福建省福州民族中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)10月月考試題

PAGE12-福建省福州民族中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)10月月考試題一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的）1．若,則“”是“”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件2．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，則的值為()。A、B、C、D、3．已知命題P：，則為（）A． B．C． D．4．已知A為拋物線C：y2＝2px（p＞0）上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p＝（）A．2 B．3 C．6 D．95．設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)且傾斜角為的直線交于，兩點(diǎn)，則（）A． B． C． D．6．直線y＝k（x﹣2）+1與橢圓的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相交 C．相切 D．無(wú)法推斷7.在橢圓＝1內(nèi)，通過(guò)點(diǎn)M（1，1）且被這點(diǎn)平分的弦所在的直線方程為（）A．9x﹣16y+7＝0 B．16x+9y﹣25＝0 C．9x+16y﹣25＝0 D．16x﹣9y﹣7＝08．已知點(diǎn)是拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的對(duì)稱軸與其準(zhǔn)線的交點(diǎn)，過(guò)作拋物線的切線，切點(diǎn)為，若點(diǎn)恰好在以、為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為()。A、B、C、D、二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分）9．已知雙曲線：(，)的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且兩條漸近線的夾角為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()。A、B、C、D、10．下列命題中正確的是（）A．， B．，C．， D．，11．橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，以下說(shuō)法正確的是（）A．過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為.B．橢圓上存在點(diǎn)，使得C．橢圓的離心率為D．為橢圓一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)，的最大距離為.12．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)F的直線與E交于A，B兩點(diǎn)，C，D分別為A，B在l上的射影，且，M為AB中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．為等腰直角三角形C．直線AB的斜率為 D．的面積為4三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)13．已知命題“，使”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________．14.已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線上，若直線的斜率為，則直線的斜率為_(kāi)_____________．15．設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2﹣＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上且|OP|＝2，則△PF1F2的面積為_(kāi)_____________．16．已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿意的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是_____________．解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.已知p：實(shí)數(shù)x滿意不等式（x﹣a）（x﹣3a）＜0（a＞0），q：實(shí)數(shù)x滿意不等式|x﹣5|＜3．（1）當(dāng)a＝1時(shí)，p∧q為真命題，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；（2）若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．18．（本小題滿分12分）已知拋物線與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，斜率為的直線過(guò)點(diǎn)．（1）求雙曲線的漸近線方程及離心率；（2）求直線被拋物線所截得的弦長(zhǎng)．19．已知命題：方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，命題：,不等式恒成立.（1）若“”是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若“”為假命題，“”為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.已知橢圓C：（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)（，1），且離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在過(guò)點(diǎn)P（0，3）的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且滿意，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．21．（本小題滿分12分）已知橢圓，拋物線的焦點(diǎn)均在軸上，的中心和的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)，從、上分別取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中：(1)求、的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線：()與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且線段的垂直平分線過(guò)定點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。22．（本小題滿分12分）已知圓：，點(diǎn)，以線段為直徑的圓內(nèi)切于圓，記點(diǎn)的軌跡為。(1)求曲線的方程；(2)若、為曲線上的兩點(diǎn)，記、，且，試問(wèn)的面積是否為定值？假如是，請(qǐng)賜予證明；假如不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。

