2023-2024學年北京市朝陽區(qū)陳經(jīng)綸中學望京分校九年級（上）期中數(shù)學試卷【含解析】

第1頁（共1頁）2023-2024學年北京市朝陽區(qū)陳經(jīng)綸中學望京分校九年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1．（2分）下列圖形是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（2分）關(guān)于二次函數(shù)y＝（x﹣2）2+1，下列說法正確的是（）A．最大值為2 B．最小值為2 C．最大值為1 D．最小值為13．（2分）將拋物線y＝x2先向左平移2個單位長度，再向下平移4個單位得到的拋物線是（）A．y＝（x+2）2﹣4 B．y＝（x﹣2）2﹣4 C．y＝（x+2）2+4 D．y＝（x﹣2）2+44．（2分）如圖，在⊙O中，C是的中點，點D是⊙O上一點．若∠BOC＝40°，則∠ADC的度數(shù)為（）A．10° B．20° C．40° D．80°5．（2分）若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．m≥1 B．m≤1 C．m＞﹣1 D．m＜﹣16．（2分）用配方法解方程x2+6x+2＝0時，配方結(jié)果正確的是（）A．（x+3）2＝7 B．（x+3）2＝11 C．（x﹣3）2＝7 D．（x﹣3）2＝117．（2分）如圖，PA，PB是⊙O的兩條切線，A，B是切點，若∠P＝60°，⊙O的半徑為6，則圖中的長為（）A．2π B．4π C．6π D．12π8．（2分）如表記錄了二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣2（a≠0）中兩個變量x與y的5組對應(yīng)值，其中x2＞x1＞﹣1．x…﹣3﹣1x1x25…y…m0﹣20m…若當0＜x≤4時，直線y＝k與該二次函數(shù)圖象有兩個公共點，則k的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題（共16分，每題2分）9．（2分）平面直角坐標系中，已知點P（5，﹣4）與點Q關(guān)于原點對稱，則Q點坐標為．10．（2分）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一個根為1，則m的值為．11．（2分）如圖，在⊙O中，AB為弦，OC⊥AB于點C，交⊙O于點D，E，連接EA，EB，則圖中存在的相等關(guān)系有（寫出兩組即可）．12．（2分）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，若以A為圓心，r為半徑作圓，使得B、C、D三個點中恰有一個點在圓外，請寫出一個符合條件的r的值．13．（2分）如圖，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，若∠DAE＝110°，∠C＝30°，則∠B的度數(shù)為．14．（2分）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC，垂足為E，若線段AE＝3，則四邊形ABCD的面積是．15．（2分）如圖，平面直角坐標系中A（0，1），B（2，﹣1），C（4，5）．拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過A，B，C三點，直線y＝kx+d（k≠0）經(jīng)過A，C．當ax2+bx+c＜kx+d時，x的取值范圍為．16．（2分）如圖，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于點D，E為平面內(nèi)一動點，且∠AEB＝90°，F(xiàn)為AE中點，連接CF，則CF的最小值為．三、解答題（共68分，第17-22題，每題5分，第23-26題，每題6分，第27-28題，每題7分）.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.17．（5分）解方程：x2+6x+8＝0．18．（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m+6）x+2m+8＝0．（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；（2）若該方程的兩個實數(shù)根之差為3，求m的值．19．（5分）已知拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過點A（2，0），B（﹣1，3）．（1）求該拋物線的解析式及頂點坐標；（2）在給定的平面直角坐標系中，畫出這個二次函數(shù)的圖象；（3）若點M（﹣2，y1）和N（n，y2）都在此函數(shù)的圖象上，且y1＞y2，直接寫出n的取值范圍．20．（5分）已知：如圖，△ABC為銳角三角形，AB＝AC．求作：一點P，使得∠APC＝∠BAC．作法：①以點A為圓心，AB長為半徑畫圓；②以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，交⊙A于點C，D兩點；③連接DA并延長交⊙A于點P．點P即為所求．