高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 第八篇 解析幾何細(xì)致講解練 理 新人教A版

第八篇解析幾何第1講直線與方程[最新考綱]1．在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素．2．理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式．3．掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.知識梳理知識梳理1．直線的傾斜角與斜率(1)直線的傾斜角①定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角；②規(guī)定：當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0；③范圍：直線的傾斜角α的取值范圍是[0，π)．(2)直線的斜率①定義：當(dāng)直線l的傾斜角α≠eq\f(π,2)時(shí)，其傾斜角α的正切值tanα叫做這條斜線的斜率，斜率通常用小寫字母k表示，即k＝tan_α；②斜率公式：經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).2．直線方程的五種形式名稱幾何條件方程適用條件斜截式縱截距、斜率y＝kx＋b與x軸不垂直的直線點(diǎn)斜式過一點(diǎn)、斜率y－y0＝k(x－x0)兩點(diǎn)式過兩點(diǎn)eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線截距式縱、橫截距eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不過原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直線3.線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式若點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，線段P1P2的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2)，))此公式為線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)公式．辨析感悟1．對直線的傾斜角與斜率的理解(1)坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率．(×)(2)過點(diǎn)M(a，b)，N(b，a)(a≠b)的直線的傾斜角是45°.(×)(3)(教材習(xí)題改編)若三點(diǎn)A(2,3)，B(a,1)，C(0,2)共線，則a的值為－2.(√)2．對直線的方程的認(rèn)識(4)經(jīng)過點(diǎn)P(x0，y0)的直線都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(×)(5)經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(√)(6)直線l過點(diǎn)P(1,2)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線l的方程為x＋y－3＝0.(×)[感悟·提升]1．直線的傾斜角與斜率的關(guān)系斜率k是一個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)傾斜角α≠90°時(shí)，k＝tanα.直線都有斜傾角，但并不是每條直線都存在斜率，傾斜角為90°的直線無斜率，如(1)．2．三個(gè)防范一是根據(jù)斜率求傾斜角，要注意傾斜角的范圍，如(2)；二是求直線方程時(shí)，若不能斷定直線是否具有斜率時(shí)，應(yīng)對斜率存在與不存在加以討論，如(4)；三是在用截距式時(shí)，應(yīng)先判斷截距是否為0，若不確定，則需分類討論，如(6).

考點(diǎn)一直線的傾斜角和斜率【例1】(1)直線xsinα＋y＋2＝0的傾斜角的取值范圍是()．A．[0，π) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))(2)若直線l與直線y＝1，x＝7分別交于點(diǎn)P，Q，且線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則直線l的斜率為 ()．A.eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3) C．－eq\f(3,2) D.eq\f(2,3)解析(1)設(shè)直線的傾斜角為θ，則有tanθ＝－sinα，其中sinα∈[－1,1]，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)≤θ<π.故選B.(2)依題意，設(shè)點(diǎn)P(a,1)，Q(7，b)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋7＝2，,b＋1＝－2，))解得a＝－5，b＝－3，從而可知直線l的斜率為eq\f(－3－1,7＋5)＝－eq\f(1,3).答案(1)B(2)B規(guī)律方法直線傾斜角的范圍是[0，π)，而這個(gè)區(qū)間不是正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，因此根據(jù)斜率求傾斜角的范圍時(shí)，要分eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))兩種情況討論．由正切函數(shù)圖象可以看出當(dāng)α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，斜率k∈[0，＋∞)；當(dāng)α＝eq\f(π,2)時(shí)，斜率不存在；當(dāng)α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))時(shí)，斜率k∈(－∞，0)．【訓(xùn)練1】經(jīng)過P(0，－1)作直線l，若直線l與連接A(1，－2)，B(2,1)的線段總有公共點(diǎn)，求直線l的傾斜角α的范圍．解法一如圖所示，kPA＝eq\f(－2－－1,1－0)＝－1，kPB＝eq\f(1－－1,2－0)＝1，由圖可觀察出：直線l傾斜角α的范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))).法二由題意知，直線l存在斜率．設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y＋1＝kx，即kx－y－1＝0.∵A，B兩點(diǎn)在直線的兩側(cè)或其中一點(diǎn)在直線l上．∴(k＋2－1)(2k－1－1)≤0，即2(k＋1)(k－1)≤0.∴－1≤k≤1.∴直線l的傾斜角α的范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))).考點(diǎn)二求直線的方程【例2】求適合下列條件的直線方程： (1)經(jīng)過點(diǎn)P(3,2)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等； (2)過點(diǎn)A(－1，－3)，斜率是直線y＝3x的斜率的－eq\f(1,4). (3)過點(diǎn)A(1，－1)與已知直線l1：2x＋y－6＝0相交于B點(diǎn)，且 |AB|＝5.解(1)法一設(shè)直線l在x，y軸上的截距均為a，若a＝0，即l過點(diǎn)(0,0)和(3,2)，∴l(xiāng)的方程為y＝eq\f(2,3)x，即2x－3y＝0.若a≠0，則設(shè)l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，∵l過點(diǎn)(3,2)，∴eq\f(3,a)＋eq\f(2,a)＝1，∴a＝5，∴l(xiāng)的方程為x＋y－5＝0，綜上可知，直線l的方程為2x－3y＝0或x＋y－5＝0.法二由題意，所求直線的斜率k存在且k≠0，設(shè)直線方程為y－2＝k(x－3)，令y＝0，得x＝3－eq\f(2,k)，令x＝0，得y＝2－3k，由已知3－eq\f(2,k)＝2－3k，解得k＝－1或k＝eq\f(2,3)，∴直線l的方程為y－2＝－(x－3)或y－2＝eq\f(2,3)(x－3)，即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.(2)設(shè)所求直線的斜率為k，依題意k＝－eq\f(1,4)×3＝－eq\f(3,4).又直線經(jīng)過點(diǎn)A(－1，－3)，因此所求直線方程為y＋3＝－eq\f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.(3)過點(diǎn)A(1，－1)與y軸平行的直線為x＝1.解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,2x＋y－6＝0，))求得B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)，此時(shí)|AB|＝5，即x＝1為所求．設(shè)過A(1，－1)且與y軸不平行的直線為y＋1＝k(x－1)，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－6＝0，,y＋1＝kx－1，))得兩直線交點(diǎn)為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k＋7,k＋2)，,y＝\f(4k－2,k＋2).))(k≠－2，否則與已知直線平行)則B點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k＋7,k＋2)，\f(4k－2,k＋2))).