SARS的常微分方程模型-01

1/1SARS的常微分方程模型SARS的常微分方程模型關(guān)鍵詞：

常微分方程SARS模型300多年前，由牛頓(Newton,1642-1727)和萊布尼茲(Leibniz,1646-1716)所創(chuàng)立的微積分學(xué)，是人類(lèi)科學(xué)史上劃時(shí)代的重大發(fā)現(xiàn)，其產(chǎn)生的一個(gè)重要?jiǎng)右騺?lái)自于人們探求物質(zhì)世界運(yùn)動(dòng)規(guī)律的需求.運(yùn)動(dòng)物體(變量)與它的瞬時(shí)變化率(導(dǎo)數(shù))之間，通常在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中按照某種己知定律存在著聯(lián)系，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，其結(jié)果往往形成一個(gè)微分方程.一旦求出這個(gè)方程的解，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律將一目了然.總結(jié)來(lái)說(shuō),微分方程就是聯(lián)系自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系式.如果其中的未知函數(shù)只與一個(gè)自變量有關(guān)，則稱(chēng)為常微分方程.常微分方程是數(shù)學(xué)理論聯(lián)系實(shí)際的重要工具,它不僅與幾何,生物學(xué),經(jīng)濟(jì)學(xué)等有重要聯(lián)系,還可以從實(shí)踐的背景出發(fā),聯(lián)系實(shí)際,解決實(shí)際生活中的問(wèn)題,如SARS問(wèn)題。

SARS(SeverAcuteRespiratorySyndrome嚴(yán)重急性呼吸道綜合癥，俗稱(chēng)非典型肺炎）是21世紀(jì)第一個(gè)在世界范圍傳播的惡性傳染病，潛伏期2--12天，通常在4--5天發(fā)病。

SARS自2002年11月份發(fā)現(xiàn)以來(lái)，迅速蔓延到世界28個(gè)國(guó)家，據(jù)世界衛(wèi)生組織報(bào)告，截至03年6月13日，全世界的SARS病例已達(dá)8454人，共792人死亡，我國(guó)情況尤為嚴(yán)重，病例高達(dá)5327人，其中343人死亡。

高峰期時(shí)，北京市每日新增患者即高達(dá)百人以上。

SARS的爆發(fā)和蔓延給我國(guó)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和人民生活帶來(lái)了很大的影響，我們從中得到了許多重要的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，認(rèn)識(shí)到定量地研究傳染病的傳播規(guī)律，為預(yù)測(cè)和控制傳染病蔓延創(chuàng)造條件的重要性。

一、模型假設(shè)（一）模型一（早期模型）1.一個(gè)人得病后接受治療且在傳染期內(nèi)不會(huì)死亡2.平均每天可傳染k人（k一般為小數(shù)）3.平均每個(gè)病人在被發(fā)現(xiàn)前后可以造成直接傳染的期限為l，在此期限后他失去傳染作用。

（二）模型二（新建模型）：

1.所研究地區(qū)的人口總量一定，不考慮該時(shí)間內(nèi)人口的遷出遷入。

2.不考慮在SARS傳播期間人口的自然出生和自然死亡。

3.不考慮SARS隱性患者，即只要感染上SARS病毒的患者最終都會(huì)表現(xiàn)出癥狀。

4.在0時(shí)刻時(shí)，該疫區(qū)已發(fā)現(xiàn)SARS患者，作為初值。

5.采取的所有控制措施對(duì)于阻止SARS病毒的傳播都是逐漸有效的。

二、分析與建立模型(一）早期模型簡(jiǎn)述早期模型假定初始時(shí)刻的病例數(shù)N0,平均每位患者每天可傳染k人，k代表某種社會(huì)環(huán)境下一個(gè)病人傳染其他人的平均概率，與全社會(huì)的警覺(jué)程度，政府和公眾采取的各種措施有關(guān)。

將整個(gè)感染期分為兩個(gè)階段，即疾病初發(fā)期和控制階段，采取不同的k值，在每一個(gè)階段內(nèi)k值保持不變，控制階段的k值比疾病初發(fā)期相對(duì)縮小。

