河北省“五個一聯(lián)盟”2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期第二次診斷考試試題

PAGEPAGE10河北省“五個一聯(lián)盟”2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期其次次診斷考試試題試卷滿分：150分考試時長：120分鐘留意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將答題卡交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知全集，集合，則如圖所示陰影區(qū)域表示的集合為（）A．B．C．D．2．已知正實(shí)數(shù)a，b滿意，則復(fù)數(shù)為（）A．B．C．D．3．在三棱錐中，M，N分別是的中點(diǎn)，若，則與所成的角為（）A．B．C．D．4．若，則的值為（）A．B．C．D．5．直線與圓交于M、N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A．B．C．1D．26．甲、乙、丙、丁四人過橋，一次最多能過兩個人，四人只有一把手電（在橋上行走時需攜帶且打亮），手電照明時間僅能維持二非常鐘，每個人單獨(dú)過橋所需的時間分別為1分鐘、2分鐘、5分鐘、10分鐘，則四人全部過橋的最短時間為（若兩人同時過橋，必需相伴同行）（）A．16分鐘B．17分鐘C．18分鐘D．19分鐘7．過拋物線的焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，則（）A．2B．3C．4D．8．已知恰有三個不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．B．C．D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分。9．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．在區(qū)間上有2個零點(diǎn)B．為的一個對稱中心C．D．要得到的圖像，可以將圖像上全部的點(diǎn)向左平移個單位長度，再將橫坐標(biāo)縮短到原來的10．已知數(shù)列滿意，且，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．的最小值為0D．當(dāng)且僅當(dāng)時，取最大值3011．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，滿意，當(dāng)時，，則下列說法正確的是（）A．B．函數(shù)是偶函數(shù)C．當(dāng)時，的最大值為6D．當(dāng)時，的最小值為12．已知橢圓上有一點(diǎn)P，分別為左、右焦點(diǎn)，的面積為S，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．若，則B．若，則C．若為鈍角三角形，則D．橢圓C內(nèi)接矩形的周長范圍是三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．五位同學(xué)站成一排，其中3位女生，2位男生，假如2位男生不能相鄰，且女生甲不能排第一個，那么全部的排列總數(shù)為____________．（用數(shù)字作答）14．某高校2013年在校本科生4500人，探討生500人，預(yù)料在今后若干年內(nèi)，該學(xué)校本科生每年比上一年增長，探討生每年比上一年增長，則從_______年起先該校探討生的人數(shù)占該校本科生和探討生總?cè)藬?shù)比例首次達(dá)到以上．（參考數(shù)據(jù)：）15．點(diǎn)M在內(nèi)部，滿意，則________．16．設(shè)雙曲線的左右頂點(diǎn)分別為，與不重合的點(diǎn)P在其右支上，則直線與直線的斜率之積為__________．若，則的大小為___________．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）在①；②；③的面積三個條件中任選一個（填序號），補(bǔ)充在下面的問題中，并解答該問題。已知的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，_________，D是邊上的一點(diǎn)，且，求線段的長．18．（12分）數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，等比數(shù)列滿意．（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和。19．（12分）如圖，在四棱錐中，四邊形是等腰梯形，，，M，N分別是的中點(diǎn)．且，平面平面．（1）證明：平面；（2）已知三棱錐的體積為，求二面角的余弦值．20．（12分）已知橢圓的離心率為，一頂點(diǎn)坐標(biāo)為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知M、N為橢圓上異于A的兩點(diǎn)，且，推斷直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出此點(diǎn)坐標(biāo)．21．（12分）某中學(xué)有高一和高二兩個乒乓球隊，每隊各9人．兩隊在過去的九場單打?qū)官愔?，競賽結(jié)果統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：場次123456789競賽結(jié)果高二勝高二勝高一勝高二勝高一勝高二勝高二勝高一勝高二勝兩隊隊員商議下一次單打?qū)官惖母傎愋问剑?yīng)了三種方案：（1）雙方各出3人，比三局；（2）雙方各出5人，比五局；（3）雙方各出7人，比七局．（以上表中的高二隊?wèi)?zhàn)勝高一隊的頻率作為高二隊?wèi)?zhàn)勝高一隊的概率）三種方案均以競賽中獲勝局?jǐn)?shù)多的一方獲勝．問：對高一年級來說，哪種方案獲勝率更高？你能得出什么結(jié)論？22．（12分）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．（2）當(dāng)時，求證：．河北省“五個一名校聯(lián)盟”2025屆高三其次次診斷考試數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．D2．C3．A4．D5．C6．B7．B8．D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分。9．AB10．AC11．ABC12．ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．6014．202415．3：416．1，（或）四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．解：若選①，，∴，2分∴，∴4分若選②，，又，∴2分因?yàn)?，所?分若選③，的面積，結(jié)合余弦定理可得號，可得，可得2分因?yàn)?，所?分因?yàn)?，所以，在中，?分在中，由正弦定理的，∴，∴,7分∵，∴，8分在中，，∴,．10分18．解：（1）時，，時，，又適合上式，∴，3分∵，設(shè)的公比為q，，∴．6分（2）；8分設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為；9分.12分19．解：（1）連接，明顯且，∴四邊形為平行四邊形，∴且，∴是正三角形，∴，2分∵平面平面，且平面平面，∴平面，∴平面，∴，又∵，且，∴平面．4分（2）連接，易知，∴．在中，，∵，∴，∴6分故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的一個法向量，,∴,∴,∴;8分設(shè)平面的一個法向量，,∴,∴,∴;10分∴，設(shè)二面角所成的角為，．12分20．解：（1）橢圓離心率為，∴，1分∵，∴3分橢圓方程為．4分（2）直線斜率不存在時，不合題意，設(shè)直線方程為．聯(lián)立得，，6分，9分解得或,10分若直線方程為，則直線過定點(diǎn)，與A重合，不合題意；若直線方程為，則直線過定點(diǎn)．綜上，直線過定點(diǎn)．12分21．解：由題意知，高二每位隊員戰(zhàn)勝高一每位隊員的概率為，即每場競賽高一隊獲勝的概率為分方案一高一年級獲勝的概率：；4分方案二高一年級獲勝的概率：；7分方案三高一年級獲勝的概率：．10分∵所以對高一年級來說，方案一更有利．結(jié)論：因?yàn)楦咭荒昙壝课魂爢T獲勝的概率為，概率低于高二年級，所以競賽次數(shù)越少，高一年級僥幸獲勝的概率越大。當(dāng)雙方實(shí)力有差距時，所比局?jǐn)?shù)越少，對實(shí)力弱的一方越有利．12分22．解：（1），因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，在上恒成立，即，2分令，，所以在單調(diào)遞增，所以，即．5分（2）要證，即證明．7分令，由得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，