由已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k＋7,k＋2)－1))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4k－2,k＋2)＋1))2＝52，解得k＝－eq\f(3,4)，∴y＋1＝－eq\f(3,4)(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.綜上可知，所求直線的方程為x＝1或3x＋4y＋1＝0.規(guī)律方法在求直線方程時(shí)，應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，并注意各種形式的適用條件，用斜截式及點(diǎn)斜式時(shí)，直線的斜率必須存在，而兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過原點(diǎn)的直線，故在解題時(shí)，若采用截距式，應(yīng)注意分類討論，判斷截距是否為零；若采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況．【訓(xùn)練2】△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：(1)BC所在直線的方程；(2)BC邊上中線AD所在直線的方程；(3)BC邊的垂直平分線DE的方程．解(1)因?yàn)橹本€BC經(jīng)過B(2,1)和C(－2,3)兩點(diǎn)，由兩點(diǎn)式得BC的方程為eq\f(y－1,3－1)＝eq\f(x－2,－2－2)，即x＋2y－4＝0.(2)設(shè)BC中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則x＝eq\f(2－2,2)＝0，y＝eq\f(1＋3,2)＝2.BC邊的中線AD過A(－3,0)，D(0,2)兩點(diǎn)，由截距式得AD所在直線方程為eq\f(x,－3)＋eq\f(y,2)＝1，即2x－3y＋6＝0.(3)BC的斜率k1＝－eq\f(1,2)，則BC的垂直平分線DE的斜率k2＝2，由點(diǎn)斜式得直線DE的方程為y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.考點(diǎn)三直線方程的綜合應(yīng)用【例3】已知直線l過點(diǎn)P(3,2)，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，如右圖所示，求△ABO的面積的最小值及此時(shí)直線l的方程．審題路線根據(jù)截距式設(shè)所求直線l的方程?把點(diǎn)P代入，找出截距的關(guān)系式?運(yùn)用基本不等式求S△ABO?運(yùn)用取等號的條件求出截距?得出直線l的方程．解設(shè)A(a,0)，B(0，b)，(a＞0，b＞0)，則直線l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，∵l過點(diǎn)P(3,2)，∴eq\f(3,a)＋eq\f(2,b)＝1.∴1＝eq\f(3,a)＋eq\f(2,b)≥2eq\r(\f(6,ab))，即ab≥24.∴S△ABO＝eq\f(1,2)ab≥12.當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(3,a)＝eq\f(2,b)，即a＝6，b＝4.△ABO的面積最小，最小值為12.此時(shí)直線l的方程為：eq\f(x,6)＋eq\f(y,4)＝1.即2x＋3y－12＝0.規(guī)律方法(1)與函數(shù)相結(jié)合的問題：解決這類問題，一般是利用直線方程中的x，y的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(或y)的某函數(shù)，借助函數(shù)的性質(zhì)解決；(2)與方程、不等式相結(jié)合的問題：一般是利用方程、不等式的有關(guān)知識(如方程解的個(gè)數(shù)、根的存在問題，不等式的性質(zhì)、基本不等式等)來解決．【訓(xùn)練3】在例3的條件下，求直線l在兩軸上的截距之和最小時(shí)直線l的方程．解設(shè)l的斜率為k(k＜0)，則l的方程為y＝k(x－3)＋2，令x＝0，得B(0,2－3k)，令y＝0，得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(2,k)，0))，∴l(xiāng)在兩軸上的截距之和為2－3k＋3－eq\f(2,k)＝5＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－3k＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,k)))))≥5＋2eq\r(6)，當(dāng)且僅當(dāng)k＝－eq\f(\r(6),3)時(shí)，等號成立．∴k＝－eq\f(\r(6),3)時(shí)，l在兩軸上截距之和最小，此時(shí)l的方程為eq\r(6)x＋3y－3eq\r(6)－6＝0.

1．求斜率可用k＝tanα(α≠90°)，其中α為傾斜角，由此可見傾斜角與斜率相互聯(lián)系不可分割，牢記：“斜率變化分兩段，90°是分界，遇到斜率要謹(jǐn)記，存在與否需討論”．2．求直線方程中一種重要的方法就是先設(shè)直線方程，再求直線方程中的系數(shù)，這種方法叫待定系數(shù)法．思想方法9——分類討論思想在求直線方程中的應(yīng)用【典例】在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝1，AB、AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，A點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合．將矩形折疊，使A點(diǎn)落在線段DC上．若折痕所在直線的斜率為k，試寫出折痕所在直線的方程．解(1)當(dāng)k＝0時(shí)，此時(shí)A點(diǎn)與D點(diǎn)重合，折痕所在的直線方程為y＝eq\f(1,2).(2)當(dāng)k≠0時(shí)，將矩形折疊后A點(diǎn)落在線段CD上的點(diǎn)為G(a,1)．所以A與G關(guān)于折痕所在的直線對稱，有kAG·k＝－1，eq\f(1,a)k＝－1?a＝－k.故G點(diǎn)坐標(biāo)為G(－k,1)，從而折痕所在的直線與AG的交點(diǎn)坐標(biāo)(線段AG的中點(diǎn))為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(k,2)，\f(1,2))).折痕所在的直線方程為y－eq\f(1,2)＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(k,2)))，即y＝kx＋eq\f(k2,2)＋eq\f(1,2).∴k＝0時(shí)，y＝eq\f(1,2)；k≠0時(shí)，y＝kx＋eq\f(k2,2)＋eq\f(1,2).[反思感悟](1)求直線方程時(shí)，要考慮對斜率是否存在、截距相等時(shí)是否為零以及相關(guān)位置關(guān)系進(jìn)行分類討論．(2)本題需對斜率k為0和不為0進(jìn)行分類討論，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略斜率不存在的情況．【自主體驗(yàn)】1．若直線過點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(3,2)))且被圓x2＋y2＝25截得的弦長是8，則該直線的方程為 ()． A．3x＋4y＋15＝0 B．x＝－3或y＝－eq\f(3,2) C．x＝－3 D．x＝－3或3x＋4y＋15＝0解析若直線的斜率不存在，則該直線的方程為x＝－3，代入圓的方程解得y＝±4，故該直線被圓截得的弦長為8，滿足條件；若直線的斜率存在，不妨設(shè)直線的方程為y＋eq\f(3,2)＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－eq\f(3,2)＝0，因?yàn)樵撝本€被圓截得的弦長為8，故半弦長為4.又圓的半徑為5，則圓心(0,0)到直線的距離為eq\r(52－42)＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3k－\f(3,2))),\r(k2＋1))，解得k＝－eq\f(3,4)，此時(shí)該直線的方程為3x＋4y＋15＝0.答案D2．已知兩點(diǎn)A(－1,2)，B(m,3)，則直線AB的方程為________．解析當(dāng)m＝－1時(shí)，直線AB的方程為x＝－1，當(dāng)m≠－1時(shí)，直線AB的方程為y－2＝eq\f(1,m＋1)(x＋1)，即y＝eq\f(1,m＋1)x＋eq\f(1,m＋1)＋2.答案x＝－1或y＝eq\f(1,m＋1)x＋eq\f(1,m＋1)＋2基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．直線eq\r(3)x－y＋a＝0(a為常數(shù))的傾斜角為()．A．30°B．60°C．150°D．120°解析直線的斜率為k＝tanα＝eq\r(3)，又因?yàn)棣痢蔥0，π)，所以α＝60°.答案B2．已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(－2,5)，且斜率為－eq\f(3,4).則直線l的方程為()．A．3x＋4y－14＝0B．3x－4y＋14＝0C．4x＋3y－14＝0D．4x－3y＋14＝0解析由點(diǎn)斜式，得y－5＝－eq\f(3,4)(x＋2)，即3x＋4y－14＝0.答案A3．若直線(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在xA．1B．2C．－eq\f(1,2)D．2或－eq\f(1,2)解析由題意可知2m2＋m－3≠0，即m≠1且m≠－eq\f(3,2)，在x軸上截距為eq\f(4m－1,2m2＋m－3)＝1，即2m2－3m－2＝0，解得m＝2或－eq\f(1,2).答案D4．