專題16-數(shù)列(解答題)(12月)(人教A版2019)(解析版)

專題16數(shù)列（解答題）1．已知等差數(shù)列的前項和為，，，且，，成等比數(shù)列．（1）求和；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證：．【試題來源】廣東省湛江市2021屆高三上學(xué)期高中畢業(yè)班調(diào)研測試題【答案】（1），；（2）證明見解析．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項為，由，得，則所以解得，，所以，．（2）因為．所以．因為單調(diào)遞增．所以，綜上，．【名師點睛】數(shù)列求和的方法：（1）倒序相加法：如果一個數(shù)列{an}的前n項中首末兩端等距離的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可以用倒序相加法（2）錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可以用錯位相減法來求；（3）裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時，中間的一些像可相互抵消，從而求得其和；（4）分組轉(zhuǎn)化法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列：或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組轉(zhuǎn)換法分別求和再相加減；（5）并項求和法：一個數(shù)列的前n項和可以兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和，形如an=(?1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．2．為等差數(shù)列的前項和，已知，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求，并求的最小值．【試題來源】黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期中考試（理）【答案】（1）；（2），時，的最小值為．【解析】（1）設(shè)的公差為，由，，即，解得，所以．（2），，所以當(dāng)時，的最小值為．3．已知數(shù)列的前項和為，，且（）．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，數(shù)列的前項和為，求證：．【試題來源】四川省內(nèi)江市第六中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第三次月考（文）【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）因為①，所以②，①-②得，；所以數(shù)列是首項和公比都為的等比數(shù)列，于是，．（2）由（1）得，所以，所以．又易知函數(shù)在上是增函數(shù)，且，而，所以．【名師點睛】裂項相消法求數(shù)列和的常見類型：（1）等差型，其中是公差為的等差數(shù)列；（2）無理型；（3）指數(shù)型；（4）對數(shù)型．4．已知數(shù)列前n項和滿足（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和．【試題來源】甘肅省張掖市第二中學(xué)2020-2021學(xué)年高二第一學(xué)期期中考試（文）【答案】（1）；（2）．【解析】（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，，當(dāng)時上式也符合．所以．（2）由題意知，可設(shè)則．5．從①前n項和②且這兩個條件中任選一個，填至橫線上，并完成解答．在數(shù)列中，，________，其中．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，，成等比數(shù)列，其中m，，且，求m的最小值．（注：如果選擇多個條件分別解答，那么按第一個解答計分）【試題來源】廣東省深圳、汕頭、潮州、揭陽名校2021屆高三上學(xué)期聯(lián)考【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析．【解析】選擇①：（1）當(dāng)時，由，得．當(dāng)時，由題意，得，所以．經(jīng)檢驗，符合上式，所以．（2）由，，成等比數(shù)列，得，由（1）得，即．化簡，得．因為m，n是大于1的正整數(shù)，且，所以當(dāng)時，m有最小值5．選擇②：（1）由，得，所以數(shù)列是等差數(shù)列．設(shè)數(shù)列的公差為d．因為，，所以．所以．（2）因為，，成等比數(shù)列，所以，即．化簡，得．因為m，n是大于1的正整數(shù)，且，所以當(dāng)時，m有最小值5．【名師點睛】，檢驗是否符合通項是解題的關(guān)鍵．6．在數(shù)列中，，，．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求的前項和．【試題來源】河南省焦作市2020-2021學(xué)年高二（上）期中（理）【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1），，．因為，數(shù)列是首項為1，公比為5的等比數(shù)列，（2）由（1）可得，，的前項和7．為等差數(shù)列的前項和，已知，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求，并求的最小值．【試題來源】黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期中考試（文）【答案】（1）；（2），時，的最小值為．【解析】（1）設(shè)的公差為，由，得，解得，所以的通項公式為；（2）由（1）得，又，所以當(dāng)時，取得最小值，最小值為．8．已知正項等比數(shù)列的前項和為，且滿足是和的等差中項，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和．【試題來源】天津市濱海新區(qū)大港一中2021屆高三（上）第一次月考【答案】（1）；（2）．