2024年中考數(shù)學二次函數(shù)壓軸題：相似三角形存在性問題（學生版+解析）

專題08相似三角形存在性問題

一、知識導航

在坐標系中確定點，使得由該點及其他點構成的三角形與其他三角形相似，即為“相似三角形存在性問題”.

【相似判定】

判定1：三邊對應成比例的兩個三角形是相似三角形；

判定2:兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形是相似三角形；

判定3:有兩組角對應相等的三角形是相似三角形.

以上也是坐標系中相似三甭形存在性問題的方法來源，根據(jù)題目給的已知條件選擇恰當?shù)呐卸ǚ椒ǎ鉀Q

問題.

【題型分析】

通常相似的兩三角形有一個是已知的，而另一三角形中有1或2個動點，即可分為“單動點''類、"雙動點”

兩類問題.

【思路總結】

根據(jù)相似三角形的做題經(jīng)驗，可以發(fā)現(xiàn)，判定1基本是不會用的，這里也一樣不怎么用，對比判定2、3可

以發(fā)現(xiàn)，都有角相等！

所以，要證相似的兩個三角形必然有相等角，關鍵點也是先找到一組相等角.

然后再找：

思路1:兩相等角的兩邊對應成比例；

思路2:還存在另一組角相等.

事實上，坐標系中在已知點的情況下，線段長度比角的大小更容易表示，因此選擇方法可優(yōu)先考慮思路1.

一、如何得到相等角？

二、如何構造兩邊成比例或者得到第二組角？

搞定這兩個問題就可以了.

二、典例精析

例一、如圖，拋物線y=ox2+bx+c與x軸交于點A(-1,0),點8(3,0),與y軸交于點C,且過點。(2,

-3).點。是拋物線y=G?+bx+c上的動點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2,直線。。與線段相交于點E,當與aABC相似時，求點。的坐標.

【分析】

（1）拋物線：y=f-2元-3;

（2）思路：考慮到△ABC和△80E有一組公共角，公共角必是對應角.

/ABC的兩邊BA、BC與々OBE的兩邊BO、8E成比例即可，故可得:

_B_E—_B_A_B_E—_B_C

BOBCBOBA'

解得：BE=2?或BE=20

4

39

故E點坐標為（1,-2）或

4，-4

當E點坐標為（1,-2）時，直線0E解析式為y=-2x,

2

聯(lián)立方程：-2x=x-2x-3,解得：x、=g,x2=-A/3,

此時Q點坐標為（6,-2吟或（-6,2⑻;

39

當E點坐標為時，直線OE解析式為、=-3無，

4，-4

_i+./TT-I-A/13

聯(lián)立方程：一3尤=f-2x—3,解得：x,="

、

此時。點坐標為或

/

綜上所述，Q點坐標為(四,-2后)或卜否,2石)或或

說明：過程應詳細分類討論兩種情況，分別求出結果.

例二、如圖1,在平面直角坐標系中，直線y=x-l與拋物線y=-%2+bx+c交于A、B兩點、,其中A(m,0)、

B(4,n),該拋物線與y軸交于點C,與％軸交于另一點O.

(1)求加、〃的值及該拋物線的解析式；

(2)如圖2,連接3D、CD,在線段CO上是否存在點Q,使得以A、D、。為頂點的三角形與△A3。相似,

若存在，請直接寫出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

【分析】

(1)m=l,n=3,

拋物線解析式為y=-x2+6x-5;

(2)思路：平行得相等角，構造兩邊成比例

由題意得。(5,0),故直線解析式為：y=x-5,

：.CDIIAB,

：.￡CDA=ABAD,

考慮到點。在線段CD上，

.DAAB,,DAAD

,DQADDQAB'

8拒L

解得：DQ=弋或DQ=3亞,

故Q點坐標為［，-1］或(2,-3).

