函數(shù)y=Asin(wx+j)的性質(zhì)與圖像教學(xué)設(shè)計(jì) 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第二冊

§6函數(shù)y=Asin(wx+j)的性質(zhì)與圖像（4課時(shí)，單元教學(xué)設(shè)計(jì)）一、單元內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容根據(jù)現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際情境——“南昌之星”摩天輪，提煉出一般的勻速圓周運(yùn)動(dòng)模型.在此基礎(chǔ)上抽象出單位圓及幾何關(guān)系，并建立數(shù)學(xué)模型.提煉并抽象出函數(shù)y=Asin(wx+j)，研究參數(shù)w,j,A對(duì)函數(shù)圖象及性質(zhì)的影響.最后借助信息技術(shù)手段，利用geogebra作圖軟件和幾何畫板等，更直觀地探究參數(shù)對(duì)圖象及性質(zhì)的影響.本單元的知識(shí)結(jié)構(gòu)：現(xiàn)實(shí)世界中的勻速函數(shù)y=Asinwx+j)圓周運(yùn)動(dòng)(參數(shù)w對(duì)參數(shù)A對(duì)參數(shù)j對(duì)函數(shù)性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)的影響函數(shù)性質(zhì)的影響利用信息技術(shù)有段探究y=Asin(wx+j)的圖象本單元內(nèi)容計(jì)劃使用4課時(shí)，第1課時(shí)，提出問題并通過特例=sin2x研究w的變化對(duì)函數(shù)性質(zhì)的影響；第2課時(shí)，通過特例?p?y=sin?x-÷研究j的變化對(duì)函數(shù)性質(zhì)的影響；第3課時(shí)，通過特例3è??p?y=2sin?2x+÷研究A的變化對(duì)函數(shù)性質(zhì)的影響及綜合研究w,j,A在6è?變化時(shí)對(duì)函數(shù)性質(zhì)的影響，特別是變化順序不同時(shí)有何影響，內(nèi)容較為抽象；第4課時(shí)，通過信息技術(shù)手段，特別是geogebra動(dòng)畫演示，展示同學(xué)們在本單元的探究成果，更加直觀的顯示在具體操作中.2.內(nèi)容解析函數(shù)y=Asin(wx+j)具有豐富的現(xiàn)實(shí)背景，是描述現(xiàn)實(shí)生活周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，以摩天輪為背景引入函數(shù)y=Asin(wx+j)，既有生活氣息，又有現(xiàn)實(shí)背景.是一個(gè)非常典型的函數(shù)建模過程，不僅能夠聯(lián)系實(shí)際，而且能夠方便學(xué)生自然地聯(lián)系到單位圓模型，進(jìn)而突出w,j,A的物理意義和內(nèi)在關(guān)系，方便在后期探索的時(shí)候進(jìn)行抽象，為提升直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)搭建較好的平臺(tái).研究y=Asin(wx+j)的性質(zhì)，關(guān)鍵是研究參數(shù)w,j,A的變化對(duì)函數(shù)性質(zhì)的影響，相比而言最重要的是對(duì)參數(shù)w的研究，這是決定函數(shù)周期性的最重要參數(shù)，而周期性是三角函數(shù)區(qū)別于其他函數(shù)中重要的性質(zhì).教材探究時(shí)按照y=sinwx，y=sin(x+j)，y=sin(wx+j)，=Asin(wx+j)的順序，研究其與函數(shù)y=sinx之間的關(guān)系，看似并列，實(shí)則遞進(jìn)，讓學(xué)生再探究的過程中，既分散了難度，又逐層加深，相互區(qū)別，潛移默化中落實(shí)核心素養(yǎng).，形成能力.二、單元目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)（1）結(jié)合實(shí)例，了解形如y=Asin(wx+j)（其中w,j,A是常數(shù)，A>0，w>0）的函數(shù)解析式的實(shí)際意義；探究參數(shù)w,j,A的變化對(duì)=Asin(wx+j)圖象的影響；掌握由y=sinx出發(fā)，利用圖象變換得到=Asin(wx+j)圖象的方法和步驟.