八年級(jí)數(shù)學(xué)人教版（上冊(cè)）第11章 小結(jié)與復(fù)習(xí)

第十一章三角形小結(jié)與復(fù)習(xí)要點(diǎn)梳理教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重點(diǎn)腰和底不等的等腰三角形1.

三角形的三邊關(guān)系：2.

三角形的分類三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.按邊分按角分不等邊三角形等腰三角形等邊三角形直角三角形銳角三角形鈍角三角形要點(diǎn)梳理3.

三角形的高、中線與角平分線高：頂點(diǎn)與對(duì)邊垂足間的線段，三條高或其延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn)，如圖

.中線：頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)間的線段，三條中線相交于一點(diǎn)（重心），如圖

.角平分線：三條角平分線相交于一點(diǎn)，如圖

.要點(diǎn)梳理4.

三角形的內(nèi)角和與外角(1)三角形的內(nèi)角和等于180°；(2)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；(3)三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角.要點(diǎn)梳理5.

多邊形及其內(nèi)角和n邊形內(nèi)角和等于(n-2)×180°(n≥3的整數(shù)）.n邊形的外角和等于360°.正多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是正多邊形的每個(gè)外角的度數(shù)是在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.正多邊形的各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形.要點(diǎn)梳理考點(diǎn)精講典例精講歸納總結(jié)考點(diǎn)一三角形的三邊關(guān)系

已知兩條線段的長(zhǎng)分別是3cm、8cm，要想拼成一個(gè)三角形，且第三條線段a的長(zhǎng)為奇數(shù)，問第三條線段應(yīng)取多長(zhǎng)？解：由三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊得8-3<a<8+3,∴5<a<11.又∵第三邊長(zhǎng)為奇數(shù),∴第三條邊長(zhǎng)為7cm或9cm.考點(diǎn)精講例題1

三角形兩邊之和大于第三邊，可以用來判斷三條線段能否組成三角形，在運(yùn)用中一定要注意檢查是否任意兩邊的和都大于第三邊，也可以直接檢查較小兩邊之和是否大于第三邊.三角形的三邊關(guān)系在求線段的取值范圍以及在證明線段的不等關(guān)系中有著重要的作用.1歸納針對(duì)訓(xùn)練考點(diǎn)精講

等腰三角形的周長(zhǎng)為16，其一邊長(zhǎng)為6，求另兩邊長(zhǎng).

解：由于題中沒有指明邊長(zhǎng)為6的邊是底還是腰，∴分兩種情況討論：

當(dāng)6為底邊長(zhǎng)時(shí)，腰長(zhǎng)為(16-6)÷2=5，這時(shí)另兩邊長(zhǎng)分別為5,5；當(dāng)6為腰長(zhǎng)時(shí)，底邊長(zhǎng)為16-6-6=4，這時(shí)另兩邊長(zhǎng)分別為6,4.綜上所述，另兩邊長(zhǎng)為5,5或6,4.考點(diǎn)精講例題2【變式題】已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)為4，另一邊長(zhǎng)為8，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為()

A.16

B.20或16

C.20

D.12

C歸納

等腰三角形的底邊長(zhǎng)不確定時(shí)，要分兩種情況討論，還要注意三邊是否構(gòu)成三角形.2.若(a-1)2+|b-2|=0,則以a,b為邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)為

.

5針對(duì)訓(xùn)練考點(diǎn)精講考點(diǎn)二三角形中的重要線段

如圖，CD為△ABC的AB邊上的中線，△BCD的周長(zhǎng)比△ACD的周長(zhǎng)大3cm，BC=8cm，求邊AC的長(zhǎng)．解：∵CD為△ABC的AB邊上的中線，∴AD=BD，∵△BCD的周長(zhǎng)比△ACD的周長(zhǎng)大3cm，∴（BC+BD+CD）-（AC+AD+CD）=3，∴BC-AC=3，∵BC=8，∴AC=5．考點(diǎn)精講例題3【變式題】在△ABC中，AB=AC，DB為△ABC的中線，且BD將△ABC周長(zhǎng)分為12cm與15cm兩部分，求三角形各邊長(zhǎng)．