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明：證明：連接PC，BD．∵AB＝AC，∴點C在⊙A上．∵BC＝BD，∴∠＝∠．∴∠BAC＝∠CAD．∵點D，P在⊙A上，∴∠CPD＝∠CAD．（）（填推理的依據(jù)）∴∠APC＝∠BAC．21．（5分）如圖，割線PB與⊙O交于點A，B，割線PC過圓心O，且∠CPB＝30°．若弦AB＝6，⊙O的半徑OA＝5，求PC的長．22．（5分）如圖，在長為30m、寬20m的矩形空地上，修建一橫一縱兩條道路，并且橫、縱兩條道路的寬度比為2：3，余下的部分作為草坪，若草坪面積為486m2，求兩條道路的寬度各是多少？23．（6分）關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c＝0經(jīng)過適當變形，可以寫成（x﹣m）（x﹣n）＝p（m≤n）的形式．現(xiàn)列表探究x2﹣5x﹣4＝0的變形：變形mnp（x+1）（x﹣6）＝﹣2﹣16﹣2x（x﹣5）＝4054（x﹣1）（x﹣4）＝81t8（x﹣2）（x﹣3）＝102310回答下列問題：（1）表格中t的值為；（2）觀察上述探究過程，表格中m與n滿足的等量關(guān)系為；（3）記x2+bx+c＝0的兩個變形為（x﹣m1）（x﹣n1）＝p1和（x﹣m2）（x﹣n2）＝p2（p1≠p2），求的值．24．（6分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為斜邊中線，以CD為直徑作⊙O交BC于點E，過點E作EF⊥AB，垂足為點F．（1）求證：EF為⊙O的切線．（2）若CD＝5，AC＝6，求EF的長．25．（6分）實心球投擲后的運動軌跡可以看作是拋物線的一部分．甲、乙兩人分別進行了一次投擲，從投擲到著陸的過程中，通過測量得到實心球的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）的相關(guān)數(shù)據(jù)信息，如下所示：信息1：甲投擲時，實心球的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下：水平距離x/m0246810豎直距離y/m1.872.953.312.95m0.07建立如圖所示的平面直角坐標系，繪制圖象如圖：信息2：甲、乙兩人投擲時，出手高度相同；信息3：乙投擲后，實心球的水平距離為3.5m時達到了豎直高度的最大值2.85m．根據(jù)以上信息，回答問題：（1）直接寫出甲投擲的實心球豎直高度的最大值；（2）求甲投擲的實心球運動軌跡所滿足的函數(shù)關(guān)系；（3）記甲實心球成績?yōu)閐1，乙實心球成績?yōu)閐2，則d1d2（填“＞”、“＜”或“＝”）．26．（6分）在平面直角坐標系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2）在拋物線y＝ax2+2ax+c上，其中x1＜x2．（1）求該拋物線的對稱軸；（2）若a＞0，x1＝﹣2，x2＝1，比較y1，y2的大小；（3）若x1+x2＝1﹣a，且y1≤y2，求a的取值范圍．27．（7分）△ACB中，∠C＝90°，以點A為中心，分別將線段AB，AC逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AD，AE，連接DE，延長DE交CB于點F．（1）如圖1，若∠B＝30°，∠CFE的度數(shù)為；（2）如圖2，當30°＜∠B＜60°時，①依題意補全圖2；②猜想CF與AC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．28．（7分）在平面直角坐標系xOy中，圖形M上任意兩點間的距離若有最大值，將這個最大值記為d．對于點P和圖形M給出如下定義：點Q是圖形M上任意一點，若P，Q兩點間的距離有最小值，且最小值恰好為d，則稱點P為圖形M的“等距點”．（1）如圖1，圖形M是矩形AOBC，其中點A的坐標為（0，3），點C的坐標為（4，3），則d＝．在點P1（﹣1，0），P2（2，8），P3（3，1），中，矩形AOBC的“等距點”是；（2）如圖2，圖形M是中心在原點的正方形DEFG，其中D點的坐標為（1，1）．若直線y＝x+b上存在點P，使點P為正方形DEFG的“等距點”，求b的取值范圍；（3）已知點M（1，0），．圖形M是以T（t，0）為圓心，1為半徑的⊙T．若線段MN上存在點P，使點P為⊙T的“等距點”，直接寫出t的取值范圍．

2023-2024學年北京市朝陽區(qū)陳經(jīng)綸中學望京分校九年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1．（2分）下列圖形是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念判斷．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．【解答】解：選項A、B、C都不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形．選項D能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形．故選：D．【點評】本題考查的是中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合．