八年級數(shù)學(xué)下冊 講義（北師大版）第五章第01講 認識分式(13類熱點題型講練)（原卷版）

第01講認識分式(13類熱點題型講練)1.理解分式的概念，能求出使分式有意義、無意義、分式值為零、分式值為正（負）、分式值為整數(shù)的條件；2.了解分式的基本性質(zhì)，掌握分式的約分、最簡分式的概念知識點01分式的意義1.分式的意義知識點02分式的值為正或為負（1）分式為正的條件：分子與分母的積為正，即AB>0（2）分式為負的條件：分子與分母的積為負，即AB<0知識點03分式的基本性質(zhì)3.分式的基本性質(zhì)題型01分式的識別【例題】（2023上·山東濰坊·八年級?？茧A段練習）在，，，，，中分式的個數(shù)有（

）A．3 B．4 C．5 D．6【變式訓(xùn)練】1．（2023上·湖南永州·八年級統(tǒng)考階段練習）下列各式中，是分式的是（

）A． B． C． D．2．（2023上·重慶開州·八年級校聯(lián)考階段練習）在代數(shù)式中，屬于分式的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個題型02分式有意義的條件【例題】（2023上·湖南永州·八年級校聯(lián)考期中）若分式有意義，則的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·八年級校考階段練習）若使分式有意義，則字母x的滿足的條件是（

）A． B． C．且 D．或2．（2023·云南楚雄·統(tǒng)考二模）要使分式有意義，則的取值范圍為____．題型03分式無意義的條件【例題】（2023·江蘇常州·常州市第二十四中學(xué)?？家荒＃┊攛__________時，分式無意義．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·湖北咸寧·八年級統(tǒng)考期末）當滿足條件___________時，分式?jīng)]有意義．2．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）要使分式無意義，則x的取值范圍是_________．題型04分式值為零的條件【例題】（2023·廣東佛山·佛山市南海區(qū)南海執(zhí)信中學(xué)?？既＃┤舴质降闹禐?，則x的值為(

)A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東佛山·八年級?？计谥校┤舴质降闹禐榱?，則x的值為（

）A． B．0 C．3 D．2．（2023春·河北保定·八年級保定十三中校考階段練習）若分式的值為0，則的取值是（

）A． B． C． D．題型05分式的值【例題】（2023春·江蘇蘇州·八年級蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校校考階段練習）若，則分式__．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國·八年級專題練習）當a＝1時，分式的值是______．2．（2023春·七年級單元測試）已知，則分式的值為______．題型06求使分式為正(負)數(shù)時未知數(shù)的取值范圍【例題】（2023春·江蘇·八年級專題練習）若分式的值大于零，則x的取值范圍是______．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇·八年級專題練習）若分式的值為負數(shù)，x的取值范圍是_________．2．（2023春·全國·八年級專題練習）已知分式的值是正數(shù)，那么的取值范圍是_____．題型07求使分式值為整數(shù)時未知數(shù)的整數(shù)值【例題】（2023春·七年級單元測試）若表示一個負整數(shù)，則整數(shù)________．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·山西忻州·八年級統(tǒng)考期中）如果m為整數(shù)，那么使分式的值為整數(shù)的m的值為_______．（寫出兩個即可）2．（2023春·廣東廣州·八年級廣州市真光中學(xué)校考開學(xué)考試）已知的值為正整數(shù)，則整數(shù)m的值為_________________________.題型08判斷分式變形是否正確【例題】（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）下列等式中正確的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·北京西城·八年級北京市第一六一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）下列變形正確的是（

）A． B． C． D．2．（2023春·安徽六安·七年級六安市第九中學(xué)?？茧A段練習）下列變形中，錯誤的是（）A． B．C． D．題型09利用分式的基本性質(zhì)判斷分式值的變化【例題】（2023春·廣東佛山·八年級?？茧A段練習）如果把中x，y的值都擴大2倍，那么這個分式的值（

）A．不變 B．縮小到原來的 C．擴大4倍 D．擴大2倍【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河北保定·八年級保定十三中?？茧A段練習）當，時，若、都擴大為原來的10倍，則分式的值（

）A．縮小到原來的 B．擴大到原來的10倍C．縮小到原來的 D．擴大到原來的100倍2．（2023春·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期中）若把分式中的和都擴大2倍，那么分式的值（