解：如圖，∵DB為△ABC的中線，∴AD=CD，設(shè)AD=CD=x，則AB=2x，當(dāng)x+2x=12，解得x=4.BC+x=15，得BC=11.此時(shí)△ABC的三邊長(zhǎng)為AB=AC=8，BC=11；當(dāng)x+2x=15，BC+x=12，解得x=5，BC=7，此時(shí)△ABC的三邊長(zhǎng)為AB=AC=10，BC=7．無圖時(shí)，注意分類討論考點(diǎn)精講

如圖，D是△ABC的邊BC上任意一點(diǎn)，E、F分別是線段AD、CE的中點(diǎn)，且△ABC的面積為24，求△BEF的面積．解：∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，∴S△ABE=S△ABD，S△ACE=S△ADC，∴S△ABE+S△ACE=S△ABC=×24=12，∴S△BCE=S△ABC=×24=12，∵點(diǎn)F是CE的中點(diǎn)，∴S△BEF=S△BCE=×12=6．考點(diǎn)精講例題43.下列四個(gè)圖形中，線段BE是△ABC的高的是（）歸納

三角形的中線分該三角形為面積相等的兩部分.針對(duì)訓(xùn)練C考點(diǎn)精講4.如圖，①AD是△ABC的角平分線，則∠_____=∠____=∠_____，②AE是△ABC的中線，則_____=_____=_____，③AF是△ABC的高線，則∠_____=∠_____=90°．BADCADCABCEBEBCAFBAFC考點(diǎn)精講考點(diǎn)三有關(guān)三角形內(nèi)、外角的計(jì)算

∠A,∠B,∠C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，且分別滿足下列條件，求∠A，∠B，∠C中未知角的度數(shù).(1)∠A－∠B＝16°，∠C＝54°；(2)∠A:∠B:∠C＝2:3:4.解:(1)由∠C＝54°知∠A＋∠B＝180°－54°＝126°①,又∠A－∠B＝16°②,由①②解得∠A＝71°,∠B＝55°;(2)設(shè)∠A＝2x，∠B＝3x，∠C=4x

，

則2x+3x+4x=180°

，解得

x=20°，∴∠A＝40°,∠B＝60°，∠C＝80°.考點(diǎn)精講例題5

若題中沒有給出任意角的度數(shù)，僅給出數(shù)量關(guān)系，常用方程思想設(shè)未知數(shù)列方程求解.

如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度數(shù)．解：設(shè)∠1=∠2=x，則∠4=∠3=2x．因?yàn)椤螧AC=63°，所以∠2+∠4=117°，即x+2x=117°，所以x=39°,所以∠3=∠4=78°，∠DAC=180°-∠3-∠4=24°.歸納考點(diǎn)精講例題65.在△ABC中,三個(gè)內(nèi)角∠A,∠B,∠C滿足∠B-∠A=∠C-

∠B，則∠B=

.

針對(duì)訓(xùn)練60°6.如圖，在△ABC中，CE，BF是兩條高，若∠A=70°，∠BCE=30°，則∠EBF的度數(shù)是

，∠FBC的度數(shù)是

.

7.如圖，在△ABC中，兩條角平分線BD和CE相交于點(diǎn)O，若∠BOC=132°，那么∠A的度數(shù)是

.ABCEFABCDEO20°40°84°考點(diǎn)精講考點(diǎn)四多邊形的內(nèi)角和與外角和

已知一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都是其相鄰內(nèi)角度數(shù)的，求這個(gè)多邊形的邊數(shù).