2．（2分）關(guān)于二次函數(shù)y＝（x﹣2）2+1，下列說法正確的是（）A．最大值為2 B．最小值為2 C．最大值為1 D．最小值為1【分析】根據(jù)所給的表達式可得出拋物線的開口方向和頂點坐標，據(jù)此可解決問題．【解答】解：∵二次函數(shù)的表達式為y＝（x﹣2）2+1，∴二次函數(shù)圖象開口向上，當x＝2時，函數(shù)有最小值1，故選：D．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，能根據(jù)所給表達式得出開口方向、頂點坐標是解題的關(guān)鍵．3．（2分）將拋物線y＝x2先向左平移2個單位長度，再向下平移4個單位得到的拋物線是（）A．y＝（x+2）2﹣4 B．y＝（x﹣2）2﹣4 C．y＝（x+2）2+4 D．y＝（x﹣2）2+4【分析】根據(jù)“左加右減、上加下減”的原則進行解答即可．【解答】解：將拋物線y＝x2向左平移2個單位所得直線解析式為：y＝（x+2）2；再向下平移4個單位為：y＝（x+2）2﹣4，故選：A．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．4．（2分）如圖，在⊙O中，C是的中點，點D是⊙O上一點．若∠BOC＝40°，則∠ADC的度數(shù)為（）A．10° B．20° C．40° D．80°【分析】連接OA，由圓心角、弧、弦的關(guān)系得到∠AOC＝∠BOC＝40°，由圓周角定理即可求出∠ADC＝∠AOC＝20°．【解答】解：連接OA，∵C是中點，∴∠AOC＝∠BOC＝40°，∴∠ADC＝∠AOC＝20°．故選：B．【點評】本題考查圓周角定理，圓心角，弧弦的關(guān)系，關(guān)鍵是由以上知識點得到∠AOC＝∠BOC，∠ADC＝∠AOC．5．（2分）若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．m≥1 B．m≤1 C．m＞﹣1 D．m＜﹣1【分析】根據(jù)判別式的意義得到Δ＝22+4m＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根據(jù)題意得Δ＝22+4m＞0，解得m＞﹣1．故選：C．【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當Δ＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0，方程沒有實數(shù)根．6．（2分）用配方法解方程x2+6x+2＝0時，配方結(jié)果正確的是（）A．（x+3）2＝7 B．（x+3）2＝11 C．（x﹣3）2＝7 D．（x﹣3）2＝11【分析】根據(jù)配方法解一元二次方程的步驟計算即可．【解答】解：∵x2+6x+2＝0，∴x2+6x＝﹣2，∴x2+6x+9＝﹣2+9，即（x+3）2＝7，故選：A．【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．7．（2分）如圖，PA，PB是⊙O的兩條切線，A，B是切點，若∠P＝60°，⊙O的半徑為6，則圖中的長為（）A．2π B．4π C．6π D．12π【分析】先根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAP＝∠OBP＝90°，則利用四邊形內(nèi)角和可計算出∠AOB＝120°，然后根據(jù)弧長公式求解．【解答】解：∵PA，PB是⊙O的兩條切線，∴PA⊥OA，PB⊥OB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，∴的長度為＝4π．故選：B．【點評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了弧長公式．8．（2分）如表記錄了二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣2（a≠0）中兩個變量x與y的5組對應(yīng)值，其中x2＞x1＞﹣1．x…﹣3﹣1x1x25…y…m0﹣20m…若當0＜x≤4時，直線y＝k與該二次函數(shù)圖象有兩個公共點，則k的取值范圍是（）A． B． C． D．【分析】利用二次函數(shù)的圖象的對稱性求得拋物線的對稱軸，利用待定系數(shù)法求得a，b的值，再利用二次函數(shù)與直線的交點的特性解答即可．【解答】解：由表中信息可知：拋物線經(jīng)過點（﹣3，m）和（5，m），∴拋物線的對稱軸為直線x＝＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a．根據(jù)表中信息，拋物線經(jīng)過點（﹣1，0），∴a﹣b﹣2＝0，∴，解得：，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2；∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣1）2﹣，∴該拋物線的頂點坐標為（1，﹣），拋物線的開口方向向上，拋物線經(jīng)過（0，﹣2），（2，﹣2），∴當x＝1時，y由最小值﹣，當x＝0時，y＝﹣2，當x＝2時，y＝﹣2；當x＝4時，y＝，如圖：∵當0＜x≤4時，直線y＝k與該二次函數(shù)圖象有兩個公共點，∴﹣＜k＜﹣2．