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文檔簡介
專題22.3實(shí)際問題與二次函數(shù)
典例體系
、知識(shí)點(diǎn)
①據(jù)題意,結(jié)合函數(shù)圖象求出函數(shù)解析式;
實(shí)物拋
②確定自變量的取值范圍;
物線③根據(jù)圖象,結(jié)合所求解析式解決問題.
①分析問題中的數(shù)量關(guān)系,列出函數(shù)關(guān)系式;
實(shí)際問②研究自變量的取值范圍;
題中求③確定所得的函數(shù);
最值④檢驗(yàn)X的值是否在自變量的取值范圍內(nèi),并求相關(guān)的值;
⑤解決提出的實(shí)際問題.
①根據(jù)幾何圖形的性質(zhì),探求圖形中的關(guān)系式;
結(jié)合幾
②根據(jù)幾何圖形的關(guān)系式確定二次函數(shù)解析式;
何圖形
③利用配方法等確定二次函數(shù)的最值,解決問題
二、考點(diǎn)點(diǎn)撥與訓(xùn)練
考點(diǎn)1:二次函數(shù)與面積問題
典例:(2020.江蘇省初三二模)為了節(jié)省材料,某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶利用水庫的岸堤(岸堤足夠長)為一邊,用總
長為80米的圍網(wǎng)在水庫中圍成了如圖所示的①②③三塊矩形區(qū)域,而且這三塊矩形區(qū)域的面積相等.設(shè)8C
的長度為X米,矩形區(qū)域ABC。的面積為y米2.
0)求證:AE=2BE;
(2)求y與%之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(3)”為何值時(shí),V有最大值?最大值是多少?
方法或規(guī)律點(diǎn)撥
此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用,以及列代數(shù)式,熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
鞏固練習(xí)
I.(2020?山東省初三一模)如圖,在足夠大的空地上有一段長為a(a?0)米的舊墻MN,某人利用舊墻和
木欄圍成一個(gè)矩形菜園ABCD,其中ADWMN,已知矩形菜園的一邊靠墻,另三邊一共用了100米木欄.
(1)若圍成的矩形菜園的面積為450平方米,求所利用舊墻AD的長;
(2)求矩形菜園ABCD面積的最大值.
,,,,//
AD
BC
2.(2020?湖北省初三學(xué)業(yè)考試)如圖,在美化校園的活動(dòng)中,數(shù)學(xué)興趣小組用16m長的籬笆,一邊靠墻圍
成一個(gè)矩形花園ABC。,墻長為6m,設(shè)AB=Xm.
(1)若花園的面積為14機(jī)2,求工的值;
2
(2)花園的面積能否為40加?為什么?
(3)若要求花園的面積大于24〃「,求X的取值范圍.
3.(2019?吉林市第二十三中學(xué)初三月考)用38加長的竹籬笆建一個(gè)矩形養(yǎng)雞場,養(yǎng)雞場一面用磚砌成,
其它用竹籬笆圍成,并且在與磚墻相對(duì)的一面開2機(jī)的門(門用其他材料制成),問怎樣圍竹籬笆,使得養(yǎng)
雞場占地面積最大?最大面積是多少?
/I
4.(2020?廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)越秀學(xué)校初三月考)如圖,用一段長為40機(jī)的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形花圃
ABCD,墻長24九設(shè)A8長為x/n,矩形的面積為SM.
(1)寫出S與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)AB長為多少米時(shí),所圍成的花圃面積最大?最大值是多少?
(3)當(dāng)花圃的面積為150m2時(shí),AB長為多少米?
AD
B-------------C
5.(2020?莆田擢英中學(xué)初三零模)某農(nóng)場擬用總長為60〃?的建筑材料建三間矩形牛飼養(yǎng)室,飼養(yǎng)室的一面
靠現(xiàn)有墻(墻長為40"),其中間用建筑材料做的墻隔開(如圖).設(shè)三間飼養(yǎng)室平行于墻的一邊合計(jì)用建
筑材料xm,總占地面積為ym2.
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量的取值范圍;
(2)當(dāng)x為何值時(shí),三間飼養(yǎng)室占地總面積最大?最大面積為多少?
6.(2019?廣東省初三期末)如圖,某中學(xué)準(zhǔn)備用長為20,”的籬笆圍成一個(gè)長方形生物園ABCO飼養(yǎng)小兔,
生物園的一面靠墻(圍墻最長可利用15機(jī)),設(shè)AB長度為x(機(jī)),矩形ABCD面積為y(/?2).
*---------------15??-----------
(1)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式,直接寫出x的取值范圍;
(2)當(dāng)x為何值時(shí),矩形ABCQ的面積最大?最大面積為多少?
考點(diǎn)2:二次函數(shù)與營銷問題
典例:(2020.遼寧省中考真題)超市銷售某品牌洗手液,進(jìn)價(jià)為每瓶10元.在銷售過程中發(fā)現(xiàn),每天銷售
量丫(瓶)與每瓶售價(jià)x(元)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系(其中且%為整數(shù)),當(dāng)每瓶洗手液的
售價(jià)是12元時(shí),每天銷售量為90瓶;當(dāng)每瓶洗手液的售價(jià)是14元時(shí),每天銷售量為80瓶.
(1)求V與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)設(shè)超市銷售該品牌洗手液每天銷售利潤為卬元,當(dāng)每瓶洗手液的售價(jià)定為多少元時(shí),超市銷售該品牌
洗手液每天銷售利潤最大,最大利潤是多少元?
