山西省朔州市懷仁市大地學(xué)校高中部2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

懷仁市大地學(xué)校2023-2024學(xué)年度下學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.寫在本試卷上無效.3.回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.4.考試結(jié)束后，將答題卡交回.第Ⅰ卷一?單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.從4名男生與3名女生中選兩人去參加一場數(shù)學(xué)競賽，則男女各一人的不同的選派方法數(shù)為（）A.7 B.12 C.18 D.24【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合分步計數(shù)原理，即可求解.【詳解】從4名男生與3名女生中選兩人，其中男女各一人，由分步計數(shù)原理，可得不同的選派方法數(shù)為種.故選：B.2.下列求導(dǎo)運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由基本初等函數(shù)求導(dǎo)法則，導(dǎo)數(shù)四則運算以及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則運算即可逐一判斷每個選項.【詳解】，，，.故選：D.3.二項式展開式的常數(shù)項為（）A. B.70 C. D.【答案】D【解析】【分析】由，令得出后代入計算即可得.【詳解】，令，即，故，即展開式的常數(shù)項為.故選：D.4.相關(guān)變量的散點圖如圖所示，現(xiàn)對這兩個變量進行線性相關(guān)分析，方案一：根據(jù)圖中所有數(shù)據(jù)，得到線性回歸方程，相關(guān)系數(shù)為；方案二：剔除點，根據(jù)剩下數(shù)據(jù)得到線性回歸直線方程：，相關(guān)系數(shù)為.則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的意義：其絕對值越接近，說明兩個變量越具有線性相關(guān)，以及負相關(guān)的意義作判斷.【詳解】由散點圖得負相關(guān)，所以，因為剔除點后，剩下點數(shù)據(jù)更線性相關(guān)性更強，則更接近，所以.故選：D.5.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為f'x，f'x的圖象如圖所示，則的圖象可能是（A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的圖象變化，判斷函數(shù)的圖象的變化情況，結(jié)合選項，即可得答案.【詳解】由f'x的圖象可知時，f'x>0，且此時的圖象應(yīng)是上升的，且上升趨勢越來越平緩，當(dāng)時，f'x>0，且f'此時的圖象應(yīng)是上升的，且上升趨勢越來越陡峭，結(jié)合選項，符合的圖象特征的為選項D中圖象，故選：D6.設(shè)隨機變量X的分布列為，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由分布列中所有概率和為1求解．【詳解】由題意，．故選：A．7.已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可知函數(shù)在每一段上為增函數(shù)，且在時，一次函數(shù)的值不小于二次函數(shù)的值，然后解不等式組可求得結(jié)果.【詳解】因為是定義在上的增函數(shù)，所以，解得.故選：B8.已知函數(shù)的圖象在x軸上方，對，都有，若的圖象關(guān)于直線對稱，且，則（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】先由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，即函數(shù)是偶函數(shù)，可得．再把代入，可得函數(shù)周期為4，求得，，即可求解．【詳解】因為的圖象關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，即函數(shù)是偶函數(shù)，故有．因為，都有，所以，所以，又函數(shù)的圖象在x軸上方，所以，所以，即函數(shù)的周期為4．當(dāng)，可得，所以，當(dāng)，可得，所以，所以，所以.故選：C．二?多項選擇題（在每小題給出的選項中，有多頂符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選頂，每選對一個得3分；若只有3個正確選項，每選對一個得2分）9.兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（）A.相關(guān)系數(shù)越接近，變量相關(guān)性越強B.落在回歸直線方程上的樣本點越多，回歸直線方程擬合效果越好C.