故選：C．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，拋物線上點的坐標的特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和利用數(shù)形結(jié)合的方法解答是解題的關(guān)鍵．二、填空題（共16分，每題2分）9．（2分）平面直角坐標系中，已知點P（5，﹣4）與點Q關(guān)于原點對稱，則Q點坐標為（﹣5，4）．【分析】根據(jù)兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標符號相反，可以直接得到答案．【解答】解：平面直角坐標系中，已知點P（5，﹣4）與點Q關(guān)于原點對稱，則Q點坐標為（﹣5，4）．故答案為：（﹣5，4）．【點評】本題主要考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標特點，兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點P（x，y）關(guān)于原點O的對稱點是P′（﹣x，﹣y）．10．（2分）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一個根為1，則m的值為2．【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，將x＝1代入原方程，列出關(guān)于m的方程，然后解方程即可．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一個根為1，∴x＝1滿足一元二次方程x2﹣3x+m＝0，∴1﹣3+m＝0，解得，m＝2．故答案為：2．【點評】此題主要考查了方程解的定義，此類題型的特點是，利用方程解的定義找到相等關(guān)系，再把所求的代數(shù)式化簡后整理出所找到的相等關(guān)系的形式，再把此相等關(guān)系整體代入所求代數(shù)式，即可求出代數(shù)式的值．11．（2分）如圖，在⊙O中，AB為弦，OC⊥AB于點C，交⊙O于點D，E，連接EA，EB，則圖中存在的相等關(guān)系有AC＝BC，＝（答案不唯一）（寫出兩組即可）．【分析】根據(jù)垂徑定理得到AC＝BC，＝，＝，則根據(jù)圓周角定理得到∠A＝∠B，∠AED＝∠BED，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到AE＝BE，然后寫出兩組相等的關(guān)系即可．【解答】解：如圖，∵OC⊥AB，∴AC＝BC，＝，＝，∴AE＝BE，∠A＝∠B，∠AED＝∠BED．故答案為：AC＝BC，＝（答案不唯一）．【點評】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?2．（2分）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，若以A為圓心，r為半徑作圓，使得B、C、D三個點中恰有一個點在圓外，請寫出一個符合條件的r的值4（答案不唯一）．【分析】根據(jù)勾股定理求出AC的長，即可得出半徑R的取值范圍即可判斷．【解答】解；連接AC，∵AB＝3，AD＝4，∴AC＝＝5，∵以A為圓心，r為半徑作圓，使得B、C、D三個點中恰有一個點在圓外，∴⊙A的半徑r的取值范圍是：3＜R＜5，∴r可以為4．故答案為：4（答案不唯一）．【點評】本題考查的是點與圓的位置關(guān)系，熟知點與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：①點P在圓外?d＞r；②點P在圓上?d＝r；①點P在圓內(nèi)?d＜r是解題的關(guān)鍵．13．（2分）如圖，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，若∠DAE＝110°，∠C＝30°，則∠B的度數(shù)為40°．【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠DAE＝∠BAC，由三角形的內(nèi)角和定理即可求解．【解答】解：將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，∴∠DAE＝∠BAC＝110°，∵∠C＝30°，∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠BAC＝180°﹣30°﹣110°＝40°，故答案為：40°．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．14．（2分）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC，垂足為E，若線段AE＝3，則四邊形ABCD的面積是9．【分析】過A點作AF⊥CD交CD的延長線于F點，由AE⊥BC，AF⊥CF，∠C＝90°可得四邊形AECF為矩形，則∠2+∠3＝90°，而∠BAD＝90°，根據(jù)等角的余角相等得∠1＝∠3，加上∠AEB＝∠AFD＝90°和AB＝AD，根據(jù)全等三角形的判定可得△ABE≌△ADF，由全等三角形的性質(zhì)有AE＝AF＝5，S△ABE＝S△ADF，則S四邊形ABCD＝S正方形AECF，然后根據(jù)正方形的面積公式計算即可．