（2）在探究w,j,A的變化對(duì)y=Asin(wx+j)圖象的影響的過程，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)研究的一般思路與方法.（3）在利用圖象變換由y=sinx得到y(tǒng)=Asin(wx+j)的圖象的過程，培養(yǎng)由簡單到復(fù)雜、由特殊到一般的化歸思想和圖象變換的能力.通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生獲得分析問題、解決問題的一般思路，即通過對(duì)簡單問題的思考和討論，得到復(fù)雜的數(shù)學(xué)結(jié)論.2.目標(biāo)解析達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：（1）能借助“摩天輪”模型，抽象出單位圓模型，并提煉出函數(shù)=Asin(wx+j)，能初步感知w,j,A的意義.（2）能根據(jù)特例的性質(zhì)探究過程，利用五點(diǎn)法得出圖象，利用圖象得到特例函數(shù)的性質(zhì)，并逐步抽象出w,j,A對(duì)函數(shù)性質(zhì)的影響，體會(huì)探究過程.（3）能通過對(duì)比，得出y=sinx變化得到y(tǒng)=sinwx，y=sin(wx+j)y=Asin(wx+j)的過程，能準(zhǔn)確解釋函數(shù)解析式的變化與相應(yīng)函數(shù)圖象的變換之間的內(nèi)在聯(lián)系；能根據(jù)y=Asin(wx+j)的性質(zhì)得出其簡圖.（4）能通過圖形計(jì)算器、geogebra、幾何畫板等作圖工具參與作圖，直觀體會(huì)參數(shù)w,j,A在變化過程中對(duì)圖象的影響，能設(shè)計(jì)探索方案.三、單元教學(xué)問題診斷分析摩天輪模型雖然常見，但從中抽象出函數(shù)y=Asin(wx+j)并不容易，需要有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)建模能力，是本單元的第一個(gè)難點(diǎn).教學(xué)時(shí)要分析勻速圓周運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，聯(lián)系單位圓和物理背景，逐條分析w,j,A的意義，也為后續(xù)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ).在研究w,j,A對(duì)函數(shù)y=Asin(wx+j)圖象影響時(shí)，五點(diǎn)法作圖并不簡單，其圖象與函數(shù)y=sinx圖象之間的關(guān)聯(lián)也比較隱蔽，準(zhǔn)確作圖也很困難，是本單元學(xué)習(xí)的第二個(gè)難點(diǎn).教學(xué)中，要遵從教材設(shè)計(jì)，從易到難，由具體到抽象，從特殊到一般，給學(xué)生作圖的時(shí)間，利用小組討論、合作交流的形式完成對(duì)這個(gè)難點(diǎn)的突破.本單元的第三個(gè)教學(xué)難點(diǎn)在于利用geogebra或幾何畫板通過直觀作圖的形式感悟參數(shù)變化對(duì)圖象形式的影響，特別是參數(shù)變化順序?qū)瘮?shù)圖象變化的影響的區(qū)別.因?yàn)榇蠖鄶?shù)學(xué)生并沒有圖形計(jì)算器，也很少有主動(dòng)探究的經(jīng)驗(yàn).突破難點(diǎn)的方法是由小組合作設(shè)計(jì)探究方案，由教師展示探究結(jié)果，并組織學(xué)生討論分析.四、單元教學(xué)條件支持借助信息技術(shù)不僅使“畫圖象”變得簡單，而且參數(shù)“w,j,A”的變化引起相關(guān)的圖象變化會(huì)有了更直觀的呈現(xiàn)，有助于理解解析式變化和圖象變化之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系.學(xué)生如果能夠自己操作圖形計(jì)算器，還可以開發(fā)高效課外的學(xué)習(xí)能力，有助于學(xué)生自主探究知識(shí)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，夯實(shí)素養(yǎng).