2022-2023學(xué)年人教A版高二數(shù)學(xué)上學(xué)期同步講義拓展四：直線的方程大題專項(xiàng)訓(xùn)練(34道)(詳解版)

拓展四：直線的方程大題專項(xiàng)訓(xùn)練(34道)

等高頻考點(diǎn)

考點(diǎn)精析

類型一求直線的方程(10道)

1.(2022?青海?海南藏族自治州高級中學(xué)高二期末(文))已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A(-5,0),3(3,-3),C(0,2),

求BC邊所在直線的方程，以及該邊上中線所在直線的方程.

2.(2022?湖北?監(jiān)利市教學(xué)研究室高二期末)在平面直角坐標(biāo)系中，已知菱形ABC。的頂點(diǎn)4(0,2)和

C(4,6),AB所在直線的方程為3x-y+2=0.

(1)求對角線8。所在直線的一般方程；

(2)求所在直線的一般方程.

3.(2022?北京房山?高二期末)在平面直角坐標(biāo)系中，AMC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為42,-2),8(6,6),C(0,6).

⑴設(shè)線段A8的中點(diǎn)為求中線CM所在直線的方程.

(2)求邊A3上的高所在直線的方程.

4.(2022?江蘇?南師大二附中高二期末)已知A43C的頂點(diǎn)4(1,5),邊A3上的中線CM所在的直線方程為

2x-y-5=0,邊AC上的高所在直線方程為x-2y-5=0,求

⑴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)直線5c的方程；

5.(2022?四川雅安?高二期末(理))已知：直線人x+y-3=0與直線心2x-3y-l=0交于點(diǎn)尸.

⑴求直線《和〃交點(diǎn)P的坐標(biāo).

（2）若過點(diǎn)P的直線I與兩坐標(biāo)軸截距互為相反數(shù)，求/的直線方程.

6.（2022?廣西?賓陽中學(xué)高二期末（文））己知的三個(gè)頂點(diǎn)是A（4,0）,B（6,7）,C（0,3）.

（1）求AC邊所在的直線方程；

⑵求經(jīng)過AB邊的中點(diǎn)，且與AC邊平行的直線/的方程.

7.（2022?河北滄州?高二期末）已知直線/過點(diǎn)網(wǎng)3,4）.

⑴若直線/與直線4x-3y+5=0垂直，求直線/的方程；

（2）若直線/在兩坐標(biāo)軸的截距相等，求直線/的方程.

8.（2022?四川?成都七中高一期末）已知AABC的頂點(diǎn)8（5,1）,AB邊上的高所在的直線方程為x-2y-5=0.

（1）求直線48的方程；

（2）在兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中.

①角A的平分線所在直線方程為x+2），-13=0

②邊上的中線所在的直線方程為2x-y-5=0

,求直線AC的方程.

9.（2022?重慶市青木關(guān)中學(xué)校高二期末）已知直線/過定點(diǎn)4（2,1）

（1）若直線/與直線x+2y-5=0垂直，求直線/的方程；

⑵若直線/在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線I的方程.

10.（2022?江蘇徐州?高二期末）在AABC中，已知A（2,4）,?（-2,1）,C（8,T）,。，E分別為邊AB,AC的

中點(diǎn)，AH,8c于點(diǎn)

⑴求直線DE的方程；⑵求直線A〃的方程.

類型二兩條直線平行、垂直關(guān)系的應(yīng)用（6道）

11.（2022?內(nèi)蒙古?赤峰二中高二期末（文））已知直線4：（加一4）x-y+l=。和％：（w+4）x+（w+l）y-l=0.

⑴若//上求實(shí)數(shù)，〃的值；

⑵若LU，求實(shí)數(shù)，”的值.

12.（2022?江蘇泰州?高二期末）已知兩條直線4：（3+m）x+4y=5-3m,1：2x+（5+m）y=8.設(shè)加為實(shí)數(shù),分別

根據(jù)下列條件求加的值.

（IM/；

⑵直線4在x軸、＞'軸上截距之和等于6.

13.（2022?黑龍江?哈爾濱市第三十二中學(xué)校高二期末）已知直線4:口-2y+4=0和:（a-2）x+4y+1=0,

設(shè)a為實(shí)數(shù)，分別根據(jù)下列條件求a的值：

⑴…

⑵

14.（2022?全國?高二期末）已知直線4："+3y+l=O,4：x+（a—2）y+a=0.請從以下三個(gè)條件中選出兩

個(gè)求實(shí)數(shù)”，。的值.

（1）6=3a；

（2）/,1Z2；（3）1.//l2.

15.（2022?浙江寧波?高二期末）已知三條直線4：2x-y+\=0,l2：3x+y-6=O,/3：kx-y+k+\=Q（k

是常數(shù)），.

⑴若乙，12,4相交于一點(diǎn)，求女的值；

⑵若4,4,4不能圍成一個(gè)三角形，求Z的值：

⑶若《，12,4能圍成一個(gè)直角三角形，求k的值.

16.（2022?湖北?武漢市第十五中學(xué)高二期末）已知直線4：3x+2y+6=0,直線/”2x-3/y+18=0,直線

13:2nvc-3y+12=0.

