2020高考真題數(shù)學(xué)（文理）

新高考全國卷I

本試卷共150分.考試時(shí)長120分鐘.

一、選擇題（本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.設(shè)集合A={x|lWxW3},B=[x\2<x<A},貝ijAUB=()

A.{x[2<xW3}B.{x|2WxW3}

C.{x|lWx<4}D.{x|l<r<4)

解析選C.AUB={x|lWxW3}U{x[2<x<4}={x|lWx<4}.故選C.

2—i

2-l+2i=()

A.1B.

C.iD.

鏟用/c2-i(2—i)(l—2i)—5i

D-L

解析-1+2i(l+2i)(l-2i)-5-

3.6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場館，甲場館安排1名,

乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（）

A.120種B.90種

C.60種D.30種

解析選C.先從6名同學(xué)中選1名安排到甲場館，有C&種選法，再從剩余的5名同學(xué)中

選2名安排到乙場館，有Cg種選法，最后將剩下的3名同學(xué)安排到丙場館，有C3種選法,

由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有Cl<3G=60（種）不同的安排方法.

4.日唇是中國古代用來測定時(shí)間的儀器，利用與唇面垂直的辱針投

射到屠面的影子來測定時(shí)間.把地球看成一個(gè)球（球心記為。），地球上一

點(diǎn)4的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過

點(diǎn)A且與04垂直的平面，在點(diǎn)A處放置一個(gè)日唇，若唇面與赤道所在平

面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40。，則唇針與點(diǎn)A處的水平面所成角為（

A.20°B.40°

C.50°D.90°

解析選B.如圖所示，。。為赤道平面，為A點(diǎn)處的日屋的

署面所在的平面，由點(diǎn)A處的緯度為北緯40?？芍?OAOi=40。，又

點(diǎn)A處的水平面與04垂直，遇針AC與。01所在的面垂直，則懸?針

AC與水平面所成角為40。.故選B.

5.某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜

歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的

比例是()

A.62%B.56%

C.46%D.42%

解析選C.用Venn圖表示該中學(xué)喜歡足球和游泳的學(xué)生

所占的比例之間的關(guān)系如圖，設(shè)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生82%^^

占該中學(xué)學(xué)生總數(shù)的比例為x,貝！|(60%-x)+(82%-x)+x=

96%,解得x=46%.故選C.

6.基本再生數(shù)品與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感

染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階

段，可以用指數(shù)模型：&)=e”描述累計(jì)感染病例數(shù)/⑺隨時(shí)間/(單位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)

增長率r與Ro,T近似滿足Ro=l+”.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出Ro=3.28,7=6.據(jù)此，在

新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln2、0.69)()

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

解析選B.由Ro=l+rT,Ro=3.28,T=6,

得一早3.28—1

-6-=0.38.

由題意，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍，則/⑹=2/9)，即eO.38f2=2e0.38力,所以e0.38?2

—“)=2,即0.38“2—八)=出2,；，2一九=915::::：11:：5::1.8.故選8.

7.已知P是邊長為2的正六邊形ABCQEF內(nèi)的一點(diǎn)，則成的取值范圍是()

A.(-2,6)B.(-6,2)

C.(-2,4)D.(-4,6)

解析選A.如圖，取A為坐標(biāo)原點(diǎn)，A8所在直線為x軸建立平面直斗

角坐標(biāo)系，則A(0,0),B(2,0),C(3,小)，F(xiàn)(-l,小).設(shè)P(x,y),則壽

=(x,y),贏=(2,0),且一la<3.所以能?矗=(x,y>(2,0)=2xd(—2,6).故~~T

選A.

8.若定義在R的奇函數(shù)人x)在(一8,0)單調(diào)遞減，且人2)=0,則滿足求x—1)20的x

的取值范圍是()

A.[-1,1]U[3,+8)B.[-3,-l]U[0,ll

C.[-l,0]U[L+°o)D.[-l,0]U[l,3]

解析選D.因?yàn)楹瘮?shù)ZU)為定義在R上的奇函數(shù)，則式0)=0.又兀v)在(-8,0)單調(diào)遞減，

且式2)=0,畫出函數(shù)於)的大致圖象如圖(1)所示，則函數(shù)yu-l)的大致圖象如圖(2)所示.