五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)6.1 探究w對(duì)y=sinwx的圖象的影響（一）創(chuàng)設(shè)情境“南昌之星”摩天輪，總高度160m，直徑153m.勻速旋轉(zhuǎn)一圈需時(shí)30min.以摩天輪的中心為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)座艙A為起始位置，OA與x軸所形成的角為-p2.因?yàn)檗D(zhuǎn)一圈需要30min，所以每分所轉(zhuǎn)的角度為15p.經(jīng)過xmin后，OA旋轉(zhuǎn)到OA￠，OA￠與x軸所形成的角的大小為15px-p2.根據(jù)時(shí)間關(guān)系可得點(diǎn)A￠到底面的距離ypp?與時(shí)間x的關(guān)系為y=76.5sin?x-÷+83.5.2è15?設(shè)計(jì)意圖：利用教材中提供的場景，引出一個(gè)具體函數(shù)，進(jìn)而建立函數(shù)關(guān)系，可以通過具體實(shí)例，讓學(xué)生直觀感知y=Asin(wx+j)的函數(shù)模型，并體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的過程.（二）問題提出在物理學(xué)和工程技術(shù)中會(huì)遇到一些問題，其中的函數(shù)關(guān)系都形y=Asin(wx+j)（其中w,j,A是常數(shù)，A>0，w>0），這類函數(shù)有什么性質(zhì)？與函數(shù)=sinx有什么關(guān)系？設(shè)計(jì)意圖：提出問題，引出整個(gè)單元的任務(wù)，并指明研究方向.（三）新課講解考慮這類函數(shù)的一個(gè)特例：y=sin2x,x?R.合作探究：我們研究函數(shù)的哪些性質(zhì)？按什么順序研究？怎樣研究？設(shè)計(jì)意圖：通過合作交流分析，一方面促進(jìn)學(xué)生思考這類函數(shù)有可能具有那些性質(zhì)，另一方面按什么順序研究函數(shù)性質(zhì)能夠比較容易的實(shí)現(xiàn)更多性質(zhì)的發(fā)現(xiàn).促進(jìn)學(xué)生思考沒有圖象時(shí)怎樣通過解析式“預(yù)測”函數(shù)的性質(zhì).確定周期 “五點(diǎn)法”作圖突出周期突出“起點(diǎn)”性，縮小研和周期，體現(xiàn)究范圍復(fù)合關(guān)系

討論性質(zhì)突出直觀想象

歸納參數(shù)影響突出數(shù)學(xué)抽象探究1：函數(shù)y=sin2x是不是周期函數(shù)，如何確定函數(shù)y=sin2x的周期.對(duì) 任 意 x?R， 由 y=sinx的 周 期 為 2p， 都 有sin2x=sin(2x+2p)=sin2(x+p)，根據(jù)周期函數(shù)的定義，y=sin2x是周期函數(shù)，且經(jīng)探究發(fā)現(xiàn) 為最小正周期.探究2：周期性對(duì)研究函數(shù)性質(zhì)有怎樣的幫助？類比正弦函數(shù)的圖象的畫法，你能否畫出函數(shù)y sin2x的圖象？（追問）利用五點(diǎn)法該怎樣選關(guān)鍵點(diǎn)？為什么？根據(jù)周期性，選取[0,p]內(nèi)的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，(0,0)，?p,1?，?p,0?，?è4 ÷??è2÷?3p÷()è4?再通過周期性往兩邊延拓，即可得到函數(shù)y=sin2x的圖象.設(shè)計(jì)意圖：通過兩個(gè)探究活動(dòng)，首先確立函數(shù)的周期，利用周期性縮短研究范圍.再根據(jù)五點(diǎn)法作函數(shù)y=sinx的圖象的辦法找到函數(shù)=sin2x的五個(gè)特殊點(diǎn).從解析式層面和圖象層面兩個(gè)維度體驗(yàn)函數(shù)變換對(duì)圖象的影響.思考交流1：在同一個(gè)坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=sinx和y=sin2x的圖象，觀察圖象，總結(jié)發(fā)生了什么變化，并用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出觀察到的情形.