2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重難點(diǎn)(全國版) 填空題中之分類討論思想(解析版)

填空題中之分類討論思想

【中考考向?qū)Ш健?/p>

目錄

【直擊中考】...........................................................................1

【考向一與等腰三角形有關(guān)的分類討論問題】................................................1

【考向二與直角三角形有關(guān)的分類討論問題】................................................7

【考向三與矩形有關(guān)的分類討論問題】.....................................................10

【考向四與菱形有關(guān)的分類討論問題】.....................................................18

【考向五與正方形有關(guān)的分類討論問題】...................................................23

【考向六與圓的分類討論問題】............................................................28

【考向七與相似有關(guān)的分類討論問題】.....................................................33

【直擊中考】

【考向一與等腰三角形有關(guān)的分類討論問題】

例題：（2022?四川廣安?統(tǒng)考中考真題）若（0-3）2+后。=0,則以服6為邊長的等腰三角形的周長為.

【答案】11或13##13或11

卜分析】根據(jù)平方的非負(fù)性，算術(shù)平方根的非負(fù)性求得。力的值，進(jìn)而根據(jù)等腰三角形的定義，分類討論，

根據(jù)構(gòu)成三角形的條件取舍即可求解.

【詳解】解：3-3）2+Q?=0,

「.a=3,b=5,

當(dāng)a=3為腰時，周長為:2a+6=6+5=11,

當(dāng)6=5為腰時，三角形的周長為a+26=3+10=13,

故答案為：11或13.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的定義，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?遼寧朝陽?統(tǒng)考中考真題）等邊三角形4BC中，。是邊上的一點(diǎn)，BD=2CD,以4D為邊作等

邊三角形/。瓦連接CE.若C￡=2,則等邊三角形/8C的邊長為.

【答案】3或小叵.

13

【分析】分兩種情況，先證明=再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】解：如圖，￡點(diǎn)在/。的右邊,

'l\ADE與A245C都是等邊二角形，

:.AC=AB,AE=AD,ZDAE=ABAC=60°,

/DAE-ACAD=ABAC-/CAD,

即/CAE=/BAD.

在AC/E和△以。中，

AC=AB

</CAE=ABAD,

AE=AD

,ACAE^ABAD(SAS),

:.CE=BD=2,

QBD=2CD,

/.CD=1,

/.BC=BD+CD=2+l=3,

二?等邊三角形/5C的邊長為3,

如圖，E點(diǎn)在4。的左邊，

同上，MAE二ACAD(SAS),

:.BE=CD,AABE=ZACD=60°,

NEBD=12Q。,

過點(diǎn)E作￡尸18。交C5的延長線于點(diǎn)尸，則NE5尸=60。,

:.EF=—BE=—CD.BF=3BE=gcD,

2222

7

/.CF=BF+BD+CD=—CD,

在RtAEFC中，CE=2,

EF2+CF2=CE2=4,

（^J3_CD）2,+（-7CZ））i2=4.

:.CD:巫或CD—亞（舍去），

1313

」.BC金

13

，等邊三角形ABC的邊長為小叵,

13

故答案為：3或小叵.

13

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明是解題的

關(guān)鍵.

2.（2022?內(nèi)蒙古通遼?統(tǒng)考中考真題）在Rb/3C中，ZC=90°,有一個銳角為60。，AB=6,若點(diǎn)P在直

線上（不與點(diǎn)A,B重合），且/尸C8=30。，則/P的長為.

【答案】2或9或3

2

【分析】分N4BC=60、//8C=30。兩種情況，利用數(shù)形結(jié)合的方法，分別求解即可.

【詳解】解：當(dāng)N/2C=60。時，貝以A4c=30。，

BC=-AB=3,

2

AC=y/AB2-BC2=373,

當(dāng)點(diǎn)P在線段48上時，如圖，

???/尸C8=30。，

ZBPC=90°,BPPCLAB,

.AP=AC-cosABAC=3x/3x—=-；

22

當(dāng)點(diǎn)P在N8的延長線上時，

4PCB=30°,ZPBC=ZPCB+ZCPB,

:.NCPB=30°,

:"CPB=/PCB,

：.PB=BC=3,

：.AP=AB+PB=9-,

當(dāng)N/BC=30。時,則/84C=60。，如圖,

AC=-AB=3,

2

ZPCB=30°,

ZAPC=60°,

AACP=60°,

/LAPC=APAC=AACP,

.?.△NPC為等邊三角形，

：.PA=AC=3.

綜上所述，〃的長為|或9或3.

故答案為：?或9或3

2

【點(diǎn)睛】本題是解直角三角形綜合題，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形，等邊三角形的

判定和性質(zhì)等，分類求解是本題解題的關(guān)鍵.

3.（2022?浙江紹興?統(tǒng)考中考真題）如圖，在“8C中，AABC=40°,NA4c=80。，以點(diǎn)A為圓心，4C長

為半徑作弧，交射線2/于點(diǎn)。，連接C。，則N2CD的度數(shù)是.