相關(guān)指數(shù)越小，殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差D.若表示女大學(xué)生的身高，表示體重則表示女大學(xué)生的身高解釋了的體重變化【答案】ACD【解析】【分析】利用相關(guān)系數(shù)與相關(guān)指數(shù)的意義分析判斷即可.【詳解】對于A，相關(guān)系數(shù)越接近，相關(guān)性越強，故A正確；對于B，回歸直線方程擬合效果的強弱由決定系數(shù)或相關(guān)系數(shù)判定，故B錯誤；對于C，決定系數(shù)越小，殘差平方和越大，效果越差，故C正確；對于D，根據(jù)的實際意義可得，表示女大學(xué)生的身高解釋了的體重變化，故D正確．故選：ACD．10.對于函數(shù)，下列說法正確有（）A.在處取得最小值 B.在處取得最大值C.有兩個不同零點 D.【答案】BD【解析】【分析】利用單調(diào)性求最值判斷A,B，求零點判斷C，先轉(zhuǎn)換到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，在比大小判斷D即可.【詳解】定義域為，易得，令，,令，，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則的最大值為，故A錯誤，B正確，令，解得，可得只有一個零點，故C錯誤，易知，且結(jié)合單調(diào)性知，即成立，故D正確.故選：BD11.甲箱中有3個黃球?2個綠球，乙箱中有2個黃球?3個綠球（這10個球除顏色外，大小?形狀完全相同），先從甲箱中隨機取出2個球放入乙箱，記事件A，B，C分別表示事件“取出2個黃球”，“取出2個綠球”，“取出一黃一綠兩個球”，再從乙箱中摸出一球，記事件D表示摸出的球為黃球，則下列說法不正確的是（）A.A，B是對立事件 B.事件B，D相互獨立C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由互斥事件及獨立事件的概念可判斷A，B項，由條件概率公式及全概率公式可判斷C，D項．【詳解】對于A，事件A，B不能同時發(fā)生，但能同時不發(fā)生，故A，B是互斥事件，但不是對立事件，故A錯誤；對于B，事件B發(fā)生與否，影響事件D，所以事件B，D不是相互獨立事件，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選：ABD第II卷（非選擇題）三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.一名老師和兩名男生兩名女生站成一排照相，要求兩名女生必須站在一起且老師不站在兩端，則不同站法的種數(shù)為______．【答案】24【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用相鄰問題及有位置要求的元素占位，結(jié)合排列列式計算即得.【詳解】把兩名女生捆綁在一起視為一人，與兩名男生作全排列有種方法，再把老師插入中間兩個間隙中有種方法，而兩名女生的排列有種方法，所以不同站法的種數(shù)為.故答案為：2413.已知函數(shù)在時取得極大值4，則______．【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，待定系數(shù)計算并驗證即可.【詳解】由題意可知，因為函數(shù)在時取得極大值4，所以，解之得，檢驗，此時，令或，令，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即滿足題意，故.故答案為：14.設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，，則不等式的解集為_____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)在時的解析式，即可得到，則不等式，即，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到，解得即可.【詳解】因為是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，，設(shè)，則，所以，又，所以，所以，則，所以不等式，即，即，即，即，解得，即不等式的解集為.故答案為：四?解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）15.已知冪函數(shù)（）定義域為，且在上單調(diào)遞增．（1）求m的值；（2），不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)求解即可.（2）首先根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為，恒成立．再利用換元法求解即可.【小問1詳解】或，又因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，，（舍），，.【小問2詳解】，恒成立，，恒成立．令，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，故．