(·佛山調(diào)研)直線ax＋by＋c＝0同時(shí)要經(jīng)過第一、第二、第四象限，則a，b，c應(yīng)滿足()．A．a(chǎn)b>0，bc<0B．a(chǎn)b>0，bc>0C．a(chǎn)b<0，bc>0D．a(chǎn)b<0，bc<0解析由題意，令x＝0，y＝－eq\f(c,b)>0；令y＝0，x＝－eq\f(c,a)>0.即bc<0，ac<0，從而ab＞0.答案A5．(·鄭州模擬)直線l經(jīng)過點(diǎn)A(1,2)，在x軸上的截距的取值范圍是(－3,3)，則其斜率的取值范圍是()．A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,5)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，＋∞))C．(－∞，1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞))D．(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析設(shè)直線的斜率為k，如圖，過定點(diǎn)A的直線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，直線l在x軸上的截距為3，此時(shí)k＝－1；過定點(diǎn)A的直線經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，直線l在x軸的截距為－3，此時(shí)k＝eq\f(1,2)，滿足條件的直線l的斜率范圍是(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).答案D二、填空題6．(·長春模擬)若點(diǎn)A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三點(diǎn)共線，則a的值為________．解析∵kAC＝eq\f(5－3,6－4)＝1，kAB＝eq\f(a－3,5－4)＝a－3.由于A，B，C三點(diǎn)共線，所以a－3＝1，即a＝4.答案47．(·溫州模擬)直線3x－4y＋k＝0在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為2，則實(shí)數(shù)k＝________.解析令x＝0，得y＝eq\f(k,4)；令y＝0，得x＝－eq\f(k,3).則有eq\f(k,4)－eq\f(k,3)＝2，所以k＝－24.答案－248．一條直線經(jīng)過點(diǎn)A(－2,2)，并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1，則此直線的方程為________．解析設(shè)所求直線的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，∵A(－2,2)在直線上，∴－eq\f(2,a)＋eq\f(2,b)＝1.①又因直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1，∴eq\f(1,2)|a|·|b|＝1.②由①②可得(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝1，,ab＝2))或(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝－1，,ab＝－2.))由(1)解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2，))方程組(2)無解．故所求的直線方程為eq\f(x,2)＋eq\f(y,1)＝1或eq\f(x,－1)＋eq\f(y,－2)＝1，即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0為所求直線的方程．答案x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0三、解答題9．(·臨沂月考)設(shè)直線l的方程為(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求l的方程；(2)若l不經(jīng)過第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解(1)當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，該直線在x軸和y軸上的截距為0，當(dāng)然相等．∴a＝2，方程即為3x＋y＝0.當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，由截距存在且均不為0，得eq\f(a－2,a＋1)＝a－2，即a＋1＝1，∴a＝0，方程即為x＋y＋2＝0.綜上，l的方程為3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.(2)將l的方程化為y＝－(a＋1)x＋a－2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＋1＞0，,a－2≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＋1＝0，,a－2≤0.))∴a≤－1.綜上可知a的取值范圍是(－∞，－1]．10．已知直線l過點(diǎn)M(2,1)，且分別與x軸、y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，是否存在使△ABO面積最小的直線l？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．解存在．理由如下：設(shè)直線l的方程為y－1＝k(x－2)(k＜0)，則Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,k)，0))，B(0,1－2k)，△AOB的面積S＝eq\f(1,2)(1－2k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,k)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4＋－4k＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)))))≥eq\f(1,2)(4＋4)＝4.當(dāng)且僅當(dāng)－4k＝－eq\f(1,k)，即k＝－eq\f(1,2)時(shí)，等號成立，故直線l的方程為y－1＝－eq\f(1,2)(x－2)，即x＋2y－4＝0.能力提升題組(建議用時(shí)：25分鐘)一、選擇題1．(·北京海淀一模)已知點(diǎn)A(－1,0)，B(cosα，sinα)，且|AB|＝eq\r(3)，則直線AB的方程為()．A．y＝eq\r(3)x＋eq\r(3)或y＝－eq\r(3)x－eq\r(3)B．y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(\r(3),3)或y＝－eq\f(\r(3),3)x－eq\f(\r(3),3)C．y＝x＋1或y＝－x－1D．y＝eq\r(2)x＋eq\r(2)或y＝－eq\r(2)x－eq\r(2)解析|AB|＝eq\r(cosα＋12＋sin2α)＝eq\r(2＋2cosα)＝eq\r(3)，所以cosα＝eq\f(1,2)，sinα＝±eq\f(\r(3),2)，所以kAB＝±eq\f(\r(3),3)，即直線AB的方程為y＝±eq\f(\r(3),3)(x＋1)，所以直線AB的方程為y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(\r(3),3)或y＝－eq\f(\r(3),3)x－eq\f(\r(3),3).答案B2．若直線l：y＝kx－eq\r(3)與直線2x＋3y－6＝0的交點(diǎn)位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是()．A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))解析如圖，直線l：y＝kx－eq\r(3)，過定點(diǎn)P(0，－eq\r(3))，又A(3,0)，∴kPA＝eq\f(\r(3),3)，則直線PA的傾斜角為eq\f(π,6)，滿足條件的直線l的傾斜角的范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2))).答案B二、填空題3．已知直線x＋2y＝2分別與x軸、y軸相交于A，B兩點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P(a，b)在線段AB上，則ab的最大值為________．解析直線方程可化為eq\f(x,2)＋y＝1，故直線與x軸的交點(diǎn)為A(2,0)，與y軸的交點(diǎn)為B(0,1)，由動(dòng)點(diǎn)P(a，b)在線段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，從而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(1,2)))2＋eq\f(1,2)，由于0≤b≤1，故當(dāng)b＝eq\f(1,2)時(shí)，ab取得最大值eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)三、解答題4.如圖，射線OA，OB分別與x軸正半軸成45°和30°角，過點(diǎn)P(1,0)作直線AB分別交OA，OB于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)AB的中點(diǎn)C恰好落在直線y＝eq\f(1,2)x上時(shí)，求直線AB的方程．