2024年中考數(shù)學復習：有關圓的解法和證明專項練習

有關圓的解法和證明專項練習

圓可以和直線型所有知識融合在一起，集幾何之大成，中考中可以在選擇題、填空題、解答題等試題中呈現(xiàn).本專題主

要講解圓中角度、線段、面積等基礎知識的運用，并結合典型題的解證總結和概括解題規(guī)律和解題方法.主要知識點有：①圓

周角、圓心角、圓內角、圓外角及它們所對的弧之間的關系；②圓中的直角三角形，主要是作垂線運用垂徑定理、直徑所對

的圓周角是直角和切線性質；③切線的兩種判定方法，三種位置關系向數(shù)量關系轉化；④面積的計算等.

引例熱身

1.如圖,在0O中，ZABC=20°,ZDAC=24°,則NADO的度數(shù)為（）

第1題圖第2題圖第3題圖

2.如圖,菱形OABC的頂點A,B,C在。O上,過點B作OO的切線交OA的延長線于點D.若。O的半徑為1,則BD的長為（）

A.1B,2C.V2D.V3

3.如圖,在4ABC中，ZACB=90°,ZABC=45°,AB=12cm,將4ABC繞點B順時針旋轉，使點C落在AB的延長線上的點D處，則

陰影部分的面積是（）

A.12KB.36兀C.27TtD.30兀

思路指引

L■觀察角的位置-A|弧是圓心角和圓周角的聯(lián)系橋—A|完成角的轉化

2.■利用切線性質---?有切點，連半徑，得垂直---?求出相關線段

根據(jù)旋轉特點--通過割補轉化--實現(xiàn)等積變形

點撥分析

1.給出的已知角都是圓周角，連接OA,OC構成圓心角，找圓心角與圓周角的關系是關鍵，而它們所對的同一條弧是橋

梁聯(lián)想到同弧所對的圓心角是它所對的圓周角的2倍，得乙40c=2AABC=40。,/COD=2ACAD=48。,可求得AAOD=88°

.由等腰三角開鄉(xiāng)OAD,得NAD。=N04D=號X（180°-88°）=46。.故選D.

2.從圖中可以看出，連接OB,可得.△OBD是直角三角形，由四邊形OABC是菱形和同圓半徑相等，得=60。根

據(jù)直角三角形的邊角關系，得（OB=l,BD=V30B=VI故選D.

3.從圖中可以看出，由旋轉可知，尋找旋轉中的不變量，可以把陰影部分的面積轉化為一個扇面，即兩個扇形面積的差.

確定兩個扇形的半徑，求出扇形所在的圓心角度數(shù)，可求出陰影面積為27兀（皿2）.故選c.

典例串燒

例1已知0O是^ABC的外接圓，過點A作。O的切線，與CO的延長線交于點P,CP與0O交于點D.

⑴如圖①,若4ABC為等邊三角形,求NP的大小.

⑵如圖②,連接AD,若PD=AD,求/ABC的大小.

例1題圖

思路指引

以弧為橋將圓周角連圓心和切點三角形外角等于和它不

⑴與圓心角互相轉化得直角三角形相鄰的兩個內角的和

|得等腰卜

連半徑求得目標角

⑵由切線

得垂直

迷津指點從條件出發(fā),連接OA.由切線的性質,得NPAO=90。.

⑴由△ABC是等邊三角形,得NB=60°,可推出."10C=120。,從而得出ZP=30。.

(2)由PD=AD,得NP=NPAD,而OA=OD,ZOAD=ZADO=2ZP=2ZPAD,且NPAO=90。,可得NP=/PAD=30。，ZAOC=1

20°,所以NABC=60。.

針對訓練1.如圖.AB為OO的切線,切點為A,OB交。O于點C,點D在。O上,且OD〃AC,若NB=38°,則NODC

的度數(shù)為()

A.46°B.48°

C.52°D.58°

例2如圖,已知MN是。O的直徑,P點是。O上的一點,NP平分/MNQ,且NQ1PQ.

⑴求證:直線PQ和OO相切.

(2)若NMNP=30。,PQ=V5,求＜30的半徑.

路指引

例2題圖

(1)因為點P在圓上，根據(jù)切線的判定定理，推斷出要證明直線PQ和。O相切，需連接OP,構成角平分線加等腰三角

形的基本圖形，從而得到OP〃NQ,而NQ1PQ,故可得OP1PQ,直線PQ是0O的切線.

