2023年中考數(shù)學(xué)常見幾何模型(全國版)：對角互補(bǔ)模型(從全等到相似)(解析版)

對角互補(bǔ)模型（從全等到相似）

全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識點結(jié)合以綜

合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時注重解題方法，熟練掌握基本

解題模型，再遇到該類問題就信心更足了.本專題就對角互補(bǔ)模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握.

模型1.對角互補(bǔ)模型（全等模型）

【模型解讀】

四邊形或多邊形構(gòu)成的幾何圖形中，相對的角互補(bǔ).常見含90°、120°（60°）及任意角度的三種對角互

補(bǔ)類型.該題型常用到的輔助線主要是頂定點向兩邊做垂線，從而證明兩個三角形全等.

【常見模型及結(jié)論】

1）全等型一60。和120。：如圖1,已知N/O8=2NDC￡=120。，OC平分

則可得到如下幾個結(jié)論：①CD=CE,@OD+OE=OC,③S+S=￡℃2.

△CODACOE4

2）全等型一90。：如圖2,已知/DCE=90。，OC平分//。區(qū)

則可以得到如下幾個結(jié)論：①CD=CE,?OD+OE=y/2OC,③S=S+S=\oCi.

ODCEQCDACOE2

3）全等型一2a和180。一2a,如圖3,已知2a,z_DCE=180°-2a,OC平分N/O8.

則可以得到以下結(jié)論：?CD=CE,②。。+O￡=2OCcose,③S+S=OC2-sina-cosa.

△OCD^COE

1.（2021?貴州黔東南?中考真題）在四邊形ABC。中，對角線AC平分/BAD.

圖①圖②

（探究發(fā)現(xiàn)）（1）如圖①，若NBAO=120。，/ABC=/ADC=90°.求證：AD+AB=AC；

（拓展遷移）（2）如圖②，若NBAD=120。，AABC+AADC=180°.①猜想AB、AD,AC三條線段的

數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②若AC=10,求四邊形ABC。的面積.

【答案】（1）見解析；（2）①AD+AB=AC,見解析；②25R

【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到/。4?=/82=60。，然后根據(jù)直角三角形中30。是斜邊的一半即

可寫出數(shù)量關(guān)系；（2）①根據(jù)第一問中的思路，過點C分別作CEL八。于E,CFLAB于F,構(gòu)造44s證

明△CFS勺△CED,根據(jù)全等的性質(zhì)得到尸8=?！?結(jié)合第一問結(jié)論即可寫出數(shù)量關(guān)系；

②根據(jù)題意應(yīng)用60o的正弦值求得CE的長，然后根據(jù)

S，.小=；40*?！?；48、。尸=；（40+45）*?！甑臄?shù)量關(guān)系即可求解四邊形ABCD的面積.

四邊彩43co222

【詳解】（1）證明：?；AC平分/BAD,ZB/\D=120%ADAC=ZBAC=,

■：AADC=AABC=90。，

圖②

：.AACD=AACB=^o-,AD=-AC,AB^_AC_:.AD+AB=AC,

(2)?AD+AB=AC,理由：過點C分別作CELA。于E,CFLABTF.

.AC平分/BA。，:CF=CE,,.,/ABC+/ADC=180。，/EDC+/ADC=180。，:"FBC=NEDC,

又NCFB=ZCED=90。,：.^CFB=ACED^S\：.FB=DE,

：.AD+AB=AD+FB+AF=AD+DE+AF=AE+AF,

在四邊形AFCE中，由⑴題知：AE+AF=AC,：.AD+AB=AC-,

②在用ZXACE中，1AC平分NBA。，Na4D=120。二/DAC=NBAC=60。，

又,.AC=10,，CE=AsinNDZC=i0sin60o=5旨，：CF=CE,AD+AB=AC,

11111

S=ADxCE+ABxCF=(,AD+AB)xCE=4cxeE=xl0x5JJ=25/I

四邊糊BCD22222',

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)和應(yīng)用，解直角三角形，關(guān)鍵是辨認(rèn)出本

題屬于角平分線類題型，作垂直類輔助線.

2.(2022?廣東深圳?一模)【問題提出】如圖1,在四邊形/BCD中，AD=CD,ZA8C=120。，ZADC=60°,

AB=2,5C=1,求四邊形/BCD的面積.

【嘗試解決】旋轉(zhuǎn)是一種重要的圖形變換，當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時，往往可以通過旋轉(zhuǎn)解決問題.

(1)如圖2,連接8D,由于ND=C。，所以可將繞點。順時針方向旋轉(zhuǎn)60。，得到△加小,則△瓦加

的形狀是.

(2)在(1)的基礎(chǔ)上，求四邊形/BCD的面積.

(3)如圖3,等邊A48C的邊長為2,ABDC是頂角為NBDC=120。的等腰三角形，以。為頂點作一個60。

的角，角的兩邊分別交N3于點交/C于點N,連接求A/MN的周長.

【答案】(1)等邊三角形；(2)輩；(3)4

4

【分析】⑴由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出NBDB=60。,所以△5Z的是等邊三角形；

(2)求出等邊三角形的邊長為3,求出三角形3。方的面積即可；

(3)將ABDM繞點。順時針方向旋轉(zhuǎn)120。，得到“X?尸，則4BDM=ACDP,得出“。=尸口，

AMBD=ZDCP,ZMDB=ZPDC,證明△JWDTZWPD,證得A/AGV的周長=/B+/C=4.