解由題意可得kOA＝tan45°＝1，kOB＝tan(180°－30°)＝－eq\f(\r(3),3)，所以直線lOA：y＝x，lOB：y＝－eq\f(\r(3),3)x，設(shè)A(m，m)，B(－eq\r(3)n，n)，所以AB的中點(diǎn)Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m－\r(3)n,2)，\f(m＋n,2)))，由點(diǎn)C在y＝eq\f(1,2)x上，且A，P，B三點(diǎn)共線得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m＋n,2)＝\f(1,2)·\f(m－\r(3)n,2)，,\f(m－0,m－1)＝\f(n－0,－\r(3)n－1)，))解得m＝eq\r(3)，所以A(eq\r(3)，eq\r(3))．又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝eq\f(\r(3),\r(3)－1)＝eq\f(3＋\r(3),2)，所以lAB：y＝eq\f(3＋\r(3),2)(x－1)，即直線AB的方程為(3＋eq\r(3))x－2y－3－eq\r(3)＝0.第2講兩條直線的位置關(guān)系[最新考綱]1．能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直．2．能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．3．掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離.知識梳理知識梳理1．兩直線平行與垂直(1)兩條直線平行對于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.特別地，當(dāng)直線l1，l2的斜率都不存在時(shí)，l1與l2的關(guān)系為平行．(2)兩條直線垂直如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則l1⊥l2?k1k2＝－1，當(dāng)一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在時(shí)，兩條直線垂直．2．兩直線的交點(diǎn)直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共點(diǎn)的坐標(biāo)與方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一一對應(yīng)．相交?方程組有唯一解，交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解；平行?方程組無解；重合?方程組有無數(shù)個(gè)解．3．距離公式(1)兩點(diǎn)間的距離公式平面上任意兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式為|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).特別地，原點(diǎn)O(0,0)與任一點(diǎn)P(x，y)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).(2)點(diǎn)到直線的距離公式平面上任意一點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)的距離為d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).可以驗(yàn)證，當(dāng)A＝0或B＝0時(shí)，上式仍成立．(3)兩條平行線間的距離公式一般地，兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(其中A，B不同時(shí)為0，且C1≠C2)間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).辨析感悟1．對兩條直線平行與垂直的理解(1)當(dāng)直線l1和l2的斜率都存在時(shí)，一定有k1＝k2?l1∥l2.(×)(2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1.(×)(3)(·天津卷改編)已知過點(diǎn)P(2,2)斜率為－eq\f(1,2)的直線且與直線ax－y＋1＝0垂直，則a＝2. (√)2．對距離公式的理解(4)點(diǎn)P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離為eq\f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)). (×)(5)直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離．(√)(6)(教材習(xí)題改編)兩平行直線2x－y＋1＝0,4x－2y＋1＝0間的距離是0.(×)[感悟·提升]三個(gè)防范一是在判斷兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，首先應(yīng)分析直線的斜率是否存在．兩條直線都有斜率，可根據(jù)判定定理判斷，若直線無斜率時(shí)，要單獨(dú)考慮．如(2)中忽視了斜率不存在的情況；二是求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，若給出的直線不是一般式，則應(yīng)化為一般式，如(4)；三是求兩平行線之間的距離時(shí)，應(yīng)先將方程化為一般式，且x，y的系數(shù)對應(yīng)相同，如(6).

考點(diǎn)一兩條直線平行與垂直【例1】已知直線l1：ax＋2y＋6＝0和直線l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.(1)試判斷l(xiāng)1與l2是否平行；(2)l1⊥l2時(shí)，求a的值．解(1)法一當(dāng)a＝1時(shí)，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；當(dāng)a＝0時(shí)，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；當(dāng)a≠1且a≠0時(shí)，兩直線可化為l1：y＝－eq\f(a,2)x－3，l2：y＝eq\f(1,1－a)x－(a＋1)，l1∥l2?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)＝\f(1,1－a)，,－3≠－a＋1，))解得a＝－1，綜上可知，a＝－1時(shí)，l1∥l2，否則l1與l2不平行．法二由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，由A1C2－A2C1≠0，得a(a∴l(xiāng)1∥l2?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa－1－1×2＝0，,aa2－1－1×6≠0，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－a－2＝0，,aa2－1≠6))?a＝－1，故當(dāng)a＝－1時(shí)，l1∥l2，否則l1與l2不平行．(2)法一當(dāng)a＝1時(shí)，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1與l2不垂直，故a＝1不成立；當(dāng)a＝0時(shí)，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2；當(dāng)a≠1且a≠0時(shí)，l1：y＝－eq\f(a,2)x－3，l2：y＝eq\f(1,1－a)x－(a＋1)，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))·eq\f(1,1－a)＝－1?a＝eq\f(2,3).法二由A1A2＋B1B2＝0得a＋2(a－1)＝0?a＝eq\f(2,3).規(guī)律方法(1)當(dāng)直線的方程中存在字母參數(shù)時(shí)，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況．同時(shí)還要注意x，y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件．(2)在判斷兩直線的平行、垂直時(shí)，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論．【訓(xùn)練1】(·長沙模擬)已知過點(diǎn)A(－2，m)和點(diǎn)B(m,4)的直線為l1，直線2x＋y－1＝0為l2，直線x＋ny＋1＝0為l3.若l1∥l2，l2⊥l3，則實(shí)數(shù)m＋n的值為()．A．－10B．－2C．0解析∵l1∥l2，∴kAB＝eq\f(4－m,m＋2)＝－2，解得m＝－8，又∵l2⊥l3，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,n)))×(－2)＝－1，解得n＝－2，∴m＋n＝－10.答案A考點(diǎn)二兩條直線的交點(diǎn)問題【例2】求經(jīng)過直線l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交點(diǎn)，且垂直于直線l3：3x－5y＋6＝0的直線l的方程．解法一先解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2y－1＝0，,5x＋2y＋1＝0，))得l1，l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－1,2)，再由l3的斜率eq\f(3,5)求出l的斜率為－eq\f(5,3)，于是由直線的點(diǎn)斜式方程求出l：y－2＝－eq\f(5,3)(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.法二由于l⊥l3，故l是直線系5x＋3y＋C＝0中的一條，而l過l1，l2的交點(diǎn)(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1，故l的方程為5x＋3y－1＝0.