⑴若4與/2的傾斜角互補(bǔ)，求，”的值；

（2）當(dāng)機(jī)為何值時(shí)，三條直線能圍成一個(gè)直角三角形.

類型三直線的恒過定點(diǎn)問題（2道）

17.（2022?江蘇?高二）已知直線/：（2+m）x+（l-2//z）y+4-3/77=O（mwR）.求證：直線/恒過定點(diǎn)戶，

并求點(diǎn)P的坐標(biāo).

18.（2022?浙江?玉環(huán)市玉城中學(xué)高二期中）已知點(diǎn)月（2,1）,直線/:（a-l）x+y+2+a=0（aeA）.不論a取

何值，直線/過定點(diǎn)P.

⑴求點(diǎn)尸的坐標(biāo)，及點(diǎn)A（2,l）到直線/距離的最大值；

（2）若直線/在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求“的值.

類型四求兩點(diǎn)間的距離（2道）

19.（2022?四川樂山?高一期末）已知直線/過點(diǎn)尸（2,1）交圓C:d+y2-2x-6y=0于4、5兩點(diǎn).

⑴當(dāng)直線/的傾斜角為45。時(shí)，求A8的長；

⑵當(dāng)IA31最小時(shí)，求直線，的方程.

20.（2022?全國?高二期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形A8C。的長為2,寬為1,AB,40邊分別在x

軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合（如圖所示）.將矩形折疊，使點(diǎn)A落在線段OC上.

（1）若折痕所在直線的斜率為上試求折痕所在直線的方程;

（2）當(dāng)時(shí)，求折痕長的最大值.

類型五求點(diǎn)到直線的距離（3道）

21.（2022?湖南省臨湘市教研室高二期末）直線/經(jīng)過兩直線《：3x+4y-2=0和4：2x+y+2=0的交點(diǎn).

⑴若直線/與直線3x+y-1=0平行，求直線/的方程；

⑵若點(diǎn)A（3,D到直線/的距離為5,求直線/的方程.

22.（2022?內(nèi)蒙古?阿拉善盟第一中學(xué)高二期末（文））在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知AABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分

別為A（0,2）,5（4,0）,CW0）.

（1）求48邊的垂直平分線所在的直線/的方程；

（2）若AABC的面積為5,求點(diǎn)C的坐標(biāo).

23.（2022?重慶市萬州第二高級中學(xué)高二期末）已知直線/：依-y+l+2Z=0（ZeH）.

⑴已知P（l,5）,若點(diǎn)P到直線的距離為d,求d最大時(shí)直線的方程.

（2）若直線/交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A,交y軸正半軸于點(diǎn)8,求AAOB面積的最小值.

類型六求兩平行直線間的距離（4道）24.（2022?吉林?長春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期末）已知直

線x-2y+3=0與直線3x+y+2=0交于點(diǎn)戶.

（1）求過點(diǎn)P且平行于直線3x+4y-5=0的直線4的方程，并求出兩平行直線間的距離；

（2）求過點(diǎn)P并且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線12的方程.

25.（2022?四川涼山?高二期末（理））已知直線/過點(diǎn)P（2,3）,且被兩條平行直線《：3x+4y-7=0,

4：3x+4y+8=0截得的線段長為d.

（1）求d的最小值；

（2）當(dāng)直線/與x軸平行時(shí)，求d的值.

26.（2022?安徽蕪湖?高二期末）直線（：x+（l+〃?）y-2=0和4：mx+2y-2=0.

⑴若兩直線垂直，求機(jī)的值；

（2）若兩直線平行，求平行線間的距離.

27.（2022?廣東揭陽?高二期末）已知直線4：儀+2y+6=0和直線4：x+y-I=0.

⑴若乙U時(shí)，求a的值；（2）當(dāng)4〃4平行,求兩直線4，（的距離.

類型七與面積有關(guān)的問題（7道）

28.（2022?廣東佛山福二期末）已知AABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0,l）,3（1,4）,C（6,3）.

（1）求邊AC上的中線所在直線方程；

⑵求AABC的面積.

29.（2022?安徽宣城?高二期末）已知直線/經(jīng)過直線4：2x+y-4=O,：4x+3），-10=0的交點(diǎn)M.

（1）若直線，與直線％：x-2y+1=0平行，求直線/的方程；

⑵若直線/與x軸，y軸分別交于A,B兩點(diǎn),且M為線段48的中點(diǎn)，求AAOB的面積（其中。為坐標(biāo)原

點(diǎn)）.

30.（2022?全國?高二期末）在平面直角坐標(biāo)系"＞），中，已知的三個(gè)頂點(diǎn)4（，%〃），3（2,1）,C（-2,3）.（D

求8C邊所在直線的方程；

⑵BC邊上中線4）的方程為2x-3y+6=0,且AMC的面積等于7,求點(diǎn)A的坐標(biāo).

31.（2022?湖南?華容縣教育科學(xué)研究室高二期末）已知直線4：2x-y+6=0和4：x-y+l=。的交點(diǎn)為p.

⑴若直線/經(jīng)過點(diǎn)尸且與直線/3：4》-3丫-5=0平行，求直線/的方程；

（2）若直線，〃經(jīng)過點(diǎn)戶且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為5,求直線用的方程.

