八年級數(shù)學(xué)人教版（上冊）11.3.2 多邊形的內(nèi)角和

11.3.2多邊形的內(nèi)角和第十一章三角形11.3多邊形及其內(nèi)角和1.能通過不同方法探索多邊形的內(nèi)角和與外角和公式.（重點(diǎn)）2.學(xué)會運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和與外角和公式解決問題.（難點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)新課導(dǎo)入教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重點(diǎn)

如圖，從多邊形的一個頂點(diǎn)A

出發(fā)，沿多邊形的各邊走過各頂點(diǎn)，再回到點(diǎn)A，然后轉(zhuǎn)向出發(fā)的方向，一共轉(zhuǎn)過了多少度呢？新課導(dǎo)入講授新課典例精講歸納總結(jié)1知識點(diǎn)多邊形的內(nèi)角和思考

我們知道，三角形的內(nèi)角和等于180°，正方形、長方形的內(nèi)角和都等于360°.那么，任意一個四邊形的內(nèi)角和是否也等于360°呢？你能利用三角形內(nèi)角和定理證明四邊形的內(nèi)角和等于360°嗎？講授新課任意四邊形的內(nèi)角和等于多少度？你是怎樣得到的？ABCD講授新課ABCD2×180o=360o4×180o－360o=360o四邊形的內(nèi)角和是360o3×180o－180o=360oABCDABCDEP講授新課多邊形的邊數(shù)圖形從一個頂點(diǎn)引出的對角線條數(shù)分割出的三角形的個數(shù)多邊形的內(nèi)角和3456…………………………n(n－2)×180o4×180o2×180o3×180o1×180o01122334n－3n－2講授新課一般地，從n邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)，可以作(n－3)條對角線，它們將n邊形分為（n

－2)個三角形，n邊形的內(nèi)角和等于180°×(n－2).把一個多邊形分成幾個三角形，還有其他分法嗎？由新的分法，能得出多邊形內(nèi)角和公式嗎？講授新課

如果一個四邊形的一組對角互補(bǔ)，那么另一組對角有什么關(guān)系？試說明理由.解：

如圖，四邊形ABCD中，∠A+∠C=180°.∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2)×180°=360°，因?yàn)椤螧＋∠D=360°－（∠A＋∠C）=360°－180°=180°.所以ABCD如果一個四邊形的一組對角互補(bǔ)，那么另一組對角互補(bǔ).典例精析講授新課例題1【變式題】如圖，在四邊形ABCD中，∠A與∠C互補(bǔ)，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF，求證：△DCF為直角三角形．證明：∵在四邊形ABCD中，∠A與∠C互補(bǔ)，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠CDF+∠EBF=90°，∵BE∥DF，∴∠EBF=∠CFD，∴∠CDF+∠CFD=90°，故△DCF為直角三角形．運(yùn)用了整體思想講授新課一個多邊形的各內(nèi)角都等于120°，它是幾邊形？1已知正多邊形的每個內(nèi)角都是156°，求這個多邊形的邊數(shù)．2解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，則(n－2)×180°＝n×120°，解得n＝6.所以它是六邊形．解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，由題意得(n－2)×180°＝156°×n，解得n＝15，即這個多邊形的邊數(shù)為15.練一練講授新課〈四川遂寧〉若一個多邊形的內(nèi)角和是1260°，則這個多邊形的邊數(shù)是________．設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，由題意知，(n－2)×180°＝1260°，解得n＝9.導(dǎo)引：9例題2講授新課(1)已知多邊形的內(nèi)角和求邊數(shù)n的方法：根據(jù)多邊形內(nèi)

角和公式列方程：(n－2)×180°＝內(nèi)角和，解方程

求出n，即得多邊形的邊數(shù)；(2)已知正多邊形每個內(nèi)角的度數(shù)k求邊數(shù)n的方法：根據(jù)

多邊形內(nèi)角和公式列方程：(n－2)×180°＝kn，解

方程求出n，即得多邊形的邊數(shù)．講授新課總結(jié)歸納

一個多邊形的內(nèi)角和比四邊形的內(nèi)角和多720°，并且這個多邊形的各內(nèi)角都相等，這個多邊形的每個內(nèi)角是多少度？解：設(shè)這個多邊形邊數(shù)為n，則（n-2）?180=360+720，解得n=8，∵這個多邊形的每個內(nèi)角都相等，（8-2）×180°=1080°，∴它每一個內(nèi)角的度數(shù)為1080°÷8=135°．典例精析講授新課例題3

已知n邊形的內(nèi)角和θ=（n-2）×180°．（1）甲同學(xué)說，θ能取360°；而乙同學(xué)說，θ也能取630°．甲、乙的說法對嗎？若對，求出邊數(shù)n．若不對，說明理由；解：∵360°÷180°=2，630°÷180°=3......90°，∴甲的說法對，乙的說法不對，360°÷180°+2=4．故甲同學(xué)說的邊數(shù)n是4；講授新課例題4（2）若n邊形變?yōu)椋╪+x）邊形，發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和增加了360°，用列方程的方法確定x．解：依題意有（n+x-2）×180°-（n-2）×180°=360°，解得x=2．故x的值是2．講授新課【變式題】一個同學(xué)在進(jìn)行多邊形的內(nèi)角和計(jì)算時，求得內(nèi)角和為1125°，當(dāng)他發(fā)現(xiàn)錯了以后，重新檢查，發(fā)現(xiàn)少算了一個內(nèi)角，問這個內(nèi)角是多少度？他求的是幾邊形的內(nèi)角和？解：設(shè)此多邊形的內(nèi)角和為x，則有1125°＜x＜1125°＋180°，即180°×6＋45°＜x＜180°×7＋45°，因?yàn)閤為多邊形的內(nèi)角和，所以它是180°的倍數(shù)，所以x＝180°×7＝1260°.所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.因此，漏加的這個內(nèi)角是135°，這個多邊形是九邊形．思路點(diǎn)撥：多邊形的內(nèi)角的度數(shù)在0°~180°之間.講授新課