(1)(2)

當(dāng)xWO時(shí)，要滿足求工-1)>0,則人X-1)WO,

得一1WxWO.

當(dāng)x>0時(shí)，要滿足求X—1)》0,則兀V—1)》0,

得1WXW3.

故滿足求x—1)20的x的取值范圍是故選D.

二、選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分)

9.已知曲線C：mx2+ny2=\.()

A.若則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上

B.若小=〃>0,則C是圓，其半徑為⑴

c.若〃?〃<o,則c是雙曲線，其漸近線方程為>=±寸?

D.若〃?=0,n>0,則C是兩條直線

11f

解析選ACD.對(duì)于A,當(dāng)心心0時(shí)，有/方>0，方程化為1+寧=1,表示焦點(diǎn)在y軸

mn

上的橢圓，故A正確.對(duì)于B,當(dāng)〃2=〃>0時(shí)，方程化為f+y2=,表示半徑為端的圓，

?2

故B錯(cuò)誤.對(duì)于C,當(dāng)機(jī)>0,〃<0時(shí)，方程化為十一上［■=］，表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，

tnn

其中a=\^，b=漸近線方程為y-±、「受x'當(dāng)膽<°，時(shí)，方程化為十一

n

任1=1,表示焦點(diǎn)在)，軸上的雙曲線，其中b=-\J漸近線方程為y=±yj-彳

m

X,故C正確.對(duì)于D,當(dāng)機(jī)=0,〃>0時(shí)，方程化為y=t、址,表示兩條平行于x軸的直線,

故D正確.綜上可知，正確的選項(xiàng)為ACD.

10.右圖是函數(shù)y=sin(<yx+0)的部分圖象，則sin(cox+9)=()

解析選BC.由圖象知科=空一看=看得7=兀,所以0=率=2.又圖象過點(diǎn)。0),由“五

點(diǎn)法”，結(jié)合圖象可得夕+方=兀，即0=空，

,故A錯(cuò)誤;

由sin(2x+^)=sin[Le_2,]=sin停一2文)知in(2x+芟)=sin(：

B正確；由si陵+“

cos(2九+5)知C正確;

由si

co｛兀+(2x—普)]=-cos管-2x)知D錯(cuò)誤.

11.已知。＞0,比＞0,且o+b=l,則()

A.片+扶》；B.2f7

C.log2〃+log2b2D.y[a+y[b^：y[2

解析選ABD.因?yàn)椤ǎ?,比＞0,a+b=l,所以當(dāng)且僅當(dāng)〃=/?=義時(shí)，等

號(hào)成立，即有

對(duì)于A,a2+b2：=(a+b)2—2ab=1-2ab^1—2X^=^,故A正確；對(duì)于B,2a^b=22a^]

=^X226r,因?yàn)?。?,所以2犯＞1,即2。一嗎，故B正確；對(duì)于C,log2a+log2〃=log2abWk＞g2；

=—2,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,由(W+$)2=a+b+2g^=l+2/^W2,得g+福W啦，故

D正確.綜上可知，正確的選項(xiàng)為ABD.

12.信息嫡是信息論中的一個(gè)重要概念.設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為1,2,…，”，

且尸(X=i)=p,＞0(i=l,2,…,n),￡p,=l,定義X的信息嫡，(X)=—￡p,log2P,.()

A.若”=1,則&X)=0

B.若”=2,則H(X)隨著pj的增大而增大

C.若2=%i=l,2,…，ri),則，(X)隨著〃的增大而增大

D.若〃=2相，隨機(jī)變量y所有可能的取值為1,2,…，m,且P(y=/)=°j+p2,.+i-X/=

1,2,m),則”(X)WH(y)

解析選AC.對(duì)于A,當(dāng)〃=1時(shí)，pi=l,/7(X)=-lXlog2l=0,故A正確.對(duì)于B,

當(dāng)”=2時(shí)，有pi+p2=l,此時(shí)，若〃1=；或土都有"(*)=—(5og2：+llog2g,故B錯(cuò)誤.對(duì)

