吉林省松原市普通高中2025屆高三數(shù)學(xué)4月統(tǒng)一模擬考試試題文含解析

PAGE1-吉林省松原市一般中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)4月統(tǒng)一模擬考試試題文（含解析）一?選擇題1.若全集，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得集合，由此求得.【詳解】由解得，所以，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查集合補(bǔ)集概念和運(yùn)算，考查對(duì)數(shù)不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.2.若是虛數(shù)單位，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)除法法則可知，分子分母同時(shí)乘，整理后即可選出正確答案.【詳解】解：.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法.易錯(cuò)點(diǎn)是誤把當(dāng)成1進(jìn)行計(jì)算.3.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)（）A. B. C.6 D.-6【答案】C【解析】【分析】由向量平行的坐標(biāo)表示計(jì)算．【詳解】因?yàn)椋?，解得．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查向量平行的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題．4.若，且，則（）A. B. C.7 D.【答案】D【解析】【分析】由同角三角函數(shù)關(guān)系，求得，再由兩角和的正切公式綻開求解即可.【詳解】若，且，則，所以，故.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)中給值求值問題，屬于基礎(chǔ)題.5.若某10人一次競賽得分?jǐn)?shù)據(jù)如莖葉圖所示，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是（）A.93 B.83 C.82.5 D.72【答案】A【解析】【分析】看哪個(gè)數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)多．【詳解】從莖葉圖看93出現(xiàn)次數(shù)最多，因此眾數(shù)是93．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖，考查眾數(shù)概念，正確相識(shí)莖葉圖是解題基礎(chǔ)．6.以橢圓的長軸端點(diǎn)作為短軸端點(diǎn)，且過點(diǎn)的橢圓的焦距是（）A.16 B.12 C.8 D.6【答案】D【解析】分析】設(shè)所求橢圓的方程為，將點(diǎn)代入，求出，由即可求解.【詳解】設(shè)所求橢圓的方程為，將點(diǎn)代入，解得，則，即，，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的簡潔幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.7.已知函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.若將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個(gè)單位長度，則得函數(shù)的圖象D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】D【解析】【分析】依據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)推斷．【詳解】，因此函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，A正確；，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，B正確；將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個(gè)單位長度，得圖象的函數(shù)解析式為，C正確；時(shí)，，在上不單調(diào)，因此函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，D錯(cuò)．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查正弦型三角函數(shù)的對(duì)稱性，單調(diào)性，及圖象變換，駕馭正弦函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則公差（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】列出公差和首項(xiàng)的方程組，解之可得．【詳解】由題意，解得，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的基本量法，駕馭基本量法是解等差數(shù)列問題的基礎(chǔ)．9.執(zhí)行右面的程序框圖，若輸出的結(jié)果是，則輸入的為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】試題分析：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；；當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，輸出S，此時(shí)，所以選B.考點(diǎn)：循環(huán)結(jié)構(gòu)10.已知在中，角的對(duì)邊分別為，若，且，則的面積是（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】由三角形內(nèi)角和與兩角和與差的正弦公式求得，再由同角三角函數(shù)關(guān)系求得，進(jìn)而由余弦定理求得a，最終由三角形面積公式求得答案.【詳解】因?yàn)椋?，即，則，所以，故.因?yàn)?，所以，所以角為銳角，故，由余弦定理可知，，解得或.當(dāng)時(shí)，的面積；當(dāng)時(shí)，的面積.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查由余弦定理解三角形，并利用隨意三角形面積公式求面積，屬于簡潔題.11.已知點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)，，分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，若的外接圓半徑為4，且為銳角，則（）A.15 B.16 C.18 D.20【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理求得，利用余弦定理結(jié)合雙曲線的定義求得.