（預(yù)設(shè)回答：圖象壓縮為原來的一半；每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都向左平移到原來的一半；直到引導(dǎo)學(xué)生從解析式和圖象兩個(gè)維度分析得出，將函數(shù)=sinx圖象上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，橫坐標(biāo)縮短為原來的12，縱坐標(biāo)不變，就得到了函數(shù)y=sin2x的圖象.）思考交流2：根據(jù)剛才的探究及函數(shù)y=sin2x的圖象，還可以得到這個(gè)函數(shù)的哪些性質(zhì)？（預(yù)設(shè)及期望回答：函數(shù)的單調(diào)性，最大值，零點(diǎn)，對(duì)稱軸等）éppù函數(shù)y=sin2x的單調(diào)遞增區(qū)間為kp-,kp+,k?Z，單調(diào)遞ê44ú??ép3pùp減區(qū)間為kp+,kp+,k?Z；當(dāng)x=kp+,k?Z時(shí)，函數(shù)有最大值1，ê44ú4??x=kp-p4時(shí)，函數(shù)有最小值-1.函數(shù)的零點(diǎn)為k2p+p2,k?Z，對(duì)稱軸方程等.設(shè)計(jì)意圖：通過思考交流，既及時(shí)鞏固了探究的成果，又能夠鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力.特別是發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=sinx與y=sin2x圖象的關(guān)系方面，是本節(jié)課的難點(diǎn)，通過小組合作交流的形式，可以使結(jié)論逐步顯化，也給了學(xué)生更多自由發(fā)現(xiàn)和表達(dá)的氛圍和空間.（四）典例分析例1 求函數(shù)y=sin13x的周期，并畫出其圖象.解：根據(jù)y=sinx的周期性，sin13x=sin??13x+2p?÷=sin13(x+6p).6p為è ?最小正周期.選取五點(diǎn)及五點(diǎn)法作圖過程略.設(shè)計(jì)意圖：通過典例分析，及時(shí)鞏固所學(xué)知識(shí)點(diǎn)，再一次嘗試具體函數(shù)，并且本例中w=13?(0,1)，為學(xué)生在抽象概括時(shí)提供不一樣的范圍素材.探究3：對(duì)于一般的函數(shù)y=sinwx(w>0)，其函數(shù)有什么性質(zhì)？可以通過y=sinx怎樣變換得到？（預(yù)設(shè)及期望回答：首先回答周期性并能夠給出理由，sinwx=sin(wx+2p)?2p?2p是函數(shù)y=sinwx的最小正周期.函數(shù)=sinw?x+÷，所以T=wèw?=sinwx的圖象是將函數(shù)y=sinx圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短或伸長為原來的w1得到的）設(shè)計(jì)意圖：這是本節(jié)課的重點(diǎn)目標(biāo)，也是難點(diǎn).學(xué)生通過作圖和特殊點(diǎn)的比對(duì)，發(fā)現(xiàn)具體函數(shù)之間的變換關(guān)系，進(jìn)而抽象總結(jié)出一般函數(shù)的變換規(guī)律，并不容易.通過探究的方式進(jìn)行發(fā)現(xiàn)，可以給不同的學(xué)生展示的機(jī)會(huì)，未必能夠把所有成果都探究出來，經(jīng)歷探究的全過程，本單元的探究任務(wù)及模式就會(huì)逐漸深化.（五）課堂練習(xí)教材第42頁中的練習(xí)1，2（特別是第一個(gè)練習(xí)，不僅知道結(jié)果，還要能夠推導(dǎo)，并能夠用數(shù)學(xué)語言表達(dá).）（六）課堂小結(jié)1.知識(shí)提升：函數(shù)y=sinwx的性質(zhì)及圖象與函數(shù)y=sinx圖象間的關(guān)系.2.能力提升：用數(shù)學(xué)的眼光看問題，能夠從特殊到一般地抽象出知識(shí)之間的聯(lián)系.3.素養(yǎng)提升：直觀想象、數(shù)學(xué)抽象六、布置作業(yè)基礎(chǔ)作業(yè)：教材42頁練習(xí)第3題.