2023年全國初中數(shù)學(xué)知識競賽試題及答案

2023年全國初中數(shù)學(xué)知識競賽試題及答案(精華版)

一'選擇題(共5小題，每小題6分，滿分30分.以下每道小題均給

出了英文代號的四個結(jié)論，其中有且只有一個結(jié)論是正確的.請將正

確結(jié)論的代號填入題后的括號里.不填、多填或錯填，得零分)

1.若4x—3y—6z-0,%+2y—7z=0(%yzW0),則記：——的值等于

2x-3y-10z

(A)—g(B)(C)-15(D)-13

2.在本埠投寄平信，每封信質(zhì)量不超過20g時付郵費0.80元，超過

20g而不超過40g時付郵費1.60元，依次類推，每增加20g需增加郵

費0.80元(信的質(zhì)量在100g以內(nèi))。如果所寄一封信的質(zhì)量為72.5g,

那么應(yīng)付郵費().

(A)2.4元(B)2.8元(C)3元(D)3.2元

3.如下圖所示，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG-().

(A)360°(B)450°(C)540°(D)720°

4.四條線段的長分別為9,5,%,1（其中％為正實數(shù)），用它們拼成

兩個直角三角形，且A5與CD是其中的兩條線段（如上圖），則％可

取值的個數(shù)為（）.

（A）2個（B）3個（C）4個（D）6個

5.某校初三兩個畢業(yè)班的學(xué)生和教師共100人一起在臺階上拍畢業(yè)照

留念，攝影師要將其排列成前多后少的梯形隊陣（排數(shù)三3）,且要求

各行的人數(shù)必須是連續(xù)的自然數(shù)，這樣才能使后一排的人均站在前一

排兩人間的空擋處，那么，滿足上述要求的排法的方案有（）.

（A）l種（B）2種（C）4種（D）0種

二、填空題（共5小題，每小題6分，滿分30分）

6.已知》=]+逐，那么一-—?—------=_____________.

x+2x—4x—2

7.若實數(shù)x,y,z滿足x+'=4,丁+工=1,z+」=N,則xyz的值

zx3

為

8.觀察下列圖形:

根據(jù)圖①、②、③的規(guī)律，圖④中三角形的個數(shù)為

9.如圖所示，已知電線桿A3直立于地

面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD

和地面上，如果與地面成45°,

NA=60°CZ）=4m,5。=（4而-2點）m,則電線桿A跳的曲為m.

10.已知二次函數(shù)y=ar+6x+c（其中。是正整數(shù)）的圖象經(jīng)過點A

（—1,4）與點5（2,1）,并且與％軸有兩個不同的交點，則。+c的

最大值為.

三、解答題（共4題，每小題15分，滿分60分）

11.如圖所示，已知A3是。。的直徑，5。是。。的切線，0。平行于

弦AD,過點D作DELAB于點E,

連結(jié)AC,與DE交于點P.問EP

與尸。是否相等？證明你的結(jié)論.

解：

（第11題圖）

12.某人租用一輛汽車由A城前

往5城，沿途可能經(jīng)過的城市以

及通過兩城市之間所需的時間

（單位：小時）如圖所示.若汽

車行駛的平均速度為80千米/小

時，而汽車每行駛1千米需要的

平均費用為1.2元.試指出此人

從A城出發(fā)到5城的最短路線（要有推理過程）,并求出所需費用最少

為多少元?

解：

（第12題圖）

13B.如圖所示，在△ABC中，ZACB=90°.

⑴當(dāng)點。在斜邊的內(nèi)部時,求證：包薩=絲滑.

（2）當(dāng)點。與點A重合時，第（1）小題中的等式是否存在？請說

明理由.

（3）當(dāng)點。在R4的延長線上時,第（1）小題中的等式是否存在?

請說明理由.

BDA

（第13B題圖）

14B.已知實數(shù)a,b,c滿足：a+b+c-2,abc=4.

(1)求a,b,c中的最大者的最小值；

(2)求同+網(wǎng)+卜|的最小值.

注：13B和14B相對于下面的13A和14A是較容易的題.13B和14B與

前面的12個題組成考試卷.后面兩頁13A和14A兩題可留作考試后的

研究題。

13A.如圖所示，。。的直徑的長是關(guān)于X的二次方程/+2(4-2)x+左=0

(左是整數(shù))的最大整數(shù)根.尸是。。外一點，過點尸作。。的切線B4

和割線05C,其中A為切點，點5,。是直線尸與。O的交點.若

PA,PB,尸。的長都是正整數(shù)，且尸5

的長不是合數(shù)，求產(chǎn)片+尸長+PC2的

解:尸

BC

(第13A題圖)

14A.沿著圓周放著一些數(shù)，如果有依次相連的4個數(shù)a,b,c,d滿

足不等式3-c)>0,那么就可以交換Ac的位置，這稱為一次操

作.

(1)若圓周上依次放著數(shù)1,2,3,4,5,6,問：是否能經(jīng)過有限

次操作后，對圓周上任意依次相連的4個數(shù)a,b,c,d,都有

(a-d)(b-c)WO?請說明理由.

