寧夏銀川市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

寧夏銀川市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期入學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.如果集合S＝{x|x＝3n+1，n∈N}，T＝{x|x＝3k﹣2，k∈Z}，則（）A. B.T?S C.S＝T D.ST【答案】A【解析】【分析】先將兩集合元素表示形式統(tǒng)一，再比較確定包含關(guān)系．【詳解】解：由，，，令，則，所以，，通過(guò)對(duì)比、，且由常用數(shù)集與可知，故．故選：．2.不等式的解集為或，則的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】將不等式化為，即的兩個(gè)根為，，代入求出，再利用分式不等式的解法即可求解.【詳解】不等式可轉(zhuǎn)化為，其解集為或，所以，且方程的兩個(gè)根為，，則或，解得或（舍去），即有，即，解得.所以不等式的解集為.故選：A.3.已知是定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，滿(mǎn)足，若對(duì)任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)構(gòu)造方程組求出的解析式，再根據(jù)題意得到在單調(diào)遞增，分類(lèi)討論即可求解.【詳解】由題可得，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，所以，聯(lián)立解得，又因?yàn)閷?duì)任意的，都有成立，所以，所以成立，構(gòu)造，所以由上述過(guò)程可得在單調(diào)遞增，(i)若，則對(duì)稱(chēng)軸，解得；(ii)若，在單調(diào)遞增，滿(mǎn)足題意；(iii)若，則對(duì)稱(chēng)軸恒成立；綜上，，故選：B.4.若，則（）．A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)單調(diào)性求解即可.【詳解】由，得，令，因?yàn)楹瘮?shù)都是增函數(shù)，所以函數(shù)是增函數(shù)，由，即，所以，對(duì)于AB，當(dāng)時(shí)，，故AB錯(cuò)誤；對(duì)于CD，由，得，所以，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：C.5.已知為單位向量，且，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由求出，再利用向量夾角公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉閱挝幌蛄?，且，所以，得，所以，因?yàn)?，所?故選：C6.若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.0,1【答案】C【解析】【分析】通過(guò)二倍角降冪公式化簡(jiǎn)，再利用兩角差的余弦公式和輔助角公式化簡(jiǎn)為，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)得出答案.【詳解】，因?yàn)?，所以故選：C.7.已知球的表面積為，邊長(zhǎng)為3的等邊的三個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，則三棱錐的體積等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出球的半徑和所在平面截球所得的小圓的半徑，利用勾股定理可得球心到所在平面的距離，再利用棱錐的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)球的半徑為，則，得R2=4，設(shè)所在平面截球所得的小圓的半徑為，圓心為，則為外接圓的半徑，因?yàn)榈冗叺倪呴L(zhǎng)為3，所以r=2所以球心到所在平面的距離為OO所以三棱錐的體積13S故選：A8.拋擲一顆骰子，設(shè)事件A：落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)，事件B：落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)，事件C：落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)小于3，事件D：落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)大于5，則下列每對(duì)事件中，不是互斥事件的為是（）A.A與B； B.B與C； C.A與D； D.C與D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)互斥事件的定義逐個(gè)分析判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槁涞貢r(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)與落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)不可能同時(shí)發(fā)生，所以事件A與B是互斥事件，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)槁涞貢r(