4.2.2一元線性回歸模型的應(yīng)用課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)選擇性

一元線性回歸模型的應(yīng)用湘教版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第二冊(cè)第4章統(tǒng)計(jì)

課標(biāo)要求1.在掌握一元線性回歸模型的基礎(chǔ)上,了解用一元線性回歸模型思想解決實(shí)際問(wèn)題的步驟.2.掌握非線性回歸問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性回歸問(wèn)題的方法,會(huì)求非線性回歸方程,并作出預(yù)測(cè).基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)知識(shí)點(diǎn)非線性回歸模型如果具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量x,y不是線性相關(guān)關(guān)系,那么稱為非線性相關(guān)關(guān)系,所得到的方程稱為非線性回歸方程.當(dāng)兩個(gè)變量不呈線性相關(guān)關(guān)系時(shí),依據(jù)樣本點(diǎn)的分布選擇合適的曲線方程來(lái)模擬,常見(jiàn)的非線性回歸方程的轉(zhuǎn)換方式總結(jié)如下:曲線方程變換公式變換后的線性關(guān)系式y(tǒng)=axbc=lna,v=lnx,u=lnyu=c+bvy=aebxc=lna,u=lnyu=c+bxy=ac=lna,v=,u=lnyu=c+bvy=a+blnxv=lnxy=a+bvy=a+bv=y=a+bv過(guò)關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)將非線性回歸關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性回歸關(guān)系后,可以直接利用線性回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè).(

)(2)所有的非線性關(guān)系都可以轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系.(

)××2.有人認(rèn)為將一個(gè)非線性回歸關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性回歸關(guān)系后的轉(zhuǎn)化好壞的標(biāo)準(zhǔn)就是能否使變換后的數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖集中在一條直線附近,你認(rèn)為正確嗎?提示

正確.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一一元線性回歸模型【例1】

如圖是某地2015年至2021年生活垃圾無(wú)害化處理量y(單位:萬(wàn)噸)的折線圖.注:年份代碼1~7分別對(duì)應(yīng)年份2015~2021.(1)由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系,請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以證明;(2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01),估計(jì)2023年某地生活垃圾無(wú)害化處理量.∵0.993>0.8,故y與t之間存在較強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系.規(guī)律方法

運(yùn)用一元線性回歸模型思想解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟:(1)確定研究對(duì)象,明確因變量與自變量;(2)運(yùn)用相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式計(jì)算相關(guān)系數(shù),分析自變量與因變量之間的關(guān)系;(3)運(yùn)用最小二乘法估計(jì)一元線性回歸方程的斜率和截距,建立一元線性回歸方程;(4)根據(jù)一元線性回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè).變式訓(xùn)練1近年來(lái),“共享單車”在我國(guó)各城市迅猛發(fā)展.為人們出行提供了便利,但也給城市交通管理帶來(lái)了一些困難.為掌握“共享單車”在M省的發(fā)展情況,M省某調(diào)查機(jī)構(gòu)從該省抽取了5個(gè)城市,分別收集和分析了“共享單車”的A,B兩項(xiàng)指標(biāo)數(shù)xi,yi(i=1,2,3,4,5),數(shù)據(jù)如下表所示:城市12345A指標(biāo)數(shù)x46285B指標(biāo)數(shù)y44354(1)試求y與x間的相關(guān)系數(shù)r,并利用r說(shuō)明y與x是否具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系(若|r|>0.8,則線性相關(guān)程度很高,可用線性回歸模型擬合);(2)建立y關(guān)于x的回歸方程,并預(yù)測(cè)當(dāng)A指標(biāo)數(shù)x為7時(shí),B指標(biāo)數(shù)y的估計(jì)值.所以y與x有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.探究點(diǎn)二非線性回歸模型【例2】