32.（2022?浙江紹興?高二期末）已知直線/過點(diǎn)P（l,2）,與兩坐標(biāo)軸的正半軸分別交于A,8兩點(diǎn)，。為坐

標(biāo)原點(diǎn).

25

⑴若△。由的面積為亍，求直線/的方程；

4

⑵求"MS的面積的最小值.

33.(2022?湖北省武漢市青山區(qū)教育局高二期末)已知直線方程為y+2=?x+l).

⑴若直線的傾斜角為135,求出的值；⑵若直線分別與x軸、y軸的負(fù)半軸交于A、8兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn),

求AAO3面積的最小值及此時(shí)直線的方程.

34.(2022?江蘇?高二期末)如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)8在第一

象限內(nèi)，408=60。.

(1)若A3過點(diǎn)M(3,6),當(dāng)AOAB的面積取最小值時(shí)，求直線AB的斜率;

(2)若他=4,求AO/U?的面積的最大值;

14=4

(3)設(shè)3若。b,求證：直線A8過一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo).

拓展四：直線的方程大題專項(xiàng)訓(xùn)練(34道)

含'高頻考點(diǎn)

類型一求直線的方程(10道)

1.(2022?青海?海南藏族自治州高級中學(xué)高二期末(文))已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A(-5,0),3(3,-3),C(0,2),

求BC邊所在直線的方程，以及該邊上中線所在直線的方程.

【答案】5x+3y-6=0；x+13y+5=0.

【解題思路】根據(jù)兩點(diǎn)式方程和中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解，并化為一般式方程即可.

【解題過程】解：過8(3,-3),C(0,2)的兩點(diǎn)式方程為。合=于矣，整理得5x+3y-6=0.

即8c邊所在直線的方程為5x+3y-6=0,

BC邊上的中線是頂點(diǎn)A與BC邊中點(diǎn)M所連線段，

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(亨，昔｝即

J5八

過4-5,0),外5，-9的直線的方程為」_0-3+5,即寸+萬_y+]=o.

整理得x+13y+5=0.

所以BC邊上中線所在直線的方程為x+13y+5=0.

2.(2022?湖北?監(jiān)利市教學(xué)研究室高二期末)在平面直角坐標(biāo)系中,已知菱形ABCD的頂點(diǎn)4(0,2)和

C(4,6),A3所在直線的方程為3x-y+2=0.

⑴求對角線B。所在直線的一般方程；

（2）求AO所在直線的一般方程.

【答案】（l）x+y-6=0（2）x-3y+6=0

【解題思路】（D首先求AC的中點(diǎn)，再利用垂直關(guān)系求直線3。的斜率，即可求解；

（2）首先求點(diǎn)8的坐標(biāo)，再求直線的斜率，求得直線AO的斜率，利用點(diǎn)斜式直線方程，即可求解.

【解題過程】⑴由4（0,2）和C（4,6）得:AC中點(diǎn)“（2,4）

6-2

V四邊形A8CZ）為菱形k=--=I,；.BD1AC,

AC4—0

??=-1，

且M（2,4）為中點(diǎn)，

，對角線8。所在直線方程為：y-4=-（x-2）r

即：x+y—6=0.

x+y-6=0

⑵由

3x-y+2=09

解得：5（1,5）,

,6-51

l=■=§，

???AD//BC,

%=§>

二直線AD的方程為：y-2=；x,

即：x-3y+6=0.

3.（2022?北京房山?高二期末）在平面直角坐標(biāo)系中，AABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為4（2,-2）,B（6,6）,C（0,6）,

⑴設(shè)線段AB的中點(diǎn)為"，求中線CM所在直線的方程.

（2）求邊AB上的高所在直線的方程.

【答案】⑴x+y-6=o

（2）x+2y-12=0【解題思路】（1）先求出線段的中點(diǎn)為M的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)式求出中線CM所在直

線的方程；

（2）先求出A8的斜率，可得A8邊上的高所在直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式求出邊A8上的高所在直線的方

程.

【解題過程】⑴解：入鉆。三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（2,-2）,B（6,6）,C（0,6）,

二線段A3的中點(diǎn)加（4,2）,則中線CM所在直線的方程為9=，

即x+y_6=0；

（2）

解：由于直線A8的斜率為泮=2,故邊A8上的高所在直線的斜率為

故邊AB上的高所在直線的方程為y-6=-g（x-0）,即x+2y-12=0.

4.（2022?江蘇?南師大二附中高二期末）已知AABC的頂點(diǎn)4（1,5）,邊AB上的中線CM所在的直線方程為

2x-y-5=0,邊AC上的高所在直線方程為x-2y-5=0,求

⑴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）直線8C的方程；

【答案】（1）（3,1）；（2）y=l.

【解題思路】（1）設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)C在中線上及AC，8”求得答案；

（2）設(shè)出點(diǎn)6的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后根據(jù)中線的方程及AC,3"求出點(diǎn)8的坐標(biāo)，進(jìn)而求

出直線BC的方程.

'2x-y-5=0r

【解題過程】⑴設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y）,則由題知y-51=]=v_f,即C（3,l）.

