第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析

信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)——多媒體教學課件長沙理工大學電氣學院電子信息工程系X長沙理工大學

電氣與信息工程學院第3章

連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析信號與系統(tǒng)q3.1信號的正交分解q3.2周期信號的連續(xù)時間傅里葉級數(shù)q3.3周期函數(shù)信號的頻譜q3.4非周期信號的連續(xù)時間傅里葉變換q3.5傅里葉變換的性質(zhì)q3.6周期信號的傅里葉變換q3.7連續(xù)時間信號的抽樣定理q3.8連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析q3.9相關(guān)函數(shù)與能譜密度函數(shù)X長沙理工大學

電氣與信息工程學院信號與系統(tǒng)第3章

連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析時域分析是以沖激函數(shù)為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列沖激信號之和，即yf(t)=f(t)*h(t)。本章將以正弦信號和虛指數(shù)信號ejw

t為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列不同頻率的正弦信號或虛指數(shù)信號之和。這里用于系統(tǒng)分析的獨立變量是頻率，故稱為頻域分析。3.1

信號的正交分解3.1.1

矢量的正交分解1.

正交矢量q兩個矢量V

與V

的點積：V

·

V

=

V

V

cos121212定義：V

與V

正交是指其點積(內(nèi)積)為0，即12兩矢量的夾角為90ooT2V

·

V

=

V

V

cos(90

)

=

0

或

V

·

V

=

V

V

=

01211212X長沙理工大學

電氣與信息工程學院信號與系統(tǒng)3.1

信號的正交分解2.

矢量的分解由兩兩正交的矢量組成的矢量集合，稱為正交矢量集。如在三維空間中，矢量V1=（2，0，0）、V

=（0，2，0）和V

=（0，0，2)23所組成的集合就是一個正交矢量集。并且是一個完備正交矢量集。三維空間中的任意一個矢量

V均可精確地表示為

{V1,V2,V3}

的線性組合：V=

c

V

+c

V

+c

V1

12

23

3V

·

VjV其中

Cj

==

cos(

)

j

=

1,2,3qjV

·

V

Vjjj例如，矢量V=(2，5，8)可以表示為

V=V

+

2.5V

+4V123X長沙理工大學

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信號的正交分解推廣：對于n維矢量空間，由

n個互相正交的矢量組成一個n維的完備正交矢量集{V

,V

……V

}，其中的任一矢量

V都可1

2n表示為n?V

=

c

V

+

c

V

+

...+

c

V

+

...+

c

V

=

c

V1

12

2r

rn

ni

ii=1式中

V

·

V

=

0

(i

1

j)

，加權(quán)系數(shù)

c

的計算方法如前。iji3.1.2

信號的正交分解1.

正交函數(shù)定義1：在(t

,

t

)區(qū)間上的兩個函數(shù)

f

(t)和

f

(t)，設均為復函1

212數(shù)，若滿足t2兩信號的內(nèi)積為0òt*f

(t)

f

(t)dt

=

0121則稱信號

f

(t)和

f

(t)在區(qū)間(t

,t

)內(nèi)正交。121

2X長沙理工大學

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信號的正交分解2.

信號的正交分解定義2：設有一函數(shù)集{

g

(t),g

(t),…,g

(t)}，當這些函數(shù)在區(qū)12n間(t

,

t

)內(nèi)滿足12ì

0,

i

1

jt2ò*g

(t)g

(t)dt

=íijKi

1

0,

i

=

jt1?則稱此函數(shù)集為在區(qū)間(t

,t

)的正交函數(shù)集。12定義3：如果在正交函數(shù)集{

g

(t),g

(t),….g

(t)}之外，不存在12n其他的非零函數(shù)

f(t)滿足t2ò*f

(t)g

(t)dt

=

0

(i

=

1,

2,?

,n）it1則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。例如：三角函數(shù)集{1,cos(n

t),sin(n

t)，n=1,2,…}

和虛指數(shù)函數(shù)集{ejnwt，n=0,±1,±2,…}是兩組典型的在區(qū)間(t

,t

+T)上的完備正交函數(shù)集(T=2p

w

)

。00通常，一個完備正交函數(shù)集包括無窮多個正交函數(shù)。X長沙理工大學

電氣與信息工程學院信號與系統(tǒng)3.1

信號的正交分解定理3.1

設{

g

(t)|

i=1,2,…,n}在

(t

,t

)區(qū)間上是關(guān)于某一類i1

2信號的完備正交函數(shù)集，則這一類信號中的任何一個信號

f(t)都可以精確地表示為{

g

(t)}的線性組合，即in?f

(t)

=

c

g

(t)

t

?

(t

,t

)i

i1

2i=1tò2*f

(t)g

(t)dtit式中

ci

為加權(quán)函數(shù)，且ci

=1t2ò2g

(t)

dtit1定理3.2

根據(jù)函數(shù)的正交性，由定理3.1可得信號的能量為：ttf

(t)

2

dt

=?c

g

(t)

dt2ò2ò2i

it1t1i物理意義：f(t)

的能量等于各個分量的能量之和，即能量守恒。定理3.2有時也稱為帕斯瓦爾定理（Parsval定理）。X長沙理工大學

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連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析3.2

連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)本節(jié)討論周期信號的正交分解形式：三角形式的傅里葉級數(shù)和指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)。3.2.1

三角形式的傅里葉級數(shù){sin(nw

t),

cos(nw

t)

|

n

=

0,1,

2,…}可以證明三角函數(shù)集00在區(qū)間(t

,

t

+T)上是一個完備正交函數(shù)集，其中T=2p/000t

+Tò0cos(nw

t)×sin(mw

t)dt

=

0因為00t0ì

0

n

1

mì

0

n

1

m?t

+T?t

+Tòt0wwsin(n

t)×sin(m

t)dt

=òt0wwí

Tcos(n

t)×cos(m

t)dt

=00í

Tn

=

m00n

=

m?00??