近年來(lái),由于耕地面積的緊張,化肥的施用量呈增加趨勢(shì).一方面,化肥的施用對(duì)糧食增產(chǎn)增收起到了關(guān)鍵作用,另一方面,也成為水污染、空氣污染、土壤污染的重要來(lái)源之一.如何合理地施用化肥,使其最大程度地促進(jìn)糧食增產(chǎn),減少對(duì)周圍環(huán)境的污染成為需要解決的重要問(wèn)題之一.研究糧食產(chǎn)量與化肥施用量的關(guān)系,成為解決上述問(wèn)題的前提.某研究團(tuán)隊(duì)收集了10組化肥施用量和糧食畝產(chǎn)量的數(shù)據(jù)并對(duì)這些數(shù)據(jù)作了初步處理,得到了如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值,化肥施用量為x(單位:千克),糧食畝產(chǎn)量為y(單位:百千克).參考數(shù)據(jù):表中ti=lnxi,zi=lnyi(i=1,2,…,10).(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷y=a+bx與y=cxd,哪一個(gè)適宜作為糧食畝產(chǎn)量y關(guān)于化肥施用量x的回歸方程模型?(給出判斷即可,不必說(shuō)明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程,并預(yù)測(cè)化肥施用量為27千克時(shí),糧食畝產(chǎn)量y的值.解

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖,呈現(xiàn)非線性的變化趨勢(shì),故y=cxd更適合作為y關(guān)于x的回歸方程模型.規(guī)律方法

非線性模型的求解方法非線性回歸問(wèn)題有時(shí)并不給出經(jīng)驗(yàn)公式,這時(shí)我們可以畫出已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,把它與學(xué)過(guò)的各種函數(shù)(冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等)圖象作比較,挑選一種跟這些散點(diǎn)擬合得最好的函數(shù)模型,然后采用適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q,把問(wèn)題化為線性回歸分析問(wèn)題,使之得到解決.其一般步驟為:變式訓(xùn)練2某企業(yè)新研發(fā)了一種產(chǎn)品,產(chǎn)品的成本由原料成本及非原料成本組成,每件產(chǎn)品的非原料成本y與生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量x有關(guān),經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù):x/千件12345678y/元1126144.53530.5282524根據(jù)以上數(shù)據(jù),繪制了如下散點(diǎn)圖.(1)觀察散點(diǎn)圖,判斷y=a+

(x>0)與y=c+dx(x>0)哪一個(gè)適宜作為非原料成本y與生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量x的回歸方程模型?(給出判斷即可,不必說(shuō)明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程.(3)試估計(jì)生產(chǎn)該產(chǎn)品1萬(wàn)件時(shí),每件產(chǎn)品的非原料成本為多少元?所以生產(chǎn)該產(chǎn)品1萬(wàn)件時(shí),估計(jì)每件產(chǎn)品的非原料成本為21元.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:一元線性回歸模型、非線性回歸模型.2.方法歸納:利用相關(guān)系數(shù)公式求相關(guān)系數(shù)及回歸系數(shù),利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè);非線性回歸模型換元轉(zhuǎn)化為線性回歸模型.3.常見(jiàn)誤區(qū):根據(jù)散點(diǎn)圖判斷兩變量之間是否具有相關(guān)性有時(shí)會(huì)帶來(lái)誤差;利用回歸方程得到的估計(jì)值與實(shí)際值存在誤差;將非線性回歸模型轉(zhuǎn)化為線性回歸模型后不要忘記還原;利用計(jì)算公式求有關(guān)的參數(shù)時(shí)要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)1234567891011121314A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練x3456789y4.02.50.5-1-2.0-3.0-4.5A.-6.0 B.-6.1 C.-6.2 D.-6.4B12345678910111213142.期中考試后,某校高三(9)班對(duì)全班65名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行分析,得到數(shù)學(xué)成績(jī)y與總成績(jī)x滿足回歸直線方程為

=6+0.4x.由此可以估計(jì):若兩個(gè)同學(xué)的總成績(jī)相差40分,則他們的數(shù)學(xué)成績(jī)大約相差

分.

1612345678910111213143.以模型y=cekx(c>0)去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí),設(shè)z=lny,將其變換后得到線性回歸方程z=2x-1,則c=

.

