2023-2024學(xué)年北京市昌平區(qū)融合學(xué)區(qū)（第三組）九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】

第1頁（共1頁）2023-2024學(xué)年北京市昌平區(qū)融合學(xué)區(qū)（第三組）九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共16分，每小題2分）下列各題均有4個選項(xiàng)，其中只有一個是符合題意的.1．（2分）下列形狀分別為兩個正方形、矩形、正三角形、圓的邊框，其中不一定是相似圖形的是（）A． B． C． D．2．（2分）下列長度的各組線段中，是成比例線段的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cm，6cm C．2cm，4cm，8cm，8cm D．3cm，4cm，5cm，10cm3．（2分）若函數(shù)y＝（m﹣3）x|m|﹣1+5是關(guān)于x的二次函數(shù)，則m＝（）A．﹣3 B．3 C．3或﹣3 D．24．（2分）若二次函數(shù)y＝（x﹣3）2+2的圖象過A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3.5，y3），則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（）A．y2＞y1＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y2＞y35．（2分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB．若AD＝2BD，則的值為（）A． B． C． D．6．（2分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是DC上的點(diǎn)，DE：EC＝3：2，連接AE交BD于點(diǎn)F，則△DEF與△BAF的面積之比為（）A．2：5 B．3：5 C．9：25 D．4：257．（2分）大約在兩千四五百年前，墨子和他的學(xué)生做了世界上第1個小孔成倒像的實(shí)驗(yàn)．并在《墨經(jīng)》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，與景長，說在端”．如圖所示的小孔成像實(shí)驗(yàn)中，若物距為10cm，像距為15cm，蠟燭火焰倒立的像的高度是8cm，則蠟燭火焰的高度是（）cm．A． B．6 C． D．88．（2分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的x與y的部分對應(yīng)值如下表：x…01234…y…212510…下列各選項(xiàng)中，正確的是（）A．這個函數(shù)的圖象開口向下 B．a(chǎn)bc＞0 C．這個函數(shù)的最大值為10 D．關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0無解二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．（2分）將拋物線y＝3x2向左平移2個單位長度，再向下平移5個單位長度后得到的拋物線的解析式為．10．（2分）五線譜是一種記譜法，通過在五根等距離的平行橫線上標(biāo)以不同時值的音符及其他記號來記載音樂．如圖，A，B，C為直線l與五線譜的橫線相交的三個點(diǎn)，則的值是．11．（2分）寫出一個二次函數(shù)，其圖象滿足：（1）開口向下；（2）與y軸交于點(diǎn)（0，3），這個二次函數(shù)的解析式可以是．12．（2分）已知點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AC＞BC），若線段AB的長10cm，則線段AC的長為．13．（2分）如圖是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象，由圖象可知關(guān)于x的一元二次方程y＝ax2+bx+c（a≠0）的根是．14．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝6，CA＝4，點(diǎn)D為AC中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB上，當(dāng)AE為時，△ABC與以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形相似．15．（2分）如圖，AD是△ABC的中線，E是AD上一點(diǎn)，且AE＝AD，CE的延長線交AB于點(diǎn)F，若AF＝1.2，則AB＝．16．（2分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示．則有以下5個結(jié)論：①abc＜0；②b2＜4ac；③b＝﹣2a；④a﹣b+c＞0；⑤對于任意實(shí)數(shù)m，總有am2+bm≤a+b．其中正確的結(jié)論是．（填序號）三、解答題（本題共68分，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27，28題，每小題5分）17．（5分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在AC上，DE⊥AB于點(diǎn)E．（1）求證：△ADE∽△ABC；（2）AC＝4，AB＝5且AD＝3，求AE的長．18．（5分）線段a、b、c，且＝＝．（1）求的值；（2）如果線段a、b、c滿足a+b+c＝27，求a+b﹣c的值．19．（5分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3．（1）寫出該二次函數(shù)圖象的對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，再描點(diǎn)畫圖；（2）結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出y＜0時x的取值范圍．