福州民族中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上10月月考數(shù)學(xué)答案1.【答案】A2.【解析】方程變形為，∵焦點(diǎn)在軸上，∴，解得，又，∴，解得則，故選D。3.【答案】C4.【解答】解：A為拋物線C：y2＝2px（p＞0）上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離相等，故有：9+＝12?p＝6；故選：C．5.【解析】由題意，得．又因?yàn)?，故直線AB的方程為，與拋物線聯(lián)立，得，設(shè)，由拋物線定義得，，選C．6.【解析】由題知，直線恒過(guò)定點(diǎn)，將點(diǎn)代入可得，故在橢圓內(nèi)，直線與橢圓相交故選：B點(diǎn)睛：點(diǎn)，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，若點(diǎn)在橢圓內(nèi)，則；若點(diǎn)在橢圓上，則；若點(diǎn)在橢圓外，則.7.【解答】解：設(shè)以點(diǎn)M（1，1）為中點(diǎn)的弦兩端點(diǎn)為P1（x1，y1），P2（x2，y2），則x1+x2＝2，y1+y2＝2．又，①，②①﹣②得：＝0又據(jù)對(duì)稱性知x1≠x2，則＝﹣，∴以點(diǎn)M（1，1）為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k＝﹣，∴中點(diǎn)弦所在直線方程為y﹣1＝﹣（x﹣1），即9x+16y﹣25＝0．故選：C．8.【解析】由題意，得、，設(shè)過(guò)的拋物線的切線方程為：，聯(lián)立得：，令，得，即，不妨設(shè)，由雙曲線的定義得，，則該雙曲線的離心率為，故選C。9.【解析】?jī)蓷l漸近線的夾角為，∴或，又，，解得或，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或，故選BC。10.11.12.【詳解】過(guò)點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，，設(shè)，如下圖所示：A．因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以平分，同理可知平分，所以，故結(jié)論正確；B．假設(shè)為等腰直角三角形，所以，所以四點(diǎn)共圓且圓的半徑為，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，明顯不成立，故結(jié)論錯(cuò)誤；C．設(shè)直線的方程為，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以直線的斜率為，故結(jié)論正確；D．取，由上可知，所以，所以，故結(jié)論錯(cuò)誤.故選：AC.14.【解析】由題可知，，設(shè)，則．設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，則，因?yàn)椋裕?5.【解答】解：由題意可得a＝1，b＝，c＝2，∴|F1F2|＝2c＝4，∵|OP|＝2，∴|OP|＝|F1F2|，∴△PF1F2為直角三角形，∴PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2＝4c2＝16，∵||PF1|﹣|PF2||＝2a＝2，∴|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|?|PF2|＝4，∴|PF1|?|PF2|＝6，∴△PF1F2的面積為S＝|PF1|?|PF2|＝3，16.【解析】∵，∴點(diǎn)在以為直徑的圓上，又點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，∴，∴，即，∴，即，又，∴【解答】解：p：實(shí)數(shù)x滿意不等式（x﹣a）（x﹣3a）＜0（a＞0），解得：a＜x＜3a．a(chǎn)＞0．q：實(shí)數(shù)x滿意不等式|x﹣5|＜3，解得2＜x＜8．（1）當(dāng)a＝1時(shí)，p：1＜x＜3．p∧q為真命題，∴，解得2＜x＜3．∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是2＜x＜3．（2）若p是q的充分不必要條件，則，等號(hào)不能同時(shí)成立，解得：2≤a≤．∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是2≤a≤．18.【解析】（1）令，可得雙曲線的漸近線方程為，（2分）雙曲線的離心率．（4分）（2）將與聯(lián)立，消去可得，解得（負(fù)值舍去），因?yàn)辄c(diǎn)位于第一象限，所以，（6分）因?yàn)樾甭蕿榈闹本€過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程為，即，（7分）將代入，消去可得，設(shè)直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，則，，（10分）所以直線被拋物線所截得的弦長(zhǎng)．（12分）19.20.【解答】解：（1）由已知點(diǎn)代入橢圓方程得，由e＝得可轉(zhuǎn)化為a2＝2b2，由以上兩式解得a2＝4，b2＝2，所以橢圓C的方程為：．（2）存在這樣的直線．當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，明顯不滿意，所以設(shè)所求直線方程l：y＝kx+3代入橢圓方程化簡(jiǎn)得：（1+2k2）x2+12kx+14＝0，①，②△＝（12k）2﹣4×14×（1+2k2）＞0，，設(shè)所求直線與橢圓相交兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），由已知條件可得x2＝2x1③，綜合上述①②③式子可解得符合題意，所以所求直線方程為：y＝．21.【解析】(1)設(shè)拋物線：()，則有()，1分據(jù)此驗(yàn)證個(gè)點(diǎn)知，在拋物線上，易求：，2分設(shè)橢圓：()，把點(diǎn)，代入得：，3分解得，，∴的方程為：；4分(2)設(shè)，，將代入橢圓方程，消去得：，5分∴，即，①6分由根與系數(shù)關(guān)系得，則，7分∴線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，8分又線段的垂直平分線的方程為，9分由點(diǎn)在直線上，得，10分即，∴，11分由①得，∴，即或，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是。12分22.【解析】(1)取，連接，設(shè)動(dòng)圓的圓心為，∵兩圓相內(nèi)切，∴，又，∴，2分∴點(diǎn)的軌是以、為焦點(diǎn)的橢圓，其中，，3分∴、、，∴的軌跡方程為；4分(2)當(dāng)軸