2?

2oo當n=0時，cos

0

=

1,sin

0

=

0

，上述正交函數(shù)集可具體寫為：{1,

cos(w

t),

cos(2w

t),…,

sin(w

t),

sin(2w

t),…}0000X長沙理工大學

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連續(xù)周期信號傅里葉級數(shù)對任何的周期為T的周期信號

f(t)，當滿足狄里赫利(Dirichlet)條件時，根據(jù)定理3.1，它可分解為如下三角級數(shù)形式：a￥?f

(t)

=

0

+

[a

cos(nw

t)

+

b

sin(nw

t)]

(3.2.5)n0n02n=12p稱為基波角頻率，a

,b

稱為傅里葉系數(shù)

。式中w0

=nnT——周期信號

f(t)的三角形式傅里葉級數(shù)展開式22t

+Tt

+T0ò0wòwf

(t)

sin(n

t)dtan

=f

(t)cos(n

t)dt

，b

=其中0n0TTtt002t

+Tò0f(t)當n=0時，a0

=f

(t)dt

，為

的直流分量。Tt0易知，a

是

n

的偶函數(shù)，b

是

n的奇函數(shù)。nn計算

a

和

b

時，t

可任取，一般取0或-T/2。nn0X長沙理工大學

電氣與信息工程學院信號與系統(tǒng)3.2

連續(xù)周期信號傅里葉級數(shù)將(3.2.5)式中的同頻率項合并，可改寫為a02￥A02￥??f

(t)

=

+

[a

cos(nw

t)

+

b

sin(nw

t)]

=+

A

cos(nw

t

+j

)n0n0n0nn=1n=1上式表明，周期信號可分解為直流分量和許多諧波分量之和。u

A

/2為直流分量；(式中A

=a

)000u

A

cos(

t+j

)稱為基波或一次諧波，它的角頻率與原周期101信號

f(t)的角頻率相同；u

A

cos(2

t+j

)稱為二次諧波，它的頻率是基波的2倍；202u

一般而言，A

cos(n

t+j

)稱為

n次諧波。n0nì?2n2nA

=

a

+bjì

a

=

A

cosnnnní?bnaní振幅An、相位jn與函數(shù)

a

、b

的jn

=

-

arctanjb

=

-

A

sin?nnn?n關(guān)系n可見

A

是

n的偶函數(shù)，

j

是

n

的奇函數(shù)。nnX長沙理工大學

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3.2

連續(xù)周期信號傅里葉級數(shù)例3.2.1

求如圖所示信號

f(t)的傅里葉級數(shù)展開式。f

(t)TTE-222T3T443TTtO--44E-2f(t)的傅里葉級數(shù)展開式為：(a

=

0,b

=

0)0nn-

1演示2Ep1?f

(t)

=[

(-

1)

cos(nw

t)]20nn為正奇數(shù)2Ep11=

[cos(w

t)-

cos(

3w

t)+

cos(

5w

t)

-

......]00035其中

w0

=

2p

TX長沙理工大學

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3.2

連續(xù)周期信號傅里葉級數(shù)結(jié)論：1.

f(t)為偶函數(shù)——對稱于縱坐標TT22òf

(t)

cos(nw

t)d

t

b

=òwf

(t)

sin(n

t)d

tan

=22T0nT0TT--22bn

=0，展開式中只有直流分量和余弦分量。2.

f(t)為奇函數(shù)——對稱于原點an

=0，展開式為正弦級數(shù)。3.2.2

指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)三角形式的傅里葉級數(shù)，含義比較明確，但運算常感不便，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)?？捎烧恢笖?shù)函數(shù)集得到，也可從三角形式推出：利用

cost=(ejt

+e–jt)/2X長沙理工大學

電氣與信息工程學院信號與系統(tǒng)3.2

連續(xù)周期信號傅里葉級數(shù)jnw

t容易證明：指數(shù)函數(shù)集{

e

,n

為整數(shù)}在區(qū)間(t

,

t

+T)上為正交函數(shù)集。證明如下：000t

+Tt

+Tt

+Twjm

t

*wjn

tw-jm

twj(n-

m)

tw0òt0jn

tò0ò0e

(e

)

dt

=

e

e

dt

=

edt0000tt000j(n-

m)w

tj(n-

m)w

tì

0

,m

1

nee0

00

0j(n-

m)w

Tj(n-

m)2p=[e-

1]

=[e-

1]

=0íj(n

-

m)w02pj(n

-

m)w0T

,m

=

n?式中

T

=

，m、n

為整數(shù)。w0任意函數(shù)

f(t)都可在區(qū)間(t

,

t

+T)內(nèi)用此正交函數(shù)集表示：00￥L+

=

F

eL

?jw

tj2w

t-

jw

t-

j2w

tjnw0tf

(t)