）A．不變 B．擴大2倍 C．縮小為原來值 D．縮小為原來值的題型10將分式的分子分母的最高次項化為正數(shù)【例題】（2023春·浙江·七年級專題練習）不改變分式的值，把下列分式的分子與分母的最高次項的系數(shù)都化為正數(shù)．(1)(2)．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·八年級課時練習）不改變分式的值，使下列分式的分子、分母中都不含“”：(1)；(2)(3)(4)2．（2023秋·八年級課時練習）不改變分式的值，使下列分式的分子與分母均按某一字母降冪排列，并使分子、分母的最高次項的系數(shù)都是正數(shù)．(1)；(2)(3)．題型11將分式的分子分母各項系數(shù)化為整數(shù)【例題】（2023秋·八年級單元測試）不改變分式的值，使得分式的分子和分母的各項系數(shù)都是整數(shù)．（1）_________；（2）__________；（3）________．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇·八年級期中）不改變分式的值，把分式的分子、分母各項系數(shù)都化為整數(shù)，得_____．2．（2023春·全國·八年級專題練習）不改變分式的值，若把其分子與分母中的各項系數(shù)都化成整數(shù)，其結(jié)果為______．題型12最簡分式【例題】（2023春·山東濟南·八年級統(tǒng)考期中）下列分式是最簡分式的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·浙江·七年級專題練習）下列等式成立的是（

）A． B． C． D．2．（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考開學(xué)考試）下列分式是最簡分式的個數(shù)為(

)①；②；③；④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個題型13約分【例題】（2023秋·八年級課時練習）約分：（1）_____________；（2）_____________．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·八年級課時練習）已知，則_____________，_____________．2．（2023春·浙江·七年級專題練習）約分：（1）___________；（2）___________；（3）___________．一、單選題1．（2024上·福建福州·八年級?？计谀┤舴质接幸饬x，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了分是有意義的條件，由分式有意義的條件：分母不為0進行計算，即可得到答案．【詳解】解：∵分式有意義，∴，∴，故選：C．2．（2024上·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）如果把分式中的m和n都擴大3倍，那么分式的值（