法三由于l過l1，l2的交點(diǎn)，故l是直線系3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0中的一條，將其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0.其斜率－eq\f(3＋5λ,2＋2λ)＝－eq\f(5,3)，解得λ＝eq\f(1,5)，代入直線系方程即得l的方程為5x＋3y－1＝0.規(guī)律方法運(yùn)用直線系方程，有時(shí)會(huì)給解題帶來方便，常見的直線系方程有：(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m≠C)；(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋m＝0；(3)過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中λ∈R，此直線系不包括l2)．【訓(xùn)練2】直線l被兩條直線l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的線段的中點(diǎn)為P(－1,2)，求直線l的方程．解法一設(shè)直線l與l1的交點(diǎn)為A(x0，y0)，由已知條件，得直線l與l2的交點(diǎn)為B(－2－x0,4－y0)，并且滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x0＋y0＋3＝0，,3－2－x0－54－y0－5＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x0＋y0＋3＝0，,3x0－5y0＋31＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－2，,y0＝5，))因此直線l的方程為eq\f(y－2,5－2)＝eq\f(x－－1,－2－－1)，即3x＋y＋1＝0.法二設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx－y＋k＋2＝0，,4x＋y＋3＝0，))得x＝eq\f(－k－5,k＋4).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx－y＋k＋2＝0，,3x－5y－5＝0，))得x＝eq\f(－5k－15,5k－3).則eq\f(－k－5,k＋4)＋eq\f(－5k－15,5k－3)＝－2，解得k＝－3.因此直線l的方程為y－2＝－3(x＋1)，即3x＋y＋1＝0.考點(diǎn)三距離公式的應(yīng)用【例3】已知三條直線：l1：2x－y＋a＝0(a＞0)；l2：－4x＋2y＋ 1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1與l2間的距離是eq\f(7\r(5),10).(1)求a的值；(2)能否找到一點(diǎn)P，使P同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①點(diǎn)P在第一象限；②點(diǎn)P到l1的距離是點(diǎn)P到l2的距離的eq\f(1,2)；③點(diǎn)P到l1的距離與點(diǎn)P到l3的距離之比是eq\r(2)∶eq\r(5).若能，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，說明理由．解(1)直線l2：2x－y－eq\f(1,2)＝0，所以兩條平行線l1與l2間的距離為d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))),\r(22＋－12))＝eq\f(7\r(5),10)，所以eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2))),\r(5))＝eq\f(7\r(5),10)，即eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))＝eq\f(7,2)，又a＞0，解得a＝3.(2)假設(shè)存在點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，若P點(diǎn)滿足條件②，則P點(diǎn)在與l1，l2平行的直線l′：2x－y＋c＝0上，且eq\f(|c－3|,\r(5))＝eq\f(1,2)eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,2))),\r(5))，即c＝eq\f(13,2)或eq\f(11,6)，所以2x0－y0＋eq\f(13,2)＝0或2x0－y0＋eq\f(11,6)＝0；若P點(diǎn)滿足條件③，由點(diǎn)到直線的距離公式，有eq\f(|2x0－y0＋3|,\r(5))＝eq\f(\r(2),\r(5))eq\f(|x0＋y0－1|,\r(2))，即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；由于P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能．聯(lián)立方程2x0－y0＋eq\f(13,2)＝0和x0－2y0＋4＝0，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－3，,y0＝\f(1,2)；舍去))聯(lián)立方程2x0－y0＋eq\f(11,6)＝0和x0－2y0＋4＝0，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(1,9)，,y0＝\f(37,18).))所以存在Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，\f(37,18)))同時(shí)滿足三個(gè)條件．規(guī)律方法(1)在應(yīng)用兩條平行直線間的距離公式時(shí)．要注意兩直線方程中x，y的系數(shù)必須對應(yīng)相同．(2)第(2)問是開放探索性問題，要注意解決此類問題的一般策略．【訓(xùn)練3】(1)已知直線l過點(diǎn)P(3,4)且與點(diǎn)A(－2,2)，B(4，－2)等距離，則直線l的方程為()．A．2x＋3y－18＝0B．2x－y－2＝0C．3x－2y＋18＝0或x＋2y＋2＝0D．2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0(2)已知兩條平行直線，l1：mx＋8y＋n＝0與l2：2x＋my－1＝0間的距離為eq\r(5)，則直線l1的方程為________．解析(1)由題意可知所求直線斜率存在，故設(shè)所求直線方程為y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，由已知，得eq\f(|－2k－2＋4－3k|,\r(1＋k2))＝eq\f(|4k＋2＋4－3k|,\r(1＋k2))，∴k＝2或－eq\f(2,3).∴所求直線l的方程為2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.(2)∵l1∥l2，∴eq\f(m,2)＝eq\f(8,m)≠eq\f(n,－1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝4，,n≠－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－4，,n≠2.))①當(dāng)m＝4時(shí)，直線l1的方程為4x＋8y＋n＝0，把l2的方程寫成4x＋8y－2＝0，∴eq\f(|n＋2|,\r(16＋64))＝eq\r(5)，解得n＝－22或18.故所求直線的方程為2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0.②當(dāng)m＝－4時(shí)，直線l1的方程為4x－8y－n＝0，l2的方程為4x－8y－2＝0，∴eq\f(|－n＋2|,\r(16＋64))＝eq\r(5)，解得n＝－18或22.故所求直線的方程為2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0.答案(1)D(2)2x±4y＋9＝0或2x±4y－11＝0兩直線的位置關(guān)系要考慮平行、垂直和重合．對于斜率都存在且不重合的兩條直線l1，l2，l1∥l2?k1＝k2；l1⊥l2?k1·k2＝－1.．若有一條直線的斜率不存在，那么另一條直線的斜率一定要特別注意思想方法10——對稱變換思想的應(yīng)用【典例】已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2)．求：(1)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)；(2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程；(3)直線l關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)對稱的直線l′的方程．解(1)設(shè)A′(x，y)，再由已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,x＋1)·\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13).))∴A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))).(2)在直線m上取一點(diǎn)，如M(2,0)，則M(2,0)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)必在m′上．設(shè)對稱點(diǎn)為M′(a，b)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2,2)))－3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋0,2)))＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1.))