【答案】10°或100°

【分析】分兩種情況畫圖，由作圖可知得/c=/o,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理解答即可.

【詳解】解：如圖，點(diǎn)。即為所求；

在AA8C中，AABC=40°,Z5^C=80°,

NACB=180°-40°-80°=60°,

由作圖可知：AC=AD,

:.^ACD=^ADC=-(180P-80P)=5cp,

:.NBCD=NACB-NACD=66-56=1。；

由作圖可知：AC=AD',

^ACD'=ZAD'C,

'：AACD'+ZAD'C=ABAC=80°,

:.ZAD'C=40P,

ZBCD'=180°-AABC-ZAD'C=180°-40°-40°=100'.

綜上所述：NBCD的度數(shù)是10?；?00。.

故答案為：10°或100°.

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握基

本作圖方法.

4.（2022?青海西寧?統(tǒng)考中考真題）矩形/BCD中，AB=8,40=7,點(diǎn)￡在邊上，AE=5.若點(diǎn)、P

是矩形/BCD邊上一點(diǎn),且與點(diǎn)4E構(gòu)成以/￡為腰的等腰三角形,則等腰三角形/EP的底邊長是.

【答案】5夜或4石

【分析】分情況討論：①當(dāng)4P=/￡=5,點(diǎn)P在邊AD上時，由勾股定理可求得底邊PE的長；②當(dāng)PE=AE=5,

點(diǎn)尸在邊2C上時，求出2E,由勾股定理求出依，再由勾股定理求出底邊/尸即可.

【詳解】解：???矩形MCD

.?./4=/3=90。，

分兩種情況：

當(dāng)4尸=43=5,點(diǎn)尸在邊4D上時，如圖所示：

ABAD=90°,

■-PE=SJAP2+AE2=A/52+52=5V2；

當(dāng)PE=AE=5,點(diǎn)尸在邊BC上時，如圖所示:

:BE=AB-AE=S-5=3,N3=90°,

：PB=yJpE2-BE2=正吁=4,

二底邊AP=^AB2+PB2=A/82+42=475；

綜上，等腰三角形NE尸的底邊長是5亞或4。

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)和等腰三角形的判定，進(jìn)行分類討論是

解決問題的關(guān)鍵.

12

5.（2022?江西?統(tǒng)考中考真題）已知點(diǎn)A在反比例函數(shù)>=—（x>0）的圖象上，點(diǎn)3在x軸正半軸上,若“O4B

【答案】5或2石或M

【分析】因?yàn)榈妊切蔚难淮_定，所以分三種情況分別計(jì)算即可.

【詳解】解：①當(dāng)4。=48時,AB=5；

②當(dāng)48=8。時，AB=5；

③當(dāng)OA=OB時，貝I」03=5,B（5,0）,

12

設(shè)4（4,一）（4>0）,

a

解得：4=3,2=4,

.?/(3,4)或(4,3),

."8=J（3-5），42=2^AB=^（4-5）2+32=JlO；

綜上所述，48的長為5或2有或師.

故答案為：5或2若或J16.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，考查分類討論的思想，當(dāng)時,

求出點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

【考向二與直角三角形有關(guān)的分類討論問題】

例題：（2022?黑龍江哈爾濱?統(tǒng)考中考真題）在“BC中，AD為邊BC上的高，AABC=30°,ACAD=20°,

則ZBAC是度.

【答案】40或80##80或40

【分析】根據(jù)題意，由于“SC類型不確定，需分三種情況：高在三角形內(nèi)部、高在三角形邊上和高在三角

形外部討論求解.

【詳解】解：根據(jù)題意，分三種情況討論：

①高在三角形內(nèi)部，如圖所示：

...在AA8D中，為邊3C上的高，^ABC=30°,

ABAD=90°-ZABC=90°-30°=60°,

ACAD=20°,

ABAC=ABAD+ACAD=60°+20°=80°；

②高在三角形邊上，如圖所示：

C（￡））

可知ACAD=0°,

ACAD=20°,

故此種情況不存在，舍棄；

③高在三角形外部，如圖所示:

A

二在AA8D中，為邊8C上的高，乙48c=30。，

ABAD=90°-AABC=90°-30°=60°,

ACAD=20°,

ABAC=ABAD-ACAD=60°-20°=40°；

綜上所述：NR4c=80?；?0。，

故答案為：40或80.