1"1111

于C,當(dāng)~=芹=1,2,…，〃)時(shí)，H(X)=-E-log2-=—nX-log2-=log2W,顯然，(X)隨〃的

增大而增大，故C正確.對(duì)于D,方法1：當(dāng)〃=2機(jī)時(shí)，

"(X)=—(Pllog2Pl+p210g2P2H----b/72〃L110g2,2,〃-1+，2〃Jog2P2〃J

=-[(pilog2pi+p2〃Jog2P2〃J+(〃210g2〃2+〃25一1.log2P2"[-1)H-----H(〃“Jog2〃〃？+〃加+[log2〃m+

3，

H(Y)=-[Q)l+P2切)log2(P1+〃2切)+(P2+Pim-|)-log2(/?2+”2〃L1)H-----H(〃〃?+P"什1)10g2(R〃+

P〃?+l)],由于pilOg吶+p2〃j0g2P2〃j=10g2(PlP「〃P2〃2%)V10g2[(Pl+p2m)p\'(p\+〃疝⑵J

=10g2(〃1+P2w)0+〃2,"=S+p2"?)10g2(Pl+〃2切)，

同理可證P210g2〃2+p2〃Lll0g2P2"Ll<3+p2"Ll>10g2(〃2+p2〃Ll),…，

P，〃10g2〃〃？+pm+110g2〃,〃+1<(pfn+pm+1)】Og2s川+〃”1+1),

所以“(x)>//(y),故D錯(cuò)誤.

方法2(特值法)：令加=1,則〃=2,"2=*

p(r=i)=i,w(y)=-iog2i=o,

H(x)=_@og2；+jog2§>0,

：.H(X)>H(Y),故D錯(cuò)誤.

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.斜率為小的直線過拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)，且與C交于4,B兩點(diǎn)，則|A8|=

解析由題意得，拋物線焦點(diǎn)為9（1,0）,設(shè)直線AB的方程為），=小（尤

-1）.

產(chǎn)書(x—1)，.

由得3/-10x+3=0.

y=4x,

設(shè)A(X1,>,1),B(X2,丫2),

則x\+x2=y,

所以|A8|=X1+X2+2=丁.

答案號(hào)

14.將數(shù)列｛2〃-1｝與｛3〃-2｝的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列｛如｝,則｛”“｝的前n項(xiàng)和

為.

解析方法1（觀察歸納法）:數(shù)列｛2〃-1｝的各項(xiàng)為1,3,5,7,9,11,13,…；數(shù)列｛3〃-2｝的

各項(xiàng)為1,4,7,10,13,….觀察歸納可知，兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)為1,7,13,是首項(xiàng)為1,公差為

6的等差數(shù)列，則斯=1+6（〃-1）=6〃-5.

士…斗垢/，〃（幼+%）〃（1+6〃-5）2c

故刖〃項(xiàng)和為S〃-2—2—3〃一2〃.

==

方法2（引入?yún)⒆兞糠ǎ毫??！?2〃一1,c,n3m—2,hncmf貝！I2M—1—3m—2,即3加=

2H+1,必為奇數(shù).令"?=2，-1,則〃=3，-2Q=1,2,3,…）.

at=b3t-2=C2t-1=6r—5,即an=6n—5.

以下同方法1.

答案3/12〃

15.某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面如圖

所示.。為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧A8與直線

AG的切點(diǎn)，3是圓弧43與直線的切點(diǎn)，四邊形OEEG為矩形，

3

BCA.DG,垂足C,lan/OOC=5,BH//DG,EF=12cm,DE=2cm,

4到直線DE和EF的距離均為7cm,圓孔半徑為1cm,則圖中陰影部分的面積為

__________cm2.

解析如圖所示，連接。4,過A作分別交￡/，DG,

。”于點(diǎn)P,Q,R.

由題意知AP=EP=7,

又DE=2,EF=]2,

所以AQ=QG=5,所以NAHO=NAGQ=j.

因?yàn)镺A_LA”，所以NAO”=?ZAOB=^.

設(shè)則OH=x,RQ=5—x.

35—x3

因?yàn)閠an/ODC=w，所以lanNODC=G---=7,

37—x3

解得x=2,則。4=2也.