方法或規(guī)律點(diǎn)撥
本題主要了考查二次函數(shù)的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及根據(jù)總利潤的相等關(guān)
系列出函數(shù)解析式、利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值問題.
鞏固練習(xí)
I.(2020.眉山市東坡區(qū)蘇轍中學(xué)初三其他)四川某特產(chǎn)專賣店銷售核桃,其進(jìn)價(jià)為每千克40元,按每千克
60元銷售,平均每天可售出100千克,后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),單價(jià)每降低2元,則平均每天的銷量可增
加20千克.若該專賣店銷售這種核桃想要平均每天獲利2240元,請(qǐng)回答:
(1)為盡可能讓利于顧客,贏得市場,每千克核桃應(yīng)降價(jià)多少元?
(2)若該專賣店想獲得最大利潤W,核桃的單價(jià)應(yīng)定為多少元?最大利潤是多少?
2.(2020?浙江省初三月考)受新冠疫情影響;3月1日起,“君樂買菜”網(wǎng)絡(luò)公司某種蔬菜的銷售價(jià)格,開始
上漲.如圖1,前四周該蔬菜每周的平均銷售價(jià)格y(元/kg)與周次x(x是正整數(shù),l4x<5)的關(guān)系可近似
2
y=—x+a_、,廠
用函數(shù)5刻畫;進(jìn)入第5周后,由于外地蔬菜的上市,該蔬菜每周的平均銷售價(jià)格y(元7kg)從第5
=」/+法+5
X
周的6元“g下降至第6周的5.6元/超;y與周次x(54x,7)的關(guān)系可近似用函數(shù)‘一10”刻
畫.
⑴求叫勺值.
y(兀/kg)
6.0-----------------------1
5.6------
4.4■t
圖1
(2)若前五周該蔬菜的銷售量根網(wǎng)與每周的平均銷售價(jià)格?。ㄔ?依)之間的關(guān)系可近似地用如圖2所示的
函數(shù)圖象刻畫,第6周的銷售量與第5周相同:
①求加與丁的函數(shù)表達(dá)式;
②在前六周中,哪一周的銷售額卬(元)最大?最大銷售額是多少?
3.(2020?四川省成都市七中育才學(xué)校初三二模)“綠水青山就是金山銀山”的理念已融入人們的日常生活中,
因此,越來越多的人喜歡騎自行車出行,某自行車店在銷售某型號(hào)自行車時(shí),標(biāo)價(jià)1500元.已知按標(biāo)價(jià)九
折銷售該型號(hào)自行車8輛與將標(biāo)價(jià)直降100元銷售7輛獲利相同.
(1)求該型號(hào)自行車的進(jìn)價(jià)是多少元?
(2)若該型號(hào)自行車的進(jìn)價(jià)不變,按標(biāo)價(jià)出售,該店平均每月可售出60輛:若每輛自行車每降價(jià)50元,
每月可多售出10輛,求該型號(hào)自行車降價(jià)多少元時(shí),每月獲利最大?最大利潤是多少?
4.(2020?湖北省中考真題)一大型商場經(jīng)營某種品牌商品,該商品的進(jìn)價(jià)為每件3元,根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),
該商品每周的銷售量y(件)與售價(jià)x(元件)(x為正整數(shù))之間滿足一次函數(shù)關(guān)系,下表記錄的是某三周
的有關(guān)數(shù)據(jù):
X(元/件)456
y(件)1000095009000
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式(不求自變量的取值范圍);
(2)在銷售過程中要求銷售單價(jià)不低于成本價(jià),且不高于15元/件.若某一周該商品的銷售量不少于6000
件,求這一周該商場銷售這種商品獲得的最大利潤和售價(jià)分別為多少元?
(3)抗疫期間,該商場這種商品售價(jià)不大于15元/件時(shí),每銷售一件商品便向某慈善機(jī)構(gòu)捐贈(zèng)m元
(1W〃?W6),捐贈(zèng)后發(fā)現(xiàn),該商場每周銷售這種商品的利潤仍隨售價(jià)的增大而增大.請(qǐng)直接寫出m的取
值范圍.
5.(2020?無錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校初三三模)我市某鎮(zhèn)的一種特產(chǎn)由于運(yùn)輸原因,長期只能在當(dāng)?shù)劁N售.當(dāng)?shù)?/p>
P=--—(X-60)2+41
政府對(duì)該特產(chǎn)的銷售投資收益為:每投入x萬元,可獲得利潤(萬元).當(dāng)?shù)卣?/p>
擬在“十三?五”規(guī)劃中加快開發(fā)該特產(chǎn)的銷售,其規(guī)劃方案為:在規(guī)劃前后對(duì)該項(xiàng)目每年最多可投入100萬
元的銷售投資,在實(shí)施規(guī)劃5年的前兩年中,每年都從100萬元中撥出50萬元用于修建一條公路,兩年修
成,通車前該特產(chǎn)只能在當(dāng)?shù)劁N售:公路通車后的3年中,該特產(chǎn)既在本地銷售,也在外地銷售.在外地
QQ?94
Q=------(100-x)2+——(100-x)+160
銷售的投資收益為:每投入x萬元,可獲利潤1005(萬元).
(1)若不進(jìn)行開發(fā),求5年所獲利潤的最大值是多少?
(2)若按規(guī)劃實(shí)施,求5年所獲利潤(扣除修路后)的最大值是多少?
(3)根據(jù)(1)>(2)該方案是否具有實(shí)施價(jià)值?