【點(diǎn)睛】本題考查求角度問題，在沒有圖形的情況下，必須考慮清楚各種不同的情況，根據(jù)題意分情況討

論是解決問題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?遼寧撫順?統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，乙4圓=90。,/8=60。,2。=2,點(diǎn)尸為斜邊上

的一個動點(diǎn)（點(diǎn)尸不與點(diǎn)42重合），過點(diǎn)P作尸。1/C,PE±8C,垂足分別為點(diǎn)。和點(diǎn)E,連接。E,PC

交于點(diǎn)。，連接當(dāng)△/尸。為直角三角形時，4P的長是

【答案】3或2百

【分析】根據(jù)題意，由△/尸。為直角三角形，可進(jìn)行分類討論：①當(dāng)乙4「0=90。；②當(dāng)N/。尸=90。兩種

情況進(jìn)行分析，然后進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，

?.?在中，AACB=90°,AB=60°,BC=?.,

ABAC=30°,

/8=28C=2x2=4,

AC=^42-22=2A/3-

???當(dāng)△/尸。為直角三角形時，可分情況進(jìn)行討論

①當(dāng)乙4尸。=90。時，如圖：

c

則APICP,

：.S^BC^AC.BC^AB.CP,

2A/3X2=4CP,

CP=V3;

在直角△〃(?尸中，由勾股定理，則

AP=7(2V3)2-(V3)2=3;

②當(dāng)乙4。2=90。時，如圖

PD1AC,PE±BC,ZACB=90°,

.??四邊形COPE是矩形，

-CQ=PQ,

：AQLCP,

???^ACP是等腰三角形，即AP=AC=2也

綜合上述，/P的長是3或2VL

故答案為：3或26；

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，30度直角三角形的性質(zhì)等

知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，運(yùn)用分類討論的思想進(jìn)行解題.

2.（2022?河南?統(tǒng)考中考真題）如圖，在放△NBC中，^ACB=90°,NC=3C=2夜，點(diǎn)。為A3的中點(diǎn),

點(diǎn)尸在/C上，且0=1,將CP繞點(diǎn)。在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)尸的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)0,連接DQ.當(dāng)/4D0

=90。時，的長為.

【答案】也或屈林匹或也

【分析】連接CD,根據(jù)題意可得，當(dāng)N4D。=90。時,分Q點(diǎn)在線段CD上和DC的延長線上,且CQ=CP=1,

勾股定理求得N0即可.

【詳解】如圖，連接C。，

C8

;在用△NBC中，ZACB=90°,AC=BC=242,

AB=4,CDLAD,

:.CD=-AB=2,

2

根據(jù)題意可得，當(dāng)//。0=90。時，。點(diǎn)在。上，且CQ=CP=1,

DQ=CD-CQ=2-1=L

如圖，在Rt^4D。中，AQ=y/AD2+DQ2=6+f=下,

在中，AD=CD=2,QD=CD+CQ=3

AQ=ylAD2+DQ2=722+32=岳

故答案為：料或取

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，確定點(diǎn)。的位置是解題的關(guān)

鍵.

【考向三與矩形有關(guān)的分類討論問題】

例題：（2022?遼寧錦州?中考真題）如圖，四邊形48CD為矩形，48=拒,40=3,點(diǎn)￡為邊3c上一點(diǎn)，

將△OCE沿DE翻折，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)￡過點(diǎn)尸作。E的平行線交/。于點(diǎn)G,交直線8C于點(diǎn)〃若

點(diǎn)G是邊AD的三等分點(diǎn)，則FG的長是.

【答案】，畔

【分析】過點(diǎn)石作攻，6打于點(diǎn)“，根據(jù)題意可得四邊形時G是平行四邊形，證明坂=尸￡,等面積

法求得ME,勾股定理求得可得#'的長，進(jìn)而即可求解.

【詳解】①如圖，過點(diǎn)E作EMiGH于點(diǎn)M,

???四邊形必DG是平行四邊形

;.HE=GD=-AD=\

3

二折疊

NFED=4CED

'：ZMED=90°

即ZFEM+2FED=90°

ZCED+AHEM=90°

AHEM=4FEM

,:NEMF=NEMH=9。,ME=ME

：AHEM仝FEM

:.HM=MF,EF=HE=l

EF=EC=\

二四邊形/BCD是矩形

AC=9Q°,DC=AB=42

RaEDC中，DE=y]DC2+EC2=J（碼?+f=百

GH=DE=也

'：ME1HG,HG//DE

S△Dn匕rFr=-2MExDE=S△nxJFziCc=2-DCxEC

DCxEC_V2xl_瓜

DEV3T

RtA/fl"中，HM=y/HE2-ME2=

n/o

:.FG=HG-HF=HG-2HM=』-一73=—

33

同理可得HE=GD=/D-/G=3-1=2,

EC=EF=HE=2,

二?！?”2+（亞j=

DCxECV2x22A/3

:.ME=

DE-V6-3

RtzsHA"中，HM=^HE2-ME2=2A/6

丁

:.FG=HF-HG=2HM-HG=--y/6=—

33

故答案為：立或逅

33

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，折疊，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識，注意分類

討論是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?遼寧盤錦?中考真題）如圖，四邊形/BCD為矩形，AB=3,AD=4,AC,3。為矩形的對角線，E

是4D邊的中點(diǎn)，點(diǎn)廠是。上一點(diǎn)，連接Ef將△￡>￡尸沿昉折疊，當(dāng)點(diǎn)G落在矩形對角線上時，則折

痕斯的長是.