所以S=S扇形AOB+SZMOH—S小半圓

=卜竽X（2啦）2+94乂2—5XI2

=（j+4）cm2.

答案爵+,

16.己知直四棱柱ABC。-AiBiGOi的棱長均為2,/班。=60。.以。?為球心，小為半

徑的球面與側(cè)面BCCiBi的交線長為.

解析如圖所示，設(shè)81G的中點(diǎn)為E,球面與棱8囪，CG的交點(diǎn)分別為P,。.連接。8,

D\B\,DiP,D\E,EP,EQ,由N8A￡）=60°,AB=AD,知△ABD為等邊三角形，=

DB=2,為等邊三角形，則GE=/且。iE_L平面BCGS,為球面截側(cè)面

BCGBi所得截面圓的圓心，設(shè)截面圓的半徑為r,則廠=#2d—￡>|面=小=5=41

又由題可得EP=EQ=讓，二球面與側(cè)面BCGB,的交線為以E為圓心的圓弧PQ.

2

又。1尸=小，.?.B1P=^/DIP-DIBT=1,同理CQ=1,。分別為BBl,CG的中

TT

點(diǎn)、,AZPEQ=y

知質(zhì)■的長為3又也=冬.

答案與

四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（10分）在①℃=小，②csinA=3,③。=小。這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問

題中，若問題中的三角形存在，求c的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在△4BC,它的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為小b,c,且$皿4=小sinB,

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

解析方案一：選條件①.

,*.八》+〃一/S

由C=d和余弦75.理仔2ab=2"

由sin4=^sin8及正弦定理得“=小。

222

丁H3b+b-c小

于無2小〃=2，

由此可得b=c.

由①ac=q5,解得b~c—1.

因此，選條件①時(shí)問題中的三角形存在，此時(shí)c=l.

方案二：選條件②.

由C=和余弦定理得西嘉4=坐

由sinA=4§sinB及正弦定理得a=y[3h.

?3h2+b2—c2

于無2小。2=2，

由此可得6=小B=C算,A=烏.

05

由②csinA=3,所以c=b=2小,a=6.

因此，選條件②時(shí)問題中的三角形存在，此時(shí)c=2小.

方案三：選條件③.

由eg和余弦定理得四器=坐

由sinA—y[3sinB及正弦定理得a--^>b.

丁3/>2+/>2—c2y[3,,

于7HZ2y[3b2=2'由此可付6=c.

由③。=小6,與6=c>矛盾.

因此，選條件③時(shí)問題中的三角形不存在.

18.（12分）已知公比大于1的等比數(shù)列｛““｝滿足42+。4=20,43=8.

（1）求｛斯｝的通項(xiàng)公式;

（2）記兒，為｛&｝在區(qū)間（0,MOMWN*）中的項(xiàng)的個(gè)數(shù),求數(shù)列｛猥｝的前100項(xiàng)和$00.

解析（1）解：設(shè)｛〃“）的公比為多

由題設(shè)得aq+aiq3=20,aiq2=S.

解得q=T（舍去），4=2.

由題設(shè)得0=2.

所以｛斯｝的通項(xiàng)公式為斯=2".

（2）解：由題設(shè)及（1）知61=0,且當(dāng)2”Wm〈2"+i時(shí),歷?=〃.所以Sioo=bi+（歷+3）+（仇+

岳+匕6+①）+…+（832+833+…+如）+（如+〃65+…+"（x））=0+1X2+2X22+3X23+4X24

+5X25+6X（100—63）=480.

19.（12分）為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，

隨機(jī)抽查了100天空氣中的PM2.5和SO?濃度（單位：/zg/m3）,得下表：

so

2[0.50J(50,150](150,475]

[0,35]32184

(35,75]6812

(75,115]3710

(1)估計(jì)事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且S02濃度不超過150”的概率;

(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2義2列聯(lián)表：

SO2

[0,150](150,475]

10,75]

(75,115]

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與S02

濃度有關(guān)?