【解析】（1）正項等比數(shù)列的前項和為，且滿足是和的等差中項，設(shè)公比為，則，整理得，由于，即，即，因為，所以解得，所以．（2）由于，所以．9．已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，且滿足，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求使得最小的的值．【試題來源】河南省焦作市2020—2021學(xué)年高三年級第一次模擬考試（文）【答案】（1）；（2）7【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，因為，，，成等比數(shù)列，所以，即，整理得，解得或（舍去）．故．（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，，因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，而且，，因此，所以使得最小的為7．10．已知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，且，（1）求數(shù)列，的通項公式．（2）若，求．【試題來源】黑龍江賓縣第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高三第一學(xué)期第二次月考（理）【答案】（1），；（2）．【解析】（1）因為為等差數(shù)列，且，所以可設(shè)公差為d，則，所以，．因為，所以，解得或．又等差數(shù)列各項均為正數(shù)，所以不合題意，舍去，所以．因為為等比數(shù)列，且，所以可設(shè)公比為，則．因為，所以，解得，滿足各項均為正數(shù)，所以．（2）由（1）知，所以．所以．11．在等比數(shù)列中，已知，．（1）求數(shù)列的通項；（2）在等差數(shù)列中，若，，求數(shù)列前項和．【試題來源】甘肅省臨夏州臨夏中學(xué)2019-2020學(xué)年高二（上）第二次月考（文）【答案】（1）；（2）．【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題設(shè)知，，因此；（2）由（1）可得，，公差，．12．已知數(shù)列滿足，．設(shè)．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和為．【試題來源】黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期中考試（文）【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）由，可得，即則數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）可得，，，，則有，兩式作差得．13．在數(shù)列中，，，．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列的前n項和為，且對任意正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【試題來源】河南省商丘市虞城高級中學(xué)2020~2021學(xué)年高三11月質(zhì)量檢測（理）【答案】（1）證明見詳解；（2）．【解析】（1）由，得．則，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）得．當(dāng)時，．當(dāng)時，適合．所以，所以．因為是關(guān)于的遞增數(shù)列，且，所以也關(guān)于單調(diào)遞增，從而的最小值為．因為恒成立．所以，解得．即實數(shù)的取值范圍是．【名師點睛】根據(jù)數(shù)列不等式恒成立求參數(shù)時，一般通過分離參數(shù)，得到參數(shù)大于某個式子或小于某個式子恒成立的問題，再根據(jù)分離后的式子，由函數(shù)（或數(shù)列）的性質(zhì)求出最值，即可求解參數(shù)范圍．14．已知等差數(shù)列滿足，．（1）求的通項公式；（2）設(shè)是公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和，若，，求．【試題來源】湖北省荊州市灘橋高級中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末（文）【答案】（1）；（2）254．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為．所以，，解得，所以；（2）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，解得或，因為公比為正數(shù)，所以，所以．15．已知數(shù)列為正項等比數(shù)列，，數(shù)列滿足，且．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若的前項和，求的取值范圍．【試題來源】甘肅省永昌縣第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)理試題【答案】（1），；（2）．【解析】（1）令，則，所以，令，則，所以，因為，所以，設(shè)數(shù)列的公比為，則，所以．因為，①當(dāng)時，，②由①-②得，所以，當(dāng)時也成立，所以，（2）由（1）可知，所以，因為隨著的增大而增大，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的取值范圍是．【名師點睛】數(shù)列求和的方法常用的有：（1）公式法；（2）錯位相減法；（3）裂項相消法；（4）分組求和法；（5）倒序相加法．要根據(jù)數(shù)列通項的特征，靈活選擇方法求和．16．已知數(shù)列的前n項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）在數(shù)列中，，，求數(shù)列的通項公式．【試題來源】安徽省馬鞍山市和縣第二中學(xué)2020-2021學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考（理）【答案】（1）；（2）．【解析】（1）當(dāng)n=1時，，所以a1=2．當(dāng)時，因為①，②，①-②得，即所以數(shù)列是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，所以．