【解答】解：過A點作AF⊥CD交CD的延長線于F點，如圖，∵AE⊥BC，AF⊥CF，∴∠AEC＝∠CFA＝90°，而∠C＝90°，∴四邊形AECF為矩形，∴∠2+∠3＝90°，又∵∠BAD＝90°，∴∠1＝∠3，在△ABE和△ADF中，∵，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AE＝AF＝3，S△ABE＝S△ADF，∴四邊形AECF是邊長為3的正方形，∴S四邊形ABCD＝S正方形AECF＝32＝9．故答案為：9．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：有兩組對應(yīng)角相等，并且有一條邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等；全等三角形的對應(yīng)邊相等；全等三角形的面積相等．也考查了矩形的性質(zhì)．15．（2分）如圖，平面直角坐標系中A（0，1），B（2，﹣1），C（4，5）．拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過A，B，C三點，直線y＝kx+d（k≠0）經(jīng)過A，C．當ax2+bx+c＜kx+d時，x的取值范圍為0＜x＜4．【分析】畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象即可求解．【解答】解：觀察函數(shù)圖象，直線y＝kx+c（k≠0）經(jīng)過點A，C，當ax2+bx+c＜kx+d時，x的取值范圍是0＜x＜4，故答案為：0＜x＜4．【點評】本題考查了二次函數(shù)與不等式（組），數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．16．（2分）如圖，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于點D，E為平面內(nèi)一動點，且∠AEB＝90°，F(xiàn)為AE中點，連接CF，則CF的最小值為﹣1．【分析】如圖，連接DF，取AD的中點O連接OF．求出OF，OC，根據(jù)CF≥OC﹣OF，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，連接DF，取AD的中點O連接OF．∵CA＝CB＝2，∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝4，∵CD⊥AB，∴AD＝DB＝2，∴CD＝AD＝DB＝2，∵AF＝EF，∴DF∥EB，∴∠AFD＝∠AEB＝90°，∵AO＝OD，∴OD＝OA＝OF＝1，∵OC＝＝＝，∵CF≥OC﹣OF，∴CF≥﹣1，∴CF的最小值為﹣1．故答案為：﹣1．【點評】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造三角形中位線，直角三角形解決問題．三、解答題（共68分，第17-22題，每題5分，第23-26題，每題6分，第27-28題，每題7分）.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.17．（5分）解方程：x2+6x+8＝0．【分析】先把方程左邊進行因式分解得到（x+2）（x+4）＝0，然后解一元一次方程即可．【解答】解：∵x2+6x+8＝0，∴（x+2）（x+4）＝0，∴x+2＝0或x+4＝0，∴x1＝﹣2，x2＝﹣4．【點評】本題主要考查了因式分解法解一元二次方程的知識，解答本題的關(guān)鍵是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．18．（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m+6）x+2m+8＝0．（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；（2）若該方程的兩個實數(shù)根之差為3，求m的值．【分析】（1）先求出原方程根的判別式，根據(jù)計算結(jié)果進行判斷即可；（2）設(shè)方程的兩根為：x1，x2，然后求出兩根和與兩根積，兩根差的平方，把兩根差的平方用兩根和與兩根積替換成關(guān)于m的一元二次方程，進行解答即可．【解答】（1）證明：∵a＝1，b＝﹣（m+6），c＝2m+8，∴b2﹣4ac＝[﹣（m+6）]2﹣4×1×（2m+8）＝（m+6）2﹣4（2m+8）＝m2+12m+36﹣8m﹣32＝m2+4m+4＝（m+2）2，∵不論m為何值，（m+2）2≥0，∴該方程總有兩個實數(shù)根；（2）解：設(shè)方程的兩根為：x1，x2，∴x1+x2＝m+6，x1?x2＝2m+8，∵該方程的兩個實數(shù)根之差為3，∴|x1﹣x2|＝3，∴，∵，∴（m+6）2﹣4（2m+8）＝9，m2+12m+36﹣8m﹣32＝9，m2+4m﹣5＝0，（m+5）（m﹣1）＝0，m+5＝0，m﹣1＝0，m1＝﹣5，m2＝1．【點評】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式，解題關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式．