BC

【答案】g或T

【分析】分兩種情況,分別畫出圖形:當(dāng)G在NC上時連接DG交EF于M,證明NAGD=90°,從而EFIIAC,

得既是△/DC的中位線，可得防=*；當(dāng)G在3D上，設(shè)BD交E尸于N,證明AABDsADEF,可得二-

2EF

310

=一，EF=——.

23

【詳解】解：當(dāng)G在4C上時，連接。G交跖于如圖甲所示：

?「E是4。中點(diǎn)，

：.AE=DE,

?.?將△￡）歷沿斯折疊，

:.DE=GE,ADME=^GME=90°,

：.AE=DE=GE,

；"EAG=/EGA,AEDG=AEGD,

?//EAG+/EGA+/EDG+/EGD=180。,

；24GZ+2/￡GQ=180。，

:"EGA+/EGD=9。。,即/4GO=90。，

/.AAGD="ME,

：.EFIIAC,

?「E是4。中點(diǎn)，

是△4DC的中位線，

：.EF=

',AC=^AB2+BC2=ylAB2+AD2=A/F+47=5,

5

：.EF=-；

2

當(dāng)G在5。上，設(shè)BD交EF于N,如圖乙所示：

?.?將△。斯沿跖折疊，

/DNF=90。,

:.LDFN=90。一LFDN=4ADB,

'：AEDF=90°=ABAD,

/.AABDSADEF,

BDAB

一而一瓦’

：BD=AC=5,DE=；AD=2,

53

~z-=—,

EF2

10

：.EF=——，

3

綜上所述，折痕環(huán)的長是g或g,

故答案為：3或日.

圖甲圖乙

【點(diǎn)睛】本題考查矩形中的翻折問題，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線等知識，解題的關(guān)

鍵是掌握翻折的性質(zhì).

2.(2022?黑龍江綏化?統(tǒng)考中考真題)在長為2,寬為x(l<x<2)的矩形紙片上，從它的一側(cè)，剪去一個

以矩形紙片寬為邊長的正方形(第一次操作)；從剩下的矩形紙片一側(cè)再剪去一個以寬為邊長的正方形(第

二次操作)；按此方式，如果第三次操作后，剩下的紙片恰為正方形，則x的值為.

【答案】|或|

【分析】分析題意，根據(jù)x的取值范圍不同，對剩下矩形的長寬進(jìn)行討論，求出滿足題意的x值即可.

【詳解】解：第一次操作后剩下的矩形兩邊長為2-x和x,

x—(2—x)=2x—2,

又QIvxv2,

/.2x—2>0,

x>2—x,

則第一次操作后，剩下矩形的寬為2-x,

所以可得第二次操作后，剩下矩形一邊為2-x,

另一■邊為：x—(2-x}=2x—2,

1?第三次操作后，剩下的紙片恰為正方形，

二第二次操作后剩下矩形的長是寬的2倍，

分以下兩種情況進(jìn)行討論：

4

①當(dāng)2-x>2x-2,即時,

第三次操作后剩下的矩形的寬為2彳-2,長是2-x

則由題意可知：2-x=2(2x-2),

解得：X=g；

4

②當(dāng)2-x<2x-2,即x>1時，

第三次操作后剩下的矩形的寬為2-x,長是2》-2

由題意得：2x-2=2(2-x),

3

解得：x

：.x=—或者X=3.

52

故答案為:1或g.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)以及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，熟練掌握矩形，正方形性

質(zhì)以及分類討論的方法是解題的關(guān)鍵.

3.(2022?遼寧沈陽?統(tǒng)考中考真題)如圖，將矩形紙片N3CD折疊，折痕為MN,點(diǎn)M,N分別在邊ND,

3c上，點(diǎn)C,。的對應(yīng)點(diǎn)分別在瓦產(chǎn)且點(diǎn)尸在矩形內(nèi)部,板的延長線交3C與點(diǎn)G,即交邊2C于點(diǎn)H.EN=2,

AB=4,當(dāng)點(diǎn)〃為GN三等分點(diǎn)時，的長為,

【答案】2月-4或4

【分析】由折疊得，ADMN=AGMN,EF=CD==4,CN=EN=1,"FM=/D=90°,證明得

空=坐=券，再分兩種情況討論求解即可.