（2）因為，所以當(dāng)時，，……，，，相加得．當(dāng)n=1時，，所以．【名師點睛】遞推數(shù)列求數(shù)列通項公式，對于形如a(n+1)=an+f(n)或者a(n+1)-an=f(n)的關(guān)系式，其中f(n)可以為常數(shù)(此時為等差數(shù)列)、也可以是關(guān)于n的函數(shù)如一次函數(shù)、分式函數(shù)、二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)等，此時求解通項公式時均可使用累加法．17．已知正項數(shù)列的前項和為，且滿足：，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．【試題來源】湖南省長沙市長郡中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期月考（三）【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，又有，，兩式相減得，因為，所以，又，，解得，滿足，因此數(shù)列是等差數(shù)列，首項為，公差為，所以；（2），所以．【名師點睛】常見的數(shù)列中可進行裂項相消的形式：（1）；（2）；（3）；（4）．18．已知數(shù)列中，，．（1）求證：是等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項和為，若不等式對一切恒成立，求的取值范圍．【試題來源】河南省南陽市第一中學(xué)校2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第四次月考（文）【答案】（1）證明見解析，；（2）．【解析】（1）由得，即，又，所以是以是為首項，為公比的等比數(shù)列．所以，即．（2），所以，．兩式相減得，所以，所以．令，易知單調(diào)遞增，若為偶數(shù)，則，所以；若為奇數(shù)，則，所以，所以．綜上所述．【名師點睛】利用構(gòu)造等比數(shù)列可求解形如遞推關(guān)系的通項公式；根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求數(shù)列的最值，可求得參數(shù)的取值范圍．19．已知為等差數(shù)列的前項和，滿足，，為數(shù)列的前項和，滿足，．（1）求和的通項公式；（2）設(shè)，若數(shù)列的前項和，求的最大值．【試題來源】河南省南陽市第一中學(xué)校2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第四次月考（文）【答案】（1），，；（2）9．【解析】（1）為等差數(shù)列，因為，，所以，，解得，，所以．因為，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，．綜上，，．（2），所以，所以，因為，當(dāng)時，為關(guān)于的遞增數(shù)列，，，所以的最大值為9．【名師點睛】已知數(shù)列的通項和前項和的遞推關(guān)系，常采用多遞推一項再相減的思想；通過研究數(shù)列的單調(diào)性，進而研究數(shù)列項的最值或解不等式，是常用的方法．20．在①，②，③an+1＝an+n-8這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，若問題中的Sn存在最大值，則求出最大值；若問題中的Sn不存在最大值，請說明理由．問題：設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且a1＝4，_________，求{an}的通項公式，并判斷Sn是否存在最大值．【試題來源】湖北省宜昌市秭歸縣第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】答案不唯一，具體見解析【解析】選①因為，a1＝4，所以{an}是首項為4，公比為的等比數(shù)列，所以．當(dāng)n為奇數(shù)時，，因為隨著n的增加而減少，所以此時Sn的最大值為S1＝4．當(dāng)n為偶數(shù)時，，且．綜上，Sn存在最大值，且最大值為4．選②因為，a1＝4，所以{an}是首項為4，公差為的等差數(shù)列，所以．由，得n≤25，所以Sn存在最大值，且最大值為S25（或S24），因為，所以Sn的最大值為50．選③因為an+1＝an+n-8，所以an+1-an＝n-8，所以a2-a1＝-7，a3-a2＝-6，…，an-an-1＝n-9，則，又a1＝4，所以．當(dāng)n≥16時，an＞0，故Sn不存在最大值．21．已知數(shù)列中，，，為數(shù)列的前項和．?dāng)?shù)列滿足．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為．問是否存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【試題來源】江蘇省無錫市錫山高級中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】（1）證明見解析，；（2）存在，或【解析】（1），則，設(shè)，則，，，故，，，故數(shù)列為等差數(shù)列．（2），，故．成等差數(shù)列，則，即，化簡整理得到：，即，，故，且，故或，故或．22．在①成等差數(shù)列；②；③三個條件中任選一個補充在下面的問題中，并作答．（注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分）已知是數(shù)列的前項和．若，，且滿足（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，，求數(shù)列的通項公式．【試題來源】江蘇省無錫市錫山高級中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因為，所以，所以，化簡得，若選擇①：因為成等差數(shù)列，所以即，解得，所以數(shù)列是以2為首項，公比為2的等比數(shù)列，所以；若選擇②：因為，所以，所以數(shù)列是以2為首項，公比為2的等比數(shù)列，所以；若選擇③：因為，所以，所以數(shù)列是以2為首項，公比為2的等比數(shù)列，所以；（3）由（1）得，則，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，滿足上式，所以．