如圖，在五邊形ABCDE中，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，求∠P的度數(shù)．解析：根據(jù)五邊形的內(nèi)角和等于540°，由∠C,∠D,∠E的度數(shù)可求∠EAB+∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義可得∠PAB與∠PBA的角度和，進(jìn)一步求得∠P的度數(shù)．可運(yùn)用了整體思想講授新課例題5解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，∴∠EAB+∠ABC=540°-∠C-∠D-∠E=230°.∵AP平分∠EAB,∴∠PAB＝∠EAB，同理可得∠ABP＝∠ABC，∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°，∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA=180°?(∠EAB+∠ABC)=180°?×230°=65°．講授新課241324132413241324132413241324132413241324132413

用形狀、大小完全相同的任意四邊形可拼成一塊無空隙的地板，你知道這是為什么嗎？

你知道嗎？講授新課如圖，在五邊形的每個頂點(diǎn)處各取一個外角，這些外角的和叫做五邊形的外角和．問題1：任意一個外角和它相鄰的內(nèi)角有什么關(guān)系？問題2：五個外角加上它們分別相鄰的五個內(nèi)角和是多少？EBCD123

45A互補(bǔ)5×180°=900°2知識點(diǎn)多邊形的外角和講授新課EBCD123

45A五邊形外角和=360°=5個平角－五邊形內(nèi)角和=5×180°－(5－2)×180°結(jié)論：五邊形的外角和等于360°.問題3：這五個平角和與五邊形的內(nèi)角和、外角和有什么關(guān)系？講授新課在n邊形的每個頂點(diǎn)處各取一個外角，這些外角的和叫做n邊形的外角和．n邊形外角和n邊形的外角和等于360°.－(n－2)×180°=360°=n個平角-n邊形內(nèi)角和=n×180°AnA2A3A4123

4nA1思考：n邊形的外角和又是多少呢？與邊數(shù)無關(guān)講授新課問題4：回想正多邊形的性質(zhì)，你知道正多邊形的每個內(nèi)角是多少度嗎？每個外角呢？為什么？每個內(nèi)角的度數(shù)是每個外角的度數(shù)是練一練：(1)若一個正多邊形的內(nèi)角是120°,那么這是正____邊形.(2)已知多邊形的每個外角都是45°,則這個多邊形是

______邊形.六正八講授新課典例精析

已知一個多邊形，它的內(nèi)角和等于外角和的

2倍，求這個多邊形的邊數(shù).解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n.∵它的內(nèi)角和等于(n－2)?180°，多邊形外角和等于360°，∴(n－2)?180°=2×360o.解得

n=6.∴這個多邊形的邊數(shù)為6.講授新課例題6

已知一個多邊形的每個內(nèi)角與外角的比都是7:2，求這個多邊形的邊數(shù).解法一：設(shè)這個多邊形的內(nèi)角為7x°,外角為2x°,根據(jù)題意得7x+2x=180，解得x=20.即每個內(nèi)角是140°，每個外角是40°.360°÷40°=9.答：這個多邊形是九邊形.還有其他解法嗎？例題7講授新課解法二：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n

,根據(jù)題意得解得n=9.答：這個多邊形是九邊形.講授新課【變式題】一個正多邊形的一個外角比一個內(nèi)角大60°，求這個多邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)及邊數(shù)．解：設(shè)該正多邊形的內(nèi)角是x°，外角是y°，則得到一個方程組解得而任何多邊形的外角和是360°，則該正多邊形的邊數(shù)為360÷120=3，故這個多邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)是60°，邊數(shù)是三條．講授新課

如圖，在正五邊形ABCDE中，連接BE，求∠BED的度數(shù)．解：由題意得AB=AE,所以∠AEB=(180°-∠A)=36°，所以∠BED=∠AED-∠AEB=108°-36°=72°.講授新課例題8當(dāng)堂練習(xí)當(dāng)堂反饋即學(xué)即用1.判斷．(1)當(dāng)多邊形邊數(shù)增加時，它的內(nèi)角和也隨著增加.()(2)當(dāng)多邊形邊數(shù)增加時，它的外角和也隨著增加.()(3)三角形的外角和與八邊形的外角和相等．()2.一個正多邊形的內(nèi)角和為720°，則這個正多邊形的每一個內(nèi)角等于______．120°當(dāng)堂練習(xí)3.如圖所示，小華從點(diǎn)A出發(fā)，沿直線前進(jìn)10米后左轉(zhuǎn)24°，再沿直線前進(jìn)10米，又向左轉(zhuǎn)24°，…，照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地點(diǎn)A時，走的路程一共是________米．150當(dāng)堂練習(xí)4.一個多邊形的內(nèi)角和不可能是（）A.1800°B.540°C.720°D.810°D5.一個多邊形從一個頂點(diǎn)可引對角線3條，這個多邊形內(nèi)角和等于（）A.360°B.540°C.720°D.900°B當(dāng)堂練習(xí)6.一個多邊形的內(nèi)角和為1800°，截去一個角后，求得到的多邊形的內(nèi)角和.解：∵1800÷180＝10，∴原多邊形邊數(shù)為10＋2＝12.∵一個多邊形截去一個內(nèi)角后，邊數(shù)可能減1，可能不變，也可能加1，∴新多邊形的邊數(shù)可能是11，12，13，∴新多邊形的內(nèi)角和可能是1620°，1800°，1980°.當(dāng)堂練習(xí)能力提升：如圖，求∠