⑵連接MP,如圖,MN是0O的直徑,所以NMPN=90。.在RtAPQN中.ZPNQ=ZMNP=30°,可求得.PN=2PQ=2V3.

在RtAMPN中,可求得MN=4,故。O的半徑為2.

針對訓練2.如圖,AD是。O的直徑,AB為00的弦,0E±AD,OE與AB的延長線交于點E,點C在0E上,滿足“C

BE=ZADB.

⑴求證:BC是。。的切線.

⑵若NCBE=NADB=30。,OA=3,求線段CE的長

針對訓練2題圖

例3如圖.在四邊形ABCD中.AB\\DC,^B=ND.過點C作CH±AB交DA的延長線于點E,設垂足為點H.以CE為直徑

作。O分別交AD,BC于點F,G,連接CF,CF=CH.

⑴求證:四邊形ABCD為菱形.

(2)若tanB=：,OH=9,求AE的長.

思路指引

已知一組對邊平行，

先證平行四邊形再證鄰邊相等

(1)需證另一組對邊平行一"

觀察目標位置一?尋找相似關系--表示相關線段--列出有關方程

迷津指點⑴AB〃CD,/B=ND,可證得.ZB+"AB=180。,所以4D||BC,可得四邊形ABCD是平行四邊形.再由CE是

直徑,(CHL4B得乙CFD=90°=NCHB,可證得△CFD空△CHB(AAS),所以CD=CB,所以四邊形ABCD是菱形.

(2)由(1)可知,AB=AD,BH=DF,故AF=AH,

設AH=4a,貝UHE=3a,AE=5a,AF=4a,

△EAHS/XECF,

可得CF=12a,CE=15a.

因為(OH=9,CE=20E=2(0H+HE),

得方程15a=2(9+3a),

a=2,AE=5a=10.

針對訓練3.如圖.OO是.△ABC的外接圓,AB是。O的直徑，點D在。O上,AC平分NBAD,過點C的切線交直徑A

B的延長線于點E,連接AD,BC.

(1)求證：ZBCE=ZCAD.

⑵若AB=10,AD=6,求CE的長.

D.C

針對訓練3題圖

例4如圖,AB為。O的直徑,C為。O上一點,D是一BC的中點，BC與AD,OD分別交于點E,E

⑴求證:DO〃AC.AB

(2)求證:DE-DA=DC2.

(3)若tan^CAD=(求sinZCDA的值.例4題圖

思路指引

迷津指點⑴因為點D是BC的中點,得OD1BC,AB是直徑,得AC垂直于BC.故DO〃AC(也可以由圓心角與圓周角

的關系導出).

(2)由等弧所對的圓周角相等得至[].乙CAD=ZDCB,.'.ADCE~AD4C,由比例式證得CD?=DE-DA.

⑶連接BD,則BD=CD,ZDBC=ZCAD.在RtABDE中,tan/DBE=需=需=設DE=a,則CD=2a,而(CD2=DE-DA

，則AD=4a".AE=3a,二需=3,而^AEC^ADEF,即^AEC和ADEF的相似比為3,

設EF=k,則CE=3k,BC=8k,

1Q

tanZ.CADAC=6k,AB=10k,:.smZ-CDA=

針對訓練4.如圖,在RtAABC中,.乙4cB=90。,乙4=30°,BC=1,以邊AC上一點O為圓心，OA為半徑的G>O經(jīng)過

點B.

(1)求。O的半徑.

⑵點P為劣弧AB中點，作PQ14C,垂足為Q,求OQ的長.

⑶在⑵的條件下,連接PC,求tanZPCA的值

針對訓練4題圖

測試闖關

1.如圖.。0是等邊三角形ABC的內切圓.分別切AB,BC,AC于點E,F,D,P是存■上一點，則NEPF的度數(shù)是()

A.65°B.60°C.58°D.50°

第1題圖

2.如圖，在6x6的正方形網(wǎng)格中，0O經(jīng)過格點A,B,C,點P是頂上任意一點，連接AP,BP,則tan/APB的值為()

「V3

AL.—D書

]嶗35

3.如圖①,在。。中,AB為直徑,C為。O上一點,ZA=30°,過點C作。O的切線,與AB的延長線相交于點P.

(1)求NP的大小.

(2)如圖②,過點B作CP的垂線,垂足為點E,與AC的延長線交于點F.

①求NF的大小;

②若。O的半徑為2,求AF的長.