.x-i2=-a

⑵設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為（八〃），則中點(diǎn)/坐標(biāo)（第,等）代入中線CM方程

加一2〃-5=°前=7I

則由題知cm+\n+5<即8（7,1）,又C（3,l）,貝以,=；4=0，

I22i

所以直線BC方程為y—1=0（x—3）ny=l.

5.（2022?四川雅安?高二期末（理））已知：直線。x+y-3=0與直線小2x-3y-l=0交于點(diǎn)P.

⑴求直線4和/2交點(diǎn)P的坐標(biāo).

（2）若過點(diǎn)P的直線/與兩坐標(biāo)軸截距互為相反數(shù)，求/的直線方程.【答案】（1）「（2,1）（2）*->-1=?；?/p>

x-2y=0

x+y-3=0

【解題過程】⑴解方程組

2x-3^-l=0

...點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,1）,

（2）

直線/的斜率顯然存在且不為0,設(shè)/：y-l=%（x-2）

令x=0,得y=l-2k,令y=0,得x=2-1,

k

所以l-2A+2」=0

k

，2二—3&+1=0,二Z=1或4=I，

得/為：x-y-l=0或x-2y=0

6.（2022?廣西?賓陽中學(xué)高二期末（文））已知“BC的三個(gè)頂點(diǎn)是A（4,0）,B（6,7）,C（0,3）.

（1）求AC邊所在的直線方程；

⑵求經(jīng)過A8邊的中點(diǎn)，且與AC邊平行的直線/的方程.

【答案】（l）3x+4y-12=0（2）3x+4y-l=0

【解題思路】（D利用直線方程的兩點(diǎn)式求解；

（2）先求得A8的中點(diǎn)，再根據(jù)直線與4C平行，利用點(diǎn)斜式求解.

【解題過程】（1）因?yàn)?（4,0）,C（0,3）,

所以AC邊所在的直線方程為二=2二，

x-0x-4

即3x+4y—12=0；

（2）因?yàn)锳（4,0）,3（6,7）,

所以48的中點(diǎn)為：（5；）,

又晨=總

7a

所以直線方程為：y-j=-^（x-5）,

即3x+4y-1=0.7.（2022?河北滄州?高二期末）已知直線/過點(diǎn)P（3,4）.

⑴若直線/與直線4x-3y+5=0垂直，求直線/的方程；

⑵若直線/在兩坐標(biāo)軸的截距相等，求直線/的方程.

【答案】（l）3x+4y-25=0（2）4x-3y=（^x+y-7=0

【解題思路】（1）由兩條直線垂直可設(shè)直線/的方程為3x+4y+帆=0,將點(diǎn)P（3,4）的坐標(biāo)代入計(jì)算即可；

（2）當(dāng)直線/過原點(diǎn)時(shí)，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程即可得出結(jié)果；當(dāng)直線/不過原點(diǎn)時(shí)可設(shè)直線/的方程為

x+y=。，將點(diǎn)P（3,4）的坐標(biāo)代入計(jì)算即可.

【解題過程】（1）

解：因?yàn)橹本€/與直線4x-3y+5=0垂直

所以，設(shè)直線/的方程為3x+4,，+/?=0,

因?yàn)橹本€/過點(diǎn)尸（3,4）,

所以3x3+4x4+m=0,解得，”=一25,

所以直線/的方程為3x+4y-25=0.

（2）

解：當(dāng)直線/過原點(diǎn)時(shí)，斜率為：4，由點(diǎn)斜式求得直線/的方程是y=4即4x-3y=0.

當(dāng)直線/不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線/的方程為x+y=%把點(diǎn)尸（3,4）代入方程得。=7,

所以直線/的方程是x+y-7=o.

綜上，所求直線/的方程為4x-3y=0或x+y-7=0.

8.（2022?四川?成都七中高一期末）已知AABC的頂點(diǎn)8（5,1）,AB邊上的高所在的直線方程為x-2尸5=0.

（1）求直線AB的方程；

（2）在兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中.

①角A的平分線所在直線方程為x+2y-13=0

②BC邊上的中線所在的直線方程為2x-y-5=0

,求直線AC的方程.

【答案】（l）2x+y-ll=0；⑵若選①：直線AC的方程為2x-lly+49=0；若選②：直線4C的方程為

6x-5y-9=0.

【解題思路】（1）由兩直線垂直時(shí)，其斜率間的關(guān)系求得直線A8的斜率為火，再由直線的點(diǎn)斜式方程可求

得答案；

（2）若選①：由求得點(diǎn)A（3,5）,再求得點(diǎn)B關(guān)于x+2y-13=0的對稱點(diǎn)即知％）,由

此可求得直線AC的方程;

若選②：由《；?二；二；，求得點(diǎn)A（4,3）,設(shè)點(diǎn)CQ,%）,由8c的中點(diǎn)在直線2x-y-5=0上，和點(diǎn)C

在直線x-2y-5=0上，求得點(diǎn)C（-l,-3）,由此可求得直線AC的方程.