解析

∵y=cekx(c>0),∴兩邊取對(duì)數(shù),可得ln

y=ln(cekx)=ln

c+ln

ekx=ln

c+kx,令z=ln

y,可得z=ln

c+kx,∵線性回歸方程z=2x-1,∴l(xiāng)n

c=-1,解得c=.1234567891011121314412345678910111213145.在研究?jī)蓚€(gè)變量的線性相關(guān)關(guān)系時(shí),觀察散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)集中于某一條曲線y=ebx+a的周圍,令z=lny,求得回歸直線方程

=0.25x-2.58,則該模型的回歸方程為

.

12345678910111213146.隨著智能手機(jī)的普及,使用手機(jī)上網(wǎng)成為人們?nèi)粘Ｉ畹囊徊糠?很多消費(fèi)者對(duì)手機(jī)流量的需求越來(lái)越大.某通信公司為了更好地滿足消費(fèi)者對(duì)流量的需求,準(zhǔn)備推出一款流量包.該通信公司選了5個(gè)城市(總?cè)藬?shù)、經(jīng)濟(jì)發(fā)展情況、消費(fèi)能力等方面比較接近)采用不同的定價(jià)方案作為試點(diǎn),經(jīng)過(guò)一個(gè)月的統(tǒng)計(jì),發(fā)現(xiàn)該流量包的定價(jià)x(單位:元/月)和購(gòu)買人數(shù)y(單位:萬(wàn)人)的關(guān)系如表:流量包的定價(jià)/(元/月)3035404550購(gòu)買人數(shù)/萬(wàn)人18141085(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),運(yùn)用相關(guān)系數(shù)進(jìn)行分析說(shuō)明,是否可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系?并指出是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān);1234567891011121314(2)①求出y關(guān)于x的回歸方程;②若該通信公司在一個(gè)類似于試點(diǎn)的城市中將這款流量包的價(jià)格定為25元/月,請(qǐng)用所求回歸方程預(yù)測(cè)該市一個(gè)月內(nèi)購(gòu)買該流量包的人數(shù)能否超過(guò)20萬(wàn)人.12345678910111213141234567891011121314由于|r|≈0.99很接近1,因而可以用線性回歸方程模型擬合y與x的關(guān)系.由于r<0,故其關(guān)系為負(fù)相關(guān).123456789101112131412345678910111213147.據(jù)統(tǒng)計(jì)截止到2020年,中國(guó)高鐵運(yùn)營(yíng)里程已經(jīng)達(dá)到3.9萬(wàn)千米.下表是2013年至2020年中國(guó)高鐵每年的運(yùn)營(yíng)里程統(tǒng)計(jì)表,它反映了中國(guó)高鐵近幾年的飛速發(fā)展:年份20132014201520162017201820192020年份代碼x12345678運(yùn)營(yíng)里程y/萬(wàn)千米1.31.61.92.22.52.93.53.9根據(jù)以上數(shù)據(jù),回答下面問(wèn)題.(1)甲同學(xué)用曲線y=bx+a來(lái)擬合,并算得相關(guān)系數(shù)r1=0.97,乙同學(xué)用曲線y=cedx來(lái)擬合,并算得轉(zhuǎn)化為線性回歸方程所對(duì)應(yīng)的相關(guān)系數(shù)r2=0.99,試問(wèn)哪一個(gè)更適合作為y關(guān)于x的回歸方程模型,并說(shuō)明理由;(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),求y關(guān)于x的回歸方程(系數(shù)精確到0.01).12345678910111213141234567891011121314解

(1)∵0<r1<r2<1,∴y=cedx更適合作為y關(guān)于x的回歸方程模型.12345678910111213148.（多選題）某醫(yī)學(xué)科研所對(duì)人體脂肪含量與年齡這兩個(gè)變量研究得到一組隨機(jī)樣本數(shù)據(jù),運(yùn)用Excel軟件計(jì)算得

