SARS的常微分方程模型-01

1/1SARS的常微分方程模型SARS的常微分方程模型關鍵詞：

常微分方程SARS模型300多年前，由牛頓(Newton,1642-1727)和萊布尼茲(Leibniz,1646-1716)所創(chuàng)立的微積分學，是人類科學史上劃時代的重大發(fā)現(xiàn)，其產生的一個重要動因來自于人們探求物質世界運動規(guī)律的需求.運動物體(變量)與它的瞬時變化率(導數(shù))之間，通常在運動過程中按照某種己知定律存在著聯(lián)系，用數(shù)學語言表達出來，其結果往往形成一個微分方程.一旦求出這個方程的解，其運動規(guī)律將一目了然.總結來說,微分方程就是聯(lián)系自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的各階導數(shù)之間的關系式.如果其中的未知函數(shù)只與一個自變量有關，則稱為常微分方程.常微分方程是數(shù)學理論聯(lián)系實際的重要工具,它不僅與幾何,生物學,經濟學等有重要聯(lián)系,還可以從實踐的背景出發(fā),聯(lián)系實際,解決實際生活中的問題,如SARS問題。

SARS(SeverAcuteRespiratorySyndrome嚴重急性呼吸道綜合癥，俗稱非典型肺炎）是21世紀第一個在世界范圍傳播的惡性傳染病，潛伏期2--12天，通常在4--5天發(fā)病。

SARS自2002年11月份發(fā)現(xiàn)以來，迅速蔓延到世界28個國家，據世界衛(wèi)生組織報告，截至03年6月13日，全世界的SARS病例已達8454人，共792人死亡，我國情況尤為嚴重，病例高達5327人，其中343人死亡。

高峰期時，北京市每日新增患者即高達百人以上。

SARS的爆發(fā)和蔓延給我國的經濟發(fā)展和人民生活帶來了很大的影響，我們從中得到了許多重要的經驗和教訓，認識到定量地研究傳染病的傳播規(guī)律，為預測和控制傳染病蔓延創(chuàng)造條件的重要性。

一、模型假設（一）模型一（早期模型）1.一個人得病后接受治療且在傳染期內不會死亡2.平均每天可傳染k人（k一般為小數(shù)）3.平均每個病人在被發(fā)現(xiàn)前后可以造成直接傳染的期限為l，在此期限后他失去傳染作用。

（二）模型二（新建模型）：

1.所研究地區(qū)的人口總量一定，不考慮該時間內人口的遷出遷入。

2.不考慮在SARS傳播期間人口的自然出生和自然死亡。

3.不考慮SARS隱性患者，即只要感染上SARS病毒的患者最終都會表現(xiàn)出癥狀。

4.在0時刻時，該疫區(qū)已發(fā)現(xiàn)SARS患者，作為初值。

5.采取的所有控制措施對于阻止SARS病毒的傳播都是逐漸有效的。

二、分析與建立模型(一）早期模型簡述早期模型假定初始時刻的病例數(shù)N0,平均每位患者每天可傳染k人，k代表某種社會環(huán)境下一個病人傳染其他人的平均概率，與全社會的警覺程度，政府和公眾采取的各種措施有關。

將整個感染期分為兩個階段，即疾病初發(fā)期和控制階段，采取不同的k值，在每一個階段內k值保持不變，控制階段的k值比疾病初發(fā)期相對縮小。

平均每個病人可以直接感染他人的時間為l天，在整個模型中被定義為20天。

因此得到l的限制下，病例數(shù)目隨時間t（單位天）的關系為：

N(t)=N0(1+k)t并采用半模擬循環(huán)計算的方法，把到達l天的病例從可以直接傳染的基數(shù)中去掉。

1.對早期模型的合理性和實用性進行分析與評價建立數(shù)學模型的意義在于能夠真正應用于實際并很好的解決實際問題，本文主要建立SARS的傳播模型，關鍵在于通過已有數(shù)據建立一個真正能夠預測以及能為實際的預防和控制提供有價值的具有指導性意義的信息，要從合理性和使用性兩方面來評價早期模型，首先要要求模型的建立有根據，預測結果切合實際，并且要求模型能全面模擬真實情況，以量化指標指導實際。