”(ad-Z>c)2

附：心=

(a+i>)(c+(/)(“+c)(〃+i/)'

P(K2^k)0.0500.01()0.001

k3.8416.63510.828

解析(1)解：根據(jù)抽查數(shù)據(jù)，該市100天的空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO2濃度

不超過150的天數(shù)為32+18+6+8=64,因此，該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且

64

SO2濃度不超過150的概率的估計(jì)值為而=0.64.

(2)解：根據(jù)抽查數(shù)據(jù)，可得2X2列聯(lián)表：

SO2

[0,150](150,475]

PM2.5\^^

[0,75]6416

(75,115]1010

(3)解：根據(jù)(2)的列聯(lián)表得

,100X(64X10-16X10)2

r2=-----------------------—484

80X20X74X26

由于7.484>6.635,故有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SCh濃度有關(guān).

20.(12分)如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形,底面ABCD.

設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為I.

(1)證明：41平面PDC；

(2)已知P￡>=AO=1,Q為/上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的

正弦值的最大值.

解析(1)證明：因?yàn)榈酌鍭BC。，所以POLAD

又底面ABC。為正方形，所以ADLDC,

所以AQ_L平面PDC.

因?yàn)锳O〃BC,AQC平面PBC,

所以AD〃平面PBC.

由已知得/〃A。，因此/，平面POC.

(2)解：以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，扇的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系。-“Z.

則。(0,0,0),C(0,l,0),B(1,1,0),P(0,0,l),

詼=(0,1,0),麗=(1,1,-1).

由(1)可設(shè)

則曲=(4,0,1).

設(shè)"=(x,y,z)是平面QCD的法向量,

n-DQ=0,[ax+z=0

則〈即

ji-DC=0,〔尸°,

可取〃=(—1,0,a).

nPB—1一〃

所以cos〈〃,PB)

|n|-|PB|小71+4

設(shè)PB與平面QCD所成角為0,

V3l^+l|

貝ljsinf)=3XVT+P-3

因?yàn)槔韁巧言《孝，當(dāng)且僅當(dāng)。=1時(shí)等號(hào)成立，所以PB與平面QCD所成角的

正弦值的最大值為芋.

21.(12分)已知函數(shù)y(x)=aeLi—lnx+lna.

(1)當(dāng)〃=e時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,11))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;

(2)若?！贰?,求a的取值范圍.

解析兀v)的定義域?yàn)?0,+°°),f(x)=ae'i一

(1)解：當(dāng)a=e時(shí)，人力=廿一也x+1,/'(l)=e-l,曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,41))處的切線

方程為y-(e+l)=(e-l)(x-l),即)，=(e-l)x+2.

直線y=(e—l)x+2在x軸，y軸上的截距分別為了；，2.

2

因此所求三角形的面積為二

⑵解:當(dāng)0<a<l時(shí)，/(l)=a+lna<l.

當(dāng)a=l時(shí)，4犬)=。「1—Inx,f(x)=e*r—

當(dāng)xG(O,l)時(shí),f(x)<0；

當(dāng)xC(l,+8)時(shí)，f(x)>o.

所以當(dāng)x=l時(shí)，式x)取得最小值，最小值為火1)=1,從而負(fù)x)》l.

當(dāng)4>1時(shí)，-力=。2一一lnx+lna》exr—lnxel.

綜上，。的取值范圍是[1,+8).

22.(12分)已知橢圓C：，+方=13>比>0)的離心率為乎，且過點(diǎn)A(2,l).

(1)求C的方程；

(2)點(diǎn)M,N在C上，且AMJ_AN,AD1MN,。為垂足.證明：存在定點(diǎn)。，使得|。。|

為定值.

41CT—左1

解析(1)解：由題設(shè)得了+/=1,42=2,

解得4=6,〃=3.

所以C的方程為獲+9=1.

(2)證明：設(shè)M(xi,yi),Ng,丁2).

若直線MN與x軸不垂直，

設(shè)直線MN的方程為>=丘+加，代入不+，=晨

得(1+2^2)%2++2/7?2—6=0.

2

二日.4km2m-6個(gè)

于正見+M=-]+2后，X1X2=]+2,?①

由AMJ_AN,得刀認(rèn)病=0,

故(為-2)(X2—2)+(了1-1)。2—1)=0,

整理得伙2+1)%1%2+{km~k~2)(xi+%2)+(^—1)2+4=0.