23．閱讀本題后面有待完善的問題，在下列三個關(guān)系①，②，③中選擇一個作為條件，補充在題中橫線標(biāo)志的__________處，使問題完整，并解答你構(gòu)造的問題．（如果選擇多個關(guān)系并分別作答，在不出現(xiàn)邏輯混亂的情況下，按照第一個解答給分）設(shè)數(shù)列的前項和為，，對任意的，都有_________；等比數(shù)列中，對任意的，都有，，且，問：是否存在，使得對任意的，都有？若存在，試求出的值；若不存在，試說明理由．【試題來源】江蘇省南京市三校2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期中聯(lián)考【答案】答案見解析【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為．因為對任意的，都有，所以，解得或．因為對任意的，都有，所以，從而．又，所以．顯然，對任意的，．所以，存在，使得對任意的，都有，即．記，．下面分別就選擇①②③作為條件進行研究．①因為對任意的，都有，即．又，即，所以，從而，所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，得，即．所以，從而．由，得，當(dāng)時，，所以，當(dāng)或2時，取得最大值，即取得最大值．所以對任意的，都有，即，，所以存在，2，使得對任意的，都有．②因為對任意的，都有，即，所以數(shù)列是等差數(shù)列，公差為2．又，所以．所以，從而．由，得當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，取得最大值，即取得最大值．所以對任意的，都有，即．所以存在，使得對任意的，都有．③因為對任意的，都有，所以，從而，即．又，所以，且，從而數(shù)列是等比數(shù)列，公比為2，得．所以，從而，所以，所以，當(dāng)時，取得最大值，即取得最大值．所以對任意的，都有，即．所以存在，使得對任意的，都有．24．已知數(shù)列的前項和為，且（1）求和的值；（2）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出的通項公式；（3）設(shè)，，求數(shù)列的前項和．【試題來源】廣東省東莞市第四高級中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】（1）；；（2）證明見解析，；（3）．【解析】（1），得，當(dāng)時，，所以，解得．（2）由，，兩式相減得，即，所以數(shù)列是以首項為，公比為的等比數(shù)列，得．（3），，則=，得3×，上兩式相減得2×1+=，得．【名師點睛】已知條件是和的關(guān)系的，可用來求通項公式．如果一個數(shù)列的結(jié)構(gòu)是等差數(shù)列乘以等比數(shù)列，則數(shù)列求和采用錯位相減求和法．25．設(shè)數(shù)列的前項和為，且．（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列中，，，求數(shù)列的前項和．【試題來源】云南省德宏州2020屆高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測（文）【答案】（1）證明見解析；；（2）．【解析】（1）證明：當(dāng)時，，當(dāng)時，①，②，由①－②得，，即，故數(shù)列是以2為公比，首項為的等比數(shù)列，，得．（2）由題得，故是以2為公差，2為首項的等差數(shù)列，．．【名師點睛】本題考查數(shù)列求通項公式與求和問題，求數(shù)列和常用的方法：（1）等差等比數(shù)列：分組求和法；（2）倒序相加法；（3）（數(shù)列為等差數(shù)列）：裂項相消法；（4）等差等比數(shù)列：錯位相減法．26．已知數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)是數(shù)列的前n項和，求證：．【試題來源】浙江省溫州市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期11月高考適應(yīng)性測試（一模）【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）因為，所以，則當(dāng)時，滿足上式，所以．（2）①，②，①-②得，化簡得，所以，又，所以．【名師點睛】本題考查根據(jù)遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式，考查錯位相減法求和，難度一般．（1）當(dāng)數(shù)列滿足時，可采用累乘法求通項公式；（2）當(dāng)數(shù)列，其中和分別為等差數(shù)列與等比數(shù)列時，采用錯位相減法求和．27．已知數(shù)列滿足，且，數(shù)列滿足，且，()．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求通項；（2）解關(guān)于的不等式：．【試題來源】江蘇省鹽城市一中、射陽中學(xué)等五校2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考【答案】（1）證明見解析，；（2）．【解析】（1）由，且知，，故有得，所以數(shù)列是等差數(shù)列，由于，所以，即；（2）由得，，由累乘法得，則不等式可化為，即，令，則．當(dāng)時，，不符合；當(dāng)時，，符合；當(dāng)時，，符合；當(dāng)時，，符合；當(dāng)時，，不符合；而當(dāng)時，故當(dāng)不符合；綜上所述，．28．已知數(shù)列的前項和為，數(shù)列滿足，，．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，，求滿足的最大整數(shù)．【試題來源】浙江省杭州地區(qū)重點中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期中【答案】（1），；（2）證明見解析【解析】（1）因為①，時，②，由得，所以，當(dāng)時，，符合，所以，因為，所以，當(dāng)時，也符合，．（2）因為，，所以，，，，，所以即．所以滿足的最大整數(shù)n為7．29．