6.(2020.遼寧省初三其他)某水果店經(jīng)銷A、B兩種水果,A種水果進(jìn)貨單價(jià)比B種水果進(jìn)貨單價(jià)多2元,
花50元購進(jìn)A種水果的數(shù)量與花40元購進(jìn)B種水果的數(shù)量相同.在銷售過程中發(fā)現(xiàn),A種水果每天銷售
量是丫人與銷售價(jià)x(元)滿足關(guān)系式力=”+20,B種水果,每天銷售量力與銷售價(jià)元)滿足%=%+14
(1)求A、B兩種水果的單價(jià).
(2)已知A種水果比B種水果的銷售價(jià)高2元/千克,且每天A、B水果均有a千克壞掉.設(shè)B水果售價(jià)
為t元/千克,每天兩種水果的總利潤為W元,求W與t的函數(shù)解析式,并求出當(dāng)a的取值在什么范圍內(nèi),
水果店有可能不賠錢?
考點(diǎn)3:應(yīng)用二次函數(shù)的建模問題
典例:(2020.浙江省中考真題)用各種盛水容器可以制作精致的家用流水景觀(如圖1).
科學(xué)原理:如圖2,始終盛滿水的圓體水桶水面離地面的高度為H(單位:m),如果在離水面豎直距離為h
(單校:cm)的地方開大小合適的小孔,那么從小孔射出水的射程(水流落地點(diǎn)離小孔的水平距離)s(單
位:cm)與h的關(guān)系為s?=4h(H—h).
應(yīng)用思考:現(xiàn)用高度為20cm的圓柱體望料水瓶做相關(guān)研究,水瓶直立地面,通過連注水保證它始終盛滿水,
在離水面豎直距高h(yuǎn)cm處開一個(gè)小孔.
(1)寫出s2與h的關(guān)系式;并求出當(dāng)h為何值時(shí),射程s有最大值,最大射程是多少?
(2)在側(cè)面開兩個(gè)小孔,這兩個(gè)小孔離水面的豎直距離分別為a,b,要使兩孔射出水的射程相同,求a,b
之間的關(guān)系式;
(3)如果想通過墊高塑料水瓶,使射出水的最大射程增加16cm,求整高的高度及小孔離水面的豎直距離.
方法或規(guī)律點(diǎn)撥
本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用,厘清題中的數(shù)量關(guān)系并明確二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
鞏固練習(xí)
1.(2020?河北省初三一模)2019年女排世界杯于9月在日本舉行,中國女排以十一連勝的驕人成績衛(wèi)冕冠
軍,充分展現(xiàn)了團(tuán)隊(duì)協(xié)作、頑強(qiáng)拼搏的女排精神.如圖是某次比賽中墊球時(shí)的動(dòng)作,若將墊球后排球的運(yùn)
動(dòng)路線近似的看作拋物線,在同一豎直平面內(nèi)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,已知運(yùn)動(dòng)員墊球忖(圖中點(diǎn)A)
離球網(wǎng)的水平距離為5米,排球與地面的垂直距離為0.5米,排球在球網(wǎng)上端0.26米處(圖中點(diǎn)8)越過
球網(wǎng)(女子排球賽中球網(wǎng)上端距地面的高度為2.24米),落地時(shí)(圖中點(diǎn)C)距球網(wǎng)的水平距離為2.5米,
則排球運(yùn)動(dòng)路線的函數(shù)表達(dá)式為()
,,高度/米
2.24''、、、、
、、
、、
。C%(地面)
1485
y-------X2H——X+—
75152
1428514285
V=—X------x+一y=—X+—XH----
C.75152D.75152
2.(2020?吉林省初三一模)如圖,有一座拋物線拱橋,在正常水位時(shí)水面AB的寬為20/",如果水位上升
3〃?達(dá)到警戒水位時(shí),水面的寬是10米,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,O為坐標(biāo)原點(diǎn),如果水位以
0.2%/〃的速度勻速上漲,那么達(dá)到警戒水位后,再過力水位達(dá)到橋拱最高點(diǎn)O.
3.(2020?吉林省初三二模)如圖,一位籃球運(yùn)動(dòng)員在距離籃圈中心水平距離44機(jī)處跳起投籃,球沿條拋物
線運(yùn)動(dòng),當(dāng)球運(yùn)動(dòng)的水平距離為2.4小時(shí),達(dá)到最大高度4〃?,然后準(zhǔn)確落入籃筐內(nèi).已知籃圈中心距離地面
的高度為務(wù)〃,則這位運(yùn)動(dòng)員投跳時(shí),球出手處距離地面的高度h為
4.(2020?東北師大附屬明達(dá)學(xué)校初三二模)如圖是某地一座拋物線形拱橋,橋拱在豎直平面內(nèi),與水平橋
面相交于AB兩點(diǎn),拱橋最高點(diǎn)C到AB的距離為4九AB=\2m,D,E為拱橋底部的兩點(diǎn),且DEI/AB,若
的長為1a〃,則點(diǎn)E到直線AB的距離為—m.
5.(2020.吉林省初三一模)如圖是一座截面邊緣為拋物線的拱形橋,當(dāng)拱頂離水面2米高時(shí),水面/為4
米,則當(dāng)水面下降1米時(shí),水面寬度增加米.
6.(2020?內(nèi)蒙古自治區(qū)初三月考)雜技團(tuán)進(jìn)行雜技表演,演員從蹺蹺板右端A處彈跳到人梯頂端椅子B處,
32Q1
(、y=—x+3x+1
其身體(看成一點(diǎn))的路線是拋物線5的一部分,如圖所示.
