2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考版） 數(shù)列的概念

第六章數(shù)列

§6.1數(shù)列的概念

【考試要求】1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項(xiàng)公式）2了解數(shù)列是

自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).

■落實(shí)主干知識

【知識梳理】

1.數(shù)列的有關(guān)概念

概念含義

數(shù)列按照確定的順序排列的一列數(shù)

數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)

如果數(shù)列｛斯｝的第n項(xiàng)④與它的序號”之間的對應(yīng)關(guān)系可以用

通項(xiàng)公式

一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式

如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來

遞推公式

表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式

數(shù)列｛詼｝的把數(shù)列｛斯｝從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之和，稱為數(shù)列｛詼｝

前〃項(xiàng)和的前〃項(xiàng)和，記作Sn,即3〃=。］+。2+…+斯

2.數(shù)列的分類

分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件

有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限

項(xiàng)數(shù)

無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限

遞增數(shù)列

遞減數(shù)列1其中“GN*

項(xiàng)與項(xiàng)間的

常數(shù)列斯+1―斯

大小關(guān)系

從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，

擺動(dòng)數(shù)列

有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列

3.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

數(shù)列｛即｝是從正整數(shù)集N*（或它的有限子集｛1,2,…，〃｝）到實(shí)數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是莊

號小對應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第"項(xiàng)斯,記為斯=黃"）.

【常用結(jié)論】

[S1，72=1,

1.已知數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和S”則斯=。。j

On—1,

「。”，斯-1,

2.在數(shù)列｛a“｝中，若a”最大，貝?。ň拧?,）；若斯最小，貝1（〃》2,

"GN*）.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確（請?jiān)诶ㄌ栔写颉癑”或“義”）

（1）數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)是同一個(gè)概念.（X）

⑵數(shù)列1,2,3與3,2,1是兩個(gè)不同的數(shù)列.（V）

（3）任何一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列.（X）

（4）若數(shù)列用圖象表示，則從圖象上看是一群孤立的點(diǎn).（V）

【教材改編題】

1.（多選）已知數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為%=9+12小則在下列各數(shù)中，是｛分｝的項(xiàng)的是（）

A.21B.33C.152D.153

答案ABD

解析由數(shù)列的通項(xiàng)公式得，<71=21,42=33,<212=153.

2.已知數(shù)列｛如｝的前〃項(xiàng)和為S”，且S,="2+"，則。2的值是（）

A.2B.4C.5D.6

答案B

解析由題意，$2=2~+2=6,Si—H-1—2,所以“2=$2—51—6—2—4.

3.在數(shù)列1,1,2,3,5,8,13,21,無,55,…中，尤=.

答案34

解析通過觀察數(shù)列各項(xiàng)的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)從第三項(xiàng)起，每項(xiàng)都等于它前兩項(xiàng)之和，因此x=13

+21=34.

■探究核心題型

題型一由斯與%的關(guān)系求通項(xiàng)公式

例1（1）己知數(shù)列｛跖｝的前“項(xiàng)和為S"ai=2,S“+i=2S〃-1,則mo等于（）

A.128B.256C.512D.1024

答案B

解析：S,+i=2S,-1,...當(dāng)心2時(shí)，S“=2S,T—1,兩式相減得斯+i=2a〃.當(dāng)n=l時(shí)，避

+“2=2ai—1,又(zi=2,.?.02=1..,.數(shù)列｛斯｝從第二項(xiàng)開始為等比數(shù)列，公比為2.則」硒=。2><28

=1X28=256.

(2)已知數(shù)列｛詼｝的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足S“=2"+2—3,則斯=.

[5,n=l,

答案I"十】，G2

解析根據(jù)題意，數(shù)列｛呢｝滿足S,=20+2—3,

n+2n+1

當(dāng)心2時(shí)，有an=Sn-Sn-1=(2-3)-(2-3)=

,小[5,n=\,

當(dāng)〃=1時(shí)，有ai=Si=8—3=5,不符合a〃=2"i,故

1.2,“32.

思維升華sn與斯的關(guān)系問題的求解思路

(1)利用斯=S■—S-1522)轉(zhuǎn)化為只含S”,ST的關(guān)系式，再求解.