【解題過程】（1）

解：因?yàn)?8邊上的高所在的直線方程為x-2y-5=0,所以直線45的斜率為2=-2,

又因?yàn)锳ABC的頂點(diǎn)8（5,1）,所以直線A8的方程為：y-l=-2（x-5）,

所以直線48的方程為：2x+y-ll=0；

⑵

解：若選①：角4的平分線所在直線方程為x+2y-13=0,

2x+y-ll=0x=3

,解得

x+2y-13=0.y=5

所以點(diǎn)A（3,5）,

七

-37一

5

設(shè)點(diǎn)8關(guān)于x+2y-13=0的對稱點(diǎn)B.（為%）,則，解得＜

為

29一

-5

5_29

又點(diǎn)8件，省在直線4c上，所以勉=一言="

,-5

所以直線AC的方程為y-5=1（x-3）,

所以直線AC的方程為2x-1ly+49=0；

2x」+y-ll=0解得彳r=4

若選②：8c邊上的中線所在的直線方程為2x-y-5=0,由2xl=0,二2,所以點(diǎn)4(4,3)，

y=3

設(shè)點(diǎn)C&,x）,貝115c的中點(diǎn)在直線2x—y—5=0上，所以2x等一等-5=0,即2x「y-l=0,所以點(diǎn)

C在直線2x-y-1=0上,

x-2y-5=0X=-1/、

又點(diǎn)C在直線x-0上，由解得),=_3,即C(T，-3),

所以磯=堯=￡

所以直線AC的方程為y-3=g（x-4）,

所以直線AC的方程為6x-5y-9=0.

9.（2022?重慶市青木關(guān)中學(xué)校高二期末）已知直線/過定點(diǎn)A（2,l）

⑴若直線/與直線x+2y-5=0垂直，求直線/的方程；

（2）若直線，在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線I的方程.

【答案】⑴2x-y-3=0

⑵x-2y=0或x+y-3=0

【解題思路】（1）求出直線x+2y-5=0的斜率可得/的斜率，再借助直線點(diǎn)斜式方程即可得解.

（2）按直線/是否過原點(diǎn)分類討論計(jì)算作答.

【解題過程】（1）

直線x+2y—5=0的斜率為于是得直線/的斜率％=2,貝!]y—l=2（x—2）,即2x—y-3=0,

所以直線/的方程是：2x-y-3=0.

（2）

因直線/在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則當(dāng)直線/過原點(diǎn)時(shí)，直線/的方程為：y=；x,即x-2y=0,

當(dāng)直線/不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)其方程為：土+上=1,則有2+1=1,解得。=3,此時(shí),直線/的方程為：x+y-3=0,

aaaa

所以直線/的方程為：x-2y=0^x+y-3=0.

10.（2022?江蘇徐州?高二期末）在AABC中，已知A（2,4）,B（-2,l）,C（8,-4）,D,E分別為邊48,AC的

中點(diǎn)，4萬，8c于點(diǎn)H.

（1）求直線OE的方程；（2）求直線A”的方程.

【答案】⑴x+2y-5=0；

（2）2x-y=0.

【解題思路】（1）根據(jù)給定條件求出點(diǎn)。，E坐標(biāo)，再求出直線OE方程作答.

⑵求出直線AH的斜率，再借助直線的點(diǎn)斜式方程求解作答.

【解題過程】（1）

在AABC中，A（2.4）,B（-2,l）,C（8,-4）,則邊AB中點(diǎn)。（0,1）,邊AC的中點(diǎn)E（5,0）,

2__n15

直線OE的斜率”_5一、1,于是得y=_；x+g,即x+2y-5=0,

^=0^5=~222

所以直線OE的方程是：x+2y-5=0.

⑵

依題意，BC//DE,則直線8c的斜率為又A//L3C,因此，直線A"的斜率為2,

所以直線的方程為：y-4=2（x-2）,即2x—y=0.

類型二兩條直線平行、垂直關(guān)系的應(yīng)用（6道）

11.（2022?內(nèi)蒙古?赤峰二中高二期末（文））已知直線4：（加—4）x—y+l=0和小（加+4）x+（m+l）y—1=0.

（1）若4〃4,求實(shí)數(shù)〃，的值;

（2）若4,4,求實(shí)數(shù)，〃的值.

【答案】（1）2（2）匕場或上班

22

【解題思路】（D易知兩直線的斜率存在，根據(jù)由斜率相等求解.

（2）分加=4和加工4,根據(jù)4，3由直線的斜率之積為-1求解.

【解題過程】（1）

由直線4的斜率存在'且為m-4,則直線&的斜率也存在,且為-鬻'

因?yàn)?〃4,

加+4

所以加一4二一

"7+1

解得…或2,①當(dāng)*。時(shí)，由士=1此時(shí)直線心4重合'

②當(dāng)利=2時(shí)，士=%,此時(shí)直線“平行,

綜上：若4〃4,則實(shí)數(shù)，〃的值為2.

⑵

①當(dāng)機(jī)=4時(shí)，直線4的斜率為o,此時(shí)若4U必有，“=-1，不可能.

②當(dāng)時(shí)，若4必有（機(jī)-4）x（-7石）=-1,解得/〃=［土,

由上知若4,4,則實(shí)數(shù)，”的值為或上巫.