GHHFGF

【詳解】解：?四邊形N8CD是矩形,

:.AD//BC,CD=AB=4,/￡)=NC=90°,

/.ADMN=￡GNM,

由折疊得，ADMN=￡GMN,EF=CD==4,CN=EN=2,/EFM=/D=9。。,

：.￡GMN=￡GNM,AGFH=ANEH,

：.GM=GN,

又乙GHE=LNHE,

：AGHE?臣HE,

.NHHENE

,'GH~HF~GFf

?.?點(diǎn)X是GN的三等分點(diǎn)，則有兩種情況:

①若粵=:時，則有:HENE

（jrrz2HFGF2

]428

：.EH=-EF=-,FH=-EF=-,GF=2NE=4,

3333

由勾股定理得，NH=4EH2+NF2=^(1)2+22=1,

:.GH=2NH=±A

3

GM=GN=GH+NH=2>/13,

:.MD=MF=GM-GF=2M-4；

HENE

②若二7=2時，則有:

~HF~~GF~

：.EH=-EF=-,FH=-EF=-,GF=gNE=1,

33332

10

由勾股定理得,NH=4EH2+NF2=

T

15

：.GH=-NH=-

23

GM=GN=GH+NH=5；

:.MD=MF=GM-GF=5-1=4

綜上，MD的值為2而-4或4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性

質(zhì)等知識，進(jìn)行分類討論是解答本題的關(guān)鍵.

4.（2022?黑龍江?統(tǒng)考中考真題）在矩形/BCD中，AB=9,4D=12,點(diǎn)￡在邊CD上，且C￡=4,點(diǎn)尸

是直線3c上的一個動點(diǎn).若V/PE是直角三角形，則8尸的長為.

【答案】藁31或號15或6

【分析】分三種情況討論：當(dāng)NAPE=90。時，當(dāng)//￡尸=90。時，當(dāng)/口￡=90。時，過點(diǎn)尸作刊UDZ交

延長線于點(diǎn)尸，即可求解.

【詳解】解：在矩形/BCD中，AB=CD=9,AD=BC=12,/BAD=/B=/BCD=44DC=90°,

如圖，當(dāng)//P￡=90。時,

二/4PB+/CPE=90。,

?//BAP+/APB=90°,

：.乙BAP二乙CPE,

?/Z5=ZC=90°,

:.△ABPs^pCE,

ABBP口口9BP

-------,即-------=---

PCCE12-BP4

解得BP=6；

如圖，當(dāng)"=90。時，

?/Z.DAE+AAED=90°,

ADAE=^PEC,

?/ZC=Z￡>=90o,

/.AADESAECP,

ADDE口口129-4

——,即——=----,

CEPC4PC

解得：PC=|

31

/.BP=BC—PC=——

3

如圖，當(dāng)/尸/月二90。時，過點(diǎn)。作?。/交延長線于點(diǎn)凡

根據(jù)題意得ZBAF=ZABP=ZF=90°,

???四邊形/現(xiàn)/為矩形，

：.PF=AB=9,AF=PB,

.../尸4尸+/ZME=90。，/尸4尸+/4尸尺90。，

/DAE=/APF,

?/ZF=ZD=90°,

...AAPFS^EAD,

AFPFAF9

/.—=——，R即n----二——，

DEAD9-412

解得：AF=^,即尸8=?

44

31is

綜上所述，2P的長為;或］或6.

故答案為：號31或15?或6

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，矩

形的性質(zhì)，并利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵.

【考向四與菱形有關(guān)的分類討論問題】

例題：（2022秋?廣東梅州?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知在菱形/BCD中，48=5,/C=8,點(diǎn)尸是“C

上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)尸作斯交/。于點(diǎn)E,交于點(diǎn)尸，將沿E尸折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)4處,

當(dāng)是直角三角形時，/P的長為.

7

【答案】2或一

O

【分析】分兩種情形①當(dāng)4與。重合時，ACDH是直角三角形，此時/P=go/=；/C=2.②當(dāng)HO1CD

時，是直角三角形，此時cosNOC0=jCD=￡OC,列出方程即可解決問題.

【詳解】解：如圖，連接2。交NC于O.

DRC

?.?四邊形，BCD是菱形，

AC1BD,

:EF1AC,是由翻折得至lj,

PA=PA,

①當(dāng)H與。重合時，△CQ4'是直角三角形，

此時4尸二,04=，4。=2.

24

②當(dāng)47)1。。時，△C0H是直角三角形，

此時cosNOCH="CD==OC,

CACD

5_4

C?~5，

/.CA'=—,

4

綜上所述，滿足條件的/P的長為2或!7.

O

【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、菱形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思

考問題，是由中考填空題中的壓軸題.

【變式訓(xùn)練】

1.(2022秋?浙江金華?九年級義烏市繡湖中學(xué)教育集團(tuán)校聯(lián)考期中)已知，拋物線>=62+2^+6上有兩點(diǎn)

/(-2,4),2(1,0),將拋物線沿水平方向平移,平移后點(diǎn)/的對應(yīng)點(diǎn)為4,點(diǎn)2的對應(yīng)點(diǎn)為"，且四邊形44E8

剛好為菱形，那么平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為.

【分析】利用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，由四邊形AA'B'B為菱形,得出AA'=BB'=AB=5,

即可得出向右平移5各單位的得到新拋物線，進(jìn)而即可求得平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).