(2)利用出一為-1=斯(〃22)轉(zhuǎn)化為只含斯，斯t的關(guān)系式,再求解.

跟蹤訓(xùn)練1(1)已知正項(xiàng)數(shù)列｛須｝中，麗+值~…+返產(chǎn)迎要,則數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式

為()

A.U，n=MB.Cln~~H

nn2

=

C.-2D.Cln~2

答案B

解析9>9y[a\+y[a2-\---H/^:二"｝),

y[ai+y[o2-\---卜y/a〃-1=阿2"("22),

兩式相減得<￡=處*"―跡尸=〃522),

,斯=/(G2),①

1義2

又當(dāng)n=1時(shí)，—2—=1?。1=1,適合①式，

??du〃，〃￡N'.

(2)設(shè)%是數(shù)列｛斯｝的前幾項(xiàng)和，且〃1=—1,an+l=SnSn+lf則Sz=.

宏享—-

口水n

解析因?yàn)樗?1=5〃+1—Sn,即+1=5〃3〃+1,所以由兩式聯(lián)3L得Sz+i—Sz=S〃Sz+i.因?yàn)?W0,

所以；=1,即?――!=—1?又卷=—1，所以數(shù)歹N白是首項(xiàng)為一1,公差為一1的等

dn+1dn+1

差數(shù)列.所以上=—1+(〃-1)X(—1)=一〃，所以s.=一

題型二由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式

命題點(diǎn)1累加法

例2設(shè)國表示不超過％的最大整數(shù)，如[-3.14]=—4,[3.14]=3.已知數(shù)列｛斯｝滿足：0=1,

a“+i=a"+”+l("eN*),貝舊+￡+*----等于()

A.1B.2C.3D.4

答案A

解析由斯+1=?！?〃+1,得〃〃一1=〃(〃22).又〃i=l,

所以an—(an~an-1)+(an-1—斯-2)H-----F(〃2-ai)+〃i=〃+(〃-1)+(〃-2)H------1-2+1=

心+1>

2(〃?"2),

當(dāng)n=l時(shí)，(2i=l滿足上式，

則、癡W=2/-占).

所以小十…十忘

_2023

=1012,

所以—+―+—H-----H-------=1「I。=1.

八〃2〃3。2023」012_

命題點(diǎn)2累乘法

YI—1

例3在數(shù)列｛斯｝中，ai=l,an=-n-%-1(〃22,〃￡N*),則數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為

答案斯=:

〃—1

解析Van=nan-i(n^2),

.n—2n—31

?1"]〃〃-2,2〃2"〃-3,,,,,。22al.

以上(〃一1)個(gè)式子相乘得，

12n~1ai1

23nnn

當(dāng)〃=1時(shí)，“1=1,符合上式，???4〃=1?

思維升華(1)形如斯+i—斯=X九)的數(shù)列，利用累加法.

(2)形如血"■=/(〃)的數(shù)列，利用斯=。14夜?…?馬-(〃22)即可求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式.

a?an-i

跟蹤訓(xùn)練2(1)在數(shù)列｛詼｝中，41=2,詼+1=4”+111(1+《)，則等于()

A.2+lnnB.2+(H—l)lnn

C.2+nlnnD.1+n+lnn

答案A

〃+1

解析因?yàn)槟?i—斯=ln—1=ln("+1)—In〃，

所以〃2—〃i=ln2—In1,

。3—。2=In3―In2,

〃4—〃3=ln4—In3,

=

an—an-ilnln(n—1)(〃22),

把以上各式相加得an-ai=\nn~\n1,

則〃〃=2+ln〃(幾22),且〃i=2也滿足此式，

因此an=2+\n〃(〃￡N*).

(2)已知數(shù)列ai,言…，念，…是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，則地2斯=.

答案嗎口

解析由題意知，m=1,巫=1義2"一i=2"-i(〃\2),

“八―1

n(n-l)

所以如=0-＞＜組」義…X歿義〃1=2"一1X2"-2義…x1=22(〃22),當(dāng)〃=1時(shí)，。1=1適

12

合此式，

所以log2a"="('D.

題型三數(shù)列的性質(zhì)

命題點(diǎn)1數(shù)列的單調(diào)性

例4設(shè)數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S”且V/GN*,aza”,&2S6.請寫出一個(gè)滿足條件的數(shù)列

｛?！ǎ耐?xiàng)公式.