三、中考真題演練

1.（2023?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）綜合與探究

如圖，拋物線y=-/+bx+c上的點A,C坐標分別為（0,2）,（4,0）,拋物線與x軸負半軸交于點8,點M

（1）求點M的坐標及拋物線的解析式；

⑶點。是線段3c（包含點2,。上的動點，過點。作x軸的垂線，交拋物線于點。，交直線CM于點N,

若以點。，N,C為頂點的三角形與VCO般相似，請直接寫出點。的坐標；

2.(2023?湖北武漢?中考真題)拋物線G：y=/-2X-8交X軸于兩點(A在8的左邊)，交，軸于點C.

(1)

⑴直接寫出4民c三點的坐標;

⑵如圖(1),作直線x=(0<t<4),分別交x軸，線段5C,拋物線G于D，E，尸三點，連接CF.若BDE

與△CEF相似，求f的值;

3.(2023?湖北隨州?中考真題)如圖1,平面直角坐標系中，拋物線V-底+法+。過點4T0),8(2,0)

和C(0,2),連接BC,點PS?,")(機>0)為拋物線上一動點,過點P作PN，x軸交直線BC于點M,交x軸

于點N.

(圖1)(圖2)

⑴亶填與小拋物線和直線BC的解析式;

(3)當p點在運動過程中，在y軸上是否存在點Q,使得以O,P,Q為頂點的三角形與以8,C,N為頂

點的三角形相似(其中點P與點C相對應)，若存在，直接寫出點P和點。的坐標；若不存在，請說明理由.

6.（2022?遼寧?中考真題）拋物線y=aN-2x+c經(jīng)過點4（3,0）,點C（0,-3）,直線y=-x+6經(jīng)過點A,

交拋物線于點E.拋物線的對稱軸交AE于點8,交x軸于點。，交直線AC于點F.

圖①圖②

（1）求拋物線的解析式；

（3）如圖②，連接CD點。為平面內直線AE下方的點，以點。，A,E為頂點的三角形與AC。尸相似時（AE

與CD不是對應邊），請直接寫出符合條件的點Q的坐標.

7.（2022?廣西桂林?中考真題）如圖，拋物線y=-N+3尤+4與x軸交于A,8兩點（點A位于點B的左側），

與y軸交于C點，拋物線的對稱軸/與龍軸交于點N,長為1的線段PQ（點尸位于點。的上方）在x軸上

方的拋物線對稱軸上運動.

⑴直接寫出A,B,C三點的坐標；

⑶過點尸作軸于點當口CRW和Q8N相似時，求點。的坐標.

8.(2022?廣西玉林?中考真題)如圖，已知拋物線：＞=-2爐+樂+，與x軸交于點A,8(2,0)(A在8的左

備用圖

(1)求拋物線的解析式；

⑶過點尸作x軸的垂線與線段8C交于點垂足為點H,若以P,M,C為頂點的三角形與相似，

求點尸的坐標.

9.(2022.湖南衡陽?中考真題)如圖，已知拋物線y=--x-2交無軸于A、8兩點，將該拋物線位于x軸下

方的部分沿x軸翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為“圖象w”，圖象w交y軸于點c.

(1)寫出圖象W位于線段AB上方部分對應的函數(shù)關系式；

⑶戶為X軸正半軸上一動點，過點P作PM//y軸交直線BC于點〃，交圖象W于點N,是否存在這樣的點

尸，使qCW與△O3C相似？若存在，求出所有符合條件的點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

專題08相似三角形存在性問題

一、知識導航

在坐標系中確定點，使得由該點及其他點構成的三角形與其他三角形相似，即為“相似三角形存在性問題”.

【相似判定】

判定1：三邊對應成比例的兩個三角形是相似三角形；

判定2:兩邊對應成比例且夾甭相等的兩個三甭形是相似三角形；

判定3:有兩組角對應相等的三角形是相似三甭形.

以上也是坐標系中相似三角形存在性問題的方法來源，根據(jù)題目給的已知條件選擇恰當?shù)呐卸ǚ椒?，解決

問題.

【題型分析】

通常相似的兩三角形有一個是已知的，而另一三角形中有1或2個動點，即可分為“單動點''類、"雙動點”

兩類問題.