=F

+

F

e

+

F

e

+

+

F

e

+

F

e0000012-

1-

2nn=-

￥t

+T*ò0(jnw

t0)f

(t)

edtdt1t

+T其中

Fn

為加權(quán)系數(shù)(也稱為復振幅)tò0-

jnw

tf

(t)e

dtFn

==00t

+T*wjn

t

(e

jn

tw)tò0e000Tt0——周期信號

f(t)的指數(shù)形式傅里葉級數(shù)展開式X長沙理工大學

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連續(xù)周期信號傅里葉級數(shù)周期函數(shù)

f(t)的指數(shù)形式傅里葉級數(shù)與三角形式傅里葉級數(shù)之間的關(guān)系：A0An21jjjjnF0

=,

|

Fn

|=,

F

=|

F

|

e

=

A

ennnn22a

,

A

,

F兩種傅里葉級數(shù)中的系數(shù)關(guān)于n的偶函數(shù)：nnnb

,

jnn的奇函數(shù)：n3.3.3

周期信號的功率周期信號一般是功率信號，其平均功率為1￥A02￥1T2??ò222nP=f

(t)

dt

=

|

F

|

=

(

)

+

AnT2n=10n=-

￥即直流分量和各次諧波分量在1W電阻上消耗的平均功率之和。稱上式為

帕斯瓦爾(Parseval)等式X長沙理工大學

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連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析3.3

周期函數(shù)信號的頻譜3.3.1

周期信號頻譜的概念：從廣義上說，信號的某種特征量隨信號頻率變化的關(guān)系，稱為信號的頻譜，所畫出的圖形稱為信號的頻譜圖。周期信號的頻譜是指周期信號中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系，即將A

~

和j

~

的關(guān)系分別畫在以

為橫軸的平面上得到nn的兩個圖，分別稱為振幅頻譜圖和相位頻譜圖。因為n≥0，即=n

0≥0，所以稱這種頻譜為單邊頻譜。也可畫|F

|~

和j

~

的關(guān)系，稱為雙邊頻譜。若F

為實nnn數(shù)，也可直接畫Fn。X長沙理工大學

電氣與信息工程學院信號與系統(tǒng)3.3

周期函數(shù)信號的頻譜1

?p

2p

?

1

?p

p

?例：周期信號

f(t)=

1-

cos

t-+

sin

t

-?÷?÷24

3

43

6è

?è?試求該周期信號的基波周期T，基波角頻率w0，畫出它的單邊頻譜圖，并求

f(t)的平均功率。解：首先應用三角級數(shù)公式改寫

f(t)的表達式，即1

?p

2p?

1

?p

p

p

?f

(t)

=

1+

cos

t

-

+p

+

cos

t

-

-?÷?÷24

343

6

2èè??顯然1是該信號的直流分量。1

?p

p

?1

?p2

?pcos

t+

的周期T

=8，

cos

t-的周期T2=6?÷?÷124

343

3è?è?所以

f(t)的周期

T=24，基波角頻率

0=2π/T=

π/12221

?1

?

1

?1

?

37根據(jù)帕斯瓦爾等式，其功率為

P=

1++=?

÷?

÷2

2

2

432è

?

è

?X長沙理工大學

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周期函數(shù)信號的頻譜1

?p

p

?cos

t

+p/4]

/[p/12]=

3次諧波分量；÷

是

f(t)的[?24

3?è1

?p

2p

?cos

t

-f(t)的[p/3]

/[p/12]=

4次諧波分量；÷

是?43

3è?畫出

f(t)的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如下jnAp02312pppp1431264pppp2p3-12643X長沙理工大學

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周期函數(shù)信號的頻譜3.3.2

周期信號頻譜的特點舉例：如圖所示，有一幅度為E，脈沖寬度為t

的周期矩形脈沖，其周期為T。求其頻譜。tt-2

2Tt2p1ET-

jnw

t-

jnw

tw解：

òòF

=f

(t)e

dt

=e

dt

(

=

)2200tnT0TT--22nw0tnw0t2nw0tsin()sin-jn

twtEtE

e2E02===2tT

-

j

nw0T

nw0T-22sin

x令

Sa(x)

=(抽樣函數(shù)）xX長沙理工大學

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周期函數(shù)信號的頻譜tnw

tEF

=

Sa(0),n=0,±1，±2，…nT2Fn

為實數(shù)，可直接畫成一個頻譜圖。nw

t2mpnw0

=(m為整數(shù))=

p

，故零點為0

m由t2EtT2pt4pt2pt-特點：

(1)離散性，由不連續(xù)的譜線組成；(2)諧波性，譜線位置是基頻w0的整數(shù)倍；(3)收斂性，雖有起伏，但總趨勢減小，即|Fn|→0X長沙理工大學

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周期函數(shù)信號的頻譜Et演示T2pt4pt2p-t頻譜結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系：u

T一定，t

變小，此時w0

(譜線間隔)不變。兩零點之間的譜線數(shù)目：w1/w0

=(2p/t)/(2p/T)=T/t

增多。u

t

一定，T增大，間隔w0

減小，頻譜變密，幅度減小。如果周期T無限增長（這時就成為非周期信號），則譜線間隔將趨近于零，周期信號的離散頻譜就過渡到非周期信號的連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小。周期矩形脈沖的主要能量集中在頻率

0到2p/t

內(nèi)，故常將2p這段頻率范圍稱為其頻帶寬度，記為

Bw

=(rad/s)tX長沙理工大學

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連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析3.4

非周期信號的連續(xù)傅里葉變換3.4.1

傅里葉變換非周期信號

f(t)可看成是周期

T→∞

時的周期信號。前面已指出當周期

T→∞時，譜線間隔w0趨近于無窮小，從而信號的頻譜變?yōu)檫B續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度|Fn|→0，不過，這些無窮小量之間仍有差別。為了描述非周期信號的頻譜特性，引入頻譜密度的概念。由指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)公式：￥T1?òf

(t)=Fnej

nw0t=jn

t-

w其中

Fn2f

(t)e

dt0TT-n=-￥2Fp2

FTò===f

t-

jnw

t0tn

F

Tn2

(

)e

d因此(單位頻率上的頻譜)nw0T1/

T-2X長沙理工大學

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非周期信號的連續(xù)傅里葉變換2

FpTò-

wjn

tF(

j

)

limw

=FnT=limn=lim2f

t(

)e

dt令0w0TT

?

