八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 講義（北師大版）第六章第6講 解題技巧專題：平行四邊形中線段和最值之將軍飲馬模型(2類熱點(diǎn)題型講練)（解析版）

第6講解題技巧專題：平行四邊形中線段和最值之將軍飲馬模型(2類熱點(diǎn)題型講練)目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)一兩條線段和的最小值】 1【考點(diǎn)二多條線段和（周長(zhǎng)）最小值】 10【考點(diǎn)一兩條線段和的最小值】模型1.求兩條線段和的最小值（將軍飲馬模型）【模型解讀】在一條直線m上，求一點(diǎn)P，使PA+PB最小；（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：（2）點(diǎn)A、B在直線同側(cè)：【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。上圖中A’是A關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)。例題：（2024·江蘇南通·一模）如圖，平行四邊形中，分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為．【答案】【分析】延長(zhǎng)，截取，連接，，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)H，證明，得出，說(shuō)明當(dāng)最小時(shí)，最小，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，得出當(dāng)A、E、G三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即最小，且最小值為的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理和含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求出結(jié)果即可．【詳解】解：延長(zhǎng)，截取，連接，，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)H，如圖所示：∵四邊形為平行四邊形，∴，，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴當(dāng)最小時(shí)，最小，∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴當(dāng)A、E、G三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即最小，且最小值為的長(zhǎng)，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴．即的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，含30度的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)下·四川達(dá)州·期中）如圖，是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)D在邊上，且，線段在邊上運(yùn)動(dòng)，，則的最小值為．【答案】【分析】作點(diǎn)D關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)M，交于點(diǎn)T，連接，以為鄰邊在的外面作平行四邊形，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為G，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于H，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可知：，再由平行四邊形的性質(zhì)得出當(dāng)C，F(xiàn)，N在同一條直線上時(shí)，為最短，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】解：作點(diǎn)D關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)M，交于點(diǎn)T，連接，以為鄰邊在的外面作平行四邊形，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為G，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于H，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可知：，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知：當(dāng)C，F(xiàn)，N在同一條直線上時(shí)，為最短，即：為最小，此時(shí)的最小值即為線段的長(zhǎng)，∵是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，∴，∵點(diǎn)D、M關(guān)于對(duì)稱，在中，，∴，，∴，，，∴四邊形為矩形，∴，∵是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，，，，∵四邊形為平行四邊形，，在中，，∴，∴，在中，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】題目主要考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理解三角形，平行四邊形的性質(zhì)等，理解題意，作出相應(yīng)輔助線，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．2．（2024·陜西西安·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，將線段沿x軸向右平移得到，連接，，則的最小值為．【答案】【分析】作，且使，連接．作點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C'（0，-3），連接交x軸于點(diǎn)W，連接，推出當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)W處時(shí)，最小，最小值是的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：如圖，作且使，連接，∴四邊形是平行四邊形，，，∵點(diǎn)，，∴設(shè)點(diǎn)1），∴點(diǎn)．作點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)連接，，交x軸于點(diǎn)W，，∴當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)W處時(shí)，最小，最小值是的長(zhǎng)．，的最小值是故答案為【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，平面直角坐標(biāo)系中的平移，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理，能靈活運(yùn)用平移和軸對(duì)稱構(gòu)造將軍飲馬模型是解題的關(guān)鍵．3．（23-24八年級(jí)下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，對(duì)角線于點(diǎn)O，若，，則的最小值為．

【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)B作，過(guò)點(diǎn)C作，二線交于點(diǎn)E，則四邊形是平行四邊形，得到，根據(jù)，當(dāng)D，C，E三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，此時(shí)，計(jì)算即可，本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形不等式的應(yīng)用，熟練掌握三角形不等式，平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)B作，過(guò)點(diǎn)C作，二線交于點(diǎn)E，∵∴四邊形是平行四邊形，∴，，∵，，，當(dāng)D，C，E三點(diǎn)共線時(shí)，∴取得最小值，∴取得最小值，此時(shí)，故答案為：．

4．（22-23八年級(jí)下·貴州黔東南·期末）如圖，平行四邊形中，，E是邊上一點(diǎn)，且是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，則的最小值是．

【答案】【分析】取的中點(diǎn)N，連接作交的延長(zhǎng)線于H，根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)可以得到，由三角形三邊關(guān)系可得，利用勾股定理求出的值即可得到解答．【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)N，連接，作交CD的延長(zhǎng)線于H，