解得M′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,13)，\f(30,13))).設(shè)m與l的交點(diǎn)為N，則由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4,3)．又∵m′經(jīng)過點(diǎn)N(4,3)，∴由兩點(diǎn)式得直線方程為9x－46y＋102＝0.(3)設(shè)P(x，y)為l′上任意一點(diǎn)，則P(x，y)關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)的對稱點(diǎn)為P′(－2－x，－4－y)，∵P′在直線l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.[反思感悟](1)解決點(diǎn)關(guān)于直線對稱問題要把握兩點(diǎn)：點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于直線l對稱，則線段MN的中點(diǎn)在直線l上，直線l與直線MN垂直．(2)如果是直線或點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對稱問題，則只需運(yùn)用中點(diǎn)公式就可解決問題．(3)若直線l1，l2關(guān)于直線l對稱，則有如下性質(zhì)：①若直線l1與l2相交，則交點(diǎn)在直線l上；②若點(diǎn)B在直線l1上，則其關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′在直線l2上．【自主體驗(yàn)】(·湖南卷)在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，點(diǎn)P是邊AB上異于A，B的一點(diǎn)．光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到點(diǎn)P(如圖)．若光線QR經(jīng)過△ABC的重心，則AP等于()．A．2 B．1C.eq\f(8,3) D.eq\f(4,3)解析以AB、AC所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)，得△ABC的重心Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)))，設(shè)AP＝x，從而P(x,0)，x∈(0,4)，由光的幾何性質(zhì)可知點(diǎn)P關(guān)于直線BC、AC的對稱點(diǎn)P1(4,4－x)，P2(－x,0)與△ABC的重心Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)))共線，所以eq\f(\f(4,3),\f(4,3)＋x)＝eq\f(\f(4,3)－4－x,\f(4,3)－4)，求得x＝eq\f(4,3).答案D基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．直線l過點(diǎn)(－1,2)且與直線2x－3y＋4＝0垂直，則l的方程是()．A．3x＋2y－1＝0B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0D．2x－3y＋8＝0解析由題意知，直線l的斜率是－eq\f(3,2)，因此直線l的方程為y－2＝－eq\f(3,2)(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.答案A2．(·濟(jì)南模擬)已知兩條直線l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，則a＝()．A．－1B．2C．0或－2D．－1或2解析若a＝0，兩直線方程分別為－x＋2y＋1＝0和x＝－3，此時(shí)兩直線相交，不平行，所以a≠0；當(dāng)a≠0時(shí)，兩直線若平行，則有eq\f(a－1,1)＝eq\f(2,a)≠eq\f(1,3)，解得a＝－1或2.答案D3．已知直線l1的方程為3x＋4y－7＝0，直線l2的方程為6x＋8y＋1＝0，則直線l1與l2的距離為()．A.eq\f(8,5)B.eq\f(3,2)C．4D．8解析∵直線l1的方程為3x＋4y－7＝0，直線l2的方程為6x＋8y＋1＝0，即3x＋4y＋eq\f(1,2)＝0，∴直線l1與l2的距離為eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋7)),\r(32＋42))＝eq\f(3,2).答案B4．(·金華調(diào)研)當(dāng)0<k<eq\f(1,2)時(shí)，直線l1：kx－y＝k－1與直線l2：ky－x＝2k的交點(diǎn)在()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限解析解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx－y＝k－1，,ky－x＝2k))得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,k－1)，\f(2k－1,k－1)))，因?yàn)?<k<eq\f(1,2)，所以eq\f(k,k－1)<0，eq\f(2k－1,k－1)>0，故交點(diǎn)在第二象限．答案B5．若直線l1：y＝k(x－4)與直線l2關(guān)于點(diǎn)(2,1)對稱，則直線l2經(jīng)過定點(diǎn)()．A．(0,4)B．(0,2)C．(－2,4)D．(4，－2)解析直線l1：y＝k(x－4)經(jīng)過定點(diǎn)(4,0)，其關(guān)于點(diǎn)(2,1)對稱的點(diǎn)為(0,2)，又直線l1：y＝k(x－4)與直線l2關(guān)于點(diǎn)(2,1)對稱，故直線l2經(jīng)過定點(diǎn)(0,2)．答案B二、填空題6．若三條直線y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一點(diǎn)，則m的值為________．解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,x＋y＝3))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2.))∴點(diǎn)(1,2)滿足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，∴m＝－9.答案－97．設(shè)a、b、c分別是△ABC中∠A、∠B、∠C所對邊的邊長，則直線xsinA＋ay＋c＝0與bx－ysinB＋sinC＝0的位置關(guān)系是________．解析由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得bsinA－asinB＝0.∴兩直線垂直．答案垂直8．若直線m被兩平行線l1：x－y＋1＝0與l2：x－y＋3＝0所截得的線段的長為2eq\r(2)，則m的傾斜角可以是：①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°.其中正確答案的序號是________．解析很明顯直線l1∥l2，直線l1，l2間的距離為d＝eq\f(|1－3|,\r(2))＝eq\r(2)，設(shè)直線m與直線l1，l2分別相交于點(diǎn)B，A，則|AB|＝2eq\r(2)，過點(diǎn)A作直線l垂直于直線l1，垂足為C，則|AC|＝d＝eq\r(2)，則在Rt△ABC中，sin∠ABC＝eq\f(|AC|,|AB|)＝eq\f(\r(2),2\r(2))＝eq\f(1,2)，所以∠ABC＝30°，又直線l1的傾斜角為45°，所以直線m的傾斜角為45°＋30°＝75°或45°－30°＝15°.答案①⑤三、解答題9．已知直線l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m(1)l1與l2相交；(2)l1⊥l2；(3)l1∥l2；(4)l1，l2重合．解(1)由已知1×3≠m(m－2)，即m2－2m解得m≠－1且m≠3.故當(dāng)m≠－1且m≠3時(shí)，l1與l2相交．(2)當(dāng)1·(m－2)＋m·3＝0，即m＝eq\f(1,2)時(shí)，l1⊥l2.(3)當(dāng)1×3＝m(m－2)且1×2m≠6×(m－2)或m×2m≠3×6，即m＝－1時(shí)，l1∥l(4)當(dāng)1×3＝m(m－2)且1×2m＝6×(m－2)，即m＝3時(shí)，l1與l210．求過直線l1：x－2y＋3＝0與直線l2：2x＋3y－8＝0的交點(diǎn)，且到點(diǎn)P(0,4)的距離為2的直線方程．解由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋3＝0，,2x＋3y－8＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))∴l(xiāng)1，l2的交點(diǎn)為(1,2)，設(shè)所求直線方程為y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，∵P(0,4)到直線的距離為2，∴2＝eq\f(|－2－k|,\r(1＋k2))，解得k＝0或eq\f(4,3).∴直線方程為y＝2或4x－3y＋2＝0.能力提升題組(建議用時(shí)：25分鐘)一、選擇題1．設(shè)兩條直線的方程分別為x＋y＋a＝0和x＋y＋b＝0，已知a，b是關(guān)于x的方程x2＋x＋c＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且0≤c≤eq\f(1,8)，則這兩條直線之間的距離的最大值和最小值分別為()．