20．（5分）如圖，在△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，∠BAD＝∠C．（1）求證：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BD＝3，求CD的長．21．（5分）網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都是1．（1）在圖1中畫一個格點(diǎn)△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC，且相似比為2：1；（2）在圖2中畫一個格點(diǎn)△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC，且相似比為：1．22．（5分）如圖，A是直線MN上一點(diǎn)，∠BAC＝90°，過點(diǎn)B作BD⊥MN于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE⊥MN于點(diǎn)E．（1）求證：△ADB∽△CEA；（2）若，AD＝AE＝2，求CE的長．23．（6分）為了測量水平地面上一棟建筑物AB的高度，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組做了如下的探索：根據(jù)光的反射定律，利用一面鏡子和一根皮尺，設(shè)計如圖所示的測量方案：先在水平地面上放置一面平面鏡，并在鏡面上做標(biāo)記點(diǎn)C，后退至點(diǎn)D處恰好看到建筑物AB的頂端A在鏡子中的像與鏡面上的標(biāo)記點(diǎn)C重合，法線是FC，小軍的眼睛與地面距離DE是1.65m，BC、CD的長分別為60m、3m，求建筑物AB的高度．24．（6分）拋物線y＝﹣x2+（m﹣1）x+m．（1）求證：無論m為何值，這條拋物線都與x軸至少有一個交點(diǎn)；（2）求它與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)A，B和與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)；（用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)坐標(biāo)）（3）S△ABC＝3，求拋物線的解析式．25．（6分）材料1：昌平南環(huán)大橋是經(jīng)典的懸索橋，當(dāng)今大跨度橋梁大多采用此種結(jié)構(gòu)．此種橋梁各結(jié)構(gòu)的名稱如圖1所示，其建造原理是在兩邊高大的橋塔之間，懸掛著主索，再以相應(yīng)的間隔，從主索上設(shè)置豎直的吊索，與橋面垂直，并連接橋面，承接橋面的重量，主索的幾何形態(tài)近似符合拋物線．材料2：如圖2，某一同類型懸索橋，兩橋塔AD＝BC＝10m，間距AB＝32m，橋面AB水平，主索最低點(diǎn)為點(diǎn)P，點(diǎn)P距離橋面為2m．（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求出主索拋物線的表達(dá)式；（2）若距離點(diǎn)P水平距離為8m處有兩條吊索需要更換，求這兩條吊索的總長度．26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝x2﹣2ax+a2﹣1，P（x1，m），Q（x2，m）（x1＜x2）是此拋物線上的兩點(diǎn)．（1）若a＝1，①求拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)；②若2x2﹣x1＝7，求m的值；（2）若存在實(shí)數(shù)b，使得x1≤b﹣3，且x2≥b+7成立，則m的取值范圍是．27．（7分）如圖，在等邊△ABC中，作∠ACD＝∠ABD＝45°，邊CD、BD交于點(diǎn)D，連接AD．（1）請直接寫出∠CDB的度數(shù)；（2）求∠ADC的度數(shù)；（3）用等式表示線段AD、BD、CD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．28．（7分）城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達(dá)目的地，只能按直角拐彎的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標(biāo)系xOy，對兩點(diǎn)A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定義兩點(diǎn)間距離：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．（1）①已知點(diǎn)A（﹣2，1），則d（O，A）＝．②函數(shù)y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的圖象如圖①所示，B是圖象上一點(diǎn)，d（O，B）＝3，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．（2）函數(shù)y＝x2﹣5x+7（x≥0）的圖象如圖②所示，D是圖象上一點(diǎn)，求d（O，D）的最小值及對應(yīng)的點(diǎn)D的坐標(biāo)．