答案w—6,“GN*(答案不唯一)

解析由VwGN*,即+1＞詼可知數(shù)列｛斯｝是遞增數(shù)列，又S.NS6,故數(shù)列｛即｝從第7項(xiàng)開始為

正.而期乏0,因此不妨設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，公差為1,。6=0,所以斯=〃一6,wGN*(答案

不唯一).

命題點(diǎn)2數(shù)列的周期性

例5若數(shù)列｛斯｝滿足41=2,即+1==7^，則。2024的值為（)

A.2B.—3C.D.g

答案D

1+

Ir1+21-313

斛析由就思知，“1=2,”2=m^=—3,〃3=yq^=—5,〃4。5=T—2,%

一.一1+21-Q

1+21

=-j―3,???,因此數(shù)列｛念｝是周期為4的周期數(shù)列，所以。2024="505、4+4=。4=?

I—25

命題點(diǎn)3數(shù)列的最值

例6已知數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為詼=武不，其最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值分別為（）

111

1----C-

A.17B.O,77

答案A

解析因?yàn)椤癎N*,所以當(dāng)時(shí)，斯=2〃1]5<0,且單調(diào)遞減；當(dāng)〃力4時(shí)，斯=>0,

且單調(diào)遞減，所以最小項(xiàng)為。3=父最大項(xiàng)為〃4=i?1is=L

思維升華（1）解決數(shù)列的單調(diào)性問題的方法

用作差比較法，根據(jù)an+i-an的符號判斷數(shù)列｛斯｝是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列.

（2）解決數(shù)列周期性問題的方法

先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值.

跟蹤訓(xùn)練3⑴觀察數(shù)列1,In2,sin3,4,In5,sin6,7,In8,sin9,…,則該數(shù)列的第11

項(xiàng)是（）

A.1111B.11C.In11D.sin11

答案C

解析由數(shù)列得出規(guī)律，按照1,In2,sin3,…，是按正整數(shù)的順序排列，且以3為循環(huán)，

由1匕3=3余2,所以該數(shù)列的第11項(xiàng)為In11.

2H—10

（2）已知數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)劣=2〃_21'"CN*，則數(shù)列｛%｝前20項(xiàng)中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)分別為

答案3,-1

?n—IQ2n—21+2?7

解析斯=7^—=1+產(chǎn)不當(dāng)心11時(shí),亍篇＞0,且單調(diào)遞減；當(dāng)1W后10

2〃—212〃—212n—212〃一21

2

時(shí)，三號＜o(jì),且單調(diào)遞減.因此數(shù)列｛詼｝前20項(xiàng)中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)分別為第n項(xiàng)，第

10項(xiàng).aii=3,〃io=11.

課時(shí)精練

“礎(chǔ)保分練

n—1

1.已知。"=前］，那么數(shù)列｛斯｝是()

A.遞減數(shù)列B.遞增數(shù)列

C.常數(shù)列D.擺動(dòng)數(shù)列

答案B

解析詼=1一島，將痣看作關(guān)于〃的函數(shù)，"GN*,易知數(shù)列｛a“｝是遞增數(shù)列.

2.已知數(shù)列｛詼｝的前"項(xiàng)和a滿足SS=S〃+i("eN*),且的=2,那么劭等于()

A.128B.16C.32D.64

答案D

解析因?yàn)閿?shù)列｛詼｝的前w項(xiàng)和S,滿足SS=S"+i("GN*),勿=2,

所以S,+i=2S〃，即鋁=2,所以數(shù)列｛S,｝是以2為公比，以2為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以S,

6

=2X2〃—1=2".所以當(dāng)時(shí)，詼=5〃一3"一1=2"—2〃一1=2廣1.所以a7=2=64.

3.已知數(shù)列｛斯｝滿足〃i=l,an—an+i=nanan+i(neN*),則斯等于()

—〃n2—H+222

AaB?C?oD?o?