已知數(shù)列{an}中，已知a1＝1，a2＝a，an＋1＝k(an＋an＋2)對任意n∈N*都成立，數(shù)列{an}的前n項和為Sn．（1）若{an}是等差數(shù)列，求k的值；（2）若a＝1，k＝－，求Sn．【試題來源】河南省豫南九校2020-2021學(xué)年高二第一學(xué)期第二次聯(lián)考試題（文）【答案】（1）；（2）．【解析】（1）若是等差數(shù)列，則對任意，，即，所以，故.（2）當(dāng)時，，即．所以，故，所以，當(dāng)n是偶數(shù)時，，當(dāng)n是奇數(shù)時，，綜上，．30．已知等差數(shù)列的前項和為，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．【試題來源】河南省豫南九校2020-2021學(xué)年高二第一學(xué)期第二次聯(lián)考試題（文）【答案】（1）；（2）．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，解得，所以，，故數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可得，所以，所以．【名師點睛】數(shù)列求和的常用方法：（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法直接求和；（2）對于型數(shù)列，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，利用錯位相減法求和；（3）對于型數(shù)列，利用分組求和法；（4）對于型數(shù)列，其中是公差為的等差數(shù)列，利用裂項相消法．31．已知等比數(shù)列滿足，．（1）定義：首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“數(shù)列”，證明：數(shù)列是“數(shù)列”；（2）記等差數(shù)列的前項和記為，已知，，求數(shù)列的前項的和．【試題來源】內(nèi)蒙古呼和浩特市2021屆高三質(zhì)量普查調(diào)研考試（理）【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）由題意可設(shè)公比為，則，得，得或，所以數(shù)列是“數(shù)列”．（2）設(shè)數(shù)列的公差為，易得得，所以，得，由（1）知若，則，所以，若，則，所以，所以①，所以②，①②得，所以，所以．32．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中并作答．已知是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，其前n項和為，________，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求．【試題來源】江蘇省南通市平潮高級中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】（1）；（2）【解析】是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列．所以，即，整理可得，若選①：，則，即，由可得代入可得，解得或（舍），所以，所以，若選②：，即，代入得，即解得或不符合題意；若選③：，則，，代入可得解得或不符合題意；綜上所述：，，（2），當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)為奇數(shù)時，，所以．【名師點睛】本題得關(guān)鍵點是分別由條件①②③結(jié)合，，成等比數(shù)列計算出和的值，由是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，所以，，第二問中正負交錯的數(shù)列求和，需要用奇偶并項求和，注意分為奇數(shù)和偶數(shù)討論．33．已知函數(shù)f(x)=(a為常數(shù)，a>0且a≠1)（1）在下列條件中選擇一個條件___(僅填序號)，使得依次條件可以推出數(shù)列{an}為等差數(shù)列，并說明理由；①數(shù)列{f()}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列；②數(shù)列{f()}是首項為4，公差為2的等差數(shù)列；③數(shù)列{f()}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列的前n項和構(gòu)成的數(shù)列；（2）在（1）的選擇下，若a=2，b=(n∈)，求數(shù)列{．}的前n項和，【試題來源】江蘇省南京師大附中2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期中【答案】（1）選①，理由見解析（2）【解析】（1）②③不能推出數(shù)列{an}為等差數(shù)列，①能推出數(shù)列{an}為等差數(shù)列．若選①，數(shù)列{f()}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，所以f()，解得，故數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若選②，數(shù)列{f()}是首項為4，公差為2的等差數(shù)列，所以，即，解得，故數(shù)列{an}不為等差數(shù)列，若選③，數(shù)列{f()}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列的前n項和構(gòu)成的數(shù)列，因為首項為4，公比為2的等比數(shù)列的前n項和為，所以，解得，顯然數(shù)列{an}不為等差數(shù)列．（2）由（1）及a=2可得，所以，，，兩式相減可得，．34．已知各項都大于1的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，4Sn－4n＋1＝an2：數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，bn＋Tn＝1．（1）分別求數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn＝anbn，若對任意的n∈N*．不等式5(λn＋3bn)－2bnSn>λn(c1＋c2＋c3＋…＋cn)恒成立，試求實數(shù)λ的取值范圍．