【思路總結】

根據(jù)相似三角形的做題經(jīng)驗，可以發(fā)現(xiàn)，判定1基本是不會用的，這里也一樣不怎么用，對比判定2、3可

以發(fā)現(xiàn)，都有角相等！

所以，要證相似的兩個三甭形必然有相等角，關鍵點也是先找到一組相等角.

然后再找：

思路1:兩相等角的兩邊對應成比例；

思路2:還存在另一組角相等.

事實上，坐標系中在已知點的情況下，線段長度比角的大小更容易表示，因此選擇方法可優(yōu)先考慮思路1.

一、如何得到相等角？

二、如何構造兩邊成比例或者得到第二組角？

搞定這兩個問題就可以了.

二、典例精析

例一、如圖，拋物線＞二〃二2+法+。與X軸交于點A(J,0),點B(3,0),與y軸交于點C,且過點。(2,

-3).點。是拋物線y=〃%2+bx+c上的動點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2,直線。。與線段BC相交于點E,當△OBE與AABC相似時，求點。的坐標.

【分析】

(1)拋物線:y=x2-2x-3;

(2)思路：考慮到△ABC和△BOE有一組公共角，公共角必是對應角.

NABC的兩邊BA、BC與NOBE的兩近BO、8E成比例即可，故可得:

_B_E_=_B_A_.._B_E_—_B_C_

BCTBC-BO~BA'

解得：BE=2~Ji或BE=

故E點坐標為(1,-2)或(

當E點坐標為(1,-2)時,直線0E解析式為y=-2x,

聯(lián)立方程：一2%=%2-2)二一3,解得：Z=一百，

此時Q點坐標為(指,-2師或?區(qū)26);

當E點坐標為H-匕直線OE解析式為、=-3尤，

聯(lián)立方程：-3%=/一2白3,解付?%—2,%2-2，

此時Q點坐標為］'J133-3屈)」-1-屈3+3如)

一

。2

1

綜上所述，Q點坐標為(四,-2后)或卜否,2石)或或

說明：過程應詳細分類討論兩種情況，分別求出結果.

例二、如圖1,在平面直角坐標系中，直線y=x-l與拋物線y=-%2+bx+c交于A、B兩點、,其中A(m,0)、

B(4,n),該拋物線與y軸交于點C,與％軸交于另一點O.

(1)求加、〃的值及該拋物線的解析式；

(2)如圖2,連接3D、CD,在線段CO上是否存在點Q,使得以A、D、。為頂點的三角形與△A3。相似,

若存在，請直接寫出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

【分析】

(1)m=l,n=3,

拋物線解析式為y=-x2+6x-5;

(2)思路：平行得相等角，構造兩邊成比例

由題意得。(5,0),故直線解析式為：y=x-5,

：.CDIIAB,

：.￡CDA=ABAD,

考慮到點。在線段CD上，

.DAAB,,DAAD

,DQADDQAB'

8拒L

解得：DQ=弋或DQ=3亞,

故Q點坐標為［，-1］或(2,-3).

三、中考真題演練

1.（2023?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）綜合與探究

如圖，拋物線y=-/+bx+c上的點A,C坐標分別為（0,2）,（4,0）,拋物線與x軸負半軸交于點8,點M

（1）求點M的坐標及拋物線的解析式；

⑶點。是線段3c（包含點2,。上的動點，過點。作x軸的垂線，交拋物線于點。，交直線CM于點N,

若以點。，N,C為頂點的三角形與VCO般相似，請直接寫出點。的坐標；

【分析】（1）根據(jù)點M在y軸負半軸且。"=2可得點M的坐標為“（0,-2）,利用待定系數(shù)法可得拋物線

的解析式為丁=*+守+2；

（3）由NCOM=90?？芍?，要使點。，N,C為頂點的三角形與VCOM相似，則以點。，N,C為頂點的三

角形也是直角三角形，從而分/CQN=90。和NQCN=90。兩種情況討論，①當/CQN=90。，可推導B與

點。重合，ACQNsAcOM,即此時符合題意，利用求拋物線與無軸交點的方法可求出點。的坐標；②當

ZQCN=90°時，可推導AOCNSACOM,即此時符合題意，再證明△QDCsMOM,從而得到QD=2DC,

再設點Q的橫坐標為q,貝1]。,-/+口+2)。(%0),從而得到一q2+：g+2=2(3F),解得q的值,

從而得到點。的坐標，最后綜合①②即可；

【詳解】(1)解：：點M在y軸負半軸且加=2,

AAf(O,-2)