平均每個(gè)病人可以直接感染他人的時(shí)間為l天，在整個(gè)模型中被定義為20天。

因此得到l的限制下，病例數(shù)目隨時(shí)間t（單位天）的關(guān)系為：

N(t)=N0(1+k)t并采用半模擬循環(huán)計(jì)算的方法，把到達(dá)l天的病例從可以直接傳染的基數(shù)中去掉。

1.對(duì)早期模型的合理性和實(shí)用性進(jìn)行分析與評(píng)價(jià)建立數(shù)學(xué)模型的意義在于能夠真正應(yīng)用于實(shí)際并很好的解決實(shí)際問(wèn)題，本文主要建立SARS的傳播模型，關(guān)鍵在于通過(guò)已有數(shù)據(jù)建立一個(gè)真正能夠預(yù)測(cè)以及能為實(shí)際的預(yù)防和控制提供有價(jià)值的具有指導(dǎo)性意義的信息，要從合理性和使用性兩方面來(lái)評(píng)價(jià)早期模型，首先要要求模型的建立有根據(jù)，預(yù)測(cè)結(jié)果切合實(shí)際，并且要求模型能全面模擬真實(shí)情況，以量化指標(biāo)指導(dǎo)實(shí)際。

（1）早期模型合理性評(píng)價(jià)其一，該模型確實(shí)預(yù)測(cè)了整個(gè)疫情的發(fā)展趨勢(shì)，從這一點(diǎn)上看，是切合實(shí)際的。

其二，分階段取k值思想是模型擬合預(yù)測(cè)更多的情況。

伴隨著疫情的發(fā)展以及社會(huì)外部環(huán)境的改變，k值跟隨時(shí)間t變化而變化。

而同一階段內(nèi)，k值變化并不非常明顯，因此為了簡(jiǎn)化模型，采取了分階段取k值，并在同一階段內(nèi)保持k為同一常數(shù)，根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)調(diào)整各階段之間不同k值，在實(shí)際性與精確性之間找到了比較合適的權(quán)衡。

但從預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度上講該模型雖然在擬合前期疫情時(shí)擬合程度較好，但對(duì)后期情況的預(yù)測(cè)出現(xiàn)偏差。

該模型仍存在以下幾個(gè)缺點(diǎn)：

其一，在對(duì)參數(shù)l的確定上，我們致力于更好地?cái)M合各階段的數(shù)據(jù)，得到更好的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，而通過(guò)人為測(cè)試來(lái)確定l的取值，缺乏醫(yī)學(xué)上的支持，降低了模型的合理性。

其二，該模型沒(méi)有考慮SARS的潛伏期，也沒(méi)有對(duì)人群進(jìn)行合理分類(lèi)（比如易感人群，疑似人群，已確診人群，治愈人群，死亡者等），這點(diǎn)對(duì)該模型的合理性造成了很大的影響。

其三，k值的微小變化會(huì)引起擬合結(jié)果的劇烈變動(dòng)。

這就給此模型預(yù)測(cè)一個(gè)未知區(qū)域的SARS疫情發(fā)展帶來(lái)了很大的挑戰(zhàn)其四，在k值不變的情況下，模型的擬合時(shí)間較短，最長(zhǎng)不超過(guò)十天。

這就要求k值要不斷地變化也保證模型的準(zhǔn)確性。

從這個(gè)方面來(lái)說(shuō)，模型的可操作性不盡人意。

（2）早期模型實(shí)用性評(píng)價(jià)該模型通過(guò)不同的階段采用不同的k值可以體現(xiàn)疫情隨實(shí)際控制情況的變化而變化的特點(diǎn)，并且通過(guò)不同地區(qū)的處置考慮到了不同地區(qū)的實(shí)際情況，具有一定的實(shí)用性。