。)求演員彈跳離地面的最大高度;
(2)已知人梯高6c=34米,在一次表演中,人梯到起跳點(diǎn)A的水平距離是4米,問這次表演是否成功?
考點(diǎn)4:應(yīng)用二次函數(shù)解決實(shí)際問題
典例:(2020.江蘇省中考真題)小明和小麗先后從A地出發(fā)同一直道去B地,設(shè)小麗出發(fā)第xmin時(shí),小
麗、小明離地的距離分別為>"、丫2m,凹與x之間的數(shù)表達(dá)式X=T80X+2250,%與x之間的函
數(shù)表達(dá)式是八.
(1)小麗出發(fā)時(shí),小明離A地的距離為m.
(2)小麗發(fā)至小明到達(dá)B地這段時(shí)間內(nèi),兩人何時(shí)相距最近?最近距離是多少?
方法或規(guī)律點(diǎn)撥
此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.
鞏固練習(xí)
1.(2020?紹興市柯橋區(qū)楊汛橋鎮(zhèn)中學(xué)初三其他)超市有一種“喜之郎”果凍禮盒,內(nèi)裝兩個(gè)上下倒置的果凍,
果凍高為4cm,底面是個(gè)直徑為6cm的圓,橫截面可以近似地看作一個(gè)拋物線,為了節(jié)省成本,包裝應(yīng)盡
可能的小,那么要制作這樣一個(gè)包裝盒至少紙板()平方厘米.(不計(jì)重合部分)
A.253B.288C.206D.245
2.(2020.山西省中考真題)豎直上拋物體離地面的高度'(加)與運(yùn)動(dòng)時(shí)間’(S)之間的關(guān)系可以近似地用公
式'=-5『+卬+%表示,其中%(⑺是物體拋出時(shí)離地面的高度,%(加/s)是物體拋出時(shí)的速度.某人
將一個(gè)小球從距地面L5加的高處以20m/s的速度豎直向上拋出,小球達(dá)到的離地面的最大高度為()
A.23.5/wB.22.5m21.5/WD.20.5/77
3.(2020?湖南省中考真題)“聞起來臭,吃起來香”的臭豆腐是長沙特色小吃,臭豆腐雖小,但制作流程卻
比較復(fù)雜,其中在進(jìn)行加工煎炸臭豆腐時(shí),我們把焦脆而不糊的豆腐塊數(shù)的百分比稱為“可食用率”,在特定
條件下,“可食用率”P與加工煎炸的時(shí)間t(單位:分鐘)近似滿足函數(shù)關(guān)系式:P=c
b,c為常數(shù)),如圖紀(jì)錄了三次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),根據(jù)上述函數(shù)關(guān)系和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳
時(shí)間為()
0.9---f
0.8T:
0.6「一1
!----1----?
o34----5r
A.3.50分鐘B.4.05分鐘C.3.75分鐘D.4.25分鐘
4.(2020?河南省初三其他)小明以二次函數(shù)y=2x2—4x+8的圖象為靈感為“某國際葡萄酒大賽”設(shè)計(jì)了一款
杯子,如圖為杯子的設(shè)計(jì)稿,若AB=4,DE=3,則杯子的高CE為()
5.(2020?河北省中考真題)用承重指數(shù)卬衡量水平放置的長方體木板的最大承重量.實(shí)驗(yàn)室有一些同材質(zhì)
同長同寬而厚度不一的木板,實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn):木板承重指數(shù)卬與木板厚度x(厘米)的平方成正比,當(dāng)兀=3時(shí),
W=3
(1)求W與x的函數(shù)關(guān)系式.
(2)如圖,選一塊厚度為6厘米的木板,把它分割成與原來同長同寬但薄厚不同的兩塊板(不計(jì)分割損耗).設(shè)
薄板的厚度為%(厘米),0=%一%
X
①求。與X的函數(shù)關(guān)系式:
②X為何值時(shí),。是%的3倍?
(注:(1)及(2)中的①不必寫x的取值范圍)
6.(2020?山東省中考真題)某公司生產(chǎn)A型活動(dòng)板房成本是每個(gè)425元.圖①表示A型活動(dòng)板房的一面墻,
它由長方形和拋物線構(gòu)成,長方形的長AD=4m,寬4B=3〃z,拋物線的最高點(diǎn)E到BC的距離為4m.
(1)按如圖①所示的直角坐標(biāo)系,拋物線可以用'=表示,求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)現(xiàn)將A型活動(dòng)板房改造為3型活動(dòng)板房.如圖②,在拋物線與AO之間的區(qū)域內(nèi)加裝一扇長方形窗戶
FGMN,點(diǎn)G,"在A。上,點(diǎn)N,尸在拋物線上,窗戶的成本為50元已知GM=2m,求每
個(gè)8型活動(dòng)板房的成本是多少?(每個(gè)8型活動(dòng)板房的成本=每個(gè)A型活動(dòng)板房的成本+一扇窗戶尸GMN
的成本)
(3)根據(jù)市場調(diào)查,以單價(jià)650元銷售(2)中的3型活動(dòng)板房,每月能售出100個(gè),而單價(jià)每降低10元,
每月能多售出20個(gè).公司每月最多能生產(chǎn)160個(gè)3型活動(dòng)板房.不考慮其他因素,公司將銷售單價(jià)〃(元)
定為多少時(shí),每月銷售3型活動(dòng)板房所獲利潤卬(元)最大?最大利潤是多少?