16.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得答案；（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得當(dāng)時，恒成立，分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為求解二次函數(shù)的最值問題，即可求得答案.【小問1詳解】當(dāng)時，，則，∴，，曲線在點處的切線方程為，即．【小問2詳解】由題意得當(dāng)時，恒成立，∴在時恒成立，∵，則，由于二次函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時，，∴，即實數(shù)a的取值范圍是．17.已知函數(shù)的定義域為，值域為0,+∞，且對任意，，都有．．（1）求的值，并證明為奇函數(shù)．（2）若，，且，證明為上的增函數(shù)，并解不等式．【答案】（1）；證明見解析（2）證明見解析；解集為【解析】【分析】（1）賦值法令，可得；由給定性質(zhì)，證明即可.（2）證明的單調(diào)性，再由單調(diào)性解不等式.【小問1詳解】令，得，又函數(shù)的值域為0,+∞，∴．∵，∴，∴，∴為奇函數(shù)．【小問2詳解】任取，．．∵，∴．∵當(dāng)時，，∴，∴．又函數(shù)的值域為0,+∞，∴，即，∴為上的增函數(shù)．由，即，化簡得．∵，∴，∴．又為上增函數(shù)，∴，故的解集為．【點睛】方法點睛：抽象函數(shù)的性質(zhì)研究：①賦值法求特定元素的函數(shù)值；②利用已知抽象函數(shù)的等式性質(zhì)，證明函數(shù)的單調(diào)性；③利用單調(diào)性解相關(guān)表達式.18.每個國家對退休年齡都有不一樣的規(guī)定，2018年開始，我國關(guān)于延遲退休的話題一直在網(wǎng)上熱議，為了了解市民對“延遲退休”的態(tài)度，現(xiàn)從某地市民中隨機選取100人進行調(diào)查，調(diào)查情況如下表：年齡段（單位：歲）被調(diào)查的人數(shù)101520255贊成的人數(shù)61220122（1）從贊成“延遲退休”的人中任選1人，此年齡在的概率為，求出表格中，的值；（2）若從年齡在的參與調(diào)查的市民中按照是否贊成“延遲退休”進行分層抽樣，從中抽取10人參與某項調(diào)查，然后再從這10人中隨機抽取4人參加座談會，記這4人中贊成“延遲退休”的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1），（2）分布列見解析；期望為【解析】【分析】（1）的值等于總?cè)藬?shù)減去其余各組人數(shù)的和，利用的概率為求出的值；（2）利用分層抽樣的比例可以求出10人中，贊成的有8人，不贊成的有2人，而表示從10人中抽取的4人中贊成“延遲退休”的人數(shù)，所以的可能取值為2，3，4，然后求出其對應(yīng)的概率，就可完成的分布列.【小問1詳解】因為總共抽取100人進行調(diào)查，所以，因為從贊成“延遲退休”的人中任選1人，其年齡在的概率為，所以．【小問2詳解】從年齡在中按分層抽樣抽取10人，贊成的抽取人，不贊成的抽取2人，再從這10人中隨機抽取4人，則隨機變量的可能取值為2，3，4.則，，．所以的分布列為234所以.19.ChatGPT是AI技術(shù)驅(qū)動的自然語言處理工具，引領(lǐng)了人工智能的新一輪創(chuàng)新浪潮.某數(shù)學(xué)興趣小組為了解使用ChatGPT人群中年齡與是否喜歡該程序的關(guān)系，從某社區(qū)使用過該程序的人群中隨機抽取了200名居民進行調(diào)查，并依據(jù)年齡樣本數(shù)據(jù)繪制了如下頻率分布直方圖.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計年齡樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)：（2）將年齡不超過（1）中分位數(shù)的居民視為青年居民，否則視為非青年居民.（i）完成下列列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為年齡與是否喜歡該程序有關(guān)聯(lián)？

青年非青年合計喜歡

20

不喜歡60

合計

200（ii）按照等比例分層抽樣的方式從樣本中隨機抽取8名居民.若從選定的這8名居民中隨機抽取4名居民做進一步調(diào)查，求這4名居民中至少有3人為青年居民的概率.參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.1000.05000102.7063.8416.635【答案】（1）45（2）（i）列聯(lián)表見解析；有；（ii）【解析】【分析】（1）借助頻率分布直方圖及百分位數(shù)的性質(zhì)計算即可得；（2）（i）完善列聯(lián)表后，計算卡方即可得；（ii）借助分層抽樣的性質(zhì)可得抽取8人中居民類別，再結(jié)合組合數(shù)的計算與概率公式