22

12.（2022?江蘇泰州?高二期末）已知兩條直線4：（3+"，）x+4y=5_3w,4：2x+（5+,"）y=8.設(shè)m為實(shí)數(shù)，分別

根據(jù)下列條件求機(jī)的值.

⑴/%

（2）直線在x軸、y軸上截距之和等于6.

【答案】（1）群=-7；（2）m=T.

【解題思路】(1)由兩直線平行可得出關(guān)于加的等式，求出m的值，再代入兩直線方程，驗(yàn)證兩直線是否

平行，由此可得出結(jié)果；

(2)分析可知5+加^0,求出直線4在x軸、)'軸上的截距，結(jié)合已知條件可得出關(guān)于機(jī)的等式，即可解

得機(jī)的值.

【解題過程】(1)

解：由/“A，則(3+加卜(5+利)=4?2,即病+8加+7=0,解得H=T或-7.

當(dāng)相=-7時(shí)，4:2x-2y+13=0,/2:x-y-4=0,此時(shí)“兒；

當(dāng)帆=一1時(shí),4:x+2y-4=0,4：%+2y-4=0,此時(shí)/1，6重合,不合乎題意.

綜上所述，m=-7?

(2)

解：對于直線由已知可得5+〃2=0,則〃2，-5,

Q

令y=。，得x=4；令x=0,^y=-?

5+"2

Q

因?yàn)橹本€4在X軸、y軸上截距之和等于6,即4+J-=6,解得加=T.

13.(2022?黑龍江?哈爾濱市第三十二中學(xué)校高二期末)已知直線公火-2>+4=。和/”(a-2)x+4y+l=0,

設(shè)。為實(shí)數(shù)，分別根據(jù)下列條件求?的值：

(l)^i-L4

⑵“〃2

【答案】(1)。=4或。=-2

⑵

【解題思路】⑴根據(jù)4口,由a(a-2)-2x4=0求解；

(2)根據(jù)“〃2，由4a=-2(a-2)求解.

【解題過程】(1)

解：因?yàn)閰n2,

所以。(a-2)-2x4=0,

解得a=4或a=-2.

所以當(dāng)時(shí)，。=4或a=-2；

⑵

因?yàn)椤?，

所以4。=?2(。?2),解得。=§.

3

檢驗(yàn)：此時(shí)4：x-3y+6=O'：x-3y=0,11//12>成立.

所以當(dāng)時(shí)，。=|.

14.(2022?全國?高二期末)已知直線4：法+3y+l=0,l2:x+(a-2)y+a=Q.請從以下三個(gè)條件中選出兩

個(gè)求實(shí)數(shù)。，人的值.

(1)/?=3cl；

⑵/j;

⑶

【答案】⑴選⑴和⑵,a=\,b=3.

6Z=1+>/2a—\—\/2

⑵選⑴和⑶，-0+后產(chǎn)k3(1.可

(3)選(2)和(3),a、b無解.

【解題思路】根據(jù)兩直線的位置關(guān)系可知，若兩直線垂直則兩直線的斜率之積為-I;若兩直線平行則兩直

線的斜率相等且不重合.

【解題過程】(1)

若選條件⑴和(2),3=3a和…,

由匕=3a,得4：3ax+3y+l=0,即y=_ar_；,

當(dāng)a=2時(shí)，4:x=-2,(：6x+3y+l=0,乙與4不垂直，

當(dāng)a=0時(shí)，/|：3y+l=0,Z2：x-2y=0,《與4不垂直；

故”2且awO,得4：y=——-^+――,

2-a2-a

又4，4，k、=-a,&=—，

2-a

所以"，=-ax一一二一1,解得〃=1,則。=3；

2-a

(2)

若選條件⑴和(3),8=3a和"〃2，

由/=3a,得4：3ax+3y+1=0,

當(dāng)Q=0時(shí)，4：3y+l=O,/2：x-2y=0,(與"不平行；

當(dāng)。=2時(shí)，《6x+3y+l=0,/2：x=-2,(與不平行；

故"0且"2,貝丹=2/，解得。=1+近或1S

1。-2a

故6=3(1+0)或3(1-偽，

a=]+yf2a=i—\[2

即b=3(l+閭或工=3(1-匈;

⑶

若選條件⑵和(3),4U和“4，

根據(jù)兩條直線的位置關(guān)系，

可得《_L4和〃〃2不可能同時(shí)成立，

此時(shí)無解.15.(2022?浙江寧波?高二期末)已知三條直線ll：2x-y+]=0,l2：3x+y-6=0,l);kx-y+k+]=0

(火是常數(shù))，.

⑴若4,%4相交于一點(diǎn)，求人的值；

⑵若心*4不能圍成一個(gè)三角形，求左的值：

⑶若乙，4,4能圍成一個(gè)直角三角形，求k的值.

【答案】⑴)=1

(2)k=l或無=2或％=-3

(3)々=_g或；

【解題思路】(1)由二條已知直線求交點(diǎn)，代入第三條直線即可；

(2)不能圍成一個(gè)三角形，4過二條已知直線的交點(diǎn)，或者與它們平行；

(3)由直線互相垂直得，斜率之積為-1.