2〃?2—6

將①代入上式，可得(R+1)立而■一(h〃-4—2)yrm3+(，”-1)2+4=0,

整理得(2%+3w?+1)(2%+，〃-1)=0.

因?yàn)?(2,1)不在直線MN上，

所以2%+，"-1W0,所以2/+3加+1=0,kWl.

所以直線MN的方程為y=4x—；(女#1).

所以直線MN過點(diǎn)啰，一；).

若直線MN與x軸垂直，可得Mxi,-yi).

由癡?病=0,

得(X]—2)(X1—2)+Qi—1)(—yi—1)=0.

又費(fèi)+g=l,所以3x?—8xi+4=0.

2

解得制=2(舍去)，X\=y

此時(shí)直線MN過點(diǎn)瞪，一§.

令Q為A尸的中點(diǎn)，即Q(*1}

若。與P不重合，則由題設(shè)知AP是RtZXA。尸的斜邊，故|DQ|=%AP|=平.

當(dāng)。與P重合，則|￡>Q=3AP|.

綜上，存在點(diǎn)。(*；),使得IQQI為定值.

新高考全國卷n

【注：本試題、答案及解析僅供參考】

本試卷共150分.考試時(shí)長120分鐘.

一、選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的)

1.設(shè)集合A={2,3,5,7},B={1,2,3,5,8},則ACB=()

A.{1,8}B.{2,5}

C.{2,3,5}D.{123,5,8}

解析選C.4CB={2,3,5,7}C{1,2,358}={2,3,5},故選C.

2.(l+2i)(2+i)=()

A.-5iB.5i

C.-5D.5

解析選B.(l+2i)(2+i)=2+i+4i—2=5i.故選B.

3.若。為AABC的邊AB的中點(diǎn)，則無=()

A.2CD-CAB.2CA-CD

C.2CD+CAD.2CA+CD

解析選A.如圖所示，為△ABC的邊AB的中點(diǎn)，，近+無=

2CD,.?.在二2詼一位.故選A.

4.日展是中國古代用來測定時(shí)間的儀器，利用與劈面垂直的唇針

投射到號(hào)面的影子來測定時(shí)間.把地球看成一個(gè)球(球心記為O),地球

上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所成平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是

指過點(diǎn)A且與OA垂直的平面，在點(diǎn)A處放置一個(gè)日唇，若唇面與赤道所

在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40。，則唇針與點(diǎn)A處的水平面所成角

為()

A.20°B.40°

C.50°D.90°

解析選B.如圖所示，。。所在平面為地球赤道所在平面，。01

為點(diǎn)A處的日唇的唇面所在的平面，由點(diǎn)A處的緯度為北緯40?？芍?/p>

/。4。1=40。，又點(diǎn)A處的水平面與0A垂直，署針AC與。Oi所在

的平面垂直，則/C4B=/OAOi=40。，故唇針AC與點(diǎn)A處的水平

面所成角為40。.故選B.

5.某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜

歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的

比例是()

A.62%B.56%

C.46%D.42%

解析選C.如圖，用Venn圖表示該中學(xué)喜歡足球和游泳

足球游泳、

的學(xué)生所占的比例之間的關(guān)系如圖，設(shè)既喜歡足球又喜歡游泳塵8羨-J

的學(xué)生占該中學(xué)學(xué)生總數(shù)的比例為x,貝iJ(60%-x)+(82%-x)+x=96%,解得x=46%.故選

C.

6.3名大學(xué)生利用假期到2個(gè)山村參加扶貧工作，每名大學(xué)生只去1個(gè)村，每個(gè)村至少

1人，則不同的分配方案共有()

A.4種B.5種

C.6種D.8種

解析選C.先將3名大學(xué)生分成2組有C%G種分法，再分配到2個(gè)村有A3種分法，則

不同的分配方案共有CFC%A9=6種.故選C.

7.已知函數(shù)./?=31一4x—5)在(a,+8)單調(diào)遞增，則。的取值范圍是()

A.(一8,—I]B.(—8,2]

C.[2,+8)D.[5,+8)

解析選D.由x2—4x—5>0,得x<—1或x>5.

