2024-2025學(xué)年云南省保山市高三第一次質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁(yè)
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2024-2025學(xué)年云南省保山市高三第一次質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.某空間幾何體的三視圖如圖所示(圖中小正方形的邊長(zhǎng)為1),則這個(gè)幾何體的體積是()A. B. C.16 D.322.已知,且,則在方向上的投影為()A. B. C. D.3.在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,若依次成等差數(shù)列,則()A.依次成等差數(shù)列 B.依次成等差數(shù)列C.依次成等差數(shù)列 D.依次成等差數(shù)列4.已知集合,將集合的所有元素從小到大一次排列構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列,則()A.1194 B.1695 C.311 D.10955.已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù),其中是實(shí)數(shù),則等于()A. B. C. D.6.已知四棱錐,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,,平面平面ABCD,當(dāng)點(diǎn)C到平面ABE的距離最大時(shí),該四棱錐的體積為()A. B. C. D.17.已知分別為圓與的直徑,則的取值范圍為()A. B. C. D.8.設(shè)是虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.9.?dāng)?shù)列滿足,且,,則()A. B.9 C. D.710.如圖,圓是邊長(zhǎng)為的等邊三角形的內(nèi)切圓,其與邊相切于點(diǎn),點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn),,則的最大值為()A. B. C.2 D.11.若滿足,且目標(biāo)函數(shù)的最大值為2,則的最小值為()A.8 B.4 C. D.612.已知命題,;命題若,則,下列命題為真命題的是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知拋物線的焦點(diǎn)為,其準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸交于點(diǎn),過(guò)的直線與拋物線交于兩點(diǎn),若,則直線的斜率________.14.已知雙曲線的一條漸近線為,則焦點(diǎn)到這條漸近線的距離為_(kāi)____.15.已知點(diǎn)是直線上的一點(diǎn),將直線繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角,所得直線方程是,若將它繼續(xù)旋轉(zhuǎn)角,所得直線方程是,則直線的方程是______.16.過(guò)且斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn),為的焦點(diǎn)若的面積等于的面積的2倍,則的值為_(kāi)__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn),直線與曲線交于,兩點(diǎn),求的值.18.(12分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程:在平面直角坐標(biāo)系中,曲線:(為參數(shù)),在以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)、軸的正半軸為極軸,且與平面直角坐標(biāo)系取相同單位長(zhǎng)度的極坐標(biāo)系中,曲線:.(1)求曲線的普通方程以及曲線的平面直角坐標(biāo)方程;(2)若曲線上恰好存在三個(gè)不同的點(diǎn)到曲線的距離相等,求這三個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo).19.(12分)古人云:“腹有詩(shī)書(shū)氣自華.”為響應(yīng)全民閱讀,建設(shè)書(shū)香中國(guó),校園讀書(shū)活動(dòng)的熱潮正在興起.某校為統(tǒng)計(jì)學(xué)生一周課外讀書(shū)的時(shí)間,從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)査,統(tǒng)計(jì)了他們一周課外讀書(shū)時(shí)間(單位:)的數(shù)據(jù)如下:一周課外讀書(shū)時(shí)間/合計(jì)頻數(shù)46101214244634頻率0.020.030.050.060.070.120.250.171(1)根據(jù)表格中提供的數(shù)據(jù),求,,的值并估算一周課外讀書(shū)時(shí)間的中位數(shù).(2)如果讀書(shū)時(shí)間按,,分組,用分層抽樣的方法從名學(xué)生中抽取20人.①求每層應(yīng)抽取的人數(shù);②若從,中抽出的學(xué)生中再隨機(jī)選取2人,求這2人不在同一層的概率.20.(12分)已知關(guān)于的不等式解集為().(1)求正數(shù)的值;(2)設(shè),且,求證:.21.(12分)已知等差數(shù)列an,和等比數(shù)列b(I)求數(shù)列{an}(II)求數(shù)列n2an?a22.(10分)如圖,在四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為2的菱形,,平面平面,點(diǎn)為棱的中點(diǎn).(Ⅰ)在棱上是否存在一點(diǎn),使得平面,并說(shuō)明理由;(Ⅱ)當(dāng)二面角的余弦值為時(shí),求直線與平面所成的角.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A【解析】幾何體為一個(gè)三棱錐,高為4,底面為一個(gè)等腰直角三角形,直角邊長(zhǎng)為4,所以體積是,選A.2.C【解析】

由向量垂直的向量表示求出,再由投影的定義計(jì)算.【詳解】由可得,因?yàn)?,所以.故在方向上的投影為.故選:C.本題考查向量的數(shù)量積與投影.掌握向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系是解題關(guān)鍵.3.C【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)、同角三角函數(shù)的關(guān)系以及兩角和的正弦公式可得,由正弦定理可得,再由余弦定理可得,從而可得結(jié)果.【詳解】依次成等差數(shù)列,,正弦定理得,由余弦定理得,,即依次成等差數(shù)列,故選C.本題主要考查等差數(shù)列的定義、正弦定理、余弦定理,屬于難題.解三角形時(shí),有時(shí)可用正弦定理,有時(shí)也可用余弦定理,應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷.如果式子中含有角的余弦或邊的二次式,要考慮用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí),則考慮用正弦定理;以上特征都不明顯時(shí),則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到.4.D【解析】