【詳解】依題意，.在三角形中，，由正弦定理得，即，由于為銳角，所以.依據(jù)雙曲線的定義得.在三角形中，由余弦定理得，即，即，即，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的定義，考查正弦定理和余弦定理解三角形，屬于中檔題.12.若對(duì)隨意成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對(duì)分成兩種狀況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)進(jìn)行分類探討，由此求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由于，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，取，則，所以在區(qū)間上不恒成立.構(gòu)造函數(shù)，，所以在上遞減，在上遞增，在區(qū)間上的微小值也即是最小值為..當(dāng)時(shí)：取，則成立，當(dāng)時(shí)，，由得.由于在上遞減，所以，則.當(dāng)時(shí)，，得.由于在上遞減，在上遞增，所以，則.綜上所述，的取值范圍是.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討不等式恒成立問題，考查分類探討的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.二?填空題13.已知冪函數(shù)的圖像過點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為______.【答案】【解析】【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)干脆代入冪函數(shù)解析式中，可求出的值【詳解】解：因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖像過點(diǎn)，所以，即，解得，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查冪函數(shù)的定義及解析式，屬于基礎(chǔ)題.14.若實(shí)數(shù)，滿意不等式組，則的最小值為______.【答案】2【解析】【分析】作出可行域，將目標(biāo)函數(shù)看作是可行域內(nèi)一個(gè)點(diǎn)與兩點(diǎn)間距離的平方，結(jié)合圖像可求出最優(yōu)解，進(jìn)而可求出所求的最小值.【詳解】解：如圖，作出表示的可行域，設(shè)，可看作是可行域內(nèi)一個(gè)點(diǎn)與兩點(diǎn)間距離的平方，記與軸交點(diǎn)為，因?yàn)榕c連線的斜率為，，所以與垂直，進(jìn)而可知，可行域內(nèi)到的距離最短，故的最小值為，故答案為:2.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃求最值.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二找、三求”：（1）作出可行域（肯定要留意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)依據(jù)目標(biāo)函數(shù)的特點(diǎn)找到最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.15.如圖，在邊長為2的正六邊形內(nèi)隨機(jī)地撒一把豆子，落在正六邊形內(nèi)的豆子粒數(shù)為626，落在陰影區(qū)域內(nèi)的豆子粒數(shù)為313，據(jù)此估計(jì)陰影的面積為_______.【答案】【解析】【分析】由正六邊形的面積公式求得總的面積，再由幾何概型概率的計(jì)算公式構(gòu)建方程，求得滿意條件的部分的面積，即陰影的面積.【詳解】邊長為2的正六邊形的面積.據(jù)題設(shè)分析即幾何概型的概率可知陰影區(qū)域面積.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查由幾何概型的概率求圖形的面積，屬于基礎(chǔ)題.16.已知在三棱錐中，，，兩兩相互垂直且長度相等，的面積是，過棱作三棱錐的外接球的截面，則截面面積的最小值為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，由已知條件結(jié)合面積公式可求出；通過分析可求出當(dāng)為截面圓的直徑時(shí)，截面面積取最小值，繼而可求出截面圓的半徑，即可求出截面面積.【詳解】解：設(shè)，則，所以為等邊三角形，所以，解得或(舍去)，由題意知，當(dāng)為截面圓的直徑時(shí)，截面面積取最小值，此時(shí)截面圓半徑為，所以截面面積為，故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球問題.本題的關(guān)鍵是求出的長.本題的難點(diǎn)是分析出何時(shí)截面面積最小.三?解答題17.已知等比數(shù)列滿意，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)的和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)已知條件計(jì)算出，由此求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）利用錯(cuò)位相減求和法求得數(shù)列的前項(xiàng)的和.【詳解】（1）依題意，所以.（2），設(shè)其前項(xiàng)和為，則，，兩式相減得.所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算，考查錯(cuò)位相減求和法，屬于中檔題.18.加班，系指除法定或者國家規(guī)定的工作時(shí)間外，即正常工作日延長工作時(shí)間或者雙休日以及國家法定假期期間延長工作時(shí)間.有的工作人員在正常工作日不能主動(dòng)主動(dòng)工作，致使有的工作任務(wù)要到正常工作日延長工作時(shí)間完成，這不能稱為“加班”，只有建立合理的考核方案，才能調(diào)動(dòng)廣闊工作人員的主動(dòng)性.