參考答案與試題解析一、選擇題（本題共16分，每小題2分）下列各題均有4個選項(xiàng)，其中只有一個是符合題意的.1．（2分）下列形狀分別為兩個正方形、矩形、正三角形、圓的邊框，其中不一定是相似圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)相似圖形的定義，形狀相同，可得出答案．【解答】解：A、兩圖形形狀相同，是相似圖形，不符合題意；B、兩圖形形狀不同，不是相似圖形，符合題意；C、兩圖形形狀相同，是相似圖形，不符合題意；D、兩圖形形狀相同，是相似圖形，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查相似圖形的定義，掌握相似圖形形狀相同是解題的關(guān)鍵．2．（2分）下列長度的各組線段中，是成比例線段的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cm，6cm C．2cm，4cm，8cm，8cm D．3cm，4cm，5cm，10cm【分析】根據(jù)比例線段的性質(zhì)，讓最小的數(shù)和最大的數(shù)相乘，另外兩個數(shù)相乘，看它們的積是否相等即得答案．【解答】解：A、∵1×4≠2×3，∴四條線段不成比例；B、∵1×6＝2×3，∴四條線段成比例；C、∵2×8≠4×8，∴四條線段不成比例；D、∵3×10≠4×5，∴四條線段不成比例；故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了比例線段，熟練掌握比例線段的性質(zhì)是關(guān)鍵．3．（2分）若函數(shù)y＝（m﹣3）x|m|﹣1+5是關(guān)于x的二次函數(shù)，則m＝（）A．﹣3 B．3 C．3或﹣3 D．2【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義得出關(guān)于m的不等式組，求出m的值即可．【解答】解：由題意，解得m＝﹣3．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)的定義，熟知一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵．4．（2分）若二次函數(shù)y＝（x﹣3）2+2的圖象過A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3.5，y3），則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（）A．y2＞y1＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y2＞y3【分析】根據(jù)二次函數(shù)的解析式得出圖象的開口向下，對稱軸是直線x＝3，根據(jù)函數(shù)的對稱性和增減性，即可得出答案．【解答】解：∵y＝（x﹣3）2+2，∴圖象的開口向上，對稱軸是直線x＝3，∴當(dāng)x＜3時，y隨x的增大而減小，∵C（3.5，y3）關(guān)于直線x＝3的對稱點(diǎn)是（1.5，y3），且﹣1＜1.5＜2＜3，∴y3＜y2＜y1，故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查對二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌握，能熟練地運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．5．（2分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB．若AD＝2BD，則的值為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出＝＝＝2，即可得出答案．【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，AD＝2BD，∴＝＝2，＝＝2，∴＝，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，注意：一組平行線截兩條直線，所截得的對應(yīng)線段成比例．6．（2分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是DC上的點(diǎn)，DE：EC＝3：2，連接AE交BD于點(diǎn)F，則△DEF與△BAF的面積之比為（）A．2：5 B．3：5 C．9：25 D．4：25【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得出CD∥AB，進(jìn)而可得出△DEF∽△BAF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)結(jié)合DE：EC＝3：2，即可得出△DEF與△BAF的面積之比，此題得解．【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴CD∥AB，∴△DEF∽△BAF．∵DE：EC＝3：2，∴＝＝，∴＝（）2＝．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，牢記相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．7．（2分）大約在兩千四五百年前，墨子和他的學(xué)生做了世界上第1個小孔成倒像的實(shí)驗(yàn)．并在《墨經(jīng)》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，與景長，說在端”．如圖所示的小孔成像實(shí)驗(yàn)中，若物距為10cm，像距為15cm，蠟燭火焰倒立的像的高度是8cm，則蠟燭火焰的高度是（）cm．A． B．6 C． D．8【分析】過點(diǎn)O作OE⊥CD，垂足為E，延長EO交AB于點(diǎn)F，根據(jù)題意可得：OE＝15cm，CD＝8cm，OF＝10cm，AB∥CD，然后利用平行線的性質(zhì)可得：∠A＝∠C，∠B＝∠D從而可得△ABO∽△CDO，然后利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計算，即可解答．