【解題過程】(1)

_[2x-y+l=0,

顯然乙，4相交，由°A/

[3尤+y-6=0

得交點(diǎn)(L3),

由點(diǎn)。3)代入4得％=1

所以當(dāng)4，%%相交時(shí)，k=l.

(2)

4過定點(diǎn)(T，l)，因?yàn)?,4,4不能圍成三角形，所以。,3)€4,或4與4平行，或4與4平行，

所以％=1,或％=2,或％=-3.

(3)

顯然4與4不垂直，所以(1,3)任4,且或4皿

所以k的值為無=-；或g

16.(2022?湖北?武漢市第十五中學(xué)高二期末)已知直線4：3x+2y+6=0,直線4:2x-3療＞+18=第直線

4：2皿-3y+12=0.⑴若4與3的傾斜角互補(bǔ),求機(jī)的值；

(2)當(dāng)m為何值時(shí)，三條直線能圍成一個(gè)直角三角形.

【答案］⑴相=±3

4

(2)0,-1,.

【解題思路】(1)根據(jù)題意得勺=-4，進(jìn)而求解得答案；

(2)根據(jù)題意，分別討論4與4垂直，4與《垂直，4與4垂直求解，并檢驗(yàn)即可得答案.

【解題過程】(1)

解：因?yàn)?與4的傾斜角互補(bǔ)，

所以夕=一心,

33

直線4：3x+2y+6=O變形為點(diǎn)丫=_y3,故&=：

所以勺2解3得*士22

“23

(2)

解：由題意，若6：3x+2y+6=0和4：2x-3m2y+i8=0垂直可得：3X2+2X(-3/M2)=0,解得加=±1,

因?yàn)楫?dāng)加=1時(shí)，/,:2x-3y+18=0,/3:2x-3y+12=0,l2//l3,構(gòu)不成三角形，

當(dāng)機(jī)=-1時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證符合題意；故機(jī)=-1；

同理，若4：3x+2y+6=0和4:2，〃x-3y+12=0垂直可得：6m-6=0,解得m=l,舍去；

4

若/2：2x-3，/y+18=0和A：2mx-3y+12=0垂直可得：4/M+9m2=0,解得機(jī)=0或機(jī)=一§,經(jīng)驗(yàn)證符合

題意；

4

故所的值為：0,-1,.

類型三直線的恒過定點(diǎn)問題（2道）

17.（2022?江蘇?高二）已知直線/：（2+/n）x+（l-2w）y+4-3w=0（meR）.求證：直線/恒過定點(diǎn)P,

并求點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】證明見解析，P（-L-2）

【解題思路】整理原方程，利用直線系列出方程組，即可得到直線/恒過定點(diǎn)P的坐標(biāo).

【解題過程】證明：原方程整理為2x+y+4+m（x-2y—3）=0,貝U由，._2）」3=0得（v=—2

所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,-2）.

18.（2022?浙江?玉環(huán)市玉城中學(xué)高二期中）已知點(diǎn)A（2,l）,直線/:（a—l）x+y+2+a=0（awR）.不論〃取

何值，直線/過定點(diǎn)P.

⑴求點(diǎn)尸的坐標(biāo)，及點(diǎn)A（2,l）到直線/距離的最大值；

（2）若直線/在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求〃的值.

【答案】⑴尸（-L-3）；5

（2）?=2或a=—2

【解題思路】⑴方程化為“（x+l）-x+y+2=0,聯(lián)立方程組產(chǎn)1=八可求出定點(diǎn)，點(diǎn)A（2,l）到直

[-x+y+2=0

線/距離的最大值即為|幺|；

（2）分別求出兩坐標(biāo)軸上的截距，建立方程即可求出.

【解題過程】（1）

由（q-l）x+y+2+a=0整理可得a（x+1）-x+y+2=0,

人[x+l=0A

令《cc，解,得x=-l,y=-3.

[-x+y+2=0

所以直線/過定點(diǎn)P（—1,一3）.

點(diǎn)4（2,1）到直線/距離的最大值為|24|=反正=5.

⑵

—ci—2

令y=0,得工=-----；令x=0,得尸一〃一2

依題意，-=-a-2解得。=2或。=—2

a—\f

類型四求兩點(diǎn)間的距離（2道）

19.（2022?四川樂山?高一期末）已知直線/過點(diǎn)尸（2,1）交圓C:f+y2-2x-6y=0于4、3兩點(diǎn).

⑴當(dāng)直線/的傾斜角為45。時(shí)，求A8的長；（2）當(dāng)|AB|最小時(shí)，求直線/的方程.

【答案】（1）瘧

⑵x—2y=0

【解題思路】（1）利用垂徑定理去求A8的長；

（2）利用過圓內(nèi)一點(diǎn)的最短弦長求法去求直線/的方程.

【解題過程】（1）

圓C:x2+9-2x—6y=0的圓心C（l,3）,半徑r=JIU

因?yàn)橹本€/的斜率為&=345。=1,

則過點(diǎn)P（21）的直線/的方程為尸l=x-2,即x-y-l=O,

則圓心C（l,3）到直線/的距離d=|1~^U=述，

V22

所以|AB|=2xJ10-3=后.