A.eq\f(\r(2),4)，eq\f(1,2)B.eq\r(2)，eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)，eq\f(1,2)D.eq\f(\r(2),2)，eq\f(1,2)解析∵d＝eq\f(|a－b|,\r(2))，a＋b＝－1，ab＝c，又|a－b|＝eq\r(1－4c)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))，從而dmax＝eq\f(\r(2),2)，dmin＝eq\f(1,2).答案D2．(·武漢調(diào)研)已知A，B兩點(diǎn)分別在兩條互相垂直的直線2x－y＝0與x＋ay＝0上，且AB線段的中點(diǎn)為Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(10,a)))，則線段AB的長為()．A．11B．10C．9D．8解析由兩直線垂直，得－eq\f(1,a)·2＝－1，解得a＝2.所以中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,5)．則OP＝5，在直角三角形中斜邊的長度AB＝2OP＝2×5＝10，所以線段AB的長為10.答案B二、填空題3．已知0＜k＜4，直線l1：kx－2y－2k＋8＝0和直線l2：2x＋k2y－4k2－4＝0與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，則使得這個(gè)四邊形面積最小的k值為________．解析由題意知直線l1，l2恒過定點(diǎn)P(2,4)，直線l1的縱截距為4－k，直線l2的橫截距為2k2＋2，如圖，所以四邊形的面積S＝2k2×2＋(4－k＋4)×2×eq\f(1,2)＝4k2－k＋8，故面積最小時(shí)，k＝eq\f(1,8).答案eq\f(1,8)三、解答題4．(1)在直線l：3x－y－1＝0上求一點(diǎn)P，使得P到A(4,1)和B(0,4)的距離之差最大；(2)在直線l：3x－y－1＝0上求一點(diǎn)Q，使得Q到A(4,1)和C(3,4)的距離之和最?。畧D1圖1解(1)如圖1，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于l的對稱點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(a，b)，直線l的斜率為k1，則k1·kBB′＝－1.即3·eq\f(b－4,a)＝－1.∴a＋3b－12＝0.①又由于線段BB′的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(b＋4,2)))，且在直線l上，∴3×eq\f(a,2)－eq\f(b＋4,2)－1＝0.即3a－b－6＝0.②解①②得a＝3，b＝3，∴B′(3,3)．于是AB′的方程為eq\f(y－1,3－1)＝eq\f(x－4,3－4)，即2x＋y－9＝0.解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－1＝0，,2x＋y－9＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝5，))即l與AB′的交點(diǎn)坐標(biāo)為P(2,5)．(2)如圖2，設(shè)C關(guān)于l的對稱點(diǎn)為C′，求出C′的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(24,5))).∴AC′所在直線的方程為19x＋17y－93＝0，AC′和l交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,7)，\f(26,7)))，圖2故Q點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,7)，\f(26,7))).

第3講圓的方程[最新考綱]1．掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程．2．初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題.知識梳理1．圓的定義和圓的方程定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡叫做圓方程標(biāo)準(zhǔn)(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圓心C(a，b)半徑為r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0充要條件：D2＋E2－4F圓心坐標(biāo)：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半徑r＝2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系(1)確定方法：比較點(diǎn)與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系．(2)三種關(guān)系：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點(diǎn)M(x0，y0)．①(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?點(diǎn)在圓上；②(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?點(diǎn)在圓外；③(x0－a)2＋(y0－b)2<r2?點(diǎn)在圓內(nèi)．辨析感悟1．對圓的方程的理解(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑．(√)(2)方程x2＋y2＝a2表示半徑為a的圓．(×)(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m(4)(·江西卷改編)若圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)(4,0)且與直線y＝1相切，則圓C的方程是(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(3,2)))2＝eq\f(25,4). (√)2．對點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的認(rèn)識(5)若點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，則xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F＞0.(√)(6)已知圓的方程為x2＋y2－2y＝0，過點(diǎn)A(1,2)作該圓的切線只有一條．(×)[感悟·提升]1．一個(gè)性質(zhì)圓心在任一弦的中垂線上，如(4)中可設(shè)圓心為(2，b)．2．三個(gè)防范一是含字母的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中注意字母的正負(fù)號，如(2)中半徑應(yīng)為|a|；二是注意一個(gè)二元二次方程表示圓時(shí)的充要條件，如(3)；三是過一定點(diǎn)，求圓的切線時(shí)，首先判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．若點(diǎn)在圓外，有兩個(gè)結(jié)果，若只求出一個(gè)，應(yīng)該考慮切線斜率不存在的情況，如(6).考點(diǎn)一求圓的方程【例1】根據(jù)下列條件，求圓的方程．(1)求過P(4，－2)，Q(－1,3)兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線段長為4eq\r(3)的圓的方程．(2)已知圓的半徑為eq\r(10)，圓心在直線y＝2x上，圓被直線x－y＝0截得的弦長為4eq\r(2).解(1)設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．將P，Q點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入①得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4D－2E＋F＝－20，②,D－3E－F＝10，③))令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0.④由已知|y1－y2|＝4eq\r(3)，其中y1，y2是方程④的兩根，所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.解②、③、⑤組成的方程組得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝0，,F＝－12))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－10，,E＝－8，,F＝4.))故所求圓的方程為x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.(2)法一設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝10.由圓心在直線y＝2x上，得b＝2a.由圓在直線x－y＝0上截得的弦長為4eq\r(2)，將y＝x代入(x－a)2＋(y－b)2＝10，整理得2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0.由弦長公式得eq\r(2)eq\r(a＋b2－2a2＋b2－10)＝4eq\r(2)，化簡得a－b＝±2.②解①、②得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.故所求圓的方程為(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.法二根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)：半徑、弦長的一半、弦心距構(gòu)成直角三角形．如圖，由勾股定理，可得弦心距d＝eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(2),2)))2)＝eq\r(10－8)＝eq\r(2).