￥T

?

￥T

?

￥-2￥Fn?f

(t)

lim=ejnw0t

w0改寫wT

?

￥n=-￥0考慮到：T→∞，w0

→無窮小，記為dw

；￥?￥ò?nw0

→w

(由離散量變?yōu)檫B續(xù)量)，-￥n=-￥￥ò-

jwt=

F[

f

(t)]w

=F(

j

)f

(t)e

d

t于是，-￥￥1òf

(t)=F(

j

)e

d

=wjwtw-w1F

[F(

j

)]2p-￥F(jw)稱為

f(t)的傅里葉正變換或頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜。f(t)稱為F(jw)的傅里葉反變換或原函數(shù)。f(t)與

F(jw)的對于關(guān)系可以簡記為：

f

(t)

F(

j

)?wX長沙理工大學

電氣與信息工程學院信號與系統(tǒng)3.4

非周期信號的連續(xù)傅里葉變換說明：(1)前面推導并未遵循嚴格的數(shù)學步驟?？勺C明，信號

f(t)的傅里葉變換存在的充分條件(但不是必要條件)是：￥òf

(t)dt

<

￥(絕對可積)-￥(2)用下列關(guān)系還可方便計算一些積分12p￥￥òòF(0)

=

f

(t)dtf

(0)=w

wF(

j

)d-￥-￥3.4.2

非周期信號的頻譜函數(shù)F(jw)一般是復函數(shù)，可寫為F(jw)=|

F(jw)|e

j

=R(

)+jX(

)j(w)ww習慣上將|F(jw)|~w的關(guān)系曲線稱為

f(t)的幅度頻譜（但|F(jw)|并不是幅度），j

(w)~w的關(guān)系曲線稱為相位頻譜。X長沙理工大學

電氣與信息工程學院信號與系統(tǒng)3.4

非周期信號的連續(xù)傅里葉變換重要結(jié)論：u

若

f(t)為

t

的實偶函數(shù)，即

f(t)=f(-t)

時，則

f(t)的頻譜函數(shù)

F(jw

)為w

的實偶函數(shù)；u

若

f(t)為

t

的實奇函數(shù)，即

f(t)=-f(-t)

時，則

f(t)的頻譜函數(shù)F(jw)為w

的虛函數(shù)，且為w的奇函數(shù)。3.4.3

典型信號的傅里葉變換gt

(t)ìt1￡tt?

1

,

t==

e（

+

-

e（

-t

)2t

)1.

單位門函數(shù)

gt

(t)í22?0

,其他?t-t2t

2Owtwt-

jjt-ee22￥òòw

=F(

j

)gt

(t)e-

jwt

dt=e-

wj

tdt

=2tF(jw)-

wj-￥-t22

sin(wt

/

2)wt=

t

Sa(

)=w22pt2pt-wt4pt4ptwO-g

(t)

?

t

Sa(

)簡記為：t2gt

(t)X長沙理工大學

電氣與信息工程學院信號與系統(tǒng)3.4

非周期信號的連續(xù)傅里葉變換ata2.單邊指數(shù)函數(shù)

f(t)=e–

(t)，實數(shù)

>0(

w)|F

j

|1a11e

(t)-ate

?a2+

w2a

+

jww0e-ate(t)11￥òw

=F(

j

)-a

t

-

jw

te

e

d

t=

-e-

a

+

jw

t

￥()=a

+

wj0ja

+

w0t

aa?

?3.雙邊指數(shù)函數(shù)

f(t)=e–

,

>0(

w)F

j2a2a+

w-a

te

?a22w0e-a

t112a+w0￥òò0F(

j

)w

=e

e

dat-

wjtt+-a

t

-

jw

te

e

dt=+=a

-

jw

a

+

jw

a22-￥X長沙理工大學

電氣與信息工程學院信號與系統(tǒng)3.4

非周期信號的連續(xù)傅里葉變換4.沖激函數(shù)

d

(t)、d

′(t)￥òd

?

d(t)(t)e

dt

1-

jw

t=-￥￥dòd

?

d'(t)-

jw

t'(t)e

d

t=

-e-

jw

tj=

wt=0dt-￥5.直流信號

1有一些函數(shù)不滿足絕對可積這一充分條件，如1,e(t)等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解?？蓸?gòu)造一函數(shù)序列{

fn(t)}逼近

f

(t)，即f

(t)

=

lim

f

(t)nn?

￥而

f

(t)滿足絕對可積條件，并且{

f

(t)}的傅里葉變換所形成的序nn列{Fn(jw)}是極限收斂的。則可定義

f(t)的傅里葉變換F

(jw)為F(

jw)

=

lim

F

(

jw)nn?