確定中前35項(xiàng)里兩個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù),數(shù)列中第35項(xiàng)為70,這時(shí)可通過(guò)比較確定中有多少項(xiàng)可以插入這35項(xiàng)里面即可得,然后可求和.【詳解】時(shí),,所以數(shù)列的前35項(xiàng)和中,有三項(xiàng)3,9,27,有32項(xiàng),所以.故選:D.本題考查數(shù)列分組求和,掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列前項(xiàng)和公式是解題基礎(chǔ).解題關(guān)鍵是確定數(shù)列的前35項(xiàng)中有多少項(xiàng)是中的,又有多少項(xiàng)是中的.5.A【解析】

對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn),由于為純虛數(shù),則化簡(jiǎn)后的復(fù)數(shù)形式中,實(shí)部為0,得到的值,從而得到復(fù)數(shù).【詳解】因?yàn)闉榧兲摂?shù),所以,得所以.故選A項(xiàng)本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,純虛數(shù)的概念,屬于簡(jiǎn)單題.6.B【解析】

過(guò)點(diǎn)E作,垂足為H,過(guò)H作,垂足為F,連接EF.因?yàn)槠矫鍭BE,所以點(diǎn)C到平面ABE的距離等于點(diǎn)H到平面ABE的距離.設(shè),將表示成關(guān)于的函數(shù),再求函數(shù)的最值,即可得答案.【詳解】過(guò)點(diǎn)E作,垂足為H,過(guò)H作,垂足為F,連接EF.因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD,所以平面ABCD,所以.因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,,所以.因?yàn)槠矫鍭BE,所以點(diǎn)C到平面ABE的距離等于點(diǎn)H到平面ABE的距離.易證平面平面ABE,所以點(diǎn)H到平面ABE的距離,即為H到EF的距離.不妨設(shè),則,.因?yàn)?,所以,所以,?dāng)時(shí),等號(hào)成立.此時(shí)EH與ED重合,所以,.故選:B.本題考查空間中點(diǎn)到面的距離的最值,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意輔助線及面面垂直的應(yīng)用.7.A【解析】

由題先畫(huà)出基本圖形,結(jié)合向量加法和點(diǎn)乘運(yùn)算化簡(jiǎn)可得,結(jié)合的范圍即可求解【詳解】如圖,其中,所以.故選:A本題考查向量的線性運(yùn)算在幾何中的應(yīng)用,數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題8.A【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可求得結(jié)果.【詳解】由復(fù)數(shù)的乘法法則得.故選:A.本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.9.A【解析】

先由題意可得數(shù)列為等差數(shù)列,再根據(jù),,可求出公差,即可求出.【詳解】數(shù)列滿足,則數(shù)列為等差數(shù)列,,,,,,,故選:.本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式的求法,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.10.C【解析】

建立坐標(biāo)系,寫出相應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo),得到的表達(dá)式,進(jìn)而得到最大值.【詳解】以D點(diǎn)為原點(diǎn),BC所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,建立坐標(biāo)系,設(shè)內(nèi)切圓的半徑為1,以(0,1)為圓心,1為半徑的圓;根據(jù)三角形面積公式得到,可得到內(nèi)切圓的半徑為可得到點(diǎn)的坐標(biāo)為:故得到故得到,故最大值為:2.故答案為C.這個(gè)題目考查了向量標(biāo)化的應(yīng)用,以及參數(shù)方程的應(yīng)用,以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍,是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問(wèn)題.通過(guò)向量的運(yùn)算,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域,是解決這類問(wèn)題的一般方法.11.A【解析】

作出可行域,由,可得.當(dāng)直線過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)時(shí),最大,可得.再由基本不等式可求的最小值.【詳解】作出可行域,如圖所示由,可得.平移直線,當(dāng)直線過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)時(shí),最大,即最大,最大值為2.解方程組,得..,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立.的最小值為8.故選:.本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃,考查基本不等式,屬于中檔題.12.B【解析】解:命題p:?x>0,ln(x+1)>0,則命題p為真命題,則¬p為假命題;取a=﹣1,b=﹣2,a>b,但a2<b2,則命題q是假命題,則¬q是真命題.∴p∧q是假命題,p∧¬q是真命題,¬p∧q是假命題,¬p∧¬q是假命題.故選B.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

求出拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo),由,結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算得,直線方程為,代入拋物線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得,,從而可求得,得斜率.【詳解】由得,即聯(lián)立得解得或,∴.故答案為:.本題考查直線與拋物線相交,考查向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示.直線方程與拋物線方程聯(lián)立后消元,應(yīng)用韋達(dá)定理是解決直線與拋物線相交問(wèn)題的常用方法.14.2.【解析】