【解答】解：如圖：過點(diǎn)O作OE⊥CD，垂足為E，延長EO交AB于點(diǎn)F，由題意得：OE＝15cm，CD＝8cm，AB∥CD，∴OF⊥AB，∴OF＝10cm，∵AB∥CD，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，∴△ABO∽△CDO，∴＝，∴＝，解得：AB＝，∴蠟燭火焰的高度是cm，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的x與y的部分對應(yīng)值如下表：x…01234…y…212510…下列各選項(xiàng)中，正確的是（）A．這個函數(shù)的圖象開口向下 B．a(chǎn)bc＞0 C．這個函數(shù)的最大值為10 D．關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0無解【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)得出對稱軸為直線x＝1，而x＝1時，函數(shù)有最小值y＝1，即可判斷A；利用表格數(shù)據(jù)對稱c＝2，對稱軸公式求得b＝﹣2a＜0，即可判斷B；利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷C；利用函數(shù)的最小值即可判斷D．【解答】解：A、由圖表中數(shù)據(jù)可得出：對稱軸為直線x＝1，而x＝1時，函數(shù)有最小值y＝1，所以二次函數(shù)y＝ax2+bx+c開口向上，a＞0，故A錯誤；B、∵﹣＝1，a＞0，∴b＝﹣2a＜0，∵x＝0時，y＝c＝2，∴abc＜0，故B錯誤；C、∵拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝1，∴當(dāng)x＞1時，y隨x增大而增大，故C錯誤；D、∵拋物線開口向上，函數(shù)有最小值y＝1，∴拋物線與x軸沒有交點(diǎn)，∴關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0無解，故D正確．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．（2分）將拋物線y＝3x2向左平移2個單位長度，再向下平移5個單位長度后得到的拋物線的解析式為y＝3（x+2）2﹣5．【分析】根據(jù)“左加右減、上加下減”的原則進(jìn)行解答即可．【解答】解：將拋物線y＝3x2向左平移2個單位所得直線解析式為：y＝3（x+2）2；再向下平移5個單位為：y＝3（x+2）2﹣5．故答案為y＝3（x+2）2﹣5．【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．10．（2分）五線譜是一種記譜法，通過在五根等距離的平行橫線上標(biāo)以不同時值的音符及其他記號來記載音樂．如圖，A，B，C為直線l與五線譜的橫線相交的三個點(diǎn)，則的值是2．【分析】過點(diǎn)A作AD⊥a于D，交b于E，根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計算即可．【解答】解：過點(diǎn)A作AD⊥a于D，交b于E，∵a∥b，∴＝＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．11．（2分）寫出一個二次函數(shù)，其圖象滿足：（1）開口向下；（2）與y軸交于點(diǎn)（0，3），這個二次函數(shù)的解析式可以是y＝﹣x2+3（答案不唯一）．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出a＜0，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出c＝3，取a＝﹣1，b＝0即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+c．∵拋物線開口向下，∴a＜0．∵拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），∴c＝3．取a＝﹣1，b＝0時，二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+3．故答案為：y＝﹣x2+3（答案不唯一）．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，找出a＜0，c＝3是解題的關(guān)鍵．12．（2分）已知點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AC＞BC），若線段AB的長10cm，則線段AC的長為（5﹣5）cm．【分析】根據(jù)黃金分割的定義得AC＝AB，代入AB的長計算即可．【解答】解：∵點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AC＞BC），AB＝10cm，∴AC＝AB＝×10cm＝（5﹣5）cm，故答案為：（5﹣5）cm．【點(diǎn)評】本題主要考查了黃金分割的定義，熟記黃金分割的比值是解題的關(guān)鍵．13．（2分）如圖是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象，由圖象可知關(guān)于x的一元二次方程y＝ax2+bx+c（a≠0）的根是x1＝5或x2＝﹣1．【分析】求出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可解決問題．【解答】解：與圖象可知，拋物線與x的交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0）和（5，0），∴y＝ax2+bx+c（a≠0）的根為x1＝5或x2＝﹣1，故答案為x1＝5或x2＝﹣1，【點(diǎn)評】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．14．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝6，CA＝4，點(diǎn)D為AC中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB上，當(dāng)AE為3或時，△ABC與以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形相似．