3.2函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用課件高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第3課時(shí)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用第三章函數(shù)及其應(yīng)用核心考點(diǎn)·分類突破核心考點(diǎn)·分類突破

(-3,1)解題技法綜合應(yīng)用奇偶性與單調(diào)性解題的技巧(1)比較大小:先利用奇偶性,將不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個(gè)或多個(gè)自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間上的自變量的函數(shù)值,然后利用單調(diào)性比較大小.(2)解不等式:先將所給的不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)值的大小關(guān)系,再利用奇偶性得出區(qū)間上的單調(diào)性,再利用單調(diào)性“脫去”函數(shù)的符號(hào)“f”,轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問(wèn)題.

考點(diǎn)二函數(shù)的奇偶性與周期性[例2](1)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且周期為4,f(3)=-2,則f(2025)=(

)A.2 B.0 C.-2 D.-4【解析】選A.依題意,函數(shù)f(x)是奇函數(shù),又f(x)的周期為4,且f(3)=-2,則有f(2025)=f(-3+507×4)=f(-3)=-f(3)=2,所以f(2025)=2.(2)(多選題)(2023·青島質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(2x+1)是偶函數(shù),f(x-1)是奇函數(shù),則下列結(jié)論正確的是(

)A.f(x)=f(x-16) B.f(19)=0C.f(2024)=f(0) D.f(2023)=f(1)【解析】選ABC.因?yàn)閒(2x+1)是偶函數(shù),所以f(-2x+1)=f(1+2x),即f(1-x)=f(1+x),即函數(shù)關(guān)于x=1對(duì)稱,則f(x)=f(2-x).因?yàn)閒(x-1)是奇函數(shù),所以f(-x-1)=-f(x-1),則f(-x-2)=-f(x)=-f(2-x),即f(x-2)=-f(2+x),則f(x)=-f(x+4),即f(x+8)=-f(x+4)=f(x),即函數(shù)的周期是8,則f(x)=f(x-16)成立,故A正確;令x=0,由f(-x-1)=-f(x-1),得f(-1)=-f(-1),得f(-1)=0,f(3)=0,則f(19)=f(3)=0,故B正確;f(2024)=f(8×253+0)=f(0)成立,故C正確;f(2023)=f(8×253-1)=f(-1),故D錯(cuò)誤.解題技法綜合應(yīng)用奇偶性與周期性解題的技巧(1)根據(jù)已知條件及相關(guān)函數(shù)的奇偶性推出函數(shù)的周期;(2)利用函數(shù)的周期性將自變量較大的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為自變量較小的函數(shù)值,直到自變量的值進(jìn)入已知解析式的區(qū)間內(nèi)或與已知的函數(shù)值相聯(lián)系,必要時(shí)可再次運(yùn)用奇偶性將自變量的符號(hào)進(jìn)行轉(zhuǎn)化;(3)代入已知的解析式求解,即得欲求的函數(shù)值.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.(多選題)(2023·湖州模擬)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,若f(x+1)與f(x-1)都是偶函數(shù),則(

)A.f(x)是偶函數(shù)

B.f(x)是奇函數(shù)C.f(x+3)是偶函數(shù) D.f(x)=f(x+4)【解析】選CD.因?yàn)閒(x+1)是偶函數(shù),所以f(-x+1)=f(x+1),從而f(-x)=f(x+2).因?yàn)閒(x-1)是偶函數(shù),所以f(-x-1)=f(x-1),從而f(-x)=f(x-2),所以f(x+2)=f(x-2),即f(x+4)=f(x),所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù).因?yàn)閒(-x-1)=f(x-1),所以f(-x-1+4)=f(x-1+4),即f(-x+3)=f(x+3),所以f(x+3)是偶函數(shù).2.函數(shù)y=f(x)對(duì)任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函數(shù)y=f(x-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,f(1)=4,則f(2020)+f(2021)+f(2022)的值為

.

【解析】因?yàn)閥=f(x-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,所以函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,即函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù),所以f(0)=0.因?yàn)閒(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期為4,所以f(2021)=f(505×4+1)=f(1)=4,f(2020)=f(0)=0,f(2022)=f(2)=-f(0)=0,所以f(2020)+f(2021)+f(2022)=4.4

(2)(多選題)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(-x)+f(x)=0,且f(1-x)=f(1+x),則下列結(jié)論一定正確的是(

)A.f(x+2)=f(x)B.函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱C.函數(shù)y=f(x+1)是偶函數(shù)D.f(2-x)=f(x-1)【解析】選BC.對(duì)于A選項(xiàng),因?yàn)閒(-x)+f(x)=0,且f(1-x)=f(1+x),則f(1-(1+x))=f(1+(1+x)),即f(x+2)=-f(x),A錯(cuò);對(duì)于B選項(xiàng),因?yàn)閒(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),因?yàn)閒(-x)+f(x)=0,所以f(-(2+x))+f(2+x)=0,即f(2+x)=-f(-2-x)=-f(2-x),即f(2+x)+f(2-x)=0,故函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱,B對(duì);對(duì)于C選項(xiàng),因?yàn)閒(1-x)=f(1+x),所以函數(shù)y=f(x+1)是偶函數(shù),C對(duì);對(duì)于D選項(xiàng),因?yàn)閒(1-x)=f(1+x),所以f(1-(x-1))=f(1+(x-1)),即f(2-x)=f(x)≠f(x-1),D錯(cuò).解題技法由函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性可求函數(shù)的周期,常用于化簡(jiǎn)求值、比較大小等.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù),且f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=2-2x,則f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2024)的值為(

)A.-2 B.-1 C.0 D.1【解析】選D.因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,所以f(-x)=-f(2+x),又f(x)為R上的偶函數(shù),所以f(x)=f(-x),所以f(x+2)=-f(-x)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),所以f(x)是周期為4的周期函數(shù),所以f(3)=f(-1)=f(1)=2-2=0.又f(0)=1,f(2)=-f(0)=-1,所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2024)=506[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]+f(2024)=506×(1+0-1+0)+f(0)=1.

解題技法區(qū)別兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a+x)=f(b-x)表明的是函數(shù)圖象的對(duì)稱性,函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的是函數(shù)的周期性,在使用這兩個(gè)關(guān)系時(shí)不要混淆.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.(多選題)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x),且f(x)在[-1,0]上是增函數(shù).則下列命題正確的是(

)A.f(x)是周期函數(shù)B.f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱C.f(x)在[1,2]上是增函數(shù)D.f(2)=f(0)【解析】選ABD.因?yàn)閒(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期為4,即f(x)是周期函數(shù),故A正確;因?yàn)閒(x+2)=-f(x),所以f(-x+2)=-f(-x).又因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以f(2-x)=f(x),所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,故B正確;因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)