將4(0,2),C(4,0)代入yh-d+fec+c,得

Jc=2

[-16+4。+。=0

\b=l

解得2

c=2

7

，拋物線的解析式為y=-x2+-x+2

(3)。福,5),0d0),

補充求解過程如下：

:在VCOM中，ZCOM=90°,以點。，N,C為頂點的三角形與VCOM相似,

以點。，N,C為頂點的三角形也是直角三角形，

又：QOJLx軸，直線QO交直線CM于點N,

/.ZCNQw90。，即點N不與點。是對應點.

故分為ZCQN=90°和ZQCN=90°兩種情況討論：

①當/CQV=90。時，由于QNLx軸，

.?.CQ_Ly軸，即CQ在x軸上，

又：點。在拋物線上，

此時點B與點。重合，

作出圖形如下：

此時ZCQN=ZCOM=90°,

又：ZQCN=ZOCM

:?△CQNsAcOM,即此時符合題意，

7

令y=-12+耳％+2=0,

解得：項=一/,%2=3（舍去）

，點。的坐標，也即點8的坐標是。，g。

②當/QCN=90。時，作圖如下：

：QO_L尤軸，ZCOM=90°

QD//OM,

：.ZCNQ=ZOMC,

ZCNQ=ZOMC,ZQCN=ZCOM=90°

：.^QCN^COM,即此時符合題意，

△QCN&COM,

ZCQN=ZOCM,即ZDQC=NOCM

?：ZDQC=ZOCM,ZQDC=ZCOM,

叢QDCs^COM

嘿嘴3=2,QD=2DC

設點Q的橫坐標為4,則。%,"2+m+2}

D（d。）,

7

：.QD=-q92+-q+2,CD=3-q

_q?+—^+2=2（3-q）,

3

解得：%=萬必=3（舍去）,

97

—Q+—^+2=5,

???點。的坐標是。2(I，5)

綜上所述：點。的坐標是。(-g,o),e2f|,5

2.(2023?湖北武漢?中考真題)拋物線^:>=X2-2苫-8交左軸于4,8兩點(A在8的左邊)，交V軸于點C.

(1)

⑴直接寫出A,B,C三點的坐標;

⑵如圖(1),作直線x=r(O<r<4),分別交X軸，線段3C,拋物線G于〃及尸三點，連接CV.若BDE

與△詔相似，求f的值;

【分析】(1)令y=0,解一元二次方程求出X值可得A、B兩點的坐標，令x=0求出y值可得c點坐標,

即可得答案;

(2)分ABERsdCEFi和ABE23s2X8當C兩種情況，利用相似三角形的性質分別列方程求出/值即可

得答案;

【詳解】(1):拋物線解析式為y=/-2x-8,

.,.當y=o時，f-2r-8=0,

解得：無1=-2,無2=4,

當元=0時，y=-8,

A(-2,0),8(4,0),C(0,-8).

(2)解：.尸是直線x=/與拋物線C1的交點,

/.尸，,，2—2/-8),

①如圖，若△B&'sACEiK時,

/BCR=ZCBO,

：.CFXOB

C(0,-8),

t2—2t—8=—8，

解得，，=。(舍去)或，=2.

②如圖，若AB&D2s△B&C時.過尸2作g軸于點T.