【詳解】解：⑴?.?將ADCB繞點。順時針方向旋轉(zhuǎn)60。，得到△ZX4?，

^DCB/\DAB',

BD=B'D,NBDB'=60°,

：.△8。才是等邊三角形；

故答案為：等邊三角形；

(2)過2'作于E,

由（1）矢口，△BCDHB'AD,

BC=AB'=1,

:.BB,=AB+AB'=2+1=3,

由（1）知△23。為等邊三角形，

AB'BE=60°,BD=BB'=3,

?.?四邊形ABCD的面積=三角形8co面積+三角形ACD面積=三角形8ZD面積+三角形/CD面積=等邊三

角形8。"的面積，

:.BE=B'Bsg6U°=3x?=里.

22

S=S=￡BD-5K=1X3X2^=5^

四邊形"CD^BDB'2224;

（3）解：將△出W繞點。順時針方向旋轉(zhuǎn)120。，得到△OCP,

/.XBDM合XCDP,

:.MD=PD,CP=BM,NMBD=NDCP,ZMDB=ZPDC,

???△MC是等腰三角形，且/皿C=120。，

/.BD=CD,/LDBC=ZDCB=30°,

又???△ZBC等邊三角形，

/.ZABC=ZACB=60°,

/.ZMBD=AACB+ZDBC=90°,

同理可得NNCD=90。，

/./PCD=ZNCD=4MBD=90°,

/./DCN+/NCP=90：

：.N,C,尸三點共線，

?/ZMDN=60°,

ZPDC+ANDC=4MDB+ZNDC=ZBDC-ZMDN=120°-60°=60°,

即43N=NP￡W=60。,

在△M0D和ANPO中，

MD=PD

-AMDN=PDN

DN=DN

^NMD=^NPD(SAS\

MN=PN=NC+CP=NC+BM,

A/JW的周長=/加+/"+皿=/河+期+陽+3加=/8+/。=2+2=4.

故的周長為4.

【點睛】本題考查三角形全等變換，等邊三角形判定，四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積，圖形旋轉(zhuǎn)，直角三

角形判定，三點共線，三角形的周長轉(zhuǎn)化為兩邊之和，特殊角銳角三角函數(shù)，掌握三角形全等變換，等邊

三角形判定，四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積，圖形旋轉(zhuǎn)，直角三角形判定，三點共線，三角形的周長轉(zhuǎn)化

為兩邊之和，特別是利用圖形旋轉(zhuǎn)進(jìn)行圖形的轉(zhuǎn)化特殊角銳角三角函數(shù)，是解題關(guān)鍵.

3.（2022?河南安陽?二模）【閱讀】

通過構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膱D形，可以對線段長度大小進(jìn)行比較，直觀地得到線段之間的數(shù)量關(guān)系，這是“數(shù)形結(jié)合”

思想的典型應(yīng)用.

【理解】（1）如圖1,4MN=12QP,AC平分"^^工0",AN,求證：AB+AD=AC

【拓展】（2）如圖2,其他條件不變，將圖1中的NOB繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，。交的延長線于點，

C8交射線/N于點3,寫出線段4D,AB,NC之間的數(shù)量關(guān)系，并就圖2的情形說明理由.

【應(yīng)用】⑶如圖3,“8C為等邊三角形，AB=4tP為邊的中點，NMPN=120。，將NMPN繞點尸

轉(zhuǎn)動使射線P"交直線NC于點跖射線PN交直線于點N,當(dāng)""=8時，請直接寫出/N的長.

【答案】（1）見解析；（2）AB-AD=AC,理由見解析；（3）

【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，即可得證；

（2）過點C分別作Z峪3的垂線CE,B,垂足分別為反F,根據(jù)三角形的外角以及對頂角的性質(zhì)，證明

=然后證明△CE。空△CF8,由ED=FB,可得4E=ED-AD,AF=4B-FB,AE+AF=AC

即可得證；（3）分M在/N的上方和下方兩種情形討論，①過點p分別作的垂線尸已尸尸，根據(jù)（2）

的結(jié)論可得△尸△小，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求得CE的長，進(jìn)而可得ZE的長，根據(jù)

/N=4F+F2V=4F+EM=/尸+/E+4W即可求解，②同①方法求解，AN=FN-AF=EM-AFgp

可求解.

【詳解］（1）：AC平分j^N,CD】AM,CB】AN,ZM4N=12T,

.-,DA=AB.ADACABAC=60°,NDCA=NBCA=30。,

DA=AB=LAC,AB+AD=AC-,

2

（2）AB-AD=AC,理由如下，

如圖，過點C分別作N〃,/"的垂線。及3,垂足分別為￡、F,

由(1)nS^AE+AF=AC,CE=CF,

■:NDCB繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，二4DCB=60P,

'：AMAN=12(f,ABAD=60°,

'：ABAD+ZCDA=ADCB+AABC,

/.NCDA=ZABC,即AEDC=4FBC,

，."CED=/CFB=9。。,CE=CF,

:ACEDOCFB,:.ED=FB,

'：AE=ED-AD,AF=AB-FB,

AE+AF=ED—AD+AB—FB=AB—AD,

又AE+AF=AC,/.AB-AD=AC

(3)①如圖，當(dāng)”在45下方時，過點P分別作ZMZN的垂線P瓦尸尸，垂足分別為樂F,