專題22.3實(shí)際問題與二次函數(shù)
典例體系
、知識(shí)點(diǎn)
④據(jù)題意,結(jié)合函數(shù)圖象求出函數(shù)解析式;
實(shí)物拋
②確定自變量的取值范圍;
物線③根據(jù)圖象,結(jié)合所求解析式解決問題.
④分析問題中的數(shù)量關(guān)系,列出函數(shù)關(guān)系式;
實(shí)際問⑤研究自變量的取值范圍;
題中求⑥確定所得的函數(shù);
最值④檢驗(yàn)X的值是否在自變量的取值范圍內(nèi),并求相關(guān)的值;
⑤解決提出的實(shí)際問題.
②根據(jù)幾何圖形的性質(zhì),探求圖形中的關(guān)系式;
結(jié)合幾
⑤根據(jù)幾何圖形的關(guān)系式確定二次函數(shù)解析式;
何圖形
⑥利用配方法等確定二次函數(shù)的最值,解決問題
二、考點(diǎn)點(diǎn)撥與訓(xùn)練
考點(diǎn)1:二次函數(shù)與面積問題
典例:(2020.江蘇省初三二模)為了節(jié)省材料,某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶利用水庫的岸堤(岸堤足夠長)為一邊,用總
長為80米的圍網(wǎng)在水庫中圍成了如圖所示的①②③三塊矩形區(qū)域,而且這三塊矩形區(qū)域的面積相等.設(shè)8C
的長度為X米,矩形區(qū)域A5C。的面積為y米2.
⑴求證:AE=2BE.
⑵求丁與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量》的取值范圍;
(3)、為何值時(shí),丁有最大值?最大值是多少?
3,
--%2+30x(0<%<40)……
【答案】(1)見解析;(2)y=4;(3)當(dāng)x=20時(shí),>有最大值,最大值為300平方
米
【解析】解:0);三塊矩形區(qū)域的面積相等,
二矩形AEED面積是矩形BCFE面積的2倍,
又:£產(chǎn)是公共邊,
AE=2BE,
(2)設(shè)BE=a,則AE=2at
???8a+2x=80,
80—2x
.「=8,AB=3a,
々?80-2尤3
v=3ax-3------x=——x+30x
二84
a=-x+40>0,
?-?x<40,
?()<x<40
333
/y=—X2+30X=——(X-20)2+300(0<X<40)——<0
44,且二次項(xiàng)系數(shù)為4
.?.當(dāng)x=20時(shí),y有最大值,最大值為300平方米.
方法或規(guī)律點(diǎn)撥
此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用,以及列代數(shù)式,熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
鞏固練習(xí)
1.(2020?山東省初三一模)如圖,在足夠大的空地上有一段長為a(a>50)米的舊墻MN,某人利用舊墻和
木欄圍成一個(gè)矩形菜園ABCD,其中ADSMN,已知矩形菜園的一邊靠墻,另三邊一共用了100米木欄.
(1)若圍成的矩形菜園的面積為450平方米,求所利用舊墻AD的長;
(2)求矩形菜園ABCD面積的最大值.
1//,,,,//,//.,N
AD
BC
【答案】(1)AD的長為90m或者10m;(2)矩形菜園面積S的最大值為1250m2.
【解析】
(1)設(shè)AB=xm,則BC=(100-2x)m,
根據(jù)題意得x(100-2x)=450,解得xl=5,x2=45,
當(dāng)x=5時(shí),IOO-2x=9O,
當(dāng)x=45時(shí),100-2x=10;
答:AD的長為90m或10m;
(2)設(shè)AD=bm,
119
S=-/;(100-M=--(6-50)+1250
二矩形菜園面積22
Va>50,
則b=50時(shí),S有最大值,最大值為1250m2.
2.(2020?湖北省初三學(xué)業(yè)考試)如圖,在美化校園的活動(dòng)中,數(shù)學(xué)興趣小組用16m長的籬笆,一邊靠墻圍
成一個(gè)矩形花園ABCD墻長為6m,設(shè)A8=Xm.
(1)若花園的面積為14〃?2,求工的值;
(2)花園的面積能否為40,/?為什么?
2
(3)若要求花園的面積大于24機(jī),求8的取值范圍.
9
【答案】(1)2;(2)花園的面積不能為40〃廣,理由詳見解析;(3)4VH6.
16-x一
x------=14
【解析】(1)由題意列方程:2,
解得用=14,々=2,
由于%=14>6不合題意,所以尤=2.
(2)設(shè)花園的面積為>加2,依題意有:
y=Fy=-^U-8)2+32
2,即2,
)的最大值=32,
2
花園的面積不能為40斤.
y^--(x-8)2+32
(3)由(2)知2
24=--(X-8)2+32
當(dāng)丁=24時(shí),有2解得玉=12,%=4,
2
:花園的面積大于24機(jī),.\4<^<12,
又;墻長為6m,...OCXN,
???%的取值范圍是4<%W6.
3.(2019?吉林市第二十三中學(xué)初三月考)用38ni長的竹籬笆建一個(gè)矩形養(yǎng)雞場,養(yǎng)雞場一面用磚砌成,
其它用竹籬笆圍成,并且在與磚墻相對(duì)的一面開2機(jī)的門(門用其他材料制成),問怎樣圍竹籬笆,使得養(yǎng)
雞場占地面積最大?最大面積是多少?
__<1___
【答案】平行于墻的一邊為20m,垂直于墻的一邊為10m時(shí),養(yǎng)雞場占地面積最大,最大面積是200m工
【解析】
解:設(shè)垂直于墻的一邊為則另一邊為38—2x+2=(4()—2x)m,面積為
y=%(40-2x)=-2x2+40x=-2(x-10)2+200
二'與%=10時(shí),養(yǎng)雞場的面積有最大值200m2,
即平行于墻的一邊為20m,垂直于墻的一邊為10m時(shí),養(yǎng)雞場占地面積最大,最大面積是200m?