ZBCF2=ZBD2E2=ZBOC=90°,

???ZOCB+ZOBC=ZOCB+ZTCF2=90°,

.??ZTCF2=ZOBC,

O

ZCTF2=ZBOC=90,

:.ABCOs^CF江,

.F2TCT

'%~cd~~BO

B(4,0),C(0,-8),

AOB=4,OC=8,

FJ=t,CT=-^-(t2-2t-^=2t-t2,

,t2t—t?

??——,

84

3

解得，=。（舍去）或吃.

3.(2023?湖北隨州?中考真題)如圖1,平面直角坐標系中，拋物線y=底+bx+c過點A(-l,0),仇2,0)

和以0,2),連接3C,點(機＞0)為拋物線上一動點，過點尸作尸軸交直線BC于點交x軸

(1諄談寫中拋物線和直線BC的解析式；

(3)當P點在運動過程中，在V軸上是否存在點Q,使得以。，P,。為頂點的三角形與以8,C,N為頂

點的三角形相似(其中點P與點C相對應)，若存在，享毯號地點P和點。的坐標；若不存在，請說明理由.

【分析】(1)由題得拋物線的解析式為＞="(無+D(x-2),將點C(0,2)代入求。，進而得拋物線的解析式；設

直線3C的解析式為＞=&+乙將點8,C的坐標代入求心心進而得直線8C的解析式.

(3)對點尸在點5左側或右側進行分類討論，設法表示出各線段的長度，利用相似三角形的相似比求解小，

進而可得尸，Q的坐標.

【詳解】(1)解：拋物線過點A(T,。)，3(2,0),

拋物線的表達式為y="(x+l)(x-2),

將點C(0,2)代入上式，得2=-2a,

a=-1.

拋物線的表達式為y=-(x+l)(x-2),即y=_/+尤+2.

設直線BC的表達式為y^kx+t,

將點8(2,0),以0,2)代入上式，

解得「2-

???直線3c的表達式為y=-X+2.

(3)解：點P與點C相對應，

:..POQs_CBN或_POQs_CNB.

①若點尸在點8左側，

貝lJ/CBN=45。，BN=2-m,CB=2丘.

當4尸OQsCBN,即ZPOQ=45。時，

直線0P的表達式為y=x,

—m2+m+2=m>解得，"=點或機=—(舍去).

OP2=(V2)2+(A/2)2=4,即OP=2.

.OPOQ2_OQ

"BCBN，2>/22-72)

解得00=6-1.

，尸(倉友)，2(0,72-1).

當.POQsCNB,即NPQO=45°時，

PQ=,OQ=-m2+m+2+m=-nr+2m+2,

,PQOQ-nv+2m+2

.?—,EJJ="—,

CBNB2A/22-m

解得“7=1+石(舍去)或〃2=1-百(舍去).

②若點尸在點8右側，

則/CBN=135。，BN=m-2.

當APOQSCBN,即NPOQ=135。時,

直線OP的表達式為丁=一%,

?*--m2+m+2=—m,解得機=1+百或m二1一6(舍去),

?.OP=\flm=V2+\/6,

.OP_OQ0nV2+V6_OQ

一而一肅川FF-萬T

解得。。=1.

?.P(1+V3,-1—^3),2(0,1).

當LPOQSCNB,即NPQO=135。時，

PQ=\[lm,OQ—^-m2+m+2+m|=m2—2m—2.

.PQOQy/2mm2-2m-2

,,一,Rn|J,

CBNB2V2m-2

解得〃Z=1+指或〃7=1-百(舍去).

二尸(1+6,-3-6，2(0,-2).

綜上，尸(虛,忘)，。(0,五-1)或尸(1+后-1-0)，。(0,1)或尸(1+",-3-6)，2(0,-2).

【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合應用，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰三角形的性質與判定，平面

直角坐標系中兩點距離的算法，相似三角形的性質與判定等，熟練掌握相關知識是解題的關鍵.

4.(2022?四川綿陽?中考真題)如圖，拋物線>=0+法+。交x軸于A(-l,0),B兩點，交y軸于點C(0,

3),頂點。的橫坐標為1.