（1）早期模型合理性評價其一，該模型確實預測了整個疫情的發(fā)展趨勢，從這一點上看，是切合實際的。

其二，分階段取k值思想是模型擬合預測更多的情況。

伴隨著疫情的發(fā)展以及社會外部環(huán)境的改變，k值跟隨時間t變化而變化。

而同一階段內，k值變化并不非常明顯，因此為了簡化模型，采取了分階段取k值，并在同一階段內保持k為同一常數(shù)，根據實際數(shù)據調整各階段之間不同k值，在實際性與精確性之間找到了比較合適的權衡。

但從預測準確度上講該模型雖然在擬合前期疫情時擬合程度較好，但對后期情況的預測出現(xiàn)偏差。

該模型仍存在以下幾個缺點：

其一，在對參數(shù)l的確定上，我們致力于更好地擬合各階段的數(shù)據，得到更好的統(tǒng)計結果，而通過人為測試來確定l的取值，缺乏醫(yī)學上的支持，降低了模型的合理性。

其二，該模型沒有考慮SARS的潛伏期，也沒有對人群進行合理分類（比如易感人群，疑似人群，已確診人群，治愈人群，死亡者等），這點對該模型的合理性造成了很大的影響。

其三，k值的微小變化會引起擬合結果的劇烈變動。

這就給此模型預測一個未知區(qū)域的SARS疫情發(fā)展帶來了很大的挑戰(zhàn)其四，在k值不變的情況下，模型的擬合時間較短，最長不超過十天。

這就要求k值要不斷地變化也保證模型的準確性。

從這個方面來說，模型的可操作性不盡人意。

（2）早期模型實用性評價該模型通過不同的階段采用不同的k值可以體現(xiàn)疫情隨實際控制情況的變化而變化的特點，并且通過不同地區(qū)的處置考慮到了不同地區(qū)的實際情況，具有一定的實用性。

但仍然存在缺點：

由于城市之間人口，政策，風俗習慣等不同，城市間的可比性并不強，預測存在局限性。

并且，城市之間爆發(fā)疫情的先后順序對實際的疫情變化影響很大，一次采用先發(fā)城市的數(shù)據對未來進行預測，實用性有待考慮。

2.模型的缺點：

（1）是沒有考慮到年齡結構層次對疫情的影響。

因為根據醫(yī)學研究表明，兒童與老人極易感染非典病毒，而壯年由于精力旺盛是活動積極者，且由于控制后期人們的活動水平降低，使得接觸的幾率降低，接觸幾率的不斷降低這一點在模型中并沒有得到很好的體現(xiàn)。

（2）隨著醫(yī)療水平的提高與人們的意識水平，政府的嚴厲控制措施，退出率實際上是不斷提高的，而我們的模型中卻認為是一個常數(shù)。

根據以上的結論我們可以進行以下改進：

①在模型中一如接觸率和移出率應隨著病人的減少而變化，隨著時間推移有所調整，以符合預測的需要。

②在模型中引入接觸感染率的概念，即體現(xiàn)接觸不一定感染，只不過是感染率較高。

③對控后模型加入潛伏期對病毒的傳播造成的影響。

（二)模型二：

改進的模型1.符號說明如表1：

2.模型建立：

我們通過研究發(fā)現(xiàn)，各地的SARS確診病例在疫情初始階段呈現(xiàn)爆發(fā)趨勢，增長很大，隨著時間推移，增長率逐漸趨于零，確診病例數(shù)量逐步穩(wěn)定地趨于一個值。

我們把這個值定義為最大容忍量K。

確診病例增長率與時間t相關，記為r(x)。

假定0時刻某地通過人口流動帶來病例x(0)為初值，建立模型。

?dx=r(x)x?dt??x(0)=x0?對r(x)簡單假設為x的線性函數(shù)，用r?1-x(t)??來描述，于是數(shù)學模型可以改進為：

K??x(t)?dx(=r1-?K?dt?x(0)=x0?)x,運用常微分方程中的知識，解出x(t)x??d(x)=r1-?xdtK??推出rdt=K(K-x)dx=dxx+dxK-xxK-x推出rt=lnx-ln(K-x)+c1=ln推出rt-c1=ln推出x=Ke-rtxK-x+1K推出ert-c1=xK-xc1推出eKx0-1-rt-c1=K-xx=Kx-1ec1推出x(0)=x0=e=x(t)=?K?-rt?e1+-1x??0?利用MATLAB的參數(shù)估計，給定前n個數(shù)[包含x(0)]，可以得到K值。