【試題來源】河南省豫南九校2020-2021學(xué)年高二第一學(xué)期第二次聯(lián)考試題（理）【答案】（1）；；（2）．【解析】（1）由題可知，①②，由②-①得，，，故或，又，（舍）或，若，則有，而，所以，不滿足題意，所以，故，，，兩式相減得，，又，，是等比數(shù)列，首項為，公比為，（2）設(shè)由（1）得，，相減得，，又，可化為，即，又，，．35．已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S1＝1且S1，S3，S10－1成等比數(shù)列．（1）求{an}的通項公式；（2）設(shè)bn＝，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求使得Tn>成立的n的最小值．【試題來源】河南省豫南九校2020-2021學(xué)年高二第一學(xué)期第二次聯(lián)考試題（理）【答案】（1）；（2）6．【解析】（1），，成等比數(shù)列，，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，又，，即，又公差，，．（2）由（1）知，，，由可得，故要使得成立，則的最小值為6．36．已知等差數(shù)列的前n項的和為，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．【試題來源】河南省商丘市虞城高級中學(xué)2020~2021學(xué)年高三11月質(zhì)量檢測（理）【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得解得所以數(shù)列的通項公式是；（2）由（1）知，則，①①式兩邊同乘以，得，②①②，得，所以．【名師點睛】（1）一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比，然后作差求解．（2）在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn－qSn”的表達式．37．等差數(shù)列的前n項和為，已知，為整數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最大值．（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．【試題來源】安徽省馬鞍山市和縣第二中學(xué)2020-2021學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考（理）【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由題意可知，且，所以，解得，因為為整數(shù)，所以，所以的通項公式為．（2）因為，所以．38．已知是等比數(shù)列的前n項的和，成等差數(shù)列．（1）求等比數(shù)列的公比；（2）判斷是否成等差數(shù)列？若成等差數(shù)列，請給出證明；若不成等差數(shù)列，請說明理由．【試題來源】安徽省馬鞍山市和縣第二中學(xué)2020-2021學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考（理）【答案】（1）或；（2）當(dāng)時，不成等差數(shù)列，理由見解析；當(dāng)時，成等差數(shù)列，證明見解析．【解析】（1）由題意有：，所以，因為，所以，即，解得或，所以或；（2）①當(dāng)時，因為，所以時不成等差數(shù)列；②當(dāng)時，知，所以．所以，所以時，成等差數(shù)列．綜上：當(dāng)時不成等差數(shù)列；當(dāng)時，成等差數(shù)列．39．已知是公比為q的等比數(shù)列，其前n項和為，且，．（1）求q；（2）設(shè)是以2為首項，q為公差的等差數(shù)列，其前n項和為，當(dāng)時，試比較與的大?。驹囶}來源】河南省商丘市虞城縣高級中學(xué)2020~2021學(xué)年高三11月質(zhì)量檢測（文）【答案】（1）；（2）答案見解析．【解析】（1）當(dāng)時，若，則應(yīng)有，這與矛盾，故．由，相除得，解得．（2）由題意知，，當(dāng)時，．所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．【名師點睛】常見的比較大小的方法：（1）作差法：作差與作比較；（2）作商法：作商與作比較（注意正負）；（3）函數(shù)單調(diào)性法：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較大??；（4）中間值法：取中間值進行大小比較．40．已知等比數(shù)列中，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和．【試題來源】云南省玉溪第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中考試（理）【答案】（1）；（2）．【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，由題意知，所以，即．所以，，即．（2），所以．①．②①－②得，所以．【名師點睛】錯位相減法求和的方法：如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和時，可采用錯位相減法，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解；在寫“”與“”的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“”的表達式．41．?dāng)?shù)列中，，．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為．求證：．【試題來源】黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期中考試（理）【答案】（1）證明見解析，；（2）證明見解析．【解析】（1）由題意，數(shù)列中，，，可得，即，又由，可得，所以是以2為首項2為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式，可得，所以．（2）由（1）可得，所以，數(shù)列的前項和為，因為，所以，所以，即．42．記等比數(shù)列的前n項和為，已知．