由題意可得：∵點(diǎn)N是的中點(diǎn)，∴∴∵∴是等邊三角形，∴∴∵∴∴∴∴點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是射線，∵∴∴∴在中，∴，∴在中，==，∴≥，∴的最小值為；故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形與旋轉(zhuǎn)的綜合應(yīng)用，熟練作出輔助線并掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系及勾股定理的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．5．（23-24八年級(jí)下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在中，，，，D為邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），為等邊三角形，過(guò)點(diǎn)D作的垂線，F(xiàn)為垂線上任意一點(diǎn)，連接，G為的中點(diǎn)，連接，則的最小值是．【答案】【分析】取的中點(diǎn)，連接，推出三點(diǎn)共線，進(jìn)而得到點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，得到，進(jìn)而得到三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，作，利用含30度的直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，，，∴，，取的中點(diǎn)，連接，∵，為的中點(diǎn)，∴，∴，∵為等邊三角形，∴，，∴三點(diǎn)共線，∴點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，作，∴，垂直平分，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，，∴．∴的最小值是；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，三角形的中位線，勾股定理，利用軸對(duì)稱解決線段和最小的問(wèn)題．綜合性強(qiáng)，難度大，屬于填空題中的壓軸題，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡．6．（22-23八年級(jí)下·四川成都·期中）在中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，將沿著翻折得到，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接、，若，，，則的最小值為．

【答案】【分析】取的中點(diǎn)，連接，，利用翻折的性質(zhì)證明全等，得到，判斷出的最小值就是的長(zhǎng)，再過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，求出，，最后在中，利用勾股定理求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：取的中點(diǎn)，連接，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

則，由翻折得到，，又點(diǎn)為中點(diǎn)，，，在和中，，，，要求的最小值，只要求的最小值即可，當(dāng)，，三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，取最小值，此時(shí)，即的最小值為．在中，，，則∴,，在中，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是以翻折為背景兩線段和最小值問(wèn)題，考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)定義，勾股定理．利用翻折將不共端點(diǎn)的兩線段的和轉(zhuǎn)化為共端點(diǎn)的兩線段的和是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二多條線段和（周長(zhǎng)）最小值】模型2.求多條線段和（周長(zhǎng)）最小值【模型解讀】在直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè)：（2）一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè)：（3）兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)：（4）臺(tái)球兩次碰壁模型1）已知點(diǎn)A、B位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線n、m分別上求點(diǎn)D、E點(diǎn)，使得圍成的四邊形ADEB周長(zhǎng)最短.2）已知點(diǎn)A位于直線m,n的內(nèi)側(cè),在直線m、n分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)PA+PQ+QA周長(zhǎng)最短.【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例題：（23-24八年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，，．連接，且，平分交與于點(diǎn)．點(diǎn)在邊上，，若線段（點(diǎn)P在點(diǎn)的左側(cè)）在線段上運(yùn)動(dòng)，，連、，則的最小值為．【答案】【分析】取的中點(diǎn)G,連接，則，，取的中點(diǎn)M，連接，設(shè)與的交點(diǎn)為F，故點(diǎn)G，M關(guān)于直線對(duì)稱；連接，過(guò)點(diǎn)N作于點(diǎn)T，連接，連，則,故，當(dāng)B，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，最小值為，計(jì)算即可，本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形不等式求最值，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形不等式求最值是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵四邊形是平行四邊形，，∴，，∵，∴,，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，，，∴，∴，∴，，∵，∴，如圖所示，取的中點(diǎn)G,連接，則，，∴，，取的中點(diǎn)M，連接，設(shè)與的交點(diǎn)為F，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，故點(diǎn)G，M關(guān)于直線對(duì)稱；連接，∴，過(guò)點(diǎn)N作于點(diǎn)T，連接，∵四邊形是平行四邊形，，，∴，，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴，∵,，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，連，則,故，當(dāng)B，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，最小值為，過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)H，則,∴，∴，∴的最小值為，故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（23-24九年級(jí)上·山東臨沂·期末）已知如圖，．為x軸上一條動(dòng)線段，D在C點(diǎn)右邊且，當(dāng)?shù)淖钚≈禐?【答案】/【分析】本題考查了“將軍飲馬”求最值的模型，涉及了平行四邊形的判定與性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)點(diǎn)，將點(diǎn)向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)構(gòu)造平行四邊形是解題關(guān)鍵．【詳解】解：將點(diǎn)向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)，此時(shí)的值最小，如圖所示：∵，且∴四邊形為平行四邊形∴∵點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，∴∴∵∴的最小值為：故答案為：2．（22-23八年級(jí)下·四川成都·期中）如圖，在中，，，．如果在三角形內(nèi)部有一條動(dòng)線段，且，則的最小值為．