三、模型的應用自2003年2月中旬在廣東，3月中旬在香港，4月中旬在北京爆發(fā)，而后國內大部分地區(qū)流行或散發(fā)。

根據香港衛(wèi)生署網站提供的香港每日疫情的報告，獲得自2003年3月27日至2003年5月12日的疫情數(shù)據見表2。

表2香港SARS疫情數(shù)據1.建立室模型我們可以把香港看做一個廣義的生物體，SARS爆發(fā)后為這個廣義的生物體積累了傳染源并刺激社會啟動應急機制。

假定傳染源以傳染力Ka感染健康群體，社會干預及個體自身免疫力構成群體免疫力Ke，以抑制SARS傳播。

據此構建SARS疫情的室模型，見圖1。

由于醫(yī)務人員與SARS患者密切接觸，其傳播方式與一般人群中SARS傳播方式不同。

為探討人群中SARS傳播方式，數(shù)據分析時僅采用市民發(fā)病人數(shù)作為新發(fā)病例。

將日期和新發(fā)病例作圖（見圖2），并用光滑曲線連接，觀察發(fā)現(xiàn)2003年4月2日前為爆發(fā)期，此后新發(fā)病例數(shù)由16例逐步上升，至4月24日后新發(fā)病例呈逐步下降趨勢。

利用4月2日至5月4日數(shù)據，應用NOSA統(tǒng)計分析軟件建模，得到模型參數(shù)如下：

A=165.13900，Ke=0.0823631，Ka=0.1455078。

模型擬合有統(tǒng)計學意義（F=120.47，P0.0001），相關指數(shù)r=0.82。

將擬合的曲線疊加到圖1，可見本模型基本反應了數(shù)據的變化趨勢。

圖2香港SARS疫情變化趨勢圖3香港SARS疫情變化趨勢預測2.疫情預測為了驗證模型的實用性，用模型預測5月5日至5月12日的發(fā)病數(shù)（圖2，圖3.代表的點表示實際發(fā)病數(shù)），如圖2、3所示預測結果滿意。

根據室模型的動力學特性計算出：

傳染半衰期為4,76天，表明SARS的傳染程度據爆發(fā)5天后逐漸衰減。

免疫半衰期為8.41天，表明群體免疫力據爆發(fā)8天后作用達到最強。

達峰時間為7.30天，表明據爆發(fā)7.3天后，新發(fā)病例最多。

傳染源平均滯留時間為19.01天，表明傳染源進入健康群體19天后將基本清除。

疫情得以控制時間=達峰時間+病毒平均滯留時間=7.30+19.01=26.31天。

疫情完全控制時間=10倍傳染半衰期=10?4.76=47.6天。

疫情完全排出時間：

是新發(fā)病人數(shù)CSARS?0.5的最小時間=70天。

應用模型對香港地區(qū)疫情中長期預測為:5月19日左右疫情完全控制，到6月中旬疫情排除（見圖3）。

有理由認為北京地區(qū)的SARS與香港地區(qū)的相似，并在爆發(fā)后采取了相似的社會干預措施。

那么根據香港地區(qū)疫情發(fā)展的室模型，對北京疫情用類比手段進行預測如下：

假定2003年4月20日為北京SARS爆發(fā)日，那么到4月25日左右SARS的傳染程度逐步衰減，而群體免疫力到4月28日左右達到最強，4月27日左右新發(fā)病例最多，此后逐漸減少，5月16日左右疫情基本控制，6月6日左右疫情完全控制，到7月上旬疫情排除。

值得注意的是社會干預（教育，宣傳，隔離）是群體免疫力主要組成部分，提高群體免疫力將縮短SARS流行時間，否則將會有難以預測的結果。

因此，疫區(qū)的社會干預只能加強，不可片刻松懈。

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