【分析】先得到，再分與兩種情況討論即可解答．【解答】解：當(dāng)時，∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，∴，當(dāng)時，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴，綜上，AE＝3或，故答案為：3或．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的運(yùn)用及熟練掌握相似三角形的判定定理．15．（2分）如圖，AD是△ABC的中線，E是AD上一點(diǎn)，且AE＝AD，CE的延長線交AB于點(diǎn)F，若AF＝1.2，則AB＝6．【分析】過D作DM∥CF交AB于M，求出BM＝MF，根據(jù)平行線分線段成比例定理求出＝＝，即可得出AB＝5AF，代入求出即可．【解答】解：過D作DM∥CF交AB于M，∵AD是△ABC的中線，∵BM＝MF，∵DM∥CF，∴△AFE∽△AMD，∴＝，∵AE＝AD，∴AF＝AM，∵BM＝MF，∴AF＝AB，∵AF＝1.2，∴AB＝5×1.2＝6，故答案為：6．【點(diǎn)評】本題考查了平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出AF＝AB．16．（2分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示．則有以下5個結(jié)論：①abc＜0；②b2＜4ac；③b＝﹣2a；④a﹣b+c＞0；⑤對于任意實(shí)數(shù)m，總有am2+bm≤a+b．其中正確的結(jié)論是①③⑤．（填序號）【分析】，根據(jù)二次函數(shù)的圖象的開口方向，與y軸的交點(diǎn)位置，對稱軸判斷①；根據(jù)二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)個數(shù)判斷②；根據(jù)對稱軸判斷③；根據(jù)拋物線經(jīng)過（﹣1，0）判斷④；根據(jù)當(dāng)x＝1時函數(shù)取最大值判斷⑤．【解答】解：∵拋物線開口向下，拋物線與y軸交于正半軸，∴a＜0，c＞0，∵對稱軸為x＝1，∴，∴b＝﹣2a，∴b＞0，∴abc＜0，∴①正確．∵拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，∴②錯誤．∵b＝﹣2a，∴③正確．∵當(dāng)x＝﹣1時，y＝0，∴a﹣b+c＝0，∴④錯誤．當(dāng)x＝1時，y有最大值為a+b+c，∴對于任意實(shí)數(shù)m，總有am2+bm+c≤a+b+c，∴對于任意實(shí)數(shù)m，總有am2+bm≤a+b．∴⑤正確．故答案為：①③⑤．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握a，b，c對拋物線的決定作用是求解本題的關(guān)鍵．三、解答題（本題共68分，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27，28題，每小題5分）17．（5分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在AC上，DE⊥AB于點(diǎn)E．（1）求證：△ADE∽△ABC；（2）AC＝4，AB＝5且AD＝3，求AE的長．【分析】（1）由DE⊥AB得到∠DEA＝∠C＝90°，然后得到△DEA∽△BCA；（2）利用相似三角形的性質(zhì)求得AE的長．【解答】（1）證明：∵DE⊥AB于點(diǎn)E，∠C＝90°，∴∠AED＝∠C＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC；（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴＝，∵AC＝4，AB＝5，AD＝3，∴＝，∴AE＝．【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．18．（5分）線段a、b、c，且＝＝．（1）求的值；（2）如果線段a、b、c滿足a+b+c＝27，求a+b﹣c的值．【分析】（1）設(shè)＝＝＝t，則a＝2t，b＝3t，然后把它們代入中進(jìn)行分式的運(yùn)算即可；（2）設(shè)＝＝＝t，則a＝2t，b＝3t，c＝4t，則利用a+b+c＝27可求出t，然后利用a+b﹣c＝t求解．【解答】解：（1）設(shè)＝＝＝t，∴a＝2t，b＝3t，∴＝＝；（2）設(shè)＝＝＝t，∴a＝2t，b＝3t，c＝4t，∵a+b+c＝27，∴2t+3t+4t＝27，解得t＝3，∴a+b﹣c＝2t+3t﹣4t＝t＝3．【點(diǎn)評】本題考查了比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．19．（5分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3．（1）寫出該二次函數(shù)圖象的對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，再描點(diǎn)畫圖；（2）結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出y＜0時x的取值范圍．【分析】（1）先將函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，然后即可得到該函數(shù)的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，再求出該函數(shù)與x軸的交點(diǎn)和y＝﹣3時對應(yīng)的x的值，從而可以畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象；（2）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以寫出y＜0時x的取值范圍．