（2）

由題知，當(dāng)直線/LCP時(shí)，|AB|最小，此時(shí)勺=-1-=5，

故直線/的方程為y-l=；（x-2）,即x-2y=0.

20.（2022?全國?高二期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形A3C。的長為2,寬為1,AB,AO邊分別在x

軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合（如圖所示）.將矩形折疊，使點(diǎn)4落在線段。C上.

（1）若折痕所在直線的斜率為%試求折痕所在直線的方程;

（2）當(dāng)-2+百4k40時(shí)，求折痕長的最大值.

【答案】（1）y=a+y+1；（2）2（C—0）.

【解題思路】（1）當(dāng)％=0時(shí)，此時(shí)A點(diǎn)與。點(diǎn)重合，折痕所在的直線方程＞=3.當(dāng)k#0時(shí)，將矩形折疊后

A點(diǎn)落在線段。C上的點(diǎn)記為G（a,l）,可知：A與G關(guān)于折痕所在的直線對稱，有*4=-1,解得a=-k.

故G點(diǎn)坐標(biāo)為G（-4,1）,從而折痕所在的直線與。G的交點(diǎn)坐標(biāo)即線段0G的中點(diǎn)為即可得

出.（2）當(dāng)左=0時(shí)，折痕長為2.當(dāng)_2+限&<0時(shí)，折痕所在直線交8c于（2,2%+：+。交y軸于

V乙乙〉

.利用兩點(diǎn)之間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

【解題過程】解：（1）①當(dāng)左=0時(shí)，此時(shí)點(diǎn)4與點(diǎn)。重合，折痕所在直線的方程為>=

②當(dāng)〃/0時(shí)，將矩形折疊后點(diǎn)A落在線段。C上的點(diǎn)記為G（a,l）,0<?<2,

所以點(diǎn)A與點(diǎn)G關(guān)于折痕所在的直線對稱，有自6M=-1nLk=-1=a=-女，

a

故點(diǎn)G的坐標(biāo)為（-太1）,

從而折痕所在的直線與OG的交點(diǎn)（線段OG的中點(diǎn)）為P'gg}

故折痕所在直線的方程為=《x+q），即y=.

綜上所述，折痕所在直線的方程為

?22

（2）當(dāng)％=0時(shí)，折痕的長為2;

l（立21、（42.|

當(dāng)-2+g會(huì)<0時(shí)，折痕所在的直線交直線8c于點(diǎn)M12,2"萬+之，交y軸于點(diǎn)N10,（-

V0<公4（-2+6『=7-46，；.3<^14^^^=2（2—6）<2*3=1,貝!]%在40上，

?.?2k+與+:=：伏+2-,-2+y/3<k<0,

2222

.?.24+昭+，的取值范圍為（0,與，

22I2J

故點(diǎn)M在線段8c上.

v|W|2=22+^^-屈+土+口

=4+4公44+4X(7-4@=32-16G,

L2I22）

二折痕長度的最大值為"32-166=2（。-&）.

而2（遙-點(diǎn)）>2,故折痕長度的最大值為2（遙-應(yīng)）.

類型五求點(diǎn)到直線的距離(3道)

21.(2022?湖南省臨湘市教研室高二期末)直線/經(jīng)過兩直線《：3X+4)，-2=0和/z：2x+y+2=O的交點(diǎn).(1)

若直線/與直線3x+y-l=O平行，求直線/的方程；

⑵若點(diǎn)A(3,l)到直線/的距離為5,求直線/的方程.

【答案】⑴3x+y+4=0

(2)x=-2或12x-5y+34=0

【解題思路】(1)由題意兩立方程組，求兩直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩直線平行的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求

出/的方程.

(2)分類討論直線/的斜率，利用點(diǎn)到直線的距離公式，用點(diǎn)斜式求直線/的方程.

【解題過程】(1)

曲山聲+"-2=0Jx=-2

解：由3上八'解得1'

[2x+y+2=0[y=2

所以兩直線4：3x+4y-2=0和32x+y+2=0的交點(diǎn)為(-2,2).

當(dāng)直線/與直線3x+y-l=O平行，設(shè)/的方程為3x+y+m=O,

把點(diǎn)(-2⑵代入求得機(jī)=4,

可得/的方程為3x+y+4=0.

(2)

解：斜率不存在時(shí)，直線/的方程為x=-2,滿足點(diǎn)43,1)到直線/的距離為5.

當(dāng)/的斜率存在時(shí)，設(shè)直限/的方程為y-2M(x+2),即H-y+2A+2=0,

則點(diǎn)A到直線/的距離為國一；：2：+21=5,求得左邛，

，欠+15

12

故/的方程為《X—y+2%+2=0,即12x—5y+34=O.

綜上，直線/的方程為x=-2或12x-5y+34=0.

22.(2022?內(nèi)蒙古?阿拉善盟第一中學(xué)高二期末(文))在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知AABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分

別為A(0,2),5(4,0),C。。).

(1)求A3邊的垂直平分線所在的直線/的方程；

(2)若AABC的面積為5,求點(diǎn)C的坐標(biāo).

【答案】(D2x-y-3=O;(2)(9,0)或(-1,0).

【解題思路】(D由