但仍然存在缺點(diǎn)：

由于城市之間人口，政策，風(fēng)俗習(xí)慣等不同，城市間的可比性并不強(qiáng)，預(yù)測(cè)存在局限性。

并且，城市之間爆發(fā)疫情的先后順序?qū)?shí)際的疫情變化影響很大，一次采用先發(fā)城市的數(shù)據(jù)對(duì)未來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)，實(shí)用性有待考慮。

2.模型的缺點(diǎn)：

（1）是沒(méi)有考慮到年齡結(jié)構(gòu)層次對(duì)疫情的影響。

因?yàn)楦鶕?jù)醫(yī)學(xué)研究表明，兒童與老人極易感染非典病毒，而壯年由于精力旺盛是活動(dòng)積極者，且由于控制后期人們的活動(dòng)水平降低，使得接觸的幾率降低，接觸幾率的不斷降低這一點(diǎn)在模型中并沒(méi)有得到很好的體現(xiàn)。

（2）隨著醫(yī)療水平的提高與人們的意識(shí)水平，政府的嚴(yán)厲控制措施，退出率實(shí)際上是不斷提高的，而我們的模型中卻認(rèn)為是一個(gè)常數(shù)。

根據(jù)以上的結(jié)論我們可以進(jìn)行以下改進(jìn)：

①在模型中一如接觸率和移出率應(yīng)隨著病人的減少而變化，隨著時(shí)間推移有所調(diào)整，以符合預(yù)測(cè)的需要。

②在模型中引入接觸感染率的概念，即體現(xiàn)接觸不一定感染，只不過(guò)是感染率較高。

③對(duì)控后模型加入潛伏期對(duì)病毒的傳播造成的影響。

（二)模型二：

改進(jìn)的模型1.符號(hào)說(shuō)明如表1：

2.模型建立：

我們通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，各地的SARS確診病例在疫情初始階段呈現(xiàn)爆發(fā)趨勢(shì)，增長(zhǎng)很大，隨著時(shí)間推移，增長(zhǎng)率逐漸趨于零，確診病例數(shù)量逐步穩(wěn)定地趨于一個(gè)值。

我們把這個(gè)值定義為最大容忍量K。

確診病例增長(zhǎng)率與時(shí)間t相關(guān)，記為r(x)。

假定0時(shí)刻某地通過(guò)人口流動(dòng)帶來(lái)病例x(0)為初值，建立模型。

?dx=r(x)x?dt??x(0)=x0?對(duì)r(x)簡(jiǎn)單假設(shè)為x的線性函數(shù)，用r?1-x(t)??來(lái)描述，于是數(shù)學(xué)模型可以改進(jìn)為：

K??x(t)?dx(=r1-?K?dt?x(0)=x0?)x,運(yùn)用常微分方程中的知識(shí)，解出x(t)x??d(x)=r1-?xdtK??推出rdt=K(K-x)dx=dxx+dxK-xxK-x推出rt=lnx-ln(K-x)+c1=ln推出rt-c1=ln推出x=Ke-rtxK-x+1K推出ert-c1=xK-xc1推出eKx0-1-rt-c1=K-xx=Kx-1ec1推出x(0)=x0=e=x(t)=?K?-rt?e1+-1x??0?利用MATLAB的參數(shù)估計(jì)，給定前n個(gè)數(shù)[包含x(0)]，可以得到K值。

三、模型的應(yīng)用自2003年2月中旬在廣東，3月中旬在香港，4月中旬在北京爆發(fā)，而后國(guó)內(nèi)大部分地區(qū)流行或散發(fā)。

根據(jù)香港衛(wèi)生署網(wǎng)站提供的香港每日疫情的報(bào)告，獲得自2003年3月27日至2003年5月12日的疫情數(shù)據(jù)見(jiàn)表2。

表2香港SARS疫情數(shù)據(jù)1.建立室模型我們可以把香港看做一個(gè)廣義的生物體，SARS爆發(fā)后為這個(gè)廣義的生物體積累了傳染源并刺激社會(huì)啟動(dòng)應(yīng)急機(jī)制。