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前n項和．【試題來源】黑龍江賓縣第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高三第一學(xué)期第二次月考（理）【答案】（1）；（2）．【解析】（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，，即，所以等比數(shù)列的公比是3，所以，即，得，故數(shù)列是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，．（2）由（1）知，，故．則，，兩式相減得，，故．【名師點睛】一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解．43．已知數(shù)列的前n項的和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．【試題來源】河南省商丘市虞城縣高級中學(xué)2020~2021學(xué)年高三11月質(zhì)量檢測（文）【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因為，①當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，②①②，得，即，所以數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，從而．（2）由（1）知，則，兩邊同乘以，得；兩式相減得，所以．【名師點睛】滿足等差乘以等比形式的數(shù)列的前項和的求解步驟（錯位相減法）：（1）先根據(jù)數(shù)列的通項公式寫出數(shù)列的一般形式：；（2）將（1）中的關(guān)于等式的左右兩邊同時乘以等比數(shù)列的公比；（3）用（1）中等式減去（2）中等式，注意用（1）中等式的第一項減去（2）中等式的第2項，依次類推，得到結(jié)果；（4）利用等比數(shù)列的前項和公式以及相關(guān)計算求解出．44．已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，且滿足．（1）求數(shù)列與的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列，的前項相分別為，．①是否存在正整數(shù)．使得成立?若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；②解關(guān)于的不等式【試題來源】江蘇省蘇州市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期中【答案】（1）；（2）①存在，5；②．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為，等比數(shù)列的公比為，則，所以，解得，所以，所以即，解得，所以；（2）①假設(shè)存在正整數(shù)滿足，則，所以，所以，解得，所以存在正整數(shù)滿足題意；②由題意，，所以，即令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，，所以，又，，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，，所以不等式的解集為．45．已知數(shù)列滿足，其中是數(shù)列的前n項和．（1）若數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式；（2）若，．i）求通項公式；ii）求證：．【試題來源】浙江省金華市東陽中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期中【答案】（1）；（2）i）；ii）證明見解析．【解析】（1）由題意知，，，所以．（2）i）由題意知，，①，當(dāng)時，，②則①-②得，得，③④，④-③得化簡得，所以數(shù)列是等差數(shù)列，，，所以．ii）令．【名師點睛】本題考查了遞推關(guān)系，等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式，如果數(shù)列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項相消法求和，注意通項“分裂成兩項差”的形式之后是不是還有系數(shù)．46．已知數(shù)列，，滿足，，，．（1）若為等比數(shù)列，公比，且，求的值及數(shù)列的通項公式；（2）若為等差數(shù)列，且，證明，．【試題來源】河南省焦作市2020-2021學(xué)年高二（上）期中（理）【答案】（1）；；（2）證明見解析．【解析】（1）由題設(shè)知，解得或（舍，，，，，即，，，，，，，，，，，將以上式子相加可得，，，，又當(dāng)時，也適合，；（2）證明：，，，公差，，，，，，，，，，，將以上式子相乘可得，，，，，又當(dāng)時，也適合上式，，．47．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足2Sn＝3an－3，其中n∈N*．（1）證明：數(shù)列{an}為等比數(shù)列；（2）設(shè)bn＝2n－1，cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．【試題來源】河南省豫南九校2020-2021學(xué)年高二第一學(xué)期第二次聯(lián)考試題（文）【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）因為，--------①所以當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，---------②由①-②并整理得，，由上遞推關(guān)系得，所以，故數(shù)列是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，（2）由（1）得，因為，所以，所以，，兩式相減得，即，整理可得．48．已知數(shù)列滿足，，設(shè)，．（1）求證：是等比數(shù)列；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項和為，求證：．【試題來源】江蘇省南通市平潮高級中學(xué)2020-2021學(xué)年高