19．（5分）已知拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過點A（2，0），B（﹣1，3）．（1）求該拋物線的解析式及頂點坐標；（2）在給定的平面直角坐標系中，畫出這個二次函數(shù)的圖象；（3）若點M（﹣2，y1）和N（n，y2）都在此函數(shù)的圖象上，且y1＞y2，直接寫出n的取值范圍．【分析】（1）將A點和B點坐標分別代入y＝ax2+bx得到關(guān)于a、b的方程，然后解方程組即可；（2）先利用解析式確定拋物線與坐標軸的交點坐標，再利用配方法得到頂點坐標，然后描點法畫出函數(shù)圖象；（3）由于拋物線開口向上，則離對稱的距離越大，對應(yīng)的函數(shù)值越大，所以|n﹣1|＜3，然后解不等式即可．【解答】解：（1）∵y＝ax2+bx經(jīng)過點A（2，0），B（﹣1，3），∴，解得，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x；（2）當x＝0，y＝0，則拋物線過點（0，0），∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴拋物線的頂點坐標為（1，﹣1），如圖，（3）∵點M（﹣2，y1）和N（n，y2）都在此函數(shù)的圖象上，且y1＞y2，而拋物線的對稱軸為直線x＝1，∴|﹣2﹣1|＞|n﹣1|，即|n﹣1|＜3，解得﹣2＜n＜4，即n的取值范圍為﹣2＜n＜4．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．也考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．20．（5分）已知：如圖，△ABC為銳角三角形，AB＝AC．求作：一點P，使得∠APC＝∠BAC．作法：①以點A為圓心，AB長為半徑畫圓；②以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，交⊙A于點C，D兩點；③連接DA并延長交⊙A于點P．點P即為所求．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明：證明：連接PC，BD．∵AB＝AC，∴點C在⊙A上．∵BC＝BD，∴∠BAC＝∠BAD．∴∠BAC＝∠CAD．∵點D，P在⊙A上，∴∠CPD＝∠CAD．（一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半）（填推理的依據(jù)）∴∠APC＝∠BAC．【分析】（1）根據(jù)要求作圖即可；（2）根據(jù)圓周角定理求解即可．【解答】解：（1）如圖所示．（2）證明：連接PC，BD．∵AB＝AC，∴點C在⊙A上．∵BC＝BD，∴∠BAC＝∠BAD．∴∠BAC＝∠CAD．∵點D，P在⊙A上，∴∠CPD＝∠CAD．（一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半），∴∠APC＝∠BAC．故答案為：BAC，BAD，一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半．【點評】本題主要考查作圖—復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是掌握圓周角定理．21．（5分）如圖，割線PB與⊙O交于點A，B，割線PC過圓心O，且∠CPB＝30°．若弦AB＝6，⊙O的半徑OA＝5，求PC的長．【分析】由垂徑定理得到AH＝BH＝AB＝3，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出OH＝PO＝PC﹣，由勾股定理求解即可．【解答】解：作OH⊥AB于H，∴AH＝BH＝AB＝3，∵⊙O的半徑OA＝OC＝5，∴PO＝PC﹣OC＝PC﹣5，∵∠CPB＝30°，∴OH＝PO＝PC﹣，∵AH2＝AO2﹣OH2，OA＝5，∴32＝52﹣（PC﹣）2，∴PC＝13．【點評】本題考查圓的有關(guān)知識，關(guān)鍵是掌握垂徑定理，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)．22．（5分）如圖，在長為30m、寬20m的矩形空地上，修建一橫一縱兩條道路，并且橫、縱兩條道路的寬度比為2：3，余下的部分作為草坪，若草坪面積為486m2，求兩條道路的寬度各是多少？【分析】設(shè)橫道路的寬為2xm，則縱道路的寬為3xm，余下的部分的面積等同于長為（30﹣3x）m、寬為（20﹣2x）m的矩形的面積，結(jié)合余下的部分的面積為486m2，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再將其符合題意的值代入2x，3x中，即可求出結(jié)論．【解答】解：設(shè)橫道路的寬為2xm，則縱道路的寬為3xm，根據(jù)題意得：（30﹣3x）（20﹣2x）＝486，整理得：（10﹣x）2＝81，解得：x1＝1，x2＝19（不符合題意，舍去），∴2x＝2×1＝2，3x＝3×1＝3．答：橫道路的寬為2m，縱道路的寬為3m．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．