2024年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)03 陰影部分面積求解問題（原卷版）

重難點(diǎn)突破03陰影部分面積求解問題目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u方法一直接公式法方法二和差法題型01直接和差法題型02構(gòu)造和差法題型03割補(bǔ)法類型一全等法類型二等面積法類型三平移法、旋轉(zhuǎn)法類型四對(duì)稱法題型04容斥原理【基礎(chǔ)】設(shè)⊙OQUOTE的半徑為R，n°QUOTE圓心角所對(duì)弧長為l，n為弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)，則扇形弧長公式l=nπR180（扇形面積公式S扇形=nπR2圓錐側(cè)面積公式S圓錐側(cè)=πrl（其中l(wèi)是圓錐的母線長，r是圓錐的底面半徑）圓錐全面積公式S圓錐全=πrl+πr2（圓錐的表面積=扇形面積+底面圓面積）圓錐的高h(yuǎn)，圓錐的底面半徑rr【方法技巧】1）利用弧長公式計(jì)算弧長時(shí)，應(yīng)先確定弧所對(duì)的圓心角的度和半徑，再利用公式求得結(jié)果．在弧長公式l=nπR2）在利用扇形面積公式求面積時(shí)，關(guān)鍵是明確扇形所在圓的半徑、扇形的圓心角的度數(shù)或扇形的弧長，然后直接代入公式S扇形=nπR2360或S3）扇形面積公式S扇形=14）根據(jù)扇形面積公式和弧長公式，已知S扇形，l，n，R中的任意兩個(gè)量，都可以求出另外兩個(gè)量．5）在解決有關(guān)圓錐及其側(cè)面展開圖的計(jì)算題時(shí)，常借助圓錐底面圓的周長等于側(cè)面展開圖扇形的弧長，即2πr=nπR1806）求弧長或扇形的面積問題常結(jié)合圓錐考查，解這類問題只要抓住圓錐側(cè)面展開即為扇形，而這個(gè)扇形的弧長等于原圓錐底面的周長，扇形的半徑等于原圓錐的母線長．注意不要混淆圓錐的底面半徑和圓錐展開后的扇形半徑兩個(gè)概念．【陰影部分面積求解問題簡介】求陰影部分面積時(shí)，最基本的思想就是轉(zhuǎn)化思想，即把所求的不規(guī)則的圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．常用的方法有：1）直接用公式求解．圖形公式S陰影=S扇形ABCS陰影=S△ABCS陰影=S四邊形ABCD=ab2）和差法：所求面積的圖形是一個(gè)不規(guī)則圖形，可將其轉(zhuǎn)化變成多個(gè)規(guī)則圖形面積的和或差，進(jìn)行求解．①直接和差法.（陰影部分是幾個(gè)常見圖形組合而成，即S陰影=S常見圖形±S常見圖形）圖形面積計(jì)算方法圖形面積計(jì)算方法S陰影=S△ACB?S扇形ABDS陰影=S扇形AOB?S△AOBS陰影=S△AOB?S扇形CODS陰影=S扇形BAD?S半圓ABS陰影=S半圓AB?S△AOBS陰影=S扇形之和=nπR2S陰影=S扇形EAF?S△ADE②構(gòu)造和差法（所求陰影部分面積需要添加輔助線構(gòu)造扇形、三角形或特殊四邊形,然后進(jìn)行相加減。）圖形公式S陰影=S扇形AOC+S△BOCS陰影=S△ODC-S扇形DOES陰影=S扇形AOB-S△AOBS陰影=S扇形BOE+S△OCE-S扇形COD3）割補(bǔ)法：直接求面積較復(fù)雜或無法計(jì)算時(shí)，可通過旋轉(zhuǎn)、平移、割補(bǔ)等方法，對(duì)圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，為利用公式法或和差法創(chuàng)造條件，從而求解．①全等法圖形公式S陰影=S△AOBS陰影=S扇形BOCS陰影=S矩形ACDFS陰影=S正方形PCQE②等面積法圖形公式S陰影=S扇形COD③平移法圖形公式S陰影=S正方形BCFES陰影=S矩形ABHG④旋轉(zhuǎn)法圖形公式S陰影=S扇形AOES陰影=S扇形BODS陰影=S扇形ABE-S扇形MBN⑤對(duì)稱法圖形公式S陰影=S△ACDS陰影=S扇形CDES陰影=S△OBC=14S正方形AS陰影=S扇形ACB-S△ACD4)容斥原理當(dāng)陰影部分是由幾個(gè)圖形疊加形成時(shí),1）需先找出疊加前的幾個(gè)圖形;2）然后理清圖形之間的重疊關(guān)系.圖形（舉例）公式S陰影=S扇形BAB′+S半圓AB′?S半圓ABS陰影=S半圓AC+S半圓BC?S△ACBS陰影=S扇形AEC+S扇形BCD?S△ACB方法一直接公式法1．（2022·湖北武漢·?？既＃┤鐖D，AB是半圓的直徑，點(diǎn)C在直徑上，以C為圓心、CA為半徑向內(nèi)作直角扇形，再以D為圓心、DC為半徑向內(nèi)作直角扇形，使點(diǎn)E剛好落到半圓上，若AB=10，則陰影部分的面積為（