￥這樣定義的傅里葉變換也稱為廣義傅里葉變換。X長沙理工大學

電氣與信息工程學院信號與系統(tǒng)3.4

非周期信號的連續(xù)傅里葉變換2a-a

tf

(t)

=

e

?

F

(

jw)

=(a

>

0)構(gòu)造aaa2+

w2lim

f

(t)

=

1

=

f

(t)=?因為ad

(

)a

?

00,

w

1

02+

waì所以

F(

jw)

=

lim

F

(

jw)

=

lim=íaa22￥

w

=,0a

?

0a

?

0?2a+

w2wawa￥￥òòl(fā)imdw

lim=d=lim

2

arctan￥-￥=

2p又a22(

)2a

?

0

-￥a

?

0

-￥

1+

w

aa

?

0因此，

1

?

2pd

(w)另一種求法：

d

(t)

?1

代入反變換定義式，有12p12p￥￥òò-￥e

djw

t

w

=

dw

w(t)

將

→t，t→-

，則-

jw

t=

d

-we

dt

(

)-￥再根據(jù)傅里葉變換定義式，得￥ò?-

jw

t=

pd

-w

=

pd

we

dt

2

(

)

2

(

)1-￥X長沙理工大學

電氣與信息工程學院信號與系統(tǒng)3.4

非周期信號的連續(xù)傅里葉變換ì

-1,

t

<

0sgn(t)

=

ísgn(t)6.符號函數(shù)(

w)|F

j

|1,

t

>

0?22jw2wsgn(t)

?w0sgn(t)ì

1,

t

>

0e(t)

=7.階躍函數(shù)íX(

)w0,

t

<

0?e

(t)1pd

(w)w1jwe(t)

?

pd

(w)+w01w-1

1e(t)

=

+

sgn(t)，故得e(t)因為2

2常用信號的傅里葉變換公式見教材103頁1F

[e(t)]

=

pd

(w)+jwX長沙理工大學

電氣與信息工程學院信號與系統(tǒng)第3章

連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析3.5

傅里葉變換的性質(zhì)￥òw

=F(

j

)f

(t)e-

jw

t

dt信號的時域描述和頻域描述是相互聯(lián)系的，如右圖。由于它們-￥一是一一對應的，引起

F(jw)的改變。下面分析它們的關(guān)聯(lián)性質(zhì)。f(t)的改變必會一對應1￥ò1.線性性質(zhì)f

(t)=F(

jw)ejw

tdw2p

-￥如果

f

(t)

?

F

(jw)，

f

(t)

?

F

(jw)1122af

(t)+bf

(t)

?

aF

(jω)+bF

(jω)則1212演示2.時移性質(zhì)如果

f(t)

?F(jw),則有f

(t

t

)

e

F(

j

)-

?

-

jw

tw00物理意義：在時域中信號右移

t

，其頻域函數(shù)的幅度不變，而各頻率分0量的相位比原來

f(t)的各頻率分量的相位滯后了w

t

，即時域延遲→頻域0相位滯后。X長沙理工大學

電氣與信息工程學院信號與系統(tǒng)3.5

傅里葉變換的性質(zhì)例1：求如圖所示的信號

f(t)的頻譜

F(jw)=?=-解:

因為

f

(t)

=f

(t)

–

g

(t)，已知公式

f

(t)=1?

2pd(w)

，g

(t)

?

2Sa(w)1212∴

F(jw)

=2pd(w)

-2Sa(w)例2：求下圖中的信號

f(t)的頻譜

F(jw)=?=+解:

∵

f

(t)

=g

(t-

5)

,

f

(t)

=

g

(t-

5)1622-

?w-

j5w-

?g

(t

5)

6

Sa(3

)ew-

j5w

，g

(t

5)

2

Sa(

)e由時移性質(zhì)得26\F(

jw)

=

[6

Sa(3

)

2

Sa(

)]e

j5w

+w-wX長沙理工大學

電氣與信息工程學院信號與系統(tǒng)3.5

傅里葉變換的性質(zhì)3.頻移性質(zhì)如果

f(t)

?F(jw),則有

f

(t)ejw0t?w

-

w

w)]

(

為常數(shù))F[

j(00物理意義：在無線電領(lǐng)域中，諸如調(diào)制、混頻、同步解調(diào)等都需要進行頻譜的搬移。而頻譜搬移的基本原理就是將信號

f(t)乘以正弦載波信號，即11jw0t--

jw0tw

=cos

t(ejw0t

+

-

jw

t)ew

=sin

t(ee)由00022

j1f

(t)

cosw

t

?

{F[

j(w

-w

)]+

F[

j(w

+

w

)]}容易導出調(diào)制定理：00021f

(t)sinw0t

?{F[

j(w

-w

)]-

F[

j(w

+w

)]}002

j思考：ej3t

、cosw

t、sinw

t

的頻譜函數(shù)分別是什么？004.尺度變換性質(zhì)如果

f(t)?

F(jw),則有1

?

w

?|

a

|

è

a

?f

(at)

?F

j(常數(shù)a≠0)?

÷物理意義：將信號

f(t)在時間軸上壓縮

1/a，則其對應的頻譜在

軸上要擴展

a倍，同時頻譜的幅度也減少到原來的

1/|a|

。X長沙理工大學

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傅里葉變換的性質(zhì)f

(-t)

?

F

(-

jw)若取

a=

-1,那么（時域倒置定理）5.

對稱性質(zhì)(

)F(

jt)

?