令4x—5,則函數(shù)f=『一4x—5在(-8,一])單調(diào)遞減，在⑸+8)單調(diào)遞增，

函數(shù)y=lgf為增函數(shù)，故要使函數(shù)_/(x)=lg(/—4x—5)在(a,+8)單調(diào)遞增，則有(“，+<?)

￡(5,+8),即.故選D.

8.若定義在R的奇函數(shù);U)在(-8,0)單調(diào)遞減，且12)=0,則滿足求x—1)20的x

的取值范圍是()

A.[-1,1]U[3,+8)B.[一3,-l]U[0,ll

C.[-l,0JU[l,+8)D.[-l,0]U[l,3J

解析選D.因?yàn)楹瘮?shù)火x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以/(0)=0.又_/(x)在(-8,0)單調(diào)遞

減，且貝2)=0,畫出函數(shù)/(x)的大致圖象如圖(1)所示，則函數(shù)於一1)的大致圖象如圖(2)所示.

rty

(1)(2)

當(dāng)xWO時(shí)，要滿足必1)>0,則火x—1)WO,

得TWxWO.

當(dāng)x>0時(shí)，要滿足就x—1)20,則/(x—1)20,

得1WxW3.

故滿足歡x-l)20的x的取值范圍是故選D.

二、選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分)

9.我國新冠肺炎疫情防控進(jìn)入常態(tài)化，各地有序推進(jìn)復(fù)工復(fù)產(chǎn)，下面是某地連續(xù)11天

復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)折線圖，下列說法正確的是()

A.這II天復(fù)工指數(shù)和復(fù)產(chǎn)指數(shù)均逐日增加

B.這11天期間，復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量

C.第3天至第11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)均增大都超過80%

D.第9天至第11天復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量

解析選CD.

10.已知曲線C：mx2+/iy2=1.()

A.若則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上

B.若〃2=〃>0,則C是圓，其半徑為加

C.若〃?”<0,則C是雙曲線，其漸近線方程為y=T^x

D.若m=0,n>0,則C是兩條直線

11//

解析選ACD.對(duì)于A,當(dāng)心心0時(shí)，有/>五>。，方程化為丁十T=1,表示焦點(diǎn)在y軸

mn

上的橢圓，故A正確.

對(duì)于B,當(dāng)機(jī)=">0時(shí)，方程化為表示半徑為情的圓，故B錯(cuò)誤.

對(duì)于C,當(dāng),">0,〃<0時(shí)，方程化為十一」不=1,表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，其中

mn

漸近線方程為y=±寸V；當(dāng)〃2<0,〃>0時(shí)，方程化為『一j~=l.表

nm

示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線.其中b=q-占,漸近線方程為y=±-彳x,故C

正確.

對(duì)于D,當(dāng)〃?=0,〃>0時(shí)，方程化為丫=士、/二，表示兩條平行于x軸的直線，故D正

確.

綜上可知，正確的選項(xiàng)為ACD.

II.右圖是函數(shù)y=sin(s+p)的部分圖象，則sin(<ox+e)=(）

T27rIT7T

解析選BC.由圖象知菱=3'一5=2，得7=兀,

所以。=半=2.又圖象過點(diǎn)仁，0),由“五點(diǎn)法”，結(jié)合圖象可得夕+；=兀，即°鳥,

,故A錯(cuò)誤;

由sin（2x+^）=sin［兀-g-2x）］=$山仔_2%）知B正確；由sin(2x+引.（..n.n

=sinl2x+2'

=cos（2x+y知

C正確;

sin（2x+爭）=cos（2x+*）=(太一=_8S管-2x)知

由=cos兀+D錯(cuò)誤.綜上可知,

正確的選項(xiàng)為BC.