）A．擴大6倍 B．縮小3倍 C．不變 D．擴大3倍【答案】C【分析】本題考查了分式的基本性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，根據(jù)題意得出，再根據(jù)分式基本性質(zhì)化簡即可．【詳解】，把分式中的m和n都擴大3倍，分式的值不變，故選：C．3．（2023上·河南漯河·八年級漯河市實驗中學(xué)?？茧A段練習）在中，分式的個數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】題目主要考查分式的判斷，形如（A、B是整式，B中含有字母）的式子叫做分式.其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.根據(jù)分式的定義即可判斷．【詳解】解：在中，是分式，共5個，故選：C．4．（2023上·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期末）下列各式中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了分式的基本性質(zhì)，分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變；根據(jù)分式的基本性質(zhì)判斷即可．【詳解】A項，和都是最簡分式，其值顯然不一定相等，故本項不符合題意；B項，，故該選項正確，符合題意；C項，，故該選項不正確，不符合題意；D項，，計算不正確，故本項不符合題意；故選：B．5．（2023上·河北廊坊·八年級統(tǒng)考期末）下列說法錯誤的是（）A．若式子沒有意義，則x的取值范圍是B．分式中的x、y都擴大原來的2倍，那么分式的值擴大2倍C．分式的值不可能等于0D．若表示一個整數(shù)，則整數(shù)x可取值的個數(shù)是4個【答案】B【分析】本題考查分式的定義，性質(zhì)，分式有意義和分式的值為0，直接利用分式的定義以及分式的性質(zhì)、分式有意義的條件分別分析得出答案即可．【詳解】解：A．若式子沒有意義，則，即，故不符合題意；B．分式中的x、y都擴大原來的2倍，即，所以分式的值不變，故符合題意；C．當，即時，，所以分式的值不可能等于0，故不符合題意；D．若表示一個整數(shù)，則整數(shù)x可取值是，共有4個，故不符合題意；故選：B．6．（2024上·湖南長沙·八年級湖南師大附中?？计谀┮阎?，則的值是（）A． B．8 C． D．6【答案】A【分析】本題主要考查了已知式子的值，求代數(shù)式的值等知識點，靈活對代數(shù)式進行變形是解題的關(guān)鍵．由可得進而得到，然后將整體代入計算即可．【詳解】解：∵，∴，即，則，∴．故選A．二、填空題7．（廣西壯族自治區(qū)桂林市2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）將分式化簡的結(jié)果是．【答案】【分析】本題考查了分式的約分，先將分子因式分解，分解成乘積的形式，然后再約分即可求得結(jié)果，掌握因式分解是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，故答案為：．8．（2023上·福建福州·八年級統(tǒng)考期末）已知時，分式無意義，則．【答案】2【分析】本題考查分式意義的條件，關(guān)鍵在于通過分式無意義算出a的值．當分式無意義時分母為0，據(jù)此可求出a的值．【詳解】解：∵分式無意義，∴，此時，即：解得：．故答案為：2．9．（2023上·四川眉山·九年級校考期中）如果代數(shù)式有意義，則x的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，根據(jù)二次根式有意義的條件，分式有意義的條件列出不等式，解不等式即可，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)，分式分母不為0是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：要使代數(shù)式有意義，∴，∴，故答案為：．10．（2024上·江西上饒·八年級統(tǒng)考期末）整數(shù)為時，式子為整數(shù)．【答案】【分析】由式子為整數(shù)可知或或或，從而可解得m的值．考查的是分式的值，根據(jù)式子為整數(shù)確定出的值是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵，∴或或或，解得：或或（不合題意，舍去）或．故答案為：．11．（2024上·河南信陽·八年級統(tǒng)考期末）已知分式，當時，分式的值為，當時，分式無意義，則．【答案】【分析】本題考查分式，掌握分式有意義條件和分式為零的條件是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意列出關(guān)于、的方程，解方程求出、的值，代入代數(shù)式求出結(jié)果即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：，解得：，所以．故答案為：．12．（2022下·山西運城·八年級校聯(lián)考階段練習）已知（，且），，，…，則．【答案】/【分析】本題考查了分式的規(guī)律探究問題，先求得前個式子，找到規(guī)律，3個一循環(huán)，進而即可求解．【詳解】根據(jù)規(guī)律可知，，．．故答案為：．三、解答題13．（2023上·全國·八年級課堂例題）下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？，，，，，，，，，，．【答案】整式：，，，，，，；分式：，，，【分析】本題考查分式的定義：一般地，如果A，B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．整式的定義：單項式和多項式統(tǒng)稱為整式．根據(jù)分式的定義、整式的定義逐一判斷即可．【詳解】解：整式有：，，，，，，；分式有：，，，．14．（2023上·江蘇無錫·九年級江蘇省天一中學(xué)?？茧A段練習）已知：，求下列各式的值(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）由可得，然后代入計算即可；（2）由可得，然后代入計算即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴．（2）解：∵，∴，，∴．【點睛】本題主要考查了分式的約分、代數(shù)式求值等知識點，靈活對已知代數(shù)式進行變形是解答本題的關(guān)鍵．15．（2023上·全國·八年級課堂例題）當取何值時，下列分式的值為0？(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)無解(4)【分析】本題考查了分式為0的條件，即分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零，關(guān)鍵是熟練掌握分式值為零的條件是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)分式值為零即分子為零且分母不為零進行解答即可；（2）根據(jù)分式值為零即分子為零且分母不為零進行解答即可；（3）根據(jù)任何非零的數(shù)的平方都是非負數(shù)，當時，，分式無意義，故無解；（4）根據(jù)分式值為零即分子為零且分母不為零進行解答即可；【詳解】（1）由，得．當時，分式的值為0．（2），又，即．當時，分式的值為0．（3）時，，分式無意義，沒有使分式的值為0的值．（4）由，得當時，分式的值為0．16．（2023上·全國·八年級課堂例題）不改變分式的值，把下列各分式的分子與分母中各項系數(shù)都化為整數(shù)：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】此題主要考查了分式的基本性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握分式的分子與分母同乘(或除以)一個不等于0的整式，分式的值不變；（1）分子分母都乘以60即可；（2）分子分母同時乘以12即可；【詳解】（1）根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將的分子與分母同乘60，得．（2）解：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將的分子與分母同乘12，得．17．（2023上·全國·八年級課堂例題）約分