(2)若圓周上從小到大按順時針方向依次放著2003個正整數(shù)1,

2,…，2003,問：是否能經(jīng)過有限次操作后，對圓周上任意依次相連

的4個數(shù)a,b,c,d,都有(a-4)0—c)WO?請說明理由.

解：⑴

(2)

參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)

一、選擇題（每小題6分，滿分30分）

1.D

由14x-3y-6z=0,解得]x=3z,代入即得.

x+2y-7z=0,[y=2z.

2.D

因為20X3V72.5〈20X4,所以根據(jù)題意，可知需付郵費0.8X4=3.2

（元）.

3.C

如圖所示，N5+NBWN+NE+NG=360°,ZFNM+ZF+ZA+Z

。=360°,

而25腦^+/*\函=/。+180°,所以

ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG^540°.

EB

D

（第3題圖）

4.D

顯然45是四條線段中最長的，故A5=9或A5=%。

(1)若A5=9,當(dāng)。。=工時,92=1+(1+5)2,x—3^/5;

當(dāng)CD=5時,92=52+(x+l)2,x=2V14-1；

當(dāng)CD=1時,92=F+(X+5)2,x=4-\/5—5.

(2)若45=%,當(dāng)CD=9時,X2=92+(1+5)2,x—;

當(dāng)8=5時,x2=52+(1+9)2,x=5V5;

當(dāng)CD=1時,/=12+(5+9)2,x=V197.

故％可取值的個數(shù)為6個.

5.B

設(shè)最后一排有左個人，共有“排，那么從后往前各排的人數(shù)分別

為k,k+1,k+2,…，k+（八一1）,由題意可知kn+n'n一］=100,即

2

〃［2左+（“-1）］=200.

因為左，八都是正整數(shù)，且九23,所以水2左+（八一1）,且“與2k+

（/?—1）的奇偶性不同.將200分解質(zhì)因數(shù)，可知八=5或"=8.當(dāng)〃=5

時，:18；當(dāng)〃=8時，g9.共有兩種不同方案.

6.—0

2

--1-1---1----1-=---4--1---1-=---3--_-----3---=--V-3

%+2%2—4x—2九2—4%2—4%2—4(1+V3)2—42

7.1.

7_￡

日斗一11z3X7x-3

因為4=%+—=%+——-=%+-----=%+_.=%+-------，

y1」z-1-/-----1---]14x—3

Z3x

所以4(4%-3)=M4X-3)+7X-3,

解得X」

2

從而z=———=———=—>y=1

3x333

qsa325.

7T7Exyz=-x—x—=1.

253

8.161.

根據(jù)圖中①、②、③的規(guī)律，可知圖④中三角形的個數(shù)為

1+4+3X4+32x4+33x4=1+4+12+36+108=161(個).

9.6」.

如圖，延長A。交地面于E,過

D作DFLCE于F.

因為/。。尸=45°,NA=60°,

CD=4m,所以CF=DF=2V2m,

EF-DFtan60°=2屈(m).（第9題圖）

因為四=tan30。=如，所以=包=6后(m).

BE33

10.-4.

〃一b+c=4,

由于二次函數(shù)的圖象過點A(—1,4),點5(2,1),所以

4〃+2/?+c=1,

b——a—1,

解得

c=3—2a.

因為二次函數(shù)圖象與X軸有兩個不同的交點，所以A=/-4ac>0,

(―a—1)2—4a(3—2a)>0,BR(9?-1)(?-1)>0,由于。是正整數(shù)，故a>l,

所以a22.又因為b+c--3a+2W—4,且當(dāng)a-2,b--3,c——1

時，滿足

題意，故。+c的最大值為-4.

三、解答題(共4題，每小題15分，滿分60分)

11.如圖所示，已知A5是。。的直徑，人

5C是。。的切線，0。平行于弦A。，/D

/Ep\\

過點。作。ELA3于點E,連結(jié)AC,/\\

與。E交于點P.問E尸與尸。是否相

等？證明你的結(jié)論.

解：DP=PE.證明如下：

因為A5是。。的直徑，5C是切線,

所以A3,5c

由RtAAEP^RtAABC,得

XAD//OC,所以NDAE=NC05,RtAAED^RtAOBC.

^ED_AE_AE_2AE

X-②……（12分）

BC~OB1,DAB

一An

2

由①，②得ED=2EP.

所以DP=PE........（15分）

12.某人租用一輛汽車由4城前往5城，沿途可能經(jīng)過的城市以及通

過兩城市之間所需的時間（單位：小時）如圖所示.若汽車行駛的平

均速度為80千米/小時，而汽車每行駛1千米需要的平均費用為1.2

元.試指出此人從A城出發(fā)到5城的最短路線（要有推理過程），并求

出所需費用最少為多少元？

解：從A城出發(fā)到達(dá)5城的路線分成如下兩類：

（1）從A城出發(fā)到達(dá)5城，經(jīng)過。城.因為從A城到。城所需最

短時間為26小時，從。城到5城所需最短時間為22小時.所以，此

類路線所需最短時間為

26+22=48（小時）....（5

分）

（2）從A城出發(fā)到達(dá)5城，

不經(jīng)過O城.這時從A城到達(dá)5

城，必定經(jīng)過C,D,E城或廠,

G,H城，所需時間至少為49

小時....（10分）

綜上，從A城到達(dá)5城所需的最短時間為48小時，所走的路線

A—F—O—E—B.（12分）

所需的費用最少為：

80X48X1.2=4608（元）…（14分）

答：此人從A城到5城最短路線是A一尸一0一石一5所需的費用最

少為4608元（15分）

（第12題圖）

13B.如圖所示，在△ABC中，ZACB=90°.