）

12.己知。>0,b>0f且。+力=1,貝心

A.a2+/?2^1

B.2ab百

C.Iog2a+log2b2一2D.y[a+y[b^：啦

解析選ABD.因?yàn)椤?gt;0,Z?>0,a+h=l,所以〃+當(dāng)且僅當(dāng)〃=b=/時(shí)，等

號(hào)成立，即有

對(duì)于A,a2+〃=5+勿2—2M=1-2">1一2X；=￡,故A正確；對(duì)于B,2fl_fc=22a

=]X22",因?yàn)?/p>

”>0,所以22">1,即2"一嗎，故B正確；對(duì)于C,log2a+log2b=log246Wlog2：=—2,

故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,由(、￡+$)2=。+%+2/石=l+2g^W2,得、￡+也?啦，故D正確.

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.棱長為2的正方形ABC。-4BC0I中，M,N分別為棱88”4B的中點(diǎn)，則三棱

錐Ai-DiMN的體積為.

解析如圖所示，由正方體棱長為2,得SZ\4MN=2X2-2X；D,r.

X2Xl-|xiXl=|,又易知DA為三棱錐。-AiMN的高，且。A=

2,：.VAi-DiMN=VDi-AiMN+'W_1/

ANB

113

=7SZ\AiMM￡Mi=qX?X2=1.

答案1

14.斜率為S的直線過拋物線C：/=4x的焦點(diǎn)，且與C交于A,B兩點(diǎn)，則|AB|=

解析由題意得，拋物線焦點(diǎn)為尸(1,0),設(shè)直線A3的方程為y=，5(x"

—1).

y=V3(x-l),

y=4x,

得3/一10x+3=0.

設(shè)4(制，》),8(x2,>2),

則汨+乂2=￥，所以|AB|=XI+X2+2=號(hào).

15.將數(shù)列｛2〃-1｝與(3〃-2)的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列｛〃“｝,則｛斯｝的前n項(xiàng)和為

解析方法1(觀察歸納法):數(shù)列｛2〃-1｝的各項(xiàng)為1,3,5,7,9,11,13,-；數(shù)列｛3〃一2｝的

各項(xiàng)為1,4,7,10,13,….觀察歸納可知，兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)為1,7,13,是首項(xiàng)為1,公差為

6的等差數(shù)列，則斯=1+6(〃-1)=6〃-5.

〃(1+6〃-5)

故前n項(xiàng)和為Sn—=3"一2幾

=

方法2(引入?yún)⒆兞糠?：令b“=2〃-1,Cm=3m—2,bncm,則2〃-1=3,%—2,即3m=

2n+1,機(jī)必為奇數(shù).令m=2/—1,則〃=3/—2"=1,2,3,…).

所以4=①,-2=。2,-1=6「-5,即an=6n—5.

以下同方法1.

答案3"2—2〃

16.某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面如圖

所示.。為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧AB與直線

AG的切點(diǎn)，B是圓弧與直線BC的切點(diǎn)，四邊形QEFG為矩形，

3

BCLDG,垂足C,tan/O￡>C=WBH//DG,EF=12cm,D￡=2cm,

A到直線DE和EF的距離均為7cm,圓孔半徑為1cm,則圖中陰影部分的面積為

_________cm2.

解析如圖所示，連接0A,過A作分別交EF,DG,

0H于點(diǎn)P,Q,R.

由題意知AP=EP=7,

又DE=2,或心⑵

TT

所以AQ=QG=5,所以NA”O(jiān)=NAGQ=a.

因?yàn)镺4_LA"，所以NAO”=：,所以N40B=

設(shè)AR=x,貝ij0R=冗，RQ=5~x.

35—x3

因?yàn)閠an40DC=w，所以tanZODC=~--=T?

57—x5

解得x=2,則。4=2，1

所以5=5晶彩AOB+SZMOH—S小半圓

=；乂,又（26）？+；X4><2—3兀義I2

=l^~+41cm-.

答案（竽+4）

四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（10分）在①ac=小，②csinA=3,③,=小人這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問

題中，若問題中的三角形存在，求c的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在△ABC,它的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且sinA=/sin8,

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

解析方案一：選條件①.

由C4和余弦定理得上家=坐

由sinA=，§sin8及正弦定理得〃=小6.

生士Q二近

于無2小/22-2)

由此可得b=c.

由①ac=小，解得a=小，b=c=\.

因此，選條件①時(shí)問題中的三角形存在，此時(shí)c=L

方案二：選條