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)與落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)小于3可能同時(shí)發(fā)生，如落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)為2，所以事件B與C不是互斥事件，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)槁涞貢r(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)與落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)大于5不可能同時(shí)發(fā)生，所以事件A與D是互斥事件，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)槁涞貢r(shí)向上的點(diǎn)數(shù)小于3與落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)大于5不可能同時(shí)發(fā)生，所以事件C與D是互斥事件，所以D錯(cuò)誤.故選：B二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分）9.有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中不放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，事件表示“第一次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，事件表示“第二次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，事件表示“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，事件表示“兩次取出的球的數(shù)字之和是奇數(shù)”，則（）A.與是互斥事件 B.與互為對(duì)立事件C.發(fā)生的概率為 D.與相互獨(dú)立【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)互斥事件，對(duì)立事件相互獨(dú)立事件的定義結(jié)合古典概型注意判斷即可.【詳解】由題意，不放回的隨機(jī)取兩次，共有種情況，共個(gè)基本事件，共個(gè)基本事件，故，故C正確；顯然事件與有交事件，不是互斥事件，故A錯(cuò)誤；共個(gè)基本事件，故，共個(gè)基本事件，所以與互為對(duì)立事件，故B正確；事件共個(gè)基本事件，所以，所以與相互獨(dú)立，故D正確.故選：BCD.10.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，則（）A.平面B.平面C.異面直線與BD所成的角為60°D.三棱錐的體積為【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)A：借助正方體的性質(zhì)可得，結(jié)合線面平行的判定定理即可得；對(duì)B：借助線面垂直的判定定理可得平面，平面，再利用線面垂直的性質(zhì)定理可得，，進(jìn)而可得，，即可得證；對(duì)C：借助等角定理可得等于異面直線與BD所成的角，計(jì)算出即可得解；對(duì)D：借助體積公式計(jì)算即可得.【詳解】對(duì)A：在正方體中，，又平面，平面，所以平面，故A項(xiàng)正確；對(duì)B：連接，，在正方體中，，，平面，平面，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，，又，平面，平面，所以平面，因此，同理，，又，平面，平面，所以平面，故B項(xiàng)正確；對(duì)C：因?yàn)椋缘扔诋惷嬷本€與BD所成的角，又，即為等邊三角形，所以異面直線與BD所成的角為60°，故C項(xiàng)正確；對(duì)D：三棱錐的體積，故D項(xiàng)不正確.故選：ABC.11.是兩個(gè)平面，是兩條直線，有下列四個(gè)命題其中正確的命題有（）A.如果m⊥nB.如果m⊥αC.如果α//βD.如果m//n,α//β，那么與所成的角和【答案】BCD【解析】【分析】運(yùn)用長(zhǎng)方體模型，找出符合條件的直線和平面，即可判斷A；運(yùn)用線面平行的性質(zhì)定理和線面垂直的性質(zhì)定理，即可判斷B；運(yùn)用面面平行的性質(zhì)定理，即可判斷C；由平行的傳遞性及線面角的定義，即可判斷D．【詳解】對(duì)于A，可運(yùn)用長(zhǎng)方體舉反例證明其錯(cuò)誤：如圖，不妨設(shè)為直線m，為直線n，所在的平面為，所在的平面為，顯然這些直線和平面滿(mǎn)足題目條件，但不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)過(guò)直線的某平面與平面相交于直線，則l//n，由知，從而，故B正確；對(duì)于C，如果α//β,m?對(duì)于D，如果m//n,α//β，那么與所成的角和與所成的角相等，故D故選：BCD.12.已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn).則（）A.B.函數(shù)的值域?yàn)镃.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為D.