4.(2020?廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)越秀學(xué)校初三月考)如圖,用一段長為40〃7的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形花圃
ABCD,墻長24也設(shè)A3長為X”?,矩形的面積為S〃汽
(1)寫出S與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)AB長為多少米時(shí),所圍成的花圃面積最大?最大值是多少?
(3)當(dāng)花圃的面積為150加時(shí),A8長為多少米?
【答案】(1)S=-2x2+40x;(2)當(dāng)x=10時(shí),所圍成的花圃面積最大,最大值為200"科(3)當(dāng)花圃的面
積為150標(biāo)時(shí),AB長為15米.
【解析】解:(1)S=x(40-2x)=-2r2+40x,
即函數(shù)關(guān)系式為:S=-2N+4(k;
(2)由題意,得:0<40-比24,
解得8<r<20,
又由(1),得S=-2(x-10)2+200,
...當(dāng)x=10時(shí),所圍成的花圃面積最大,最大值為200m2;
(3)由-2(x-10)2+200=150,
解得XI=5,X2=15,
V8<r<20,
...當(dāng)花圃的面積為150小時(shí),48長為15米.
5.(2020?莆田擢英中學(xué)初三零模)某農(nóng)場擬用總長為60膽的建筑材料建三間矩形牛飼養(yǎng)室,飼養(yǎng)室的一面
靠現(xiàn)有墻(墻長為40%),其中間用建筑材料做的墻隔開(如圖).設(shè)三間飼養(yǎng)室平行于墻的一邊合計(jì)用建
筑材料xm,總占地面積為ym2.
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量的取值范圍;
(2)當(dāng)x為何值時(shí),三間飼養(yǎng)室占地總面積最大?最大面積為多少?
【答案】(l)y=--x2+l5x;0<啟40;(2)當(dāng)x=30時(shí),三間飼養(yǎng)室占地總面積最大,最大為225(m2).
4
【解析】(1)根據(jù)題意得,y=x-(60-x)=--x2+15x,
44
自變量的取值范圍為:0V后40;
(2)Vy=--,r2+15x=--(x-30)2+225,
44
.,.當(dāng)x=30時(shí),三間飼養(yǎng)室占地總面積最大,最大為225(m2).
6.(2019?廣東省初三期末)如圖,某中學(xué)準(zhǔn)備用長為20〃?的籬笆圍成一個(gè)長方形生物園A8CQ飼養(yǎng)小兔,
生物園的一面靠墻(圍墻最長可利用15優(yōu)),設(shè)AB長度為x(m),矩形ABC。面積為y(m2).
*----------15泄----------J
“一,,詈“,,V
5'--------------'C
(1)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式,直接寫出x的取值范圍;
(2)當(dāng)x為何值時(shí),矩形ABCD的面積最大?最大面積為多少?
【答案】(1)y=-2y2+20x(0〈爛g);(2)當(dāng)x=5時(shí),面積最大為50M
【解析】解:(1)當(dāng)長方形的寬AB=x時(shí),其長BC=20-2x,
故長方形的面積y=x(20-2x)=-2x2+20x,
5
即y=-2x2+20x(0<x<-);
(2)y=-Zr2+20x
=-2(x-5)2+50,
:-2<0,
...當(dāng)x=5時(shí),y取得最大值,最大值為50,
答:當(dāng)x=5時(shí),面積最大為504.
考點(diǎn)2:二次函數(shù)與營銷問題
典例:(2020?遼寧省中考真題)超市銷售某品牌洗手液,進(jìn)價(jià)為每瓶10元.在銷售過程中發(fā)現(xiàn),每天銷售
量?。ㄆ浚┡c每瓶售價(jià)8(元)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系(其中且x為整數(shù)),當(dāng)每瓶洗手液的
售價(jià)是12元時(shí),每天銷售量為90瓶;當(dāng)每瓶洗手液的售價(jià)是14元時(shí),每天銷售量為80瓶.
(1)求V與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)設(shè)超市銷售該品牌洗手液每天銷售利潤為卬元,當(dāng)每瓶洗手液的售價(jià)定為多少元時(shí),超市銷售該品牌
洗手液每天銷售利潤最大,最大利潤是多少元?
【答窠】(1)、=-5"+15°(IO<X<15,且x為整數(shù));(2)當(dāng)每瓶洗手液的售價(jià)定為15元時(shí),超市銷售
該品牌洗于液每天銷售利潤最大,最大利潤是375元
【解析】解:(1)設(shè)了與x之間的函數(shù)關(guān)系式為丫="+"(ZH°),根據(jù)題意,得:
‘12%+》=90
’14Z+b=80
>=-5
解得M=150,
與X之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-5x+15°(|0<x<15,且X為整數(shù)):
(2)根據(jù)題意,得:
w=(x—10)(—5x+150)
2
=-5x+200^-1500f
=-5(x-20)2+500
9
vfl=-5<0,
,拋物線開口向下,卬有最大值,
.?.當(dāng)x<20時(shí),卬隨工的增大而增大,
v10<x<15,且%為整數(shù),
,當(dāng)x=15時(shí),卬有最大值,
即卬=—5x(15—20)2+500=375
答:當(dāng)每瓶洗手液的售價(jià)定為15元時(shí),超市銷售該品牌洗于液每天銷售利潤最大,最大利潤是375元.