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴該函數(shù)的對稱軸為直線x＝1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4），當(dāng)y＝0時，x1＝3，x2＝﹣1，當(dāng)x＝0時，y＝﹣3，x＝2時，y＝﹣3，函數(shù)圖象如圖所示；（2）由圖象可得，當(dāng)y＜0時，x的取值范圍是﹣1＜x＜3．【點(diǎn)評】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．20．（5分）如圖，在△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，∠BAD＝∠C．（1）求證：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BD＝3，求CD的長．【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定解答即可；（2）由相似三角形的性質(zhì)可得，可求BC的長，從而可得到CD的值．【解答】證明：（1）∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBA；（2）∵△ABD∽△CBA，∴，∵AB＝6，BD＝3，∴，∴BC＝12，∴CD＝BC﹣BD＝12﹣3＝9．【點(diǎn)評】本題主要考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，由角等聯(lián)想到三角形相似是解決本題的關(guān)鍵．21．（5分）網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都是1．（1）在圖1中畫一個格點(diǎn)△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC，且相似比為2：1；（2）在圖2中畫一個格點(diǎn)△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC，且相似比為：1．【分析】（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，把△ABC的邊長擴(kuò)大2倍即可；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，把△ABC的邊長擴(kuò)大倍即可．【解答】解：（1）如圖1所示，（2）如圖2所示，AB＝1，，，∴，B2C2＝2，，∴，【點(diǎn)評】本題考查作圖與相似變換，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．22．（5分）如圖，A是直線MN上一點(diǎn)，∠BAC＝90°，過點(diǎn)B作BD⊥MN于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE⊥MN于點(diǎn)E．（1）求證：△ADB∽△CEA；（2）若，AD＝AE＝2，求CE的長．【分析】（1）由BD⊥MN于點(diǎn)D，CE⊥MN于點(diǎn)E，得∠ADB＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，則∠B＝∠EAC＝90°﹣∠BAD，即可根據(jù)“兩角分別相等的兩個三角形相似”證明△ADB∽△CEA；（2）由勾股定理求得BD＝＝1，由△ADB∽△CEA，得＝，其中AD＝AE＝2，即可求得CE＝4．【解答】（1）證明：∵BD⊥MN于點(diǎn)D，CE⊥MN于點(diǎn)E，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠B＝∠EAC＝90°﹣∠BAD，∴△ADB∽△CEA．（2）解：∵∠ADB＝90°，AB＝，AD＝AE＝2，∴BD＝＝＝1，∵△ADB∽△CEA，∴＝，∴CE＝＝＝4，∴CE的長是4．【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查同角的余角相等、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等知識，根據(jù)同角的余角相等證明∠B＝∠EAC＝90°﹣∠BAD是解題的關(guān)鍵．23．（6分）為了測量水平地面上一棟建筑物AB的高度，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組做了如下的探索：根據(jù)光的反射定律，利用一面鏡子和一根皮尺，設(shè)計如圖所示的測量方案：先在水平地面上放置一面平面鏡，并在鏡面上做標(biāo)記點(diǎn)C，后退至點(diǎn)D處恰好看到建筑物AB的頂端A在鏡子中的像與鏡面上的標(biāo)記點(diǎn)C重合，法線是FC，小軍的眼睛與地面距離DE是1.65m，BC、CD的長分別為60m、3m，求建筑物AB的高度．【分析】根據(jù)鏡面反射的性質(zhì)求出△ABC∽△EDC，再根據(jù)對應(yīng)邊的比相等求得答案．【解答】解：根據(jù)題意，易得∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，則△ABC∽△EDC，所以＝，即＝，解得：AB＝33，答：建筑物AB的高度為33m．【點(diǎn)評】此題考查相似三角形的應(yīng)用，應(yīng)用反射的基本性質(zhì)，得出三角形相似，運(yùn)用相似比即可解答．24．（6分）拋物線y＝﹣x2+（m﹣1）x+m．