不等式的解集為【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A：代入運(yùn)算求解即可；對(duì)于B：整理可得，結(jié)合正弦函數(shù)的有界性分析求解；對(duì)于C：以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性分析求解；對(duì)于D：結(jié)合選項(xiàng)B中的值域分析判斷.【詳解】由題意可得：，因?yàn)?，解得，故A正確；則，因?yàn)?，則，所以函數(shù)的值域?yàn)?，故B錯(cuò)誤；令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故C正確；由選項(xiàng)B可知：當(dāng)，即時(shí)，，所以不等式的解集不為空集，故D錯(cuò)誤；故選：AC.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.甲、乙兩水文站同時(shí)作水文預(yù)報(bào)，如果甲站、乙站各自預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率分別為0.8和0.7，那么在一次預(yù)報(bào)中，甲站、乙站預(yù)報(bào)都錯(cuò)誤的概率為_(kāi)________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式即可得到答案.【詳解】根據(jù)對(duì)立事件概率求法和獨(dú)立事件的乘法公式得甲站、乙站預(yù)報(bào)都錯(cuò)誤的概率為：.故答案為：.14.已知，且，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】由可得，即有，再由基本不等式可得最小值，注意等號(hào)成立的條件.【詳解】因?yàn)榍?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以最小值為.故答案為：．15.已知圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周都在球的球面上，且母線長(zhǎng)為2，為其底面圓周上的兩點(diǎn)，若面積的最大值為，則球的表面積為_(kāi)_____．【答案】##【解析】【分析】本題根據(jù)已知條件得為軸截面時(shí)，最大，再根據(jù)球心在上，由此列方程或者根據(jù)正弦定理可求得外接球的半徑，即可求出外接球表面積.【詳解】如圖所示，因?yàn)?，所以?dāng)為軸截面時(shí)，最大，因?yàn)榈拿娣e最大值為，則，所以，即圓錐的軸截面為等邊三角形.解法一：因?yàn)閳A錐的母線長(zhǎng)為2，所以在中，，設(shè)球O的半徑為R，則，在中，，即，解得，解法二：因?yàn)闉榈耐庑?，所以外接球直徑，即，所以外接球表面積．故答案為：．16.趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書(shū)作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱(chēng)“趙爽弦圖”（以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間一個(gè)小正方形組成）.類(lèi)比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)較大的等邊三角形，設(shè)（，），若，則______.【答案】3【解析】【分析】因?yàn)榇笕切问堑冗吶切?，所以可以通過(guò)建系的方法進(jìn)行求解.【詳解】不妨設(shè)，則，如圖，由題可知.由，得，所以，所以，，.又，所以，所以，所以，即.所以，，，因?yàn)?，所以，解得，所?故答案為：3四、解答題（本題共6小題，共70分）17.甲袋子中裝有2個(gè)紅球、1個(gè)白球，乙袋子中裝有1個(gè)紅球、2個(gè)白球（袋子不透明，球除顏色外完全一樣）.（1）現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)袋子中各任選1個(gè)球，求選出2個(gè)球的顏色相同的概率；（2）從甲、乙兩袋6個(gè)球中任選2個(gè)球，求選出的2個(gè)球來(lái)自同一袋子的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接由列舉法求解古典概型概率即可；（2）直接由列舉法求解古典概型概率即可.【小問(wèn)1詳解】甲袋子中2個(gè)紅球分別用A，B表示，白球用C表示，乙袋子中紅球用D表示，2個(gè)白球分別用E，F(xiàn)表示.從甲、乙兩袋中各任選1個(gè)球的所有可能結(jié)果為，，，，，，，，，共9種，從中選出的2個(gè)球的顏色相同的有，，，，共4種，故選出的2個(gè)球的顏色相同的概率.【小問(wèn)2詳解】從6個(gè)球中任選2個(gè)球的所有可能結(jié)果為，，，，，（B，C），，，，，，，，，，共15種，從中選出2個(gè)球來(lái)自同一袋子的結(jié)果有，，，，，，共6種，所以選出的2個(gè)球來(lái)自同一袋子的概率.18.如圖，四棱錐的底面是直角梯形，底面，，，且，.（1）證明：平面平面.（2）求二面角的大小.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）只需根據(jù)線面垂直的判定定理證明平面，進(jìn)一步結(jié)合面面垂直的判定定理即可得證；（2）首先說(shuō)明是二面角的平面角，進(jìn)一步結(jié)合解三角形知識(shí)即可求解.