23．（6分）關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c＝0經(jīng)過適當變形，可以寫成（x﹣m）（x﹣n）＝p（m≤n）的形式．現(xiàn)列表探究x2﹣5x﹣4＝0的變形：變形mnp（x+1）（x﹣6）＝﹣2﹣16﹣2x（x﹣5）＝4054（x﹣1）（x﹣4）＝81t8（x﹣2）（x﹣3）＝102310回答下列問題：（1）表格中t的值為4；（2）觀察上述探究過程，表格中m與n滿足的等量關(guān)系為m+n＝5；（3）記x2+bx+c＝0的兩個變形為（x﹣m1）（x﹣n1）＝p1和（x﹣m2）（x﹣n2）＝p2（p1≠p2），求的值．【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)觀察得到答案；（2）根據(jù)表格數(shù)據(jù)計算，得到答案；（3）由（2）中結(jié)論得到m1+n1＝﹣b，m2+n2＝﹣b，得到n1﹣n2＝m2﹣m1，計算即可．【解答】解：（1）由表格可得：t＝4，故答案為：4；（2）﹣1+6＝5，0+5＝5，1+4＝5，2+3＝5，則m+n＝5，故答案為：m+n＝5；（3）由（2）可知：m1+n1＝﹣b，m2+n2＝﹣b，∴m1+n1＝m2+n2，∴n1﹣n2＝m2﹣m1，∴＝﹣1．【點評】本題考查的是一元二次方程，得出m+n為一次項系數(shù)的相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．24．（6分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為斜邊中線，以CD為直徑作⊙O交BC于點E，過點E作EF⊥AB，垂足為點F．（1）求證：EF為⊙O的切線．（2）若CD＝5，AC＝6，求EF的長．【分析】（1）連接OE，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得CD＝BD，然后再利用等腰三角形的性質(zhì)證明OE∥AB，即可解答；（2）根據(jù)CD為⊙O的直徑，∠DEC＝90°，然后證明DE是△ABC的中位線，再利用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可解答．【解答】（1）證明：如圖，連接OE，Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，∴CD＝AD＝BD，∴∠B＝∠BCD，又∵OC＝OE，∴∠OEC＝∠BCD，∴∠OEC＝∠B，∴AB∥OE，又∵EF⊥AB，∴EF⊥OE，又∵OE是⊙O的半徑，∴EF與⊙O相切；（2）解：連接DE，∵CD為⊙O的直徑，∴∠DEC＝90°，∴DE∥AC，∵CD是斜邊AB上的中線，∴DE是△ABC的中位線，∴DE＝AC，∵CD為斜邊中線，CD＝5，∴AB＝10，∵AC＝6，∴BC＝＝8，∴BE＝＝4，∵∠B＝∠B，∠BFE＝∠BCA，∴△BEF∽△BAC，∴，∴，∴EF＝2.4．【點評】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形斜邊上的中線，直線和圓的位置關(guān)系，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．25．（6分）實心球投擲后的運動軌跡可以看作是拋物線的一部分．甲、乙兩人分別進行了一次投擲，從投擲到著陸的過程中，通過測量得到實心球的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）的相關(guān)數(shù)據(jù)信息，如下所示：信息1：甲投擲時，實心球的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下：水平距離x/m0246810豎直距離y/m1.872.953.312.95m0.07建立如圖所示的平面直角坐標系，繪制圖象如圖：信息2：甲、乙兩人投擲時，出手高度相同；信息3：乙投擲后，實心球的水平距離為3.5m時達到了豎直高度的最大值2.85m．根據(jù)以上信息，回答問題：（1）直接寫出甲投擲的實心球豎直高度的最大值3.31m；（2）求甲投擲的實心球運動軌跡所滿足的函數(shù)關(guān)系；（3）記甲實心球成績?yōu)閐1，乙實心球成績?yōu)閐2，則d1＜d2（填“＞”、“＜”或“＝”）．【分析】（1）先根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)找到頂點坐標，即可得出h、k的值，甲豎直高度的最大值；（2）甲投擲的實心球運動軌跡所滿足的函數(shù)關(guān)系為y＝a（x﹣4）2+3.31，把（0，1.87）代入即可得到結(jié)論；（3）設(shè)乙投擲的實心球運動軌跡所滿足的函數(shù)關(guān)系為y＝a（x﹣3.5）2+2.85，求得乙投擲的實心球運動軌跡所滿足的函數(shù)關(guān)系為y＝﹣0.08（x﹣3.5）2+2.85，然后解方程即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知，拋物線的頂點坐標為：（4，3.31），即甲投擲的實心球豎直高度的最大值為3.31m，故答案為：3.31m；（2）甲投擲的實心球運動軌跡所滿足的函數(shù)關(guān)系為y＝a（x﹣4）2+3.31，把（0，1.87）代入得1.87＝a（0﹣4）2+3.31，解得a＝﹣0.09，∴甲投擲的實心球運動軌跡所滿足的函數(shù)關(guān)系為y＝﹣0.09（x﹣4）2+3.31；（3）∵乙投擲后，實心球的水平距離為3.5m時達到了豎直高度的最大值2.85m．