(1)求拋物線的解析式;

(3)過點C作直線/與y軸垂直，與拋物線的另一個交點為E,連接AD,AE,DE,在直線/下方的拋物線上

是否存在一點過點M作垂足為E使以M,F,E三點為頂點的三角形與/4DE相似？若存在,

請求出M點的坐標，若不存在，請說明理由.

【答案】(l)y=-x2+2x+3；

(3)存在點使以M,F,E三點為頂點的三角形與zUDE相似，此時點M的坐標為(3,0)或(-3,-12)

120

或"一3'豆

【分析】(1)由拋物線的對稱軸可得點8的坐標，由此設出交點式，代入點C的坐標，即可得出拋物線的

解析式；

(3)由拋物線的對稱性可得出點E的坐標，點。的坐標，根據(jù)兩點間的距離公式可得出A。，DE,AE的

長，可得出△AOE是直角三角形，且。E：AE=1：3,再根據(jù)相似三角形的性質可得出跖和的比例，

由此可得出點M的坐標.

【詳解】(1)解：：頂點。的橫坐標為1,

，拋物線的對稱軸為直線x=l,

VA(-1,0),

：.B(3,0),

設拋物線的解析式為：y=a(x+1)(x-3),

把C(0,3)代入拋物線的解析式得：

-3a=3,解得。=-1,

拋物線的解析式為:y=-(x+D(x-3)=-x2+2x+3；

(3)解：存在，理由如下：

\"y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,

：.D(1,4),

由拋物線的對稱性得：E(2,3),

VA(-1,0),

AD=2BDE=y[2,AE=3A/2,

AD2=DE2+AE2,

...△ADE是直角三角形，且NAED=90。，DE：AE=1：3,

?.?點M在直線/下方的拋物線上，

設M9-產(chǎn)+2f+3）,則r>2或f<0,

\'MF±l,

:.點尸（t,3）,

EF=\t-1\,MF=3—（—/+27+3）=/一2r,

:以M,F,E三點為頂點的三角形與//DE相似，

二EF:MF=DE:AE=1:3或MF:EF=DE:AE=1:3,

；.|f-21：（產(chǎn)-2t）=1:3或（r-2r）t-21=1:3,

解得f=2（舍去）或z=3或-3或/=g（舍去）或t=-g,

二點M的坐標為（3,0）或（-3,-12）或［-；名，

綜上所述，存在點M,使以〃，RE三點為頂點的三角形與/4DE相似，此時點M的坐標為（3,0）或（-3,

-⑵或［一多.

【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，圓內四邊形的性質，相似三角形

的性質與判定，分類討論思想等，第（2）問得出四點共固是解題關鍵；第（3）問得出AADE是直角三角

形并得出AD:AE的值是解題關鍵.

5.（2022?湖南?中考真題）如圖，已知拋物線>=辦2+法+3（。工0）的圖像與天軸交于41,0）,B（4,0）兩點，

與，軸交于點C,點。為拋物線的頂點.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式及點。的坐標；

(2)若四邊形3CEF為矩形，CE=3.點M以每秒1個單位的速度從點C沿CE向點E運動，同時點N以每

秒2個單位的速度從點E沿環(huán)向點尸運動，一點到達終點，另一點隨之停止.當以/、E、N為頂點的

三角形與ABOC相似時，求運動時間r的值；

【答案】(i)y=J3%2—1?5兀+3；頂點為。(5j—?27)

44216

9…6

(2“=打或/=《

【分析】(1)設二次函數(shù)表達式為：y=ax2+bx+3,將A(1,O)、3(4,0)代入>=加+法+3,進行計算即可

315

得>=：爐-7尤+3,根據(jù)二次函數(shù)的性質即可得；

(2)依題意，f秒后點M的運動距離為CM=/,則ME=3T,點N的運動距離為￡7V=2f,分情況討論:

①當AEWsAOBC時，②當AEMNsAOCB時,進行解答即可得；

【詳解】(1)解:設二次函數(shù)表達式為：y=ajc+bx+3,

將A(l,0)、B(4,0)代入y=加+6x+3得：

Ja+Z?+3—0

[16。+4。+3=0'