又弦心距等于圓心(a，b)到直線x－y＝0的距離，所以d＝eq\f(|a－b|,\r(2))，即eq\f(|a－b|,\r(2))＝eq\r(2).③又已知b＝2a.解③、④得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.故所求圓的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.規(guī)律方法求圓的方程，主要有兩種方法：(1)幾何法：具體過程中要用到初中有關(guān)圓的一些常用性質(zhì)和定理．如：①圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上；②圓心在任意弦的中垂線上；③兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線．(2)待定系數(shù)法：根據(jù)條件設(shè)出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關(guān)量．一般地，與圓心和半徑有關(guān)，選擇標(biāo)準(zhǔn)式，否則，選擇一般式．不論是哪種形式，都要確定三個(gè)獨(dú)立參數(shù)，所以應(yīng)該有三個(gè)獨(dú)立等式．【訓(xùn)練1】(1)(·濟(jì)南模擬)若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x－3y＝0和x軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()．A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1(2)已知圓C經(jīng)過A(5,1)，B(1,3)兩點(diǎn)，圓心在x軸上，則C的方程為________．解析(1)由于圓心在第一象限且與x軸相切，故設(shè)圓心為(a,1)，又由圓與直線4x－3y＝0相切，得eq\f(|4a－3|,5)＝1，解得a＝2或－eq\f(1,2)(舍去)．故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝1.故選A.(2)依題意設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋y2＝r2，將A，B點(diǎn)坐標(biāo)分別代入方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－a2＋1＝r2，,1－a2＋9＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,r2＝10.))所以所求圓的方程為(x－2)2＋y2＝10.答案(1)A(2)(x－2)2＋y2＝10考點(diǎn)二與圓有關(guān)的最值問題【例2】已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求eq\f(y,x)的最大值和最小值； (2)求y－x的最大值和最小值； (3)求x2＋y2的最大值和最小值．解原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)為圓心，eq\r(3)為半徑的圓．(1)eq\f(y,x)的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，所以設(shè)eq\f(y,x)＝k，即y＝kx.當(dāng)直線y＝kx與圓相切時(shí)，斜率k取最大值或最小值，此時(shí)eq\f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\r(3)(如圖1)．所以eq\f(y,x)的最大值為eq\r(3)，最小值為－eq\r(3).(2)y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值，此時(shí)eq\f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq\r(3)，解得b＝－2±eq\r(6)(如圖2)．所以y－x的最大值為－2＋eq\r(6)，最小值為－2－eq\r(6).(3)x2＋y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識知，在原點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值(如圖3)．又圓心到原點(diǎn)的距離為eq\r(2－02＋0－02)＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，x2＋y2的最小值是(2－eq\r(3))2＝7－4eq\r(3).規(guī)律方法與圓有關(guān)的最值問題，常見的有以下幾種類型：(1)形如μ＝eq\f(y－b,x－a)形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題；(2)形如t＝ax＋by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題；(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題．【訓(xùn)練2】(·金華十校聯(lián)考)已知P是直線l：3x－4y＋11＝0上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，C是圓心，那么四邊形PACB面積的最小值是()． A.eq\r(2)B．2eq\r(2)C.eq\r(3)D．2eq\r(3)解析圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心為C(1,1)，半徑為r＝1，根據(jù)對稱性可知，四邊形PACB的面積為2S△APC＝2×eq\f(1,2)|PA|r＝|PA|＝eq\r(|PC|2－r2)，要使四邊形PACB的面積最小，則只需|PC|最小，最小時(shí)為圓心到直線l：3x－4y＋11＝0的距離d＝eq\f(|3－4＋11|,\r(32＋－42))＝eq\f(10,5)＝2.所以四邊形PACB面積的最小值為eq\r(|PC|\o\al(2,min)－r2)＝eq\r(4－1)＝eq\r(3).答案C考點(diǎn)三與圓有關(guān)的軌跡問題【例3】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓P在x軸上截得線段長為2eq\r(2)，在y軸上截得線段長為2eq\r(3).(1)求圓心P的軌跡方程；(2)若P點(diǎn)到直線y＝x的距離為eq\f(\r(2),2)，求圓P的方程．審題路線(1)設(shè)圓心P為(x，y)，半徑為r?由圓的幾何性質(zhì)得方程組?消去r可得點(diǎn)P的軌跡方程．(2)設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)?由點(diǎn)到直線的距離公式可得一方程?點(diǎn)P在第(1)問所求曲線上可得一方程?以上兩方程聯(lián)立可解得P點(diǎn)坐標(biāo)與圓P的半徑?得到圓P的方程．解(1)設(shè)P(x，y)，圓P的半徑為r.由題設(shè)y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.從而y2＋2＝x2＋3.故P點(diǎn)的軌跡方程為y2－x2＝1.(2)設(shè)P(x0，y0)，由已知得eq\f(|x0－y0|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).又P在雙曲線y2－x2＝1上，從而得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x0－y0|＝1，,y\o\al(2,0)－x\o\al(2,0)＝1.))由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0－y0＝1，,y\o\al(2,0)－x\o\al(2,0)＝1))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝0，,y0＝－1.))此時(shí)，圓P半徑r＝eq\r(3).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0－y0＝－1，,y\o\al(2,0)－x\o\al(2,0)＝1))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝0，,y0＝1.))此時(shí)，圓P的半徑r＝eq\r(3).故圓P的方程為x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3.規(guī)律方法求與圓有關(guān)的軌跡方程時(shí)，常用以下方法：(1)直接法：根據(jù)題設(shè)條件直接列出方程；(2)定義法：根據(jù)圓的定義寫出方程；(3)幾何法：利用圓的性質(zhì)列方程；(4)代入法：找出要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式．【訓(xùn)練3】已知直角三角形ABC的斜邊為AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求：(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；(2)直角邊BC中點(diǎn)M的軌跡方程．解(1)法一設(shè)頂點(diǎn)C(x，y)，因?yàn)锳C⊥BC，且A，B，C三點(diǎn)不共線，所以x≠3且x≠－1.又kAC＝eq\f(y,x＋1)，kBC＝eq\f(y,x－3)，且kAC·kBC＝－1，所以eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－3)＝－1，化簡得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