…八[4。一4。+/?=4

【詳解】解：根據(jù)題意得、，八，

_4

解得”一H,

6=4

AB=（4-0）2=5,

?.?四邊形笈8為菱形，

AA'=BB'=AB=5,

..48.4/,、216

.y=——x2——x+4=——（x+1）+——，

333k73

一?頂點(diǎn)為卜片），

二當(dāng)拋物線向右平移5個單位的拋物線的頂點(diǎn)為（4,竽）

當(dāng)拋物線向左平移5個單位是拋物線頂點(diǎn)為卜吟）

故答案為：（4，與）或卜6,g）.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，菱形

的性質(zhì)，求得拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?河南信陽?校考一模）如圖，在菱形?中，4048=45。，N3=4,點(diǎn)尸為線段上一動點(diǎn),

過點(diǎn)P作依1/3交/。于點(diǎn)E,沿PE將/N折疊，點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為點(diǎn)尸，連接E尸、DF、CF,當(dāng)KDF

為等腰三角形時，4P的長為.

【答案】0或2或行+1或2④或2亞+2

【分析】分類討論：如圖1,當(dāng)DF=CD時，如圖2,當(dāng)CF=CD=4時，如圖3中，當(dāng)FD=FC

時，分別求出即可.

【詳解】解：如圖1,當(dāng)DF=CD時，點(diǎn)尸與A重合或在點(diǎn)F'處.

當(dāng)尸與A重合時，尸與A也重合，此時AP=Q

圖1

在菱形ABCD中，/8=4.

CD=AD=A

作DN1AB于N,

在Rt/\ADN中，'：AD=4.NDAN=45°,DN=AN=NF'=2B

AP=2亞;

如圖2,當(dāng)CF=CD=4時，點(diǎn)歹與B重合或在F1處，

AP=-AB=2,

2

當(dāng)尸在尸處時，過C作于M

則可得MF,=2y/2,

貝!1/斤，=4尤+4,

AP=2y/2+2-，

AF=2yf2+2,

AP=-AF=42+1.

2

綜上所述：當(dāng)ACDF為等腰三角形時，AP的長為0或2或拒+1或2a或2亞+2

故答案為0或2或夜+1或20或2逝+2.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，分類討論是解題關(guān)鍵.

3.（2022秋?廣東梅州?九年級?？茧A段練習(xí)）在矩形ABCD中，AD=5,AB=4,點(diǎn)、E,F在直線AD

上，且四邊形BCFE為菱形，若線段EF的中點(diǎn)為點(diǎn)M,則線段AM的長為—.

【答案】5.5或0.5

【分析】兩種情況：①由矩形的性質(zhì)得出8==4,BC=AD=5,ZADB=NCDF=90;由菱形的性質(zhì)

得出CF=EF=BE=BC=5,由勾股定理求出DF，得出，即可求出AM;②同①得出/￡=3,求出"E,

即可得出AM的長.

【詳解】解：分兩種情況：

①如圖1所示：

■.?四邊形/BCD是矩形，

CD=AB=4,BC=AD=5,NADB=ZCDF=9Q\

?.?四邊形BCEE為菱形，

CF=EF=BE=BC=5,

DF=^CF2-CD2=A/52-42=3,

AF=AD+DF=8,

?「M是EF的中點(diǎn)，

:.MF=-EF=2.5,

2

AM=AF-DF=S-2.5=5.5；

②如圖2所不：同①得：AE=3,

是E尸的中點(diǎn),

ME=2.5,

：.AM=AE-ME=Q.5；

綜上所述：線段的長為：5.5或0.5；

故答案為：5.5或0.5.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握矩形和菱形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)

算是解決問題的關(guān)鍵.

【考向五與正方形有關(guān)的分類討論問題】

例題：（2022秋?浙江紹興?九年級統(tǒng)考期中）正方形/BCD中，E,尸分別是AD,DC上的點(diǎn)，連結(jié)E尸交

DG4DF

對角線皿于點(diǎn)G,若成恰好平分/四’-=則花的值為——

【答案】|■或4

【分析】延長E尸交8c于凡作GTIDE于7,不妨設(shè)DG=4,G3=13,DE=4x,可證得△麻8是等腰

三角形，可推出F笠G=O=F=三DG'=有4，進(jìn)而表示出EG,然后解△DEG,從而求出x的值，進(jìn)而可得結(jié)果.