方法或規(guī)律點(diǎn)撥
本題主要了考查二次函數(shù)的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及根據(jù)總利潤的相等關(guān)
系列出函數(shù)解析式、利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值問題.
鞏固練習(xí)
1.(2020.眉山市東坡區(qū)蘇轍中學(xué)初三其他)四川某特產(chǎn)專賣店銷售核桃,其進(jìn)價(jià)為每千克40元,按每千克
60元銷售,平均每天可售出100千克,后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),單價(jià)每降低2元,則平均每天的銷量可增
加20千克.若該專賣店銷售這種核桃想要平均每天獲利2240元,請(qǐng)回答:
(1)為盡可能讓利于顧客,贏得市場,每千克核桃應(yīng)降價(jià)多少元?
(2)若該專賣店想獲得最大利潤W,核桃的單價(jià)應(yīng)定為多少元?最大利潤是多少?
【答案】(1)每千克核桃應(yīng)降價(jià)6元;(2)核桃的單價(jià)應(yīng)定為55元,最大利潤是2250元.
【解析】
-x20
解:(1)設(shè)每千克核桃應(yīng)降價(jià)x元,則每千克利潤為(60-X-40)元,則每天銷量為(100+2)
-x20
(60-X-40)(100+2)=2240,
解得,=4,X2—6,
1?要盡可能讓利于顧客,
???要盡可能讓利于顧客,
每千克核桃應(yīng)降價(jià)6元;
1x20
(2)設(shè)每千克核桃應(yīng)降價(jià)y元,則每千克利潤為(60-y-40)元,則每天銷量為(100+2)
2x20
則W=(60->--40)(100+2)=-10(y-5)2+2250,
...當(dāng)),=5時(shí),W取得最大值,此時(shí)W=2250,
.\60-y=60-5=55,
該專賣店想獲得最大利潤W,核桃的單價(jià)應(yīng)定為55元,最大利潤是2250元.
2.(2020?浙江省初三月考)受新冠疫情影響;3月1日起,“君樂買菜”網(wǎng)絡(luò)公司某種蔬菜的銷售價(jià)格,開始
上漲.如圖1,前四周該蔬菜每周的平均銷售價(jià)格)(元/kg)與周次工(》是正整數(shù),l4x<5)的關(guān)系可近似
2
y=—x+〃
用函數(shù)5刻畫;進(jìn)入第5周后,由于外地蔬菜的上市,該蔬菜每周的平均銷售價(jià)格y(元/kg)從第5
xx
周的6元/依下降至第6周的5.6元/必;V與周次M5KxW7)的關(guān)系可近似用函數(shù)‘一lQ刻
畫.
⑴求。涉的值.
)y(元兀/kg)
6.0-------------------1
------「.-y「I
5.6----------LF.
?I1
4.4-■1T??
O156x
圖I
但)若前五周該蔬菜的銷售量優(yōu)(儂)與每周的平均銷售價(jià)格)(元/炊)之間的關(guān)系可近似地用如圖2所示的
函數(shù)圖象刻畫,第6周的銷售量與第5周相同:
①求〃z與V的函數(shù)表達(dá)式;
②在前六周中,哪一周的銷售額卬(元)最大?最大銷售額是多少?
【答案】(1)1°;(2)①.=-257+250,②笫2周或笫3周銷售額最大,最大銷售額是624元
2
y=—x+a4.4=-+。
【解析】解:(1)把點(diǎn)(1,4.4)代入5得5解得4=4,
17
6.0=一一x52+5b+5b=—
把點(diǎn)(5,6.0)代入10得10;
a=4,b=—
10
(2)①設(shè)前五周加與y的函數(shù)表達(dá)式為〃
140=4.4〃+鄉(xiāng)
*
根據(jù)圖象得把(4.4,140)(6,100)代入得U°°=6p+。
〃=一25
V
解得1*7=250
.??陽與丁的函數(shù)表達(dá)式為帆=-253+250;
②當(dāng)1WxW4時(shí),
2
?/m--25y+250,y=—x+4
/./72=-10X+150
w=(-10x+150)■|犬+4)=-4丁+20x+600=-4(x一g)+625
,?F是正整數(shù),
???當(dāng)x=2或3時(shí),卬有最大值624;
「7…
y=-----xHx+5=6
當(dāng)%=5時(shí),1010
m=-25y+250=100
1,7
m=100,y=-----x2+—x+5
當(dāng)5K%<6時(shí),1010
(17、(7Y1245
w=100-----x2H—x+5=—10x~+70x+500=—10x—+------
I1010)I2)2
.??”是正整數(shù),5<x<6
.?.當(dāng)x=5時(shí),w有最大值600。
綜上所得:第2周或第3周銷售額最大,最大銷售額是624兀.
3.(2020?四川省成都市七中育才學(xué)校初三二模)“綠水青山就是金山銀山”的理念已融入人們的日常生活中,
因此,越來越多的人喜歡騎自行車出行,某自行車店在銷售某型號(hào)自行車時(shí),標(biāo)價(jià)1500元.已知按標(biāo)價(jià)九
折銷售該型號(hào)自行車8輛與將標(biāo)價(jià)直降100元銷售7輛獲利相同.
(1)求該型號(hào)自行車的進(jìn)價(jià)是多少元?
(2)若該型號(hào)自行車的進(jìn)價(jià)不變,按標(biāo)價(jià)出售,該店平均每月可售出60輛:若每輛自行車每降價(jià)50元,
每月可多售出10輛,求該型號(hào)自行車降價(jià)多少元時(shí),每月獲利最大?最大利潤是多少?
