1.1《菱形的性質(zhì)與判定》北師大版九年級數(shù)學上冊教案（第2課時）

第一章特殊的平行四邊形1.1菱形的判定和面積第2課時一、教學目標1．經(jīng)歷菱形判定定理的探索過程，進一步發(fā)展合情推理能力。2．能夠用綜合法證明菱形的判定定理，進一步發(fā)展演繹推理能力。3．體會探索與證明過程中所蘊含的抽象、推理等數(shù)學思想。二、教學重點及難點重點：探索證明菱形的兩個判定方法，掌握證明的基本要求、方法及思路．難點：明確推理證明的條件和結論能否用數(shù)學語言正確表達．三、教學用具多媒體課件、直尺或三角板。四、相關資《菱形的性質(zhì)》動畫,《菱形的判定》微課五、教學過程【復習引入】上一節(jié)課，我們學習了菱形的概念和菱形的性質(zhì)，你能說出菱形的概念和菱形的性質(zhì)定理嗎？師生活動：教師出示問題，學生回顧上一節(jié)課所學內(nèi)容．答：菱形的概念：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．菱形的性質(zhì)定理：菱形的四條邊相等．菱形的兩條對角線互相垂直．設計意圖：通過復習，可以加深對菱形的概念和菱形性質(zhì)的理解，也是探究菱形判定方法的基礎．【探究新知】根據(jù)菱形的定義，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．除此之外，你認為還有什么條件可以判斷一個平行四邊形是菱形？師生活動：教師出示問題，學生思考、討論，教師引導．教師引導：我們學習平行四邊形的判定時，是如何猜想并進行證明的呢？學生回答：……教師引導：與研究平行四邊形的判定方法類似，我們研究菱形的性質(zhì)定理的逆命題，看看它們是否成立．我們知道，菱形的對角線互相垂直．反過來，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？師生活動：教師出示問題，學生猜想．學生猜想：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．教師追問：如何證明你的猜想呢？師生活動：教師追問，引導學生寫出已知、求證并完成證明過程．已知：如圖，在□ABCD中，對角線AC與BD交于點O，AC⊥BD．求證：□ABCD是菱形．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC．又∵AC⊥BD，∴BD是線段AC的垂直平分線．∴BA=BC．∴四邊形ABCD是菱形（菱形的定義）．思考我們知道，菱形的四條邊都相等．反過來，四條邊相等的四邊形是菱形嗎？師生活動：教師出示問題，學生猜想．學生猜想：四條邊相等的四邊形是菱形．教師追問：如何證明你的猜想呢？師生活動：教師追問，引導學生寫出已知、求證并完成證明過程．答：已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA．求證：四邊形ABCD是菱形．證明：∵AB=CD，AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．又∵AB=BC，∴四邊形ABCD是菱形（菱形的定義）．設計意圖：通過此環(huán)節(jié)讓學生對菱形的性質(zhì)和判定的關系有了一定的認識．總結菱形的判定方法：（1）定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．（2）判定定理1：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．幾何語言：∵□ABCD，AC⊥BD（已知），∴□ABCD是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）．判定定理2：四條邊相等的四邊形是菱形．幾何語言：∵AB=BC=CD=DA（已知），∴四邊形ABCD是菱形（四條邊相等的四邊形是菱形）．設計意圖：通過類比平行四邊形判定定理的探究過程，從菱形性質(zhì)定理的逆命題出發(fā)，提出猜想，發(fā)現(xiàn)結論，并從定義出發(fā)證明結論，得到菱形的判定方法．議一議如圖，分別以A，C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩條弧分別相交于點B，D，依次連接A，B，C，D，四邊形ABCD就是菱形．你認為這種做法正確嗎？為什么？師生活動：教師出示問題，學生思考、討論，教師找學生代表回答．答：這種做法正確；因為分別以A，C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩條弧分別相交于點B，D，依次連接A，B，C，D，則AB=BC=CD=DA．所以四邊形ABCD是菱形（四邊相等的四邊形是菱形）．做一做：先將一張長方形的紙對折、再對折，然后沿虛線剪下，將紙展開，就得到了一個菱形。你能說說小穎這樣做的道理嗎？師生活動：教師出示問題，學生思考、討論，教師找學生代表回答．答：小穎的方法是利用軸對稱制作了一個四邊相等的四邊形，因此一定是菱形．設計意圖：鞏固學生對菱形判定定理的理解．【典例精析】例已知：如圖，在□ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AB=，OA=2，OB=1．求證：□ABCD是菱形．師生活動：教師分析、引導學生完成解題過程．分析：要證□ABCD是菱形，可以選擇的判定方法有三種：方法1：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（定義）；方法2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形（判定定理1）；方法3：四條邊相等的四邊形是菱形（判定定理2）．小組合作交流：你用的是哪一種方法？你認為哪一種方法最好？證明：在△AOB中，∵AB=，OA=2，OB=1，∴AB2=AO2+OB2．∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角．∴AC⊥BD．∴□ABCD是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）．設計意圖：初步應用對角線互相垂直的平行四邊形是菱形進行推理證明．【課堂練習】1．下列命題中正確的是（）．A．一組鄰邊相等的四邊形是菱形B．三條邊相等的四邊形是菱形C．四條邊相等的四邊形是菱形D．四個角相等的四邊形是菱形參考答案C2．下列條件中，不能判定四邊形ABCD為菱形的是（）．A．AC⊥BD，AC與BD互相平分B．AB=BC=CD=DAC．AB=BC，AD=CD，且AC⊥BDD．AB=CD，AD=BC，AC⊥BD參考答案C3．邊長為5cm的平行四邊形的兩條對角線的長分別為6cm和8cm，則這個平行四邊形為__________形，其面積為___________．參考答案菱；24cm24．如圖，AD是△ABC的角平分線，EF垂直平分AD，分別交AB于點E，交AC于點F，則四邊形AEDF是菱形嗎？請說明理由．參考答案解：四邊形AEDF是菱形；理由如下：∵EF垂直平分AD，∴△AOF與△DOF關于直線EF成軸對稱．∴∠ODF=∠OAF．又∵AD平分∠BAC，即∠OAF=∠OAE，∴∠ODF=∠OAE．∴AE∥DF．同理可得DE∥AF．∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴EO=OF．又∵□AEDF的對角線AD，EF互相垂直平分，∴□AEDF是菱形．5．已知：如圖，在□ABCD中，對角線AC的垂直平分線分別與AD，AC，BC相交于點E，O，F(xiàn)．求證：四邊形AECF是菱形．師生活動：老師先找?guī)酌麑W生板演，然后分析出現(xiàn)的問題，最后師生共同寫出規(guī)范的解題過程．證明：在□ABCD中，∵AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．∵EF是AC的垂直平分線，∴AO=CO．在△AOE和△COF中，∵∴△AOE≌△COF（ASA）．∴AE=CF．∵AE∥CF，∴四邊形AFCE是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）．∵EF⊥AC，∴四邊形AFCE是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）．設計意圖：學生通過本環(huán)節(jié)的學習，進一步理解了菱形的判定定理，對前面所學知識進行了更加深入地認識，同時提高了學生的邏輯推理能力，培養(yǎng)了學生的主動探索能力，激發(fā)了學生的學習興趣．六、課堂小結本節(jié)課我們主要學習了菱形的判定方法和菱形面積的一種特殊計算方法，下面我們一起回顧一下．1．菱形的判定方法：（1）定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．（2）判定定理1：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．（3）判定定理2：四條邊相等的四邊形是菱形．師生活動：教師引導學生歸納、總