2p

f

-w如果

f(t)

?

F(jw),則有物理意義：利用對稱性，可以方便地求某些信號的頻譜，特別是有些直接由定義無法求解的信號，往往利用對稱性很容易求得。(

)?

pd

w1

2d

?例如：由

(t)

1得wtt

tg

(t)

?

t

Sa(

)t?

p

w由得

Sa(

)

2

g

(

)t2t2例3：已知

f(t)

?

F(jw),

求信號

f(at-b)的頻譜函數(shù)。1w?F(

j

)解：先用尺度變換性質(zhì)，有：

f

(at)|

a

|a再用時移性質(zhì)，從而有：bb1w-

j

wf

(at

-

b)

=

f

[a(t-

)]

?F(

j

)eaa|

a

|aX長沙理工大學

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傅里葉變換的性質(zhì)1jt

-1-

p

-w

e

wf

(t)

=?

F(

jw)

=

?

2

e

(

)例4：11-t

e

?e

(t)e

(t)-a

e

?a

>(

0)

，得t解：由1+

jwa

+

wj12

e

(

)?

pwe

-w利用對稱性，得jt

+112

e

(

)?

p

-w

e

w--再由時域倒置，得-

jt

+

11+1

tpe-|w|?

F(

jw)

=

?2a例5：

f

(t)

=22+w-a|t|?e-|t|

?e，令

=1，則解：由a2+

w2212+1

t1+?

p

-|w

|2

e?

pe-|w|對稱性，即221

t1￠j2pd

(w)-

jp

sgn(w)例6：

f

(t)

=

t

+

?

F(

jw)

=

?tX長沙理工大學

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傅里葉變換的性質(zhì)6.

時域卷積性質(zhì)若

f

(t)

?

F

(jw)，

f

(t)

?

F

(jw),1122則

f

(t)*f

(t)

?

F

(jw)F

(jw)1212物理意義：該性質(zhì)將系統(tǒng)分析中的時域方法與頻域方法緊密聯(lián)系在一起。7.

頻域卷積性質(zhì)若

f1(t)?

F

(jw)，

f2(t)?

F

(jw),1212p則

f

(t)f

(t)

?

F

(jw)*F

(jw)12122?sint

?è

t

?解：由于是?F(

j

)

?w

=

pL

(w)F(jω)例7：?÷4πwtg

(t)

?

t

Sa(

)?

wg

(t)

2

Sa(

)，得t22ω-2

022

Sa(t)

?

2p

g

(-w),

Sa(t)

?

p

g

(w)222?sint

?1p=Sa2(t)?[

g

(

)]*[

g

(

)]

g

(

)*

g

(

)

(

)p

w

p

w

=

w

=

pL

ww?÷222242p2è

t

?X長沙理工大學

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傅里葉變換的性質(zhì)8.

時域微分和積分性質(zhì)如果

f(t)

?

F(jw),則有dn

f

(t)?

w(

j

)

F(

j

),nf

(t)w

這里

滿足

±￥

=f

(

)

0ndtF(

jw)jwt￥òò-￥f

(x)d

x

?

p

F(0)d

(w)+,

這里F(0)

=

f

(t)dt-￥10.

頻域微分和積分性質(zhì)dn-n?F(

j

)w如果

f(t)

?

F(jw),則有

(

jt)

f

(t)wndf

(t)-

jt12pw￥òò-￥p

f

(0)d

(t)

+?

F(

jx)d

x,

這里

f

(0)

=F(

jw)dw-￥例題：教材109頁

例3.5、例3.7例8：已知信號

f(t)如圖所示，

其頻譜函￥ò數(shù)為F(jw),求F(

jw)dw

=

?

2p

E-￥X長沙理工大學

電氣與信息工程學院信號與系統(tǒng)3.5

傅里葉變換的性質(zhì)12.

帕斯瓦爾定理

(Parsvaltheory)如果

f(t)

?

F(jw),則12p￥￥ò2òF(

jw)

2

dwE

=

f

(t)

dt

=-￥-￥sin

5tp

tf

(t)

=

2

cos(100t)例9：求信號的能量。解：由

t

t

?

p

wSa(

t

2)

2

g

(

)t

=，令

1

0，得到tsin

5t

5=

Sa(5t)

?5

2pg

(w)

=

g

(w)ptpp1010101又因為

f

(t)

cosw

t

?

{F[

j(w

-w

)]+

F[

j(w

+

w

)]}0002sin

5t?

g

(w

-100)

+

g

(w

+

100)則

2

cos(100t)pt101012p12p12p10p￥-95105ò2ò

ò-10595E

=F(

jw)

dw

=

[

1dw

+

1dw]

=

(10

+

10)

=-￥X長沙理工大學

電氣與信息工程學院信號與系統(tǒng)第3章

連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析3.6

周期信號的傅里葉變換1.

時域與頻域的周期性及連續(xù)性的對應關(guān)系時域信號周期(非周期)連續(xù)(離散)頻域頻譜離散(連續(xù))非周期(周期)2.