【答案】(1)1000元;(2)降價(jià)100元時(shí)每月利潤最大,最大為32000元
【解析】解:(1)設(shè)進(jìn)價(jià)為8元
則(1500x0.9-x)x8=(1500-100-x)x7
解得:x=l()OO
二改型號(hào)自行車進(jìn)價(jià)1000元
(2)設(shè)自行車降價(jià)工元,獲利為丁元
y=(1500-1000-x)-f60+—xlO
則:I50J
(\\.
=(500-x)-x+60=—(x-500)(x+300)
I〉75
a=—<0
,對(duì)稱軸:x=l(X),5
..當(dāng)x=100時(shí),
=-|x(100-500)(100+300)_
答:降價(jià)100元時(shí)每月利潤最大,最大為32000元.
4.(2020?湖北省中考真題)一大型商場經(jīng)營某種品牌商品,該商品的進(jìn)價(jià)為每件3元,根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),
該商品每周的銷售量y(件)與售價(jià)x(元件)(x為正整數(shù))之間滿足一次函數(shù)關(guān)系,下表記錄的是某三周
的有關(guān)數(shù)據(jù):
X(元/件)456
y(件)1000095009000
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式(不求自變量的取值范圍);
(2)在銷售過程中要求銷售單價(jià)不低于成本價(jià),且不高于15元/件.若某一周該商品的銷售量不少于6000
件,求這一周該商場銷售這種商品獲得的最大利潤和售價(jià)分別為多少元?
(3)抗疫期間,該商場這種商品售價(jià)不大于15元/件時(shí),每銷售一件商品便向某慈善機(jī)構(gòu)捐贈(zèng)m元
(1〈加〈6),捐贈(zèng)后發(fā)現(xiàn),該商場每周銷售這種商品的利潤仍隨售價(jià)的增大而增大.請(qǐng)直接寫出m的取
值范圍.
【答案】(1)y=-500X+12000;這一周該商場銷售這種商品獲得的最大利潤為54000元,售價(jià)為
12元;(3)3<m<6.
【解析】解:(1)設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,
10000=4%+/?
<
代入(4,10000).(5,9500)可得:[9500=5%+“,
7:=-500
解得:"2000
即y與x的函數(shù)關(guān)系式為V=-500x+12000;
(2)設(shè)這一周該商場銷售這種商品獲得的利潤為w,
根據(jù)題意可得:1500X+1200026000,
解得:3<X<12,
w=y(x-3)
=(-500x+12000)(x-3)
(27Y
=-500x——+55125
I2J
-*?3<x<12,
,當(dāng)x=12時(shí),w有最大值,w=54000,
答:這一周該商場銷售這種商品獲得的最大利潤為54000元,售價(jià)為12元.
(3)設(shè)這一周該商場銷售這種商品獲得的利潤為w,
當(dāng)每銷售一件商品便向某慈善機(jī)構(gòu)捐贈(zèng)m元時(shí),
w=y^x-m-3)
=(-500x+12000)(x-3)
=-500x2+500(/〃+27)x—500x24(加一3)
由題意,當(dāng)爛15時(shí),利潤仍隨售價(jià)的增大而增大,
500(/n+27)>i5
可得:2x(-500),解得:m>3,
?/1<m<6
3</n<6
故m的取值范圍為:3<m<6.
5.(2020?無錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校初三三模)我市某鎮(zhèn)的一種特產(chǎn)由于運(yùn)輸原因,長期只能在當(dāng)?shù)劁N售.當(dāng)?shù)?/p>
P=--—(X-60)2+41
政府對(duì)該特產(chǎn)的銷售投資收益為:每投入x萬元,可獲得利潤100(萬元).當(dāng)?shù)卣?/p>
擬在“十三?五”規(guī)劃中加快開發(fā)該特產(chǎn)的銷售,其規(guī)劃方案為:在規(guī)劃前后對(duì)該項(xiàng)目每年最多可投入100萬
元的銷售投資,在實(shí)施規(guī)劃5年的前兩年中,每年都從100萬元中撥出50萬元用于修建一條公路,兩年修
成,通車前該特產(chǎn)只能在當(dāng)?shù)劁N售;公路通車后的3年中,該特產(chǎn)既在本地銷售,也在外地銷售.在外地
99~294
0=--(100-%)2+--(100-%)+160
銷售的投資收益為:每投入x萬元,可獲利潤1005(萬元).
(1)若不進(jìn)行開發(fā),求5年所獲利潤的最大值是多少?
(2)若按規(guī)劃實(shí)施,求5年所獲利潤(扣除修路后)的最大值是多少?
(3)根據(jù)(1)、(2)該方案是否具有實(shí)施價(jià)值?
【答案】(1)205萬元;(2)3175萬元;(3)有
【解析】解:(1)當(dāng)x=60時(shí),P的最大值為41萬元,
,5年所獲利潤的最大值是:41x5=205(萬元);
(2)前兩年:0WXW50,此時(shí)因?yàn)镻隨x的增大而增大,
2x--—(50-60)2+41=80
,x=50時(shí),P最大為:L10°」(萬元),
后三年:設(shè)每年獲利y,設(shè)當(dāng)?shù)赝顿Y額為a,則外地投資額為100-a,
99r-r2294r-r
2=---[100-(100-a)]+^-[100-(100-a)]+160
—9小空a+16。
1005
l,/QQ294\
:.y=P+Q=----(。-60)-+41+a+160
-100V7I1005
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