∴設(shè)乙投擲的實心球運動軌跡所滿足的函數(shù)關(guān)系為y＝a（x﹣3.5）2+2.85，∵甲、乙兩人投擲時，出手高度相同，∴把（0，1.87）代入得1.87＝a（0﹣3.5）2+2.85，解得a＝﹣0.08，∴乙投擲的實心球運動軌跡所滿足的函數(shù)關(guān)系為y＝﹣0.08（x﹣3.5）2+2.85，在y＝﹣0.09（x﹣4）2+3.31中，當y＝0時，即﹣0.09（x﹣4）2+3.31＝0，解得x＝4+或x＝4﹣（不合題意舍去），在y＝﹣0.08（x﹣3.5）2+2.85中，當y＝0時，即﹣0.08（x﹣3.5）2+2.85＝0，解得x＝3.5+或x＝3.5﹣（不合題意舍去），∴d1＝4+，d2＝3.5+，∵d1﹣d2＝4+﹣3.5﹣＝0.5+﹣＜0，∴d1＜d2．故答案為：＜．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．26．（6分）在平面直角坐標系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2）在拋物線y＝ax2+2ax+c上，其中x1＜x2．（1）求該拋物線的對稱軸；（2）若a＞0，x1＝﹣2，x2＝1，比較y1，y2的大小；（3）若x1+x2＝1﹣a，且y1≤y2，求a的取值范圍．【分析】（1）拋物線的對稱軸為：直線x＝﹣＝﹣1；（2）由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）由題意y1﹣y2＝（+2ax1+c）﹣（+2ax2+c）＝a（x1+x2）（x1﹣x2）+2a（x1﹣x2）＝a（x1+x2+2）（x1﹣x2）≤0，根據(jù)x1＜x2，x1+x2＝1﹣a得到關(guān)于a的不等式組，解不等式組即可．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+2ax+c，∴拋物線的對稱軸為：直線x＝﹣＝﹣1；（2）∵a＞0，∴拋物線開口向上，∵A（x1，y1），B（x2，y2）在拋物線y＝ax2+2ax+c上，x1＝﹣2，x2＝1，且對稱軸為直線x＝﹣1，∵﹣1﹣（﹣2）＝1，1﹣（﹣1）＝2，∴y1＜y2；（3）∵A（x1，y1），B（x2，y2）在拋物線y＝ax2+2ax+c上，∴y1＝+2ax1+c，y2＝+2ax2+c，∴y1﹣y2＝（+2ax1+c）﹣（+2ax2+c）＝a（x1+x2）（x1﹣x2）+2a（x1﹣x2）＝a（x1+x2+2）（x1﹣x2），∵x1+x2＝1﹣a，且y1≤y2，∴y1﹣y2＝a（3﹣a）（x1﹣x2）≤0，∵x1＜x2．∴x1﹣x2＜0，∴a（3﹣a）≥0，∴或，∵不等式組的解集為0＜a≤3，不等式組無解，∴a的取值范圍是0＜a≤3．【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)圖象上的點的坐標特點、二次函數(shù)的增減性，熟練掌握二次函數(shù)圖象上的點的坐標特點及二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．27．（7分）△ACB中，∠C＝90°，以點A為中心，分別將線段AB，AC逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AD，AE，連接DE，延長DE交CB于點F．（1）如圖1，若∠B＝30°，∠CFE的度數(shù)為120°；（2）如圖2，當30°＜∠B＜60°時，①依題意補全圖2；②猜想CF與AC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【分析】（1）先求出∠BAC＝60°，進而判斷出點E在邊AB上，得出△ADE≌△ABC（SAS），進而得出∠AED＝∠ACB＝90°最后用三角形的外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）①依題意補全圖形即可；（3）先判斷出△ADE≌△ABC（SAS），進而得出∠AEF＝90°，即可判斷出Rt△AEF≌Rt△ACF，進而求出∠CAF＝∠CAE＝30°，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，由旋轉(zhuǎn)知，∠CAE＝60°＝∠CAB，∴點E在邊AB上，∵AD＝AB，AE＝AC，∴△ADE≌△ABC（SAS），∴∠AED＝∠ACB＝90°，∴∠CFE＝∠B+∠BEF＝30°+90°＝120°，故答案為120°；（2）①依題意補全圖形如圖2所示，（3）如圖2，連接AF，∵∠BAD＝∠CAE，∴∠EAD＝∠CAB，∵AD＝AB，AE＝AC，∴△ADE≌△ABC（SAS），∴∠AED＝∠C＝90°，∴∠AEF＝90°，∴Rt△AEF≌Rt△ACF，∴∠EAF＝∠CAF，∴∠CAF＝∠CAE＝30°，在Rt△ACF中，CF＝AF，且AC2+CF2＝AF2，∴CF＝AC．【點評】此題是三角