RGBRBG13

【詳解】解：如圖，延長”交于氏作GT10E于T,

.DG_4

二?不妨設(shè)。G=4,GB=13,則5。=17,設(shè)。￡=4x,

二四邊形45。。是正方形，

??BC//AD,AD=—BD=^^,

22

17A/2EGDEDG4

Z.EBC=Z.AEB,AE=AD-DE=--------4x,——

2RGBRBG13

BR=13x,

「BE恰好平分N4E7"

4EB=&EB,

，4EBC=/FEB,

ER=BR=\3x,

452

...EG=——ER=——x,

1717

5

在RSEGT中，GT=DT=—DG=2y/2,ET=DE-DT=4x-242,

2

由勾股定理得僅可+（4x-20=（凈），

解得再=殷0,x,=—V2,

160224

DE=4x=—s/2^~42,

156

當(dāng)少石=感血時，=—V2--A/2=—

1521510

DE

—=4A,

AE

當(dāng)="血時，AE=-42-—yl2=—sj2,

6263

,DE_1

??罰_'，

綜上所述，隼DF=:1或4,

AE2

故答案為:千或4.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行線分線段成比例，勾股定理等知識點(diǎn)，解題

的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造出等腰三角形.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022秋?山東日照?九年級?？计谀┑妊麬B=AC=IG,BC=12,正方形PQMN的兩個頂點(diǎn)

在一3C的一邊上，另兩個頂點(diǎn)在的另兩邊上，則正方形尸QWN的邊長為.

【答案】W24或2瑞40

【分析】分兩種情況討論：①正方形的邊。河在BC上，根據(jù)正方形的性質(zhì)，證明得到

二PN三=嚓AE，再利用等腰三角形的性質(zhì)，得到2。=6,由勾股定理得到ND=8,即可求出正方形邊長；②正

方形的邊?！痹贜8上，作CG1/B,利用三角形的面積，求出CG=y，再證明AWNsAdiB,利用相

似吟卷

即可求出正方形邊長.

【詳解】解：①如圖1,正方形的邊?！痹?C上，P、N分別在/8、AC±,過。作交尸N于點(diǎn)

E,

設(shè)正方形邊長為x,

;正方形尸。W,

:.PN//BC,

:AAPNS^ABC,

PNAE

,?拓―IB'

\'AB=AC=10,BC=12,ADIBC,

:.BD=-BC=6,

2

AD=ylAB2-BD2=V102-62=8，

.x_8-x

一石―-i-'

解得：戶日；

②如圖2,正方形的邊QM在4g上，尸、N分別在4C、8c上，過。作40J8C于點(diǎn)。，作CG148于點(diǎn)

G,

設(shè)正方形邊長為x,

'：-BCAD=-ABCG,AD=S,8c=12,AB=AC=10,

22

ccBCAD12x848

CG=-----------=-------=—,

AB105

'：PN//AB,

.△CPN—ACAB,

.PNCF

\4B~'CG，

48

-----x

x_5___

1048

5

240

解得:x=--

49

24240

綜上所述,正方形的邊長為M或獷

24-240

故答案為:—或---

5-49.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的額判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識，

熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

2.（2022秋?江西宜春?九年級?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，正方形N3C。的/。在了軸正半軸上，邊8C

在第一象限，且幺（0,3）,8（5,3）.將正方形NBC力繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)a（0°<心90。），若點(diǎn)8對應(yīng)點(diǎn)"恰好

落在坐標(biāo)軸上，則點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

【答案】（7,4）或（5,-2）

【分析】由正方形N3CD的ND在了軸正半軸上，邊8C在第一象限，且工（0,3）,B（5,3）,先求出長，

進(jìn)而得出。（5,8）,。（0,8）,畫出圖形：當(dāng)正方形/BCD繞點(diǎn)N順時針旋轉(zhuǎn)a（0°<aS90。），分兩種情況，①

點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)Q恰好落在x軸正半軸上時，②點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)"恰好落在y軸負(fù)半軸上時.

【詳解】解：,正方形的4D在V軸正半軸上，邊5c在第一象限，且/（0,3）,8（5,3）,

715=5-0=5,6（5,8）,￡）（0,8）,

畫圖如下：

當(dāng)正方形/BCD繞點(diǎn)/順時針旋轉(zhuǎn)a（0°<aw90。），作CElx軸于瓦分兩種情況

①點(diǎn)2的對應(yīng)點(diǎn)"恰好落在x軸正半軸上時，如圖，

?：4B=AB=5,OA=3,

OB'=A/52-32=4,

AAB'O+AOAB'=90°,AAB'O+AC'B'E=90°,

丁?/OAB，=/CB，E,

在△48'。和△防'C'中，

AAOB'=ZB'EC

<ZOAB'=ZEB'C,

AB'=B'C

△/BO二△￡9。(AAS),

/.B，E=OA=3,EC=OB，=4,

：.0￡=。8+夕￡=4+3=7,

.?.點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(7,4)；

②點(diǎn)5的對應(yīng)點(diǎn)9恰好落在歹軸負(fù)半軸上時，如圖,

貝I」BC=AB=BC=5,

/.yc=3—5=-2,xc=AB=5,

.?.點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（5,-2）；

綜上所述：點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（7,4）或（5,-2）.