.3

ci=——

解得，:4，

b=—

4

，拋物線的函數(shù)表達式為：y=3三15%+3,

44

15

4歐-廿=473（一/=_27

4a4x316

44

???頂點為。弓5227)；

216

(2)解：依題意，/秒后點"的運動距離為貝IJME=3-，，點N的運動距離為RV=2"

①當AEM/VSAOBC時，

.3—/2t

,?=，

43

9

解得;

②當\EMN^\OCB時,

.3—12t

??=,

34

解得

96

綜上得，當七五或公二時，以M、E、N為頂點的三角形與ABOC相似；

6.(2022?遼寧?中考真題)拋物線>="2-2x+c經(jīng)過點A(3,0),點C(0,-3),直線y=-x+6經(jīng)過點A,

交拋物線于點E.拋物線的對稱軸交AE于點8,交x軸于點。，交直線AC于點?

圖①圖②

(1)求拋物線的解析式；

(3)如圖②，連接C。，點Q為平面內直線AE下方的點，以點。，A,E為頂點的三角形與△。尸相似時(AE

與CD不是對應邊)，請直接寫出符合條件的點。的坐標.

【答案】(l)y=N-2x-3

(3)。點坐標為(-7,5)或(-12,5)或(3,-10)或(3,-5)

【分析】(1)用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式;

(2)先分別求出直線AE、AC的解析式，進而求出點8(1,2),D(1,0),F(1,-2),過點P作x軸

垂線交AC于點交x軸于點N,設P(m,機2-2加-3),則加-3),由面積關系求出P點的橫

坐標;

CDDFCF,CDDFCF

(3)分類討論①當時,AQAE~EQ；②當△CDFS/XAQE時，—次從石；

CDDFCFCDDFCF

當△CDFSAEQA時,④當時,分別求出點0的坐

EQAQAE'EQAEAQ'

標.

【詳解】(1)解：將A(3,0),點C(0,-3)代入y=ox2-2x+c,

9a—6+c=0

c——3

a=l

解得

c=-3'

.\y=x2-2x-3；

(3)VC(0,-3),D(1,0),F(1,-2),

:.CD=M,CF=0,DF=2,

■:E(-2,5),A(3,0),

:.AE=5框,

設。(彳，》)，

?CDDFCF

①當△COFSAQAE時，—

.5/102_72

??汨—5點一詼’

：.AQ=545,EQ=5,

.f(x-3)2+y2=125

?1(尤+2)2+(1)2=25

x=-7x=-2

解得…或（舍）,

y=10

：.Q(-7,5)；

CDDFCF

②當時,

,V10_J__5/2

"AQEQ50’

；.A0=5亞，QE^10,

f(x+2)2+(y-5)2=100

1(x-3)2+y2=250

x=-2x=-n

解得（舍）或

y=15.y=5

：.Q(-12,5)；

CDDFCF

③當時,

EQ~AQ~AE

.>/io2_V2

??瓦―AQ—電，

：.EQ=5M,AQ=10,

f(x-3)2+y2=100

[(尤+2/+(y-5)2=250

x=3x=13

解得y=」?；颍ㄉ幔?

y=0

：.Q(3,-10)；

CDDFCF

④當△CQFS\QEA時,

Z城一次一而'

?y/w—2—五

?,EQ—5近而‘

.,.EQ—5^/5,AQ=5,

J(x+2)2+(y-5)2=125

I(x-3)2+y2=25

x=3x=8

解得I或（舍）,

y=0

：.Q(3,-5)；

綜上所述：。點坐標為（-7,5）或（-12,5）或（3,-10）或（3,-5）.

【點睛】本題主要是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質，三角形

面積，相似三角形的判定和性質，利用數(shù)形結合和分類討論思想解答是解題的關鍵.

7.（2022?廣西桂林?中考真題）如圖，拋物線y=-N+3尤+4與x軸交于A,8兩點（點A位于點8的左側）,

與y軸交于C點，拋物線的對稱軸/與x軸交于點N,長為1的線段PQ（點尸位于點。的上方）在x軸上

方的拋物線對稱軸上運動.