【答案】【分析】在BC上取一點(diǎn)，使得，連接B′N．首先證明，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，過(guò)點(diǎn)T作交的延長(zhǎng)線于H．要使的值最小，需點(diǎn)、N、G、T四點(diǎn)共線．連接，則其就是所求最小值，求出B′T可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，在上取一點(diǎn)，使得，連接，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，過(guò)點(diǎn)T作交的延長(zhǎng)線于H．∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，和都是等邊三角形，∴，．∴．要使的值最小，需點(diǎn)、N、G、T四點(diǎn)共線．連接，則其就是所求最小值．∵中，，．∴，．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，，∴，在中，，，∵．∴，∴．∴的最小值是．故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．3．（23-24八年級(jí)下·浙江·期中）如圖，中，，，，點(diǎn)為邊上的中點(diǎn)，為邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則五邊形的周長(zhǎng)最小值為．【答案】/【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角的性質(zhì)和判定，軸對(duì)稱等．過(guò)點(diǎn)F作交于點(diǎn)Q，作點(diǎn)E關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)P，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，則，可得五邊形的周長(zhǎng)最小值為，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，從而得到是等腰直角三角形，進(jìn)而得到，，再由勾股定理可得，即可求解．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)F作交于點(diǎn)Q，作點(diǎn)E關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)P，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，則，∵，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴五邊形的周長(zhǎng)為，∴五邊形的周長(zhǎng)最小值為，∵點(diǎn)為邊上的中點(diǎn)，，∴，，∴，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即五邊形的周長(zhǎng)最小值為．故答案為：．4．（2023八年級(jí)上·江蘇·專題練習(xí)）如圖，中，，點(diǎn)、點(diǎn)為邊上的點(diǎn)，且，點(diǎn)、分別為邊、上的點(diǎn)．已知：，，則四邊形的周長(zhǎng)的最小值為．

【答案】/【分析】如圖，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，交于，連接，，此時(shí)四邊形的周長(zhǎng)最?。C明四邊形是平行四邊形即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，交于，連接，，此時(shí)四邊形的周長(zhǎng)最?。?/p>

，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形的周長(zhǎng)．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱最短問(wèn)題，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最短問(wèn)題，屬于中考常考題型．5．（22-23八年級(jí)下·遼寧鞍山·期末）如圖，河的兩岸有，兩個(gè)水文觀測(cè)點(diǎn)，為方便聯(lián)絡(luò)，要在河上修一座木橋（河的兩岸互相平行，垂直于河岸），現(xiàn)測(cè)得，兩點(diǎn)到河岸的距離分別是5米，4米，河寬3米，且，兩點(diǎn)之間的水平距離為12米，則的最小值是米．

【答案】18【分析】作垂直于河岸，使等于河寬，連接，與靠近A的河岸相交于M，作垂直于另一條河岸，則且，于是為平行四邊形，故；根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，最短，即最短，也就是最短，據(jù)此求解即可．【詳解】作垂直于河岸，使等于河寬，連接，與靠近A的河岸相交于M，作垂直于另一條河岸，過(guò)點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，則且，于是為平行四邊形，

故，當(dāng)時(shí)，最小，也就是最短，∵（米），（米），（米）∴在中，（米），∴的最小值為：（米）故答案為：18．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱－－－最短路徑問(wèn)題、勾股定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)，要利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，但許多實(shí)際問(wèn)題沒(méi)這么簡(jiǎn)單，需要我們將一些線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間線段最短的問(wèn)題．目前，往往利用對(duì)稱性、平行四邊形的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化．6．（20-21九年級(jí)上·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是邊上的點(diǎn)，連接，若，，，則周長(zhǎng)的最小值是．

【答案】【分析】作點(diǎn)O關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)M，點(diǎn)O關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)N，連接，則的周長(zhǎng)，故當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，即此時(shí)的周長(zhǎng)最