滿秩,所以系統(tǒng)能觀測(cè)。

13.4帶觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)

13.4.1系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和狀態(tài)空間表達(dá)式帶觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)由三部分組成,即原系統(tǒng)、觀測(cè)器和控制器,如圖13-7所示。圖13-7帶狀態(tài)觀測(cè)器的反饋系統(tǒng)

設(shè)能控能觀測(cè)的受控系統(tǒng)為

狀態(tài)反饋控制為

狀態(tài)觀測(cè)方程為

由式(13-24)~式(13-26)得

將式(13-27)寫成分塊矩陣的形狀,即

或

13.4.2閉環(huán)系統(tǒng)的基本特性

1.閉環(huán)極點(diǎn)設(shè)計(jì)的分離性

由觀測(cè)器構(gòu)成狀態(tài)反饋的閉環(huán)系統(tǒng),其特征多項(xiàng)式等于狀態(tài)反饋部分的特征多項(xiàng)式sI-(A-BK)和觀測(cè)器部分的特征多項(xiàng)式sI-(A-LC)的乘積,所以,若受控系統(tǒng)Σ(A,B,C)能控能觀測(cè),用狀態(tài)觀測(cè)器估值形成狀態(tài)反饋時(shí),其系統(tǒng)的極點(diǎn)配置和觀測(cè)器設(shè)計(jì)可分別獨(dú)立進(jìn)行,即狀態(tài)反饋增益矩陣K和觀測(cè)器反饋矩陣L的設(shè)計(jì)可分別獨(dú)立進(jìn)行,互不干擾。這種性質(zhì)被稱為分離特性。

2.傳遞函數(shù)陣的不變性

帶觀測(cè)器狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣等于直接狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣,也就是說(shuō),傳遞函數(shù)陣與是否采用觀測(cè)器反饋無(wú)關(guān),因此觀測(cè)器漸近給出x^不影響組合系統(tǒng)的特性。

3.