=0.577x-0.448(x為年齡,y為人體脂肪含量).對(duì)年齡為37歲的人來(lái)說(shuō),下面說(shuō)法正確的是(

)A.年齡為37歲的人體內(nèi)脂肪含量都為20.90%B.年齡為37歲的人體內(nèi)脂肪含量為21.01%C.年齡為37歲的大部分人的體內(nèi)脂肪含量為20.90%D.年齡為37歲的大部分的人體內(nèi)脂肪含量為31.5%B級(jí)關(guān)鍵能力提升練BC12345678910111213149.某植物種子的每百顆的發(fā)芽顆數(shù)y(單位:顆)和溫度x(單位:℃)的散點(diǎn)圖如圖所示,根據(jù)散點(diǎn)圖,在0℃至24℃之間下面四個(gè)回歸方程模型中最適宜作為發(fā)芽顆數(shù)y和溫度x的回歸方程模型的是(

)A.y=bx+a

B.y=bex+aC.y=bsinωx+a D.y=bx2+aC解析

由散點(diǎn)圖可知,函數(shù)先增后減,選項(xiàng)A與選項(xiàng)B的函數(shù)單調(diào),所以不符合圖形,故錯(cuò)誤;C選項(xiàng)中,散點(diǎn)圖與正弦型函數(shù)的一部分圖象很接近,適合作為發(fā)芽顆數(shù)y和溫度x的回歸方程,故C正確;D選項(xiàng)中二次函數(shù)的對(duì)稱軸為y軸,與散點(diǎn)圖不符,故D錯(cuò)誤.故選C.1234567891011121314x1234yee3e4e6若x=5,則估計(jì)y的值為(

)D123456789101112131411.某人對(duì)一地區(qū)人均工資x(單位:千元)與該地區(qū)人均消費(fèi)y(單位:千元)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)調(diào)查,y與x有相關(guān)關(guān)系,得到回歸直線方程

=0.66x+1.075.若該地區(qū)的人均消費(fèi)水平為7.675千元,估計(jì)該地區(qū)的人均消費(fèi)額占人均工資收入的百分比為

.

76.75%解析

因?yàn)榛貧w直線方程為

=0.66x+1.075,且人均消費(fèi)水平為7.675千元,則有7.675=0.66x+1.075,解得x=10,所以估計(jì)該地區(qū)的人均消費(fèi)額占人均工資收入的百分比為×100%=76.75%.123456789101112131412.某公司為了解某產(chǎn)品的研發(fā)費(fèi)x(單位:萬(wàn)元)對(duì)銷售量y(單位:百件)的影響,收集了該公司以往的5組數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)用函數(shù)模型y=aekx(e為自然對(duì)數(shù)的底研發(fā)費(fèi)x58121520z=lny4.55.25.55.86.5則aek=

.

e4.18123456789101112131413.某創(chuàng)業(yè)者計(jì)劃在某旅游景區(qū)附近租賃一套農(nóng)房發(fā)展成特色“農(nóng)家樂(lè)”,為了確定未來(lái)發(fā)展方向,此創(chuàng)業(yè)者對(duì)該景區(qū)附近五家“農(nóng)家樂(lè)”跟蹤調(diào)查了100天,這五家“農(nóng)家樂(lè)”的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)互不相同,得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表,x為收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)(單位:元/日),t為入住天數(shù)(單位:天),以頻率作為各自的“入住率”,收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)x與“入住率”y的散點(diǎn)圖如圖.x100150200300450t90654530201234567891011121314(1)若從以上五家“農(nóng)家樂(lè)”中隨機(jī)抽取兩家深入調(diào)查,記ξ為“入住率”超過(guò)0.6的農(nóng)家樂(lè)的個(gè)數(shù),求ξ的分布列.(2)令z=lnx,由散點(diǎn)圖判斷y=bx+a與y=bz+a哪個(gè)更適合于描述y與x的關(guān)1234567891011121314解

(1)由題意,隨機(jī)抽取兩家深入調(diào)查,ξ的可能取值為0,1,2.∴ξ的分布列為

1234567891011121314(2)y=bz+a更適合于描述y與x的關(guān)系.1234567891011121314C級(jí)學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練14.某企業(yè)為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召,匯聚科研力量,加強(qiáng)科技創(chuàng)新,準(zhǔn)備加大研發(fā)資金投入.為了解年研發(fā)資金投入額x(單位:億元)對(duì)年盈利額y(單位:億元)的影響,通過(guò)對(duì)近10年的年研發(fā)資金投入額xi和年盈利額yi(i=1,2,…,10)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,建