22nnnn-r2

答案D

解析由題意，得則當(dāng)兒》2時(shí)，；一」一=〃一1,‘一一」一=〃一2,…，；一

*1,所以卜*1+2+…+(-1)=4(G2),所以詈牛+1=犬呼，即%

2,2

=〃2幾?2(幾22),當(dāng)n—1時(shí)，—1適合此式，所以斯=〃2幾?2,

4.設(shè)數(shù)列｛詼｝滿足：的=2,a?+i=l-A記數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)之積為P,”則尸2024等于()

A.-2B.-1C.1D.2

答案C

解析。1=2,即+1=1—2，得“2=3，。3=—1,〃4=2,〃5=3，…，所以數(shù)列｛。〃｝是周期為3

的周期數(shù)列.且尸3=—1,2024=3X674+2,所以尸2024=（-1嚴(yán)XqQ=l.

5.大衍數(shù)列，來源于我國的《乾坤譜》，是世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題，主要用于解釋中國

傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.其前11項(xiàng)依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,60,則大衍數(shù)列的第

41項(xiàng)為（）

A.760B.800C.840D.924

答案C

I2—132—152—1

解析由題意得，大衍數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)依次為M，—,—,…，易知大衍數(shù)列的第41

412—1

項(xiàng)為.2一=840.

6.（多選）已知數(shù)列｛詼｝的通項(xiàng)公式為詼=（〃+2＞（1）",則下列說法正確的是（）

A.數(shù)列｛詼｝的最小項(xiàng)是的

B.數(shù)列｛斯｝的最大項(xiàng)是〃4

C.數(shù)列｛斯｝的最大項(xiàng)是。5

D.當(dāng)〃25時(shí)，數(shù)列｛斯｝遞減

答案BCD

伽+2).母)心(〃+1).版,

解析假設(shè)第〃項(xiàng)為｛斯｝的最大項(xiàng)，則所以

a?三〃〃+1，(〃+2)0》(葉3)盼+1,

后5,A5

介4,又所以片4或〃=5,故數(shù)列｛斯｝中山與痣均為最大項(xiàng)，且見一二

當(dāng)時(shí)，數(shù)列｛以｝遞減.

7.S,為數(shù)列｛詼｝的前〃項(xiàng)和，且log2（S,+l）=〃+l,則數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為.

答案斯=〔2.,心2

解析由log2（S,+l）=〃+l,得S,+l=2"+i,當(dāng)w=l時(shí)，ai=N=3；當(dāng)〃22時(shí)，an=Sn~

[3,〃=1,

S〃T=2〃，顯然當(dāng)〃=1時(shí)，不滿足上式.所以數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為斯=?

[2,2.

8.若數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和S〃=〃2—10〃（〃￡N*）,則數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式斯=,數(shù)列

｛m｝中數(shù)值最小的項(xiàng)是第項(xiàng).

答案2n—113

，2

解析：Sn=n-10n,???當(dāng)〃22時(shí)，an=Sn-Sn-i=2n-ll；

當(dāng)〃=1時(shí)，〃i=Si=—9也適合上式.???斯=2〃一11(〃￡N*).

記加)="即="(2〃-11尸2外一11”，此函數(shù)圖象的對稱軸為直線〃=不但〃GN*,

...當(dāng)w=3時(shí)，五〃)取最小值.，數(shù)列｛〃斯｝中數(shù)值最小的項(xiàng)是第3項(xiàng).

9.在①的”+1—("+1)°"="("+1)；②S"=2〃2—1這兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的橫線上,

并解答.

若數(shù)列｛%｝的前w項(xiàng)和為S”勾=1，且數(shù)列｛斯｝滿足.

⑴求々2，。3；

(2)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

解⑴選擇①：?2-2(71=1X2,則02=4.

2的—3。2=2*3,則。3=9.

選擇②：。2=52—51=2義22—1-1=6.

43=53—52=2X32-1-2X22+1=10.

(2)選擇①：由加?“+1—("+1)斯="("+1),

日斯+1On[

“2斯斯斯一1?〃〃一1%—2??〃2?1T

所以---11=〃，

〃nn~1?+-n--—--17-.n..~...2---------\-2^-ai+ai=n-1+1

所以a?=n2.

選擇②：當(dāng)〃》2時(shí)，a“=S〃一S〃-i=2層-1一[2(〃-l)2—l]=4w—2；

當(dāng)n=1時(shí)，tzi—Si—1,不符合上式，

[1,"=1,

故｛期｝的通項(xiàng)公式為為=*

[4幾一2,2,.