由雙曲線的一條漸近線為,解得.求出雙曲線的右焦點(diǎn),利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【詳解】雙曲線的一條漸近線為解得:雙曲線的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)到這條漸近線的距離為:本題正確結(jié)果:本題考查了雙曲線和的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì),涉及到點(diǎn)到直線距離公式的考查,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】

求出點(diǎn)坐標(biāo),由于直線與直線垂直,得出直線的斜率為,再由點(diǎn)斜式寫出直線的方程.【詳解】由于直線可看成直線先繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角,再繼續(xù)旋轉(zhuǎn)角得到,則直線與直線垂直,即直線的斜率為所以直線的方程為,即故答案為:本題主要考查了求直線的方程,涉及了求直線的交點(diǎn)以及直線與直線的位置關(guān)系,屬于中檔題.16.2【解析】

聯(lián)立直線與拋物線的方程,根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系以及面積關(guān)系求解即可.【詳解】如圖,設(shè),由,則,由可得,由,則,所以,得.故答案為:2此題考查了拋物線的性質(zhì),屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1);(2)【解析】

(1)利用參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化公式即可;(2)將直線參數(shù)方程代入圓的普通方程,可得,,而根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義,知,代入即可解決.【詳解】(1)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),消去;得曲線的極坐標(biāo)方程為.由,,,可得,即曲線的直角坐標(biāo)方程為;(2)將直線的參數(shù)方程(為參數(shù))代入的方程,可得,,設(shè),是點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)值,,,則.本題考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化,直線參數(shù)方程的幾何意義,是一道容易題.18.(1),;(2),,.【解析】

(1)把曲線的參數(shù)方程與曲線的極坐標(biāo)方程分別轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程;(2)利用圖象求出三個(gè)點(diǎn)的極徑與極角.【詳解】解:(1)由消去參數(shù)得,即曲線的普通方程為,又由得即為,即曲線的平面直角坐標(biāo)方程為(2)∵圓心到曲線:的距離,如圖所示,所以直線與圓的切點(diǎn)以及直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn),即為所求.∵,則,直線的傾斜角為,即點(diǎn)的極角為,所以點(diǎn)的極角為,點(diǎn)的極角為,所以三個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為,,.本題考查圓的參數(shù)方程和普通方程的轉(zhuǎn)化、直線極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化,消去參數(shù)方程中的參數(shù),就可把參數(shù)方程化為普通方程,消去參數(shù)的常用方法有:①代入消元法;②加減消元法;③乘除消元法;④三角恒等式消元法,極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,只要將和換成和即可.19.(1),,,中位數(shù);(2)①三層中抽取的人數(shù)分別為2,5,13;②【解析】

(1)根據(jù)頻率分布直方表的性質(zhì),即可求得,得到,,再結(jié)合中位數(shù)的計(jì)算方法,即可求解.(2)①由題意知用分層抽樣的方法從樣本中抽取20人,根據(jù)抽樣比,求得在三層中抽取的人數(shù);②由①知,設(shè)內(nèi)被抽取的學(xué)生分別為,內(nèi)被抽取的學(xué)生分別為,利用列舉法得到基本事件的總數(shù),利用古典概型的概率計(jì)算公式,即可求解.【詳解】(1)由題意,可得,所以,.設(shè)一周課外讀書(shū)時(shí)間的中位數(shù)為小時(shí),則,解得,即一周課外讀書(shū)時(shí)間的中位數(shù)約為小時(shí).(2)①由題意知用分層抽樣的方法從樣本中抽取20人,抽樣比為,又因?yàn)?,,的頻數(shù)分別為20,50,130,所以從,,三層中抽取的人數(shù)分別為2,5,13.②由①知,在,兩層中共抽取7人,設(shè)內(nèi)被抽取的學(xué)生分別為,內(nèi)被抽取的學(xué)生分別為,若從這7人中隨機(jī)抽取2人,則所有情況為,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共有21種,其中2人不在同一層的情況為,,,,,,,,,,共有10種.設(shè)事件為“這2人不在同一層”,由古典概型的概率計(jì)算公式,可得概率為.本題主要考查了頻率分布直方表的性質(zhì),中位數(shù)的求解,以及古典概型的概率計(jì)算等知識(shí)的綜合應(yīng)用,著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力,屬于基礎(chǔ)題.20.(1)1;(2)證明見(jiàn)解析.【解析】

(1)將不等式化為,求解得出,根據(jù)解集確定正數(shù)的值;(2)利用基本不等式以及不等式的性質(zhì),得出,,,三式相加,即可得證.【詳解】(1)解:不等式,即不等式∴,而,于是依題意得(2)證明:由(1)知,原不等式可化為∵,∴,同理,三式相加得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)綜上.本題主要考查了求絕對(duì)值不等式中參數(shù)的范圍以及基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題.21.(I)an=2n-1,b

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