假定傳染源以傳染力Ka感染健康群體，社會(huì)干預(yù)及個(gè)體自身免疫力構(gòu)成群體免疫力Ke，以抑制SARS傳播。

據(jù)此構(gòu)建SARS疫情的室模型，見(jiàn)圖1。

由于醫(yī)務(wù)人員與SARS患者密切接觸，其傳播方式與一般人群中SARS傳播方式不同。

為探討人群中SARS傳播方式，數(shù)據(jù)分析時(shí)僅采用市民發(fā)病人數(shù)作為新發(fā)病例。

將日期和新發(fā)病例作圖（見(jiàn)圖2），并用光滑曲線連接，觀察發(fā)現(xiàn)2003年4月2日前為爆發(fā)期，此后新發(fā)病例數(shù)由16例逐步上升，至4月24日后新發(fā)病例呈逐步下降趨勢(shì)。

利用4月2日至5月4日數(shù)據(jù)，應(yīng)用NOSA統(tǒng)計(jì)分析軟件建模，得到模型參數(shù)如下：

A=165.13900，Ke=0.0823631，Ka=0.1455078。

模型擬合有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（F=120.47，P0.0001），相關(guān)指數(shù)r=0.82。

將擬合的曲線疊加到圖1，可見(jiàn)本模型基本反應(yīng)了數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)。

圖2香港SARS疫情變化趨勢(shì)圖3香港SARS疫情變化趨勢(shì)預(yù)測(cè)2.疫情預(yù)測(cè)為了驗(yàn)證模型的實(shí)用性，用模型預(yù)測(cè)5月5日至5月12日的發(fā)病數(shù)（圖2，圖3.代表的點(diǎn)表示實(shí)際發(fā)病數(shù)），如圖2、3所示預(yù)測(cè)結(jié)果滿意。

根據(jù)室模型的動(dòng)力學(xué)特性計(jì)算出：

傳染半衰期為4,76天，表明SARS的傳染程度據(jù)爆發(fā)5天后逐漸衰減。

免疫半衰期為8.41天，表明群體免疫力據(jù)爆發(fā)8天后作用達(dá)到最強(qiáng)。

達(dá)峰時(shí)間為7.30天，表明據(jù)爆發(fā)7.3天后，新發(fā)病例最多。

傳染源平均滯留時(shí)間為19.01天，表明傳染源進(jìn)入健康群體19天后將基本清除。

疫情得以控制時(shí)間=達(dá)峰時(shí)間+病毒平均滯留時(shí)間=7.30+19.01=26.31天。

疫情完全控制時(shí)間=10倍傳染半衰期=10?4.76=47.6天。

疫情完全排出時(shí)間：

是新發(fā)病人數(shù)CSARS?0.5的最小時(shí)間=70天。

應(yīng)用模型對(duì)香港地區(qū)疫情中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)為:5月19日左右疫情完全控制，到6月中旬疫情排除（見(jiàn)圖3）。

有理由認(rèn)為北京地區(qū)的SARS與香港地區(qū)的相似，并在爆發(fā)后采取了相似的社會(huì)干預(yù)措施。

那么根據(jù)香港地區(qū)疫情發(fā)展的室模型，對(duì)北京疫情用類(lèi)比手段進(jìn)行預(yù)測(cè)如下：

假定2003年4月20日為北京SARS爆發(fā)日，那么到4月25日左右SARS的傳染程度逐步衰減，而群體免疫力到4月28日左右達(dá)到最強(qiáng)，4月27日左右新發(fā)病例最多，此后逐漸減少，5月16日左右疫情基本控制，6月6日左右疫情完全控制，到7月上旬疫情排除。

值得注意的是社會(huì)干預(yù)（教育，宣傳，隔離）是群體免疫力主要組成部分，提高群體免疫力將縮短SARS流行時(shí)間，否則將會(huì)有難以預(yù)測(cè)的結(jié)果。

因此，疫區(qū)的社會(huì)干預(yù)只能加強(qiáng)，不可片刻松懈。

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