）

A．16π B．12π C．8π D．4π2．（2023·四川成都·?？既＃┤鐖D，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，以B為圓心，BC的長為半徑畫弧，交AD于點(diǎn)E．若將一骰子（看成一個(gè)點(diǎn)）投到矩形ABCD中，則骰子落在陰影部分的概率為．3．（2023·吉林長春·吉林大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=6，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，將AD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得AD'

方法二和差法題型01直接和差法4．（2019上·河北石家莊·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓上，連接AC、BC，AB=10，BC:AC=3:4

5．（2023·青海·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長是4，分別以點(diǎn)A，B，C，D為圓心，2為半徑作圓，則圖中陰影部分的面積是（結(jié)果保留π）.

6．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=2，以點(diǎn)C為圓心畫弧與斜邊AB相切于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，則圖中陰影部分的面積是

7．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）如圖，正五邊形ABCDE的邊長為2，以A為圓心，以AB為半徑作弧BE，則陰影部分的面積為（結(jié)果保留π）．

題型02構(gòu)造和差法8．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O為Rt△ABC的內(nèi)切圓，則圖中陰影部分的面積為(結(jié)果保留A．3π4 B．6?3π4 C．5?9．（2022·湖北恩施·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以點(diǎn)A為圓心，AD的長為半徑畫弧交AB于點(diǎn)E，連接CE，則陰影部分的面積是（

）

A．3?13π B．3π?110．（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，⊙O的半徑為2，AB=23，則陰影部分的面積是．（結(jié)果保留π11．（2023上·安徽六安·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=2．點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，以點(diǎn)D為圓心，CB長為直徑畫半圓，交AB于點(diǎn)E，則圖中陰影部分的面積為12．（2022·廣東江門·鶴山市沙坪中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在半徑為5，圓心角等于45°的扇形AOB內(nèi)部作一個(gè)正方形CDEF，使點(diǎn)C在OA上，點(diǎn)D、E在OB上，點(diǎn)F在AB上，則陰影部分的面積為．

13．（2022·福建·一模）如圖，在平行四邊形紙板ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，O分別為AB，

14．（2023·廣東梅州·?？级＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，已知⊙D經(jīng)過原點(diǎn)O，與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B坐標(biāo)為0,23，OC與⊙D交于點(diǎn)C，∠OCA=30°，則圓中陰影部分的面積為

15．（2023·河南周口·淮陽第一高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，扇形AMB的圓心角∠AMB=60°，將扇形AMB沿射線MB平移得到扇形CND，已知線段CN經(jīng)過AB的中點(diǎn)E，若AM=23，則陰影部分的周長為

16．（2024·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）如圖，等腰△ABC的頂點(diǎn)A，C在⊙O上，BC邊經(jīng)過圓心0且與⊙O交于D點(diǎn)，∠B=30°.(1)求證：AB是⊙O的切線；(2)若AB=6，求陰影部分的面積17．（2023·山西長治·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，CA=CB，AB=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，分別以點(diǎn)A、B、C為圓心，AD的長為半徑畫弧，交線段AC、BC于點(diǎn)E、F、G、H，若點(diǎn)E、F是線段AC的三等分點(diǎn)時(shí)，圖中陰影部分的面積為（

）

A．82?2π B．162?4π18．（2022·湖北武漢·校考模擬預(yù)測(cè)）已知AB是⊙O的直徑，DA、DE、BC是⊙O的三條切線，切點(diǎn)分別為A、E、B，連接OE．

(1)如圖1，求證：OE(2)如圖2，AD=1，題型03割補(bǔ)法類型一全等法19．（2022上·安徽阜陽·九年級(jí)?？计谀〢B是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∠C=30°，CD=43A．π B．2π C．83π20．（2023·山西晉城·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AB=1，以點(diǎn)A為圓心，矩形的長AD為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)E，交AB的延長線于點(diǎn)F，若AE恰好平分∠BAD，則陰影部分的面積為（