解：設(shè)此多邊形的外角的度數(shù)為x,則內(nèi)角的度數(shù)為4x,則x+4x=180°,解得x=36°.∴邊數(shù)n=360°÷36°=10.歸納

在求邊數(shù)的問題中，常常利用定理列出方程，進(jìn)而再求得邊數(shù).考點(diǎn)精講例題7

如圖，五邊形ABCDE的內(nèi)角都相等，且∠1=∠2，∠3=∠4．求∠CAD的度數(shù)．解：∵五邊形的內(nèi)角和是540°，∴每個(gè)內(nèi)角為540°÷5=108°，∴∠E=∠B=∠BAE=108°，又∵∠1=∠2，∠3=∠4，由三角形內(nèi)角和定理可知∠1=∠2=∠3=∠4=（180°-108°）÷2=36°，∴∠CAD=∠BAE-∠1-∠3=108°-36°-36°=36°．考點(diǎn)精講例題8【變式題】如圖，六邊形ABCDEF的內(nèi)角都相等，∠1=∠2=60°，AB與DE有怎樣的位置關(guān)系？AD與BC有怎樣的位置關(guān)系？為什么？解：AB∥DE，AD∥BC.理由如下：∵六邊形ABCDEF的內(nèi)角都相等，∴六邊形ABCDEF的每一個(gè)內(nèi)角都等于120°，∴∠EDC=∠FAB=120°.∵∠1=∠2=60°，∴∠EDA=∠DAB=60°，∴AB∥DE，∵∠C=120°，∠2=60°，∴∠2+∠C=180°，∴AD∥BC.考點(diǎn)精講針對(duì)訓(xùn)練8.已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍少180°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)．解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n，依題意得（n-2）×180°=3×360°-180°，（n-2）=6-1，解得n=7．∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)是7．考點(diǎn)精講考點(diǎn)五本章中的思想方法方程思想

如圖，在△ABC中，∠C=∠ABC,BE⊥AC,△BDE是等邊三角形，求∠C的度數(shù).

ABCED解：設(shè)∠C=x°,則∠ABC=x°,因?yàn)椤鰾DE是等邊三角形，所以∠ABE=60°,所以∠EBC=x°-60°.在△BCE中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得90°+x°+x°-60°=180°,解得x=75,所以∠C=75

°.考點(diǎn)精講例題9

在角的求值問題中，常常利用圖形關(guān)系或內(nèi)角、外角之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后通過三角形內(nèi)角和定理列方程求解.【變式題】如圖，△ABC中，BD平分∠ABC,∠1=∠2,∠3=∠C,求∠1的度數(shù).ABCD))))2413解：設(shè)∠1=x,根據(jù)題意得∠2=x.因?yàn)椤?=∠1+∠2，∠4=∠2，所以∠3=2x,∠4=x，又因?yàn)椤?=∠C，所以∠C=2x.在△ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得x+2x+2x=180°,解得x=36°,所以∠1=36°.歸納考點(diǎn)精講分類討論思想

已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為10和6

，則三角形的周長(zhǎng)是

．【解析】由于沒有指明等腰三角形的腰和底，所以要分兩種情況討論：第一種10為腰，則6為底，此時(shí)周長(zhǎng)為26；第二種10為底，則6為腰，此時(shí)周長(zhǎng)為22.26或22【易錯(cuò)提示】別忘了用三邊關(guān)系檢驗(yàn)?zāi)芊窠M成三角形這一重要解題環(huán)節(jié).考點(diǎn)精講例題10化歸思想ABCDO如圖，△AOC與△BOD是有一組對(duì)頂角的三角形，其形狀像數(shù)字“8”，我們不難發(fā)現(xiàn)有一重要結(jié)論：∠A+∠C=∠B+∠D.這一圖形也是常見的基本圖形模型，我們稱它為“8字型”圖.考點(diǎn)精講

如圖，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度數(shù).解析：所求問題不是常見的求多邊形的內(nèi)角和問題，我們發(fā)現(xiàn)，只要連接CD便轉(zhuǎn)化為求五邊形的內(nèi)角和問題.ABCFGDE解：連接CD，由“8字型”模型圖可知∠FCD+∠GDC=∠F+∠G,所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G=（5-2）×180°=540°.考點(diǎn)精講例題