一般周期信號的傅里葉變換￥T1?，其中=Fn

ejnw0tòfT

(t)=-

jnw

t設Fnf

(t)e

d

t20TTT-n=-￥2e2

(

n

)jnw0t

?

pd

w

-

w因為0￥￥??fT

(t)=Fnejnw0t

?w

=

pF

(

j

)

2d

w

-

wF

(

n

)Tn0n=-￥n=-￥X長沙理工大學

電氣與信息工程學院信號與系統(tǒng)3.6

周期信號的傅里葉變換￥?d

(t)

=

d

(t

-

nT)例1：周期為T的單位沖激周期函數(shù)的頻譜。Tn=-￥T11ò解：

=d(t)e

dt=-

jnw

tF20因此得到nTTTT-22p￥￥??dT

(t)

?d

(w

-

nw

)

=

w

d

(w

-

nw

)

=

w

d

(w)0000

w0Tn=-￥n=

-￥(

)w0（a）周期脈沖信號(b)

周期脈沖信號的頻譜函數(shù)X長沙理工大學

電氣與信息工程學院信號與系統(tǒng)第3章

連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析3.7

連續(xù)時間信號的抽樣定理連續(xù)信號抽樣信號數(shù)字信號s(t)抽

樣量化編碼f

(t)fs(t)f

(k)fS(t)f(t)抽樣脈沖s(t)連續(xù)信號數(shù)字化原理圖抽樣器的電路模型所謂“抽樣”就是利用抽樣脈沖序列

s(t)從連續(xù)信號

f(t)中“抽取”一系列離散樣本值的過程。這樣得到的離散信號稱為“抽樣信號”?！俺闃印币卜Q為“采樣”或“取樣”。f

(t)′f

(t)

f

(t)s(t)=ss(t)抽樣器的數(shù)學模型要解決的問題：u

fs(t)是否保留了

f(t)的全部信息？u

在什么條件下，可以從

fs(t)中無失真地恢復出原信號

f(t)

？抽樣定理在連續(xù)信號與離散信號之間架起了一座橋梁，它論述了在一定條件下，一個連續(xù)信號完全可以用其離散樣本值表示。長沙理工大學

電氣與信息工程學院X信號與系統(tǒng)3.7

連續(xù)信號的抽樣定理3.7.1

信號的時域抽樣定理1.

理想抽樣（沖激抽樣）若s(t)是周期為T的沖激函數(shù)序列d

(t)，s則稱為理想抽樣。即Ts￥?s(t)

=

d

(t)

=

d

(t

-

nT

)d(t)TssTsn=-￥其中Ts

稱為抽樣周期或采樣間隔。用沖激序列dTs(t)對某連續(xù)信號

f(t)

進行取樣，得抽樣信號￥?抽樣f

(t)

=

f

(t)d

(t)

=

f

(nT

)d

(t

-

nT

)sTsssn=-￥下面分析

f

(t)是否包含了

f(t)的所有信息：s￥?已知

d

(t)

?

wd

(w

-

nws

)Tssn=-￥ws

=

2p

T其中稱為抽樣角頻率。sX長沙理工大學

電氣與信息工程學院信號與系統(tǒng)3.7

連續(xù)信號的抽樣定理(

w)抽樣信號fs(t)的頻譜為F

j演示sA￥1?(

)é

(

)ùF

j

w

-

nwTsF

jw

=??ssTn=-￥s-ww

w

w-ws分析討論：(

)mms(

)ww(1)F

jw

是以

為周期的連續(xù)頻譜，是

F

j

的等幅周期ss性延拓；1(

)(

)ww

=F

j

包含了原信號的全部信息，(2)

當

n=0時

，F(xiàn)s

j幅度相差Ts倍；Ts2

f

,則w

=

p(3)

若

f(t)為頻帶有限信號，設其最高角頻率為mm12

時，即Tw

3

w￡u

當，頻譜沒有混疊現(xiàn)象，利用低sms2

fm(

)wf(t)的最高頻率通濾波器，可從

F

j

中恢復原信號；s1u

當ws

<

2w構(gòu)原信號。時，即(

)，

w

發(fā)生混疊，將難以再重F

jTs

>ms2

fmX長沙理工大學

電氣與信息工程學院信號與系統(tǒng)3.7

連續(xù)信號的抽樣定理2.

原信號的恢復（信號重構(gòu)）①

頻域恢復演示當采樣間隔T

≤

1/(2f

)時，將抽樣信號通過下面的截止角sm頻率為w

(w

<w

<w

-w

)的理想低通濾波器，即可恢復原信號。cmcsmìT

,

w

w<-1wcp?Fsc(

)(

)wSa

tcH(

jw)

=

í=h

t

Ts?

0,

w

>

w?c(

)經(jīng)濾波后，取出的頻譜為

F(

jw)

=

F

jw

H(

jw)s②

時域恢復(

)￥wp?(

)[

f

(nT

)

(t

nT

)]*

[T

Sa(

t)]d

-f

t

=

f

(t)*h

t

=w由csssscn=-￥w￥?{

}f

(nT

)

Sa[w

(t

-

nT

)]f

(t)

=

Tsc得pscsn=

-￥上式表明，f(t)可以由無窮多個位于抽樣點的Sa函數(shù)線性組合而成，只要知道各采樣點的樣值

f(nTs)，就可唯一地確定出原信號

f(t)。X長沙理工大學

電氣與信息工程學院信號與系統(tǒng)3.7

連續(xù)信號的抽樣定理3.