10.(2023?長沙模擬)已知數(shù)列｛金｝滿足ci=；,wCN*,S〃為該數(shù)列的前〃項(xiàng)

乙Cn+11Gli

和.

⑴求證：數(shù)歹附，為遞增數(shù)列；

(2)求證：Sn<l.

證明(1)因?yàn)閏i=1,Cl'

2Cn+l—lCn—1

所以金Wl,金WO,

兩邊分別取倒數(shù)可得1——L=；—

Cn+1CnCn

整理可得」一_：=l>>0,

Cn+1Cn\CnJ

所以數(shù)列15,為遞增數(shù)列.

(2)由47=號可得C"+L1:1=4二41,即—L_^=c“+―

扇+1—1Cn—\金+1-1Cn—\金+1-1Cn—\

所以C“=―――’7，

金+1-1Cn-\

所以S〃=Cl+c2H\~Cn

11,11..11

=----------十-----一-----十…十------~~-----

C2-lCl—1臼―1。2一1Q+l—1Cn—1

=?^—,=^—+2,

為+1-1Q—1金+1-1'

又;三;=2,所以金+1金(0,5),

所以■-7<-1,即Sn<l.

Cn+1~L

合提升練

11.在數(shù)列｛念｝中，ai—1,a=（n,斯），b=（an+i，n+1）,且a_L方,則。ioo等于（）

A.喘B.一翳C.100D.-100

答案D

解析因?yàn)椤?（〃，斯），方=（即+i,n+1）,且a_Lb,所以九斯+1+5+1）斯=0,所以白

Cln幾

所以資=—*祟=—/…，署=—黑.以上各式左右分別相乘，得貨2=—100,因?yàn)榛?1,

1〃2L。99yy

所以0100=—100.

12.（2022?全國乙卷）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測，成為我國第一顆

環(huán)繞太陽飛行的人造行星.為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列｛d｝：

仇=1+：,岳=1+—彳，歷=1+%—，…，依此類推，其中a*GN*（Z=l,2,…）.則

1111

a1十一a\十T

十二

。3

（）

A.b\<bsB.仇<。8

C.b6Vb2D.Z?4</?7

答案D

解析方法一當(dāng)〃取奇數(shù)時(shí)，

由已知。1=1+；,。3=1+----一■

(XI)1

四十r

(一

X2+。3

因?yàn)?〉----\一，所以b\>bs，

四十7~

恁+一

。3

同理可得力3泌5,65>歷，…,于是可得加…，故A不正確;

當(dāng)〃取偶數(shù)時(shí)，由已知?dú)v=1+'7,

如+石

>4=1+j

?1+j

g+T

出+一

?4

因?yàn)?〉---\-,所以岳<匕4,

12?1

。2十r

(73+―

?4

同理可得Z?4<Z?6,b6Vb8,…,于是可得歷<。4<。6<。8<…，故C不正確;

因?yàn)?〉一?，所以">歷，

(Z1+—

12

同理可得匕3>d，bs>b6,bj>bs,

又仇>岳，所以匕3>68,故B不正確；故選D.

方法二(特殊值法)

不妨取以=1(左=1,2,…)，則"=l+i=2,

1113

岳=1+[=1+及=1+5=]

1+1

1125

fe=1+~-l~=1+fe=1+3=3'

1十1

1+1

13Q

所以d=1+員=1+5=亍

fe=1+i=1+8=^'

。6=1+*=1++=*

,,.1,,1334

岳=1+&=1+獷亓

^i=1,,+1-=-12+1-=5-5

逐一判斷選項(xiàng)可知選D.

13.已知數(shù)列｛斯｝中，前〃項(xiàng)和為且&=&一斯，則)"的最大值為.

答案3

fl.〃+2,幾+2n~\~1一八.a〃+1

=n=

斛析,**Sn-Q_an,???當(dāng)"22時(shí)，an—Sn-S〃-1=~Q-cin-—~詼-1,可化為=71

333an-in-1

十高，由函數(shù)＞=三在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞減，可得當(dāng)〃=2時(shí),高取得最大值2.二回

ZX1X1.〃1.一1

的最大值為3.

14.已知[幻表示不超過x的最大整數(shù)，例如：[2.3]=2,[―1.7]=—