2024年全國(guó)高考甲卷理數(shù)真題試卷含答案

試題PAGE1試題2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）一、單選題1．設(shè)，則（

）A． B． C．10 D．2．集合，則?AA∩B=（A． B． C． D．3．若實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最小值為（

）A． B． C． D．4．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A． B． C．1 D．25．已知雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（

）A．4 B．3 C．2 D．6．設(shè)函數(shù)，則曲線在處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為（

）A． B． C． D．7．函數(shù)在區(qū)間的大致圖像為（

）A． B．C． D．8．已知，則（

）A． B． C． D．9．已知向量，則（

）A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件10．設(shè)是兩個(gè)平面，是兩條直線，且.下列四個(gè)命題：①若，則或

②若，則③若，且，則

④若與和所成的角相等，則其中所有真命題的編號(hào)是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④11．在中內(nèi)角所對(duì)邊分別為，若，，則（

）A． B． C． D．12．已知b是的等差中項(xiàng)，直線與圓交于兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．二、填空題13．的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)的最大值是．14．已知甲、乙兩個(gè)圓臺(tái)上、下底面的半徑均為和，母線長(zhǎng)分別為和，則兩個(gè)圓臺(tái)的體積之比．15．已知，，則．16．有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中不放回地隨機(jī)抽取3次，每次取1個(gè)球.記為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，為取出的三個(gè)球上數(shù)字的平均值，則與差的絕對(duì)值不超過(guò)的概率是．三、解答題17．某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造，升級(jí)改造后，從該工廠甲、乙兩個(gè)車間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下：優(yōu)級(jí)品合格品不合格品總計(jì)甲車間2624050乙車間70282100總計(jì)96522150(1)填寫如下列聯(lián)表：優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品甲車間乙車間能否有的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？能否有的把握認(rèn)為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？(2)已知升級(jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率，設(shè)為升級(jí)改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率.如果，則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了，根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了？（）附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和為．19．如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值．20．設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且軸．(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，證明：軸．21．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．22．在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)寫出的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線l：（為參數(shù)），若與l相交于兩點(diǎn)，若，求的值.23．實(shí)數(shù)滿足．(1)證明：；(2)證明：．2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）一、單選題1．設(shè)，則（

）A． B． C．10 D．【答案】A【解析】根據(jù)，則.故選A2．集合，則?AA∩B=（A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，則A∩B=1,4,9，?故選D3．若實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】實(shí)數(shù)滿足，作出可行域如圖：根據(jù)可得，即的幾何意義為的截距的，則該直線截距取最大值時(shí)，有最小值，此時(shí)直線過(guò)點(diǎn)，聯(lián)立，解得，即，則.故選D.4．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】由結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，即可計(jì)算出公差，即可得的值.【解析】由，則，則等差數(shù)列的公差，故.故選B.5．已知雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（

）A．4 B．3 C．2 D．【答案】C【分析】由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得焦距，結(jié)合雙曲線定義計(jì)算可得，即可得離心率.【解析】根據(jù)題意，、、，則，，，則，則.故選C.6．設(shè)函數(shù)，則曲線在處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算可得其在點(diǎn)處的切線方程，即可得其與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得其面積.【解析】，則，即該切線方程為，即，令，則，令，則，所以該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積.故選A.7．函數(shù)在區(qū)間的大致圖像為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用函數(shù)的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D.【解析】，又函數(shù)定義域?yàn)椋试摵瘮?shù)為偶函數(shù)，故A、C錯(cuò)誤，又，故D錯(cuò)誤.故選B.8．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先將弦化切求得，再根據(jù)兩角和的正切公式即可求解.【解析】因?yàn)椋?，，所以，故選B.9．已知向量，則（

）A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件【答案】C【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.【解析】A，當(dāng)時(shí)，則，所以，解得或，即必要性不成立，A錯(cuò)誤；B，當(dāng)時(shí)，則，解得，即必要性不成立，B錯(cuò)誤；C，當(dāng)時(shí)，，故，所以，即充分性成立，C正確；D，當(dāng)時(shí)，不滿足，所以不成立，即充分性不立，D錯(cuò)誤.故選C.10．設(shè)是兩個(gè)平面，是兩條直線，且.下列四個(gè)命題：①若，則或

②若，則③若，且，則

④若與和所成的角相等，則其中所有真命題的編號(hào)是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④【答案】A【分析】根據(jù)線面平行的判定定理即可判斷①；舉反例即可判斷②④；根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可判斷③.【解析】①，當(dāng)，因?yàn)?，，則，當(dāng)，因?yàn)?，，則，當(dāng)既不在也不在內(nèi)，因?yàn)?，，則且，①正確；②，若，則與不一定垂直，②錯(cuò)誤；③，過(guò)直線分別作兩平面與分別相交于直線和直線，因?yàn)?，過(guò)直線的平面與平面的交線為直線，則根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理知，同理可得，則，因?yàn)槠矫?，平面，則平面，因?yàn)槠矫妫?，則，又因?yàn)?，則，③正確；④，若與和所成的角相等，如果，則，④錯(cuò)誤；①③正確，故選A.11．在中內(nèi)角所對(duì)邊分別為，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，再利用正弦定理得到的值，最后代入計(jì)算即可.【解析】因?yàn)?，由正弦定理?由余弦定理可得:，即:，根據(jù)正弦定理得，所以，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，則.故選C.12．已知b是的等差中項(xiàng)，直線與圓交于兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．【答案】C【分析】結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)將代換，求出直線恒過(guò)的定點(diǎn)，采用數(shù)形結(jié)合法即可求解.【詳解】因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，，代入直線方程得，即，令得，故直線恒過(guò)，設(shè)，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：，設(shè)圓心為，畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當(dāng)時(shí)，最小，，此時(shí).