故答案為：（74）或（5,-2）.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，圖形的旋轉(zhuǎn)變換，三角形全等，掌握正方形的性質(zhì)，勾股定

理，圖形的旋轉(zhuǎn)變換，三角形全等，利用分兩種情況考慮點(diǎn)"的位置求點(diǎn)C坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.

3.（2021秋?北京東城?九年級?？计谀┤鐖D，正方形/BCD的面積為3,點(diǎn)E是。C邊上一點(diǎn)，DE=1,

將線段/E繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)￡落在直線3C上，落點(diǎn)記為尸，則FC的長為.

【答案】6-1或6+1

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得48=/。=8C=6,^ABC=Z￡>=90°,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得/尸=NE,

然后利用“HL”證明RtAZB尸和RSADE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得8尸=DE=1,然后分點(diǎn)F

在線段8C上和CB的延長線上兩種情況討論求解即可.

【詳解】解：:正方形/BCD的面積為3,

:.AB=AD=BC=6ZABC=ZD=90。,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得/尸=/E,

[AF=AE

在RtA48尸和RtZ\/￡>￡中，_,c，

[AB=AD

...Rt^ABFR^/O￡(HL),

①點(diǎn)月在線段BC上時，F(xiàn)C=BC-BF=如-\,

②點(diǎn)廠在C5的延長線上時，F(xiàn)C=BC+BF=A1,

綜上所述，爪的長為#_1或百+1,

故答案為：6-1或百+L

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并求出全等三角

形是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于要分情況討論.

【考向六與圓的分類討論問題】

例題：(2022秋.江蘇宿遷?九年級統(tǒng)考期中)如圖，將一塊三角板放置在O。中，點(diǎn)/、2在圓上，/C為直

角，ZABC=60。，點(diǎn)尸為前上一點(diǎn)，則NAPB的度數(shù)是.

【答案】60。或120。

【分析】根據(jù)點(diǎn)P的位置分兩種情況討論，即可得出答案.

【詳解】解：如圖：

當(dāng)點(diǎn)尸在優(yōu)弧前上時，連接尸區(qū),PB,

■：AABC=60°,

ZS^C=90°-60°=30°,

OA=OB,

AOBA=ZOAB=30P,

ZAOB=180°-30°-30°=120°,

ZAPB=-ZAOB=60P；

2

當(dāng)點(diǎn)尸'在劣弧功上時，連接P/,P'B,

???四邊形PAP'B為圓內(nèi)接四邊形，

AAP'B+ZAPB=1SO0,

N4P8=120。，

綜上分析可知，的度數(shù)是60?；?20。.

故答案為：60?；?20。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，直角三角形兩銳角互余，等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用分類

討論的思想，數(shù)形結(jié)合.

【變式訓(xùn)練】

1.（2021秋?浙江湖州?九年級統(tǒng)考期末）在。O中，弦N8和弦NC/C都不是直徑）構(gòu)成的N2/C=50°,

M,N分別是48和4c的中點(diǎn)，則NMON的度數(shù)為.

【答案】130?；?0°

【分析】連接。“，ON,利用垂徑定理得ONiAC,再分類討論，當(dāng)48,/C在圓心異側(cè)時（如

圖1）,利用四邊形內(nèi)角和得結(jié)果；當(dāng)/氏NC在圓心同側(cè)時（如圖2）,利用三角形內(nèi)角和定理得結(jié)果.

【詳解】解：連接。ON,

■：M,N分別是和/C的中點(diǎn)，

OMVAB,ONIAC,

當(dāng)48,NC在圓心異側(cè)時（如圖1）,

ABAC=50°,ZANO=ZAMO=90°,

AMON=360°-90°-90°-50°=130°；

當(dāng)/B,ZC在圓心同側(cè)時（如圖2）,

AMON=ABAC=50°,

綜上，/MON=130?；?0°,

故答案為：130?；?0°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理、四邊形內(nèi)角和定理、三角形的內(nèi)角和定理；熟練掌握垂徑定理，進(jìn)行

分類討論是解決問題的關(guān)鍵.

2.（2022秋?遼寧葫蘆島?九年級校考階段練習(xí)）已知N8,是。。的兩條平行弦，AB=24,CD=10,QO

的半徑為13,則弦AB與CD的距離為.

【答案】17或7

【分析】由勾股定理，垂徑定理，分兩種情況討論，即可求解.

【詳解】解：當(dāng)在點(diǎn)。的兩側(cè)，作于跖延長M9交CD于N,連接。4。。，

因?yàn)?2||CD,

貝ijONLCD,

:.OM=yJOA2-AM2=A/132-122=5,ON=yJoC2-CN2=A/132-52=12.

:.MN=OM+ON=5+12=17,

，此時弦AB.與CD之間的距離為17；

當(dāng)48,CD在點(diǎn)O的同側(cè)，作。0LCD于。，交AB于P,連接CM,OC,

:.OP=一/尸2=J132-I22=5.

oQ=^OC2-CQ2=A/132-52=12