實際抽樣（矩形抽樣）在工程實際中，s(t)是周期為Ts

脈沖寬度為

的矩形脈沖序列P

(t)，這種抽樣稱為矩形抽樣。即p

(t)TsTs￥?1s(t)

=

P

(t)

=

g

(t

-

nT

)Tsts......n=-￥f

(t)

=

f

(t)P

(t)得采樣信號sTstoTst其頻譜函數(shù)為12p(

)é

(

)ù(

)

éTsùF

jw

=

F

f

t

P

(t)

=

F

jw

*F

P

(t)?s???sTìüé?w

t

?ù￥n12p2pt?(

)(

)d

w

-

nw=

F

jw

*Saê

?ísy÷úsTè

2

???t?n=-￥st￥ì

?nw

t

?ü?é

(

-

)ùs=F

j

w

nw

yí

Sas?÷

??Tè

2

??tn=-￥sX長沙理工大學

電氣與信息工程學院信號與系統(tǒng)3.7

連續(xù)信號的抽樣定理矩形抽樣信號的頻譜(

)F

jwf(t)1oo-w

wwwwttmm(

)P

jwTsp

(t)Tstws1.........2πtt

o-wso

wsTs(

)F

jw(

)sf

ttsTs...oowTst-wwmssX長沙理工大學

電氣與信息工程學院信號與系統(tǒng)3.7

連續(xù)信號的抽樣定理(

w)F

j分析討論：tsTs(

)F

jw(

)w(1)F

jw

同樣是以

為周期對ss的延拓，但該周期延拓不是等幅的（幅度包絡為Sa

函數(shù)）；wmw-wswst(

)(

)ww

=F

j

包含了原信號的全部信息，(2)

當

n=0時

，F(xiàn)s

j幅度相差

/Ts倍；Tsw(3)

對于最高頻率為

的頻帶有限信號

f(t)，同樣有m1(

)F

jwu

當w

3

w

時，即

￡

，頻譜無混疊，可從2Tsssm中恢復原信號；2

fm1u

當ws

<

2w時，即

T

>

，F(xiàn)

j

出現(xiàn)混疊；(

)swms2

fm(4)

脈沖寬度

的變化會改變周期延拓的頻譜峰值包絡，但(

)w不影響

F

j

的本質(zhì)特征。sX長沙理工大學

電氣與信息工程學院信號與系統(tǒng)3.7

連續(xù)信號的抽樣定理4.

時域抽樣定理一個帶限信號

f(t)，若其頻譜在區(qū)間(-w

,

w

)以外為0，則mmf(t)可由它在均勻間隔T

上的抽樣值唯一確定，只要T≤1/(2f

)ssm注意：為恢復原信號，必須滿足兩個條件：（1）

f(t)必須是頻帶有限信號；（2）采樣頻率不能太低，必須

f≥2f

，或者說，采樣間隔不sm能太大，必須T≤1/(2f

)；否則將發(fā)生混疊。sm通常把最低允許的采樣頻率

f

=2f

稱為奈奎斯特(Nyquist)sm頻率，最大允許的采樣間隔T

=1/(2f

)稱為奈奎斯特間隔。sm3.7.3

頻域抽樣定理一個在時域區(qū)間(-tm,tm)以外為0的時限信號

f(t)的頻譜函數(shù)F(jw)，可由其在均勻頻率間隔

f

[f

≤1/(2t

)]上的樣值F

(jnw

)ssmss唯一地確定。X長沙理工大學

電氣與信息工程學院信號與系統(tǒng)3.7

連續(xù)信號的抽樣定理注意，對于某些特殊的信號(比如純正弦信號)，僅僅以f

=2f

進行取樣，所sm得的取樣信號并不能完全保留其幅度和相位信息。思考題：(1)

根據(jù)時域抽樣定理，對連續(xù)時間信號進行抽樣時，只要求采樣頻率

f

3

2f

。但在工程應用中，采樣頻率常設為

f

3

(3~5)f

，smsm為什么？實際濾波F(

j

)wF(

jw)wF(

j

)AoAA理想濾波wmwwmww(2)

若連續(xù)時間信號

f

(t)

的最高頻率

fm

未知，如何確定抽樣間隔

T？采用試探法：取較大的T，從抽樣信號頻譜可發(fā)現(xiàn)有混疊；逐漸減小T，當前后2次抽樣信號的第0周期頻譜之間沒有變化時，即可確定采樣間隔。X長沙理工大學

電氣與信息工程學院信號與系統(tǒng)3.7

連續(xù)信號的抽樣定理sint(

)g

t

=練習題：已知實信號

f(t)的最高頻率為

fm

(Hz)，而試計算下列各信號的奈奎斯特頻率。t①

f(2t)②

g(t)③

f(t)*g(2t)④

f(2t)g(2t)解：根據(jù)

信號時域與頻域的對應關(guān)系

及

抽樣定理

得：①

f(2t)的奈奎斯特頻率為

4fm

(Hz)；1②

g(t)的奈奎斯特頻率為

(Hz)；p2p③

f(t)*g(2t)的奈奎斯特頻率為

min(2

f

,

)

(Hz)；m2+④

f(2t)g(2t)的奈奎斯特頻率為

4f(Hz)。m

pX長沙理工大學

電氣與信息工程學院信號與系統(tǒng)第3章

連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析3.8

連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析傅里葉分析是將任意信號分解為無窮多項不同頻率的虛指數(shù)函數(shù)之和，即12p￥ò=F(

j

)e

dwwjwt基本信號為

ejwtf

(t)-￥3.8.1

基本信號

ejwt

激勵下的零狀態(tài)響應設LTI系統(tǒng)的沖激響應為h(t)，當激勵虛指數(shù)信號ejwt時，其零狀態(tài)響應為￥￥òò-￥=jwt=h(

)e

d

etj