）

A．1 B．π?2?12 C．221．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為2，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O，以點(diǎn)B為圓心，對(duì)角線BD的長為半徑畫弧，交BC的延長線于點(diǎn)E，則圖中陰影部分的面積為．

22．（2022·青海·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，若AB=3，BC=4，則圖中陰影部分的面積為．23．（2022上·江西南昌·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，半徑為10的扇形OAB中，∠AOB=90°，C為弧AB上一點(diǎn)，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D，E．若∠CDE=40°，則圖中陰影部分的面積為（

）A．403π B．1109π C．類型二等面積法24．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O與AB，BC分別交于點(diǎn)D，E，連接AE，DE，若∠BED=45°，AB=2，則陰影部分的面積為（）A．π4 B．π3 C．2π25．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）閱讀與思考下面是小明的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)：通過構(gòu)造全等三角形來解決圖形與幾何中的問題在圖形與幾何的學(xué)習(xí)中常常會(huì)遇到一些問題無法直接解答，需要作輔助線構(gòu)造全等三角形才能得到解決，比如下面的題目中出現(xiàn)了角平分線和垂線段，我們可以通過延長垂線段與三角形的一邊相交，構(gòu)造全等三角形，再運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)解決此問題．例：如圖1，D是△ABC內(nèi)的點(diǎn)，且AD平分∠BAC，CD⊥AD，連接BD．若△ABC的面積是10，求圖中陰影部分的面積．

該問題的解答過程如下：解：如圖2，延長CD交AB于點(diǎn)E．

∵AD平分∠BAC，∴∠DAB=∠DAC．∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠ADE=90°．在△ADE和△ADC中，∠DAB=∠DAC∴△ADE≌△ADCASA∴S△ADE=S任務(wù)：(1)上述解答過程中的“依據(jù)*”是指；(2)請(qǐng)將上述解答過程的剩余部分補(bǔ)充完整；(3)如圖3，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，CE⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)E，連接BE．若BE=5，請(qǐng)直接寫出AD的長．

26．（2023上·遼寧撫順·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，C，D是以AB為直徑的半圓上的兩點(diǎn)，連接BC，CD，AC，BD，類型三平移法、旋轉(zhuǎn)法27．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于半徑為8cm的⊙O中，連接CE，AC，AE，沿直線CE折疊，使得點(diǎn)D與點(diǎn)O重合，則圖中陰影部分的面積為（

A．323cm2 B．83cm228．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC是直角邊長為2的等腰直角三角形，直角邊AB是半圓O1的直徑，半圓O2過C點(diǎn)且與半圓

A．7?π9 B．5?π9 C．7929．（2018·山西·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為2，以點(diǎn)A為圓心，以AC長為半徑畫弧交AB的延長線于點(diǎn)E，交AD的延長線于點(diǎn)F，則圖中陰影部分的面積為（）A．4π﹣4 B．4π﹣8 C．8π﹣4 D．8π﹣8類型四對(duì)稱法30．（2017上·山東東營·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，以AB為直徑，點(diǎn)O為圓心的半圓經(jīng)過點(diǎn)C，若AC=BC=2，則圖中陰影部分的面積是31．（2023·廣西北海·統(tǒng)考三模）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，EF過點(diǎn)O，交AD于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E．若AB=3，AC=4，AD=5，則圖中陰影部分的面積是（）

A．1.5 B．3 C．6 D．432．（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形ABCD中，AC和BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線EF交AB于點(diǎn)E(E不與A，B重合），交CD于點(diǎn)F．以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑的圓交直線EF于點(diǎn)M，N．若AB=1，則圖中陰影部分的面積為（）

A．π8?18 B．π8?33．（2022·山東菏澤·統(tǒng)考二模）如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，半徑OA=3，則圖中陰影部分的面積是，（結(jié)果保留π）34．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考二模）如圖，在⊙O中，弦AB垂直于半徑OC，垂足為D，點(diǎn)E在OC的延長線上，且∠EAC=∠CAB．(1)求證：直線AE是⊙O的切線；(2)若OE=6,sin題型04容斥原理35．（2022上·重慶·九年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)校考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，分別以AB、BC、AC邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙”．當(dāng)AB=8，BC=4時(shí)，則陰影部分的面積為36．（2021·廣東江門·校考三模）如圖，AB是半圓O的直徑，以O(shè)為圓心，OC長為半徑的半圓交AB于C，D兩點(diǎn)，弦AF切小半圓于點(diǎn)E．已知AB=4，∠BAF=30°，則圖中陰影部分的面積是（）

A．32+π3 B．33+37．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考三模）如圖，在Rt△ABC中