故選C二、填空題13．的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)的最大值是．【答案】5【分析】先設(shè)展開(kāi)式中第項(xiàng)系數(shù)最大，則根據(jù)通項(xiàng)公式有，進(jìn)而求出即可求解.【解析】根據(jù)題展開(kāi)式通項(xiàng)公式為，且，設(shè)展開(kāi)式中第項(xiàng)系數(shù)最大，則，，即，又，故，所以展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第9項(xiàng)，且該項(xiàng)系數(shù)為.答案為：5.14．已知甲、乙兩個(gè)圓臺(tái)上、下底面的半徑均為和，母線長(zhǎng)分別為和，則兩個(gè)圓臺(tái)的體積之比．【答案】【分析】先根據(jù)已知條件和圓臺(tái)結(jié)構(gòu)特征分別求出兩圓臺(tái)的高，再根據(jù)圓臺(tái)的體積公式直接代入計(jì)算即可得解.【解析】根據(jù)題可得兩個(gè)圓臺(tái)的高分別為，，所以.答案為：.15．已知，，則．【答案】64【分析】將利用換底公式轉(zhuǎn)化成來(lái)表示即可求解.【解析】由題，整理得，或，又，所以，故答案為：64.16．有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中不放回地隨機(jī)抽取3次，每次取1個(gè)球.記為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，為取出的三個(gè)球上數(shù)字的平均值，則與差的絕對(duì)值不超過(guò)的概率是．【答案】【分析】根據(jù)排列可求基本事件的總數(shù)，設(shè)前兩個(gè)球的號(hào)碼為，第三個(gè)球的號(hào)碼為，則，就的不同取值分類討論后可求隨機(jī)事件的概率.【解析】從6個(gè)不同的球中不放回地抽取3次，共有種，設(shè)前兩個(gè)球的號(hào)碼為，第三個(gè)球的號(hào)碼為，則，故，故，故，若，則，則為：，因此有2種，若，則，則為：，，因此有10種，當(dāng)，則，則為：，，因此有16種，當(dāng)，則，同理有16種，當(dāng)，則，同理有10種，當(dāng)，則，同理有2種，共與的差的絕對(duì)值不超過(guò)時(shí)不同的抽取方法總數(shù)為，因此所求概率為.答案為：三、解答題17．某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造，升級(jí)改造后，從該工廠甲、乙兩個(gè)車間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下：優(yōu)級(jí)品合格品不合格品總計(jì)甲車間2624050乙車間70282100總計(jì)96522150(1)填寫如下列聯(lián)表：優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品甲車間乙車間能否有的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？能否有的把握認(rèn)為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？(2)已知升級(jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率，設(shè)為升級(jí)改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率.如果，則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了，根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了？（）附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)答案見(jiàn)詳解(2)答案見(jiàn)詳解【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計(jì)算，并與臨界值對(duì)比分析；（2）用頻率估計(jì)概率可得，根據(jù)題意計(jì)算，結(jié)合題意分析判斷.【解析】（1）根據(jù)題意可得列聯(lián)表：優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品甲車間2624乙車間7030可得，因?yàn)?，所以有的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異，沒(méi)有的把握認(rèn)為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異.（2）根據(jù)題意可知：生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品的頻率為，用頻率估計(jì)概率可得，又因?yàn)樯?jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率，則，可知，所以可以認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了.18．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和為．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用退位法可求的通項(xiàng)公式．（2）利用錯(cuò)位相減法可求.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，，所以即，而，故，故，∴數(shù)列是以4為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.（2）,所以故所以，.19．如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)見(jiàn)詳解；(2)【分析】（1）結(jié)合已知易證四邊形為平行四邊形，可證，進(jìn)而得證；（2）作交于，連接，易證三垂直，采用建系法結(jié)合二面角夾角余弦公式即可求解.【解析】（1）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面；?）如圖所示，作交于，連接，因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪危?，所以，結(jié)合（1）為平行四邊形，可得，又，所以為等邊三角形，為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪危瑸橹悬c(diǎn)，所以，四邊形為平行四邊形，，所以為等腰三角形，與底邊上中點(diǎn)重合，，，因?yàn)?，所以，所以互相垂直，以方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則，即，令，得，即，則，即，令，得，即，，則，故二面角的正弦值為.20．設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且軸．(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，證明：軸．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)，根據(jù)的坐標(biāo)及軸可求基本量，故可求橢圓方程.（2）設(shè)，，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，用的坐標(biāo)表示，結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)前者可得，故可證軸.【解析】（1）設(shè)，由題設(shè)有且，故，故，故，故橢圓方程為.（2）直線的斜率必定存在，設(shè)，，，由可得，故，故，又，而，故直線，故，所以，故，即軸.21．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)極小值為，無(wú)極大值.(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)可求函數(shù)的極值.（2）求出函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，就、、分類討論后可得參數(shù)的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，故，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，故在上為增函數(shù)，而，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在處取極小值且極小值為，無(wú)極大值.（2），設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故，即，所以在上為增函數(shù)，故.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，故在上，即在上即為減函數(shù)，故在上，錯(cuò)誤.當(dāng)，此時(shí)在上恒成立，同理可得在上恒成立，錯(cuò)誤；綜上，.22．在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)寫出的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線l：（為參數(shù)），若與l相交于兩點(diǎn)，若，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)可得的直角方程.（2）將直線的新的參數(shù)方程代入的直角方程，法1：結(jié)合參數(shù)的幾何意義可得關(guān)于的方