某勞動(dòng)組織對(duì)“工作時(shí)間”的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)如下表：每天的工作時(shí)間(單位：小時(shí))評(píng)價(jià)級(jí)別良好一般加班嚴(yán)峻加班超重加班2024年5月1日，該勞動(dòng)組織從某單位某個(gè)月中隨機(jī)抽取10天“工作時(shí)間”的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)繪制出的頻率分布直方圖如下：（1）若嚴(yán)峻加班的天數(shù)是一般加班天數(shù)的2倍，求，的值；（2）在（1）條件下，若從這10天中評(píng)價(jià)級(jí)別是“良好”或“一般加班”的天數(shù)里隨機(jī)抽取2天，求“這2天的‘工作時(shí)間’屬于同一評(píng)價(jià)級(jí)別”的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖小長方形的面積和，以及嚴(yán)峻加班的天數(shù)是一般加班天數(shù)的倍，列方程組，解方程組求得的值.（2）利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率.詳解】（1）依題意.（2）由（1）可知這10天中評(píng)價(jià)級(jí)別是“良好”有天，設(shè)為；評(píng)價(jià)級(jí)別是“一般加班”有天，設(shè)為.從中抽取天，全部可能為共種，其中這天的“工作時(shí)間”屬于同一評(píng)價(jià)級(jí)別的為共種，所以“這2天的‘工作時(shí)間’屬于同一評(píng)價(jià)級(jí)別”的概率為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查頻率分布直方圖，考查古典概型概率計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.19.如圖，在四棱錐中，，，，，過點(diǎn)作平面的垂線，垂足為與的交點(diǎn)，是線段的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若四棱錐的體積為，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）通過構(gòu)造平行四邊形的方法，證得平面.（2）利用四棱錐的體積求得，由，解得是的中點(diǎn)，求得三棱錐的體積.【詳解】（1）設(shè)是的中點(diǎn)，連接.由于，，所以，由于是的中點(diǎn)，所以是三角形的中位線，所以，由于，，，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以.由于平面，平面，所以平面.（2）依題意可知四邊形是直角梯形，所以.依題意可知平面，所以，所以.由于是的中點(diǎn)，所以究竟面的距離是的一半，即三棱錐的高為..由于，所以，所以，所以，所以.所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行的證明，考查幾何體體積的求法，考查空間想象實(shí)力和邏輯推理實(shí)力，屬于中檔題.20.已知拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，.（1）求拋物線的方程；（2）當(dāng)時(shí)，求直線的方程.【答案】（1）;（2）或.【解析】【分析】（1）依據(jù)，則可得，可得結(jié)果.（2）巧設(shè)直線方程，然后與拋物線方程聯(lián)立可得關(guān)于的一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理，以及，可得參數(shù)，則可得直線方程.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以所求拋物線的方程為；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為..，解得或.設(shè)，，則所以，則，，，所以則，，又，所以，得，滿意.所以直線的方程為或.即所求直線的方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的應(yīng)用，對(duì)拋物線給出焦點(diǎn)要想到準(zhǔn)線，同時(shí)直線與圓錐曲線的結(jié)合往往聯(lián)立方程并結(jié)合韋達(dá)定理，考驗(yàn)分析實(shí)力以及計(jì)算實(shí)力，屬中檔題.21.已知函數(shù).（1）求的最值；（2）若時(shí)，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，最小值為，沒有最大值.當(dāng)時(shí)，最大值為，沒有最小值；（2）.【解析】【分析】（1）利用的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合對(duì)進(jìn)行分類探討，由此求得的最值.（2）利用分別常數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)，求得的取值范圍.【詳解】（1）依題意，所以當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增，所以在處取得最小值，沒有最大值.當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減，所以在處取得最大值，沒有最小值.（2）依題意，當(dāng)時(shí)，恒有，即，即，即.構(gòu)造函數(shù)，，所以在上遞增，在上遞減，所以，所以.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的最值，考查利用導(dǎo)數(shù)探討不等式恒成立問題，考查分類探討的數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.22.已知在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的一般方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）當(dāng)曲線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1),;(2)【解析】【分析】(1)消去參數(shù)即可得的一般方程；通過對(duì)兩邊同乘，結(jié)合公式即可求出的直角坐標(biāo)方程.(2)令圓心到直線的距離小于半徑，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：(1)由可知，所以，即的一般方程為，由可得，所以，即，所以的直角坐標(biāo)方程為.(2)由題意知表示以為圓心，為半徑的圓，圓心到直線的距離；因?yàn)榍€與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以，即，解得.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為一般方程，考查了極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程