（1）求證：無論m為何值，這條拋物線都與x軸至少有一個交點(diǎn)；（2）求它與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)A，B和與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)；（用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)坐標(biāo)）（3）S△ABC＝3，求拋物線的解析式．【分析】（1）先列出三角形的代數(shù)式，然后利用配方法證明△≥0即可；（2）令x＝0可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，令y＝0求得方程的解，從而可求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（3）利用三角形的面積求得m的值從而可求得拋物線的解析式．【解答】解：（1）∵△＝（m﹣1）2﹣4×1×m＝（m+1）2≥0∴無論m為何值這條拋物線都與x軸至少有一個交點(diǎn)；（2）∵令x＝0得：y＝m，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，m）．∵令y＝0得；﹣x2+（m﹣1）x+m＝0，解得：x＝﹣1或x＝m，∴A（﹣1，0）B（m，0）．（3）由上題可得|AB|＝|m+1|，OC＝|m|，∵SS△ABC＝3，∴|m+1||m|＝6．解得：m＝﹣3，m＝2．∴y＝﹣x2﹣4x﹣3或y＝﹣x2+x+2．【點(diǎn)評】本題主要考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，由﹣x2+（m﹣1）x+m＝0解得x＝﹣1或x＝m是解題的關(guān)鍵．25．（6分）材料1：昌平南環(huán)大橋是經(jīng)典的懸索橋，當(dāng)今大跨度橋梁大多采用此種結(jié)構(gòu)．此種橋梁各結(jié)構(gòu)的名稱如圖1所示，其建造原理是在兩邊高大的橋塔之間，懸掛著主索，再以相應(yīng)的間隔，從主索上設(shè)置豎直的吊索，與橋面垂直，并連接橋面，承接橋面的重量，主索的幾何形態(tài)近似符合拋物線．材料2：如圖2，某一同類型懸索橋，兩橋塔AD＝BC＝10m，間距AB＝32m，橋面AB水平，主索最低點(diǎn)為點(diǎn)P，點(diǎn)P距離橋面為2m．（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求出主索拋物線的表達(dá)式；（2）若距離點(diǎn)P水平距離為8m處有兩條吊索需要更換，求這兩條吊索的總長度．【分析】（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，可以直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后設(shè)出主索拋物線的表達(dá)式，再根據(jù)點(diǎn)C和點(diǎn)P都在拋物線上，即可求得主索拋物線的表達(dá)式；（2）根據(jù)求出的拋物線解析式，將x＝8代入解析式中，即可求得四根吊索的長度，從而可以求得四根吊索總長度為多少米．【解答】解：以DC中點(diǎn)為原點(diǎn)，DC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：由圖可知，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（16，0），設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝ax2+c（a≠0），由題意可知，C點(diǎn)坐標(biāo)為（16，0），P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣8），則，解得：，∴主索拋物線的表達(dá)式為y＝x2﹣8；（2）同理，x＝8時，y＝×82﹣8＝﹣6，此時吊索的長度為10﹣6＝4（m），x＝﹣8時，此時吊索的長度也為4m，∵4+4＝8（m），∴四根吊索的總長度為8米．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝x2﹣2ax+a2﹣1，P（x1，m），Q（x2，m）（x1＜x2）是此拋物線上的兩點(diǎn)．（1）若a＝1，①求拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)；②若2x2﹣x1＝7，求m的值；（2）若存在實(shí)數(shù)b，使得x1≤b﹣3，且x2≥b+7成立，則m的取值范圍是m≥24．【分析】（1）①把a(bǔ)＝1代入解析式求解．②用含m代數(shù)式求出x1，x2，進(jìn)而求解．（2）用含m代數(shù)式表示PQ，然后解不等式求解．【解答】解：（1）①把a(bǔ)＝1代入y＝x2﹣2ax+a2﹣1得y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）．②∵點(diǎn)P，Q關(guān)于拋物線對稱軸對稱，且x1，x2為（x﹣1）2﹣1＝m的根，∴x1＝1﹣，x2＝1+，∴2x2﹣x1＝1+3＝7，解得m＝3．（2）解方程x2﹣2ax+a2﹣1＝m得x1＝a﹣，x2＝a+，∴PQ＝x2﹣x1＝2，∴2≥（b+7）﹣（b﹣3），∴m≥24．故答案為：m≥24．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握含參二次函數(shù)的性質(zhì)與參數(shù)的關(guān)系．27．（7分）如圖，在等邊△ABC中，作∠ACD＝∠ABD＝45°，邊CD、BD交于點(diǎn)D，連接AD．（1）請直接寫出∠CDB的度數(shù)；（2）求∠ADC的度數(shù)；（3）用等式表示線段AD、BD、CD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）如圖，設(shè)AB交CD于點(diǎn)O．利用“8字型”證明角相等即可；（2）由△DBO∽△ACE，推出＝，可得＝，∠AOD＝∠BOC，推出△AOD∽△COB，即可解決問題；（3）結(jié)論：DC＝DB+DA．在DC上截取DE＝DB，連接BE．利用全等三角形的