【小問(wèn)1詳解】由于底面是直角梯形且，所以由得，因底面，平面，所以，而，平面，所以平面.又因?yàn)槠矫?，所以平面平?【小問(wèn)2詳解】由（1）知平面，平面，所以，又因?yàn)?，所以是二面角的平面?由得，而，即，所以在梯形中，由可得，所以在直角中，，而，所以，即二面角的大小為.19.黃山原名“黟山”，因峰巖青黑，遙望蒼黛而名，后因傳說(shuō)軒轅黃帝曾在此煉丹，故改名為“黃山”．黃山雄踞風(fēng)景秀麗安徽南部，是我國(guó)最著名的山岳風(fēng)景區(qū)之一．明代旅行家、地理學(xué)家徐霞客兩游黃山，贊嘆說(shuō)：“登黃山天下無(wú)山，觀止矣！”又留“五岳歸來(lái)不看山，黃山歸來(lái)不看岳”的美譽(yù)．為更好地提升旅游品質(zhì)，黃山風(fēng)景區(qū)的工作人員隨機(jī)選擇100名游客對(duì)景區(qū)進(jìn)行滿(mǎn)意度評(píng)分（滿(mǎn)分100分），根據(jù)評(píng)分，制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求x的值；（2）估計(jì)這100名游客對(duì)景區(qū)滿(mǎn)意度評(píng)分的分位數(shù)（得數(shù)保留兩位小數(shù)）；（3）景區(qū)的工作人員采用按比例分層抽樣的方法從評(píng)分在，的兩組中共抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行個(gè)別交流，求選取的2人評(píng)分分別在和內(nèi)各1人的概率．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)直方圖中頻率和為1求參數(shù)即可；（2）由百分位數(shù)的定義，結(jié)合直方圖求分位數(shù)；（3）分布求各組人數(shù)，利用列舉法結(jié)合古典概型運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】由圖知：，可得.【小問(wèn)2詳解】由，所以分位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，令其為，則，解得.所以滿(mǎn)意度評(píng)分的分位數(shù)為.【小問(wèn)3詳解】因?yàn)樵u(píng)分在，的頻率分別為，則在中抽取人，設(shè)為；在中抽取人，設(shè)為；從這6人中隨機(jī)抽取2人，則有：，，共有15個(gè)基本事件，設(shè)選取的2人評(píng)分分別在和內(nèi)各1人為事件A，則有，共有8個(gè)基本事件，所以.20.已知函數(shù)（，，）的圖象如圖所示.將函數(shù)y=fx的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到曲線，把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)記作y=gx.（1）求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（2）求函數(shù)的最小值；（3）若函數(shù)在內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)，求的值.【答案】（1），；；（2）（3）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)所給圖象求出函數(shù)的解析式，再列出關(guān)于x的不等式即可得解；（2）由（1）結(jié)合給定圖象變換求出的解析式，再求出并作變形即可得解；（3）求出并令，將轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次方程，按根所在區(qū)間討論得解.【小問(wèn)1詳解】觀察圖象得，最小正周期為T(mén)，，則，而，則，，又，于是得，所以，由，，得，，所以單調(diào)遞減區(qū)間為，．【小問(wèn)2詳解】由題意得，，當(dāng)，即時(shí)，取最小值，所以的最小值為；【小問(wèn)3詳解】依題意，，令，可得，令，得，由于，即方程必有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，且，，由知、異號(hào)，不妨設(shè)，，①若，則，，無(wú)解，而在內(nèi)有四個(gè)零點(diǎn)，不符題意；②若，則，在內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)，而在內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)，即在內(nèi)有6個(gè)零點(diǎn)，符合題意，此時(shí)，得；③若，，在有4個(gè)零點(diǎn)，則在內(nèi)應(yīng)恰有2個(gè)零點(diǎn)，必有，此時(shí)，，解得，綜上所述有或．21.如圖，平面四邊形中，，，，，，點(diǎn)，滿(mǎn)足，，將沿翻折至，使得.（1）證明：；（2）求五棱錐的體積【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）19【解析】【分析】（1）由題意，根據(jù)余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可證得，則，，結(jié)合線面垂直的判定定理與性質(zhì)即可證明；（2）先證明平面，得，，勾股定理得，從而底面，即為五棱錐的高，再結(jié)合棱錐的體積公式計(jì)算得答案