（1）當(dāng)點。在斜邊A3內(nèi)部時，求證：CD^-BD^=AD-BD

BCAB

（2）當(dāng)點。與點A重合時，第（1）小題中的等式是否存在？請

說明理由.

（3）當(dāng)點。在R4的延長線上時，第（1）

小題中的等式是否存在？請說明理由.木、

解：（1）作。垂足為E由勾股

定理得

CD2-BD2=(CE2+DE2)-(BE2+DE2)

=CE2—BE2=(CE-BE)BC.

CD--BD1CE-BECEBE

BCBCBC

痂1

CD--BD_ADBDAD-BD（10分）

-BC^-AB-

（2）當(dāng)點。與點A重合時，第（1）小題中的等式仍然成立。此

時有

AD^Q,CD=AC,BD=AB.

CD2-BD2AC2-AB2-BC2

所以-1

BC2BC2BC2

AD-BD-AB1

-AB~~AB~~'

從而第（1）小題中的等式成立.(13

分）

（3）當(dāng)點。在5A的延長線上時,第（1）小題中的等式不成立.

作DELBC,交BC的延長線于點

E,則

CD?-BD?CE?-BE?

BC2-BC2

CE+BE.2CE

=一行

AD-BD-AB,

而------=----=-1,

ABAB

CD2-BD2AD-BD

所以-----；——豐——-------（15分）

BC-AB

K說明［第（3）小題只要回答等式不成立即可（不成立的理由表

述不甚清

者不扣分）.

14B.已知實數(shù)a,b,c滿足:a+b+c=2,abc=4.

（1）求a,b,c中的最大者的最小值;

(2)求同+同+，的最小值.

解：(1)不妨設(shè)a是a,b,c中的最大者，即QEC,由題

設(shè)知a>0,

且b+c=2-a,be=—.

a

于是4C是一元二次方程必_(2—4)%+&=0的兩實根，

a

A=(2-a)2-4x-^0,

a

a3-4?2+4?-16^0,(a2+4)(a-4)^0.所以a24....(8

分)

又當(dāng)a=4,b=c=-l時，滿足題意.

故a",c中最大者的最小值為4.……(10

分)

(2)因為abc>0,所以a,b,c為全大于0或一正二負(fù).

1)若a,b,c均大于0,則由(1)知，a,b,c中的最大者不

小于4,這與a+b+c-2矛盾.

2)若a,b,c為或一■正二負(fù)，設(shè)a>0,灰0,c<0,則

時+網(wǎng)+忖=a—b—c=a—(2—a)=2a-2,

由(1)知a24,故2。-226,當(dāng)斫4,尻c=T時，滿足題設(shè)條件

且使得不等式等號成立。故時+用+卜|的最小值為

6.(15分)

13A.如圖所示，的直徑的長是關(guān)于X的二次方程￡+2（4-2）x+左=0

（左是整數(shù)）的最大整數(shù)根.尸是。。外一點，過點尸作。O的切線B4

和割線05C,其中A為切點，點5,。是直線尸5。與。。的交點.若

PA,PB,尸。的長都是正整數(shù)，且尸5的

長不是合數(shù)，求尸片+尸4+尸爐的值.

解：設(shè)方程爐+2（左-2）工+左=0的兩個

根

為%，%.由根與系數(shù)的關(guān)系得

玉+尤2=4—2左，①

（第13A圖）

x{x2=k.②

由題設(shè)及①知，%,%都是整數(shù).從①，②消去左，得

2再工2+再+尤2=4,

（2再+1）（2%+1）=9.

由上式知，無2W4,且當(dāng)％=0時，/=4,故最大的整數(shù)根為4.

于是。。的直徑為4,所以5CW4.

因為50尸C—P5為正整數(shù)，所以5。=1,2,3或4.……（6

分）

連結(jié)A5,AC,因為NRW=NPC4,所以B45s△尸C4,

PAPC

~PB~~PA°

故PA?=PB（PB+BC）③...（10分）

（1）當(dāng)501時，由③得，PA2=PB2+PB,于是

PB-<PA2<(P5+1)2,矛盾！

(2)當(dāng)502時，由③得，PA2=PB2+2PB,于是

PB2<PA2<(P5+1)2,矛盾！

(3)當(dāng)5C=3時，由③得，PA2^PB-+3PB,于是

(PA-PB)(PA+PB)=3PB,

由于05不是合數(shù)，結(jié)合PA-故只可能

PA-PB=1,[PA-PB=3,)PA-PB=PB,

<PA+PB=3PB,[PA+PB=PB,