⑴直接寫出A,B,C三點的坐標；

⑶過點尸作軸于點當.和Q8N相似時，求點。的坐標.

【答案】⑴4-1,0）,2（4,0）,C（0,4）

⑶弓，爭或弓，g，/

【分析】(1)由》=-N+3x+4可得A(-1,0),B(4,0),C(0,4)；

..3333

（3）由在y=-x2+3x+4得拋物線對稱軸為直線x=-,設。（萬，/）,則。（］，，+1）,M（0,t+1）,

3

N0),知BN=￡,QN=t,CN=|L3|,①當黑■=?時，區(qū)'=］，可解得

222BNt2

2

W=；,得Q(；，

15、一,315、?，CMPM

萬）或（5，-）；②當而=函時,

2722

【詳解】（1）解：在y=-N+3x+4中，令無=。得＞=4,令＞=0得尤=-1或無=4,

AA(-1,0),B(4,0),C(0,4).

（3）如圖:

33

由產(chǎn)-x2+3x+4得，拋物線對稱軸為直線％=---=-,

-22

333

設。(一，/),則尸(一，什1),M(0,什1),N(1,0),

222

U：B(4,0),C(0,4)；

53

：.BN=~,QN=t,PM)，CM=\t-3\,

'：ZCMP=ZQNB=9U。,

.?.△CPM和…相似,只需賽弋或瑞尚,

3

CMPMR-3|_I

①當時,

~QNBNt-5

2

解得/或f=3

2o

,315、…,315

??Q(—,—)或();

2228

M3

etCMPM.

②當三;==7時，5=2

BN

2t

解得r=2±3因或r=lz馬回(舍去)，

22

：.Q(-,3+2)),

22

綜上所述，Q的坐標是(j,R)或(j，號)或(J3+2&).

222o22

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)綜合應用，涉及二次函數(shù)圖象上點坐標的特征，線段和的最小值，相似三

角形的性質及應用等，解題的關鍵是分類討論思想的應用.

8.(2022?廣西玉林?中考真題)如圖，已知拋物線：＞=-2爐+"+c與x軸交于點A,8(2,0)(A在8的左

備用圖

(1)求拋物線的解析式；

⑶過點尸作x軸的垂線與線段8C交于點垂足為點H,若以P,M,C為頂點的三角形與相似,

求點尸的坐標.

【答案】⑴y=-2^+2X+4

335

(3)(1,4)^#(—,—)

4o

【分析】(1)根據(jù)拋物線對稱軸即可求出b,再根據(jù)拋物線過B點即可求出C,則問題得解；

(3)先根據(jù)尸打，8。，求得/MHB=90。,根據(jù)(2)中的結果求得0c=4,根據(jù)B點(2,0),可得。2=2,則

有tan/CBO=2,分類討論：第一種情況：ABMHS^CMP,即可得PC〃OB,即尸點縱坐標等于C點縱坐

標則可求出此時尸點坐標為(1,4)；第二種情況：4BMHsAPMC,過尸點作PGJ_y軸于點G,先證明

ZGCP=ZOBC,即有tan/GC尸=2,即有2GC=GP,設GP=a,貝！jGC=』a,即可得PH=OG='a+4,則有

22

P點坐標為(。,；。+4),代入到拋物線即可求出a值，則此時尸點坐標可求.

【詳解】(1):y=-2尤2+Zw+c的對稱軸為x=，,

2

Vy=-2)+bx+c過5點(2,0),

,,—2X22+Z?X2+C=0，

結合b=2可得c=4,

即拋物線解析式為：y=-2x2+2x+4；

(3)?:PH1B0,

：./MHB=9。。,

根據(jù)(2)中的結果可知。點坐標為(0,4),

即。。=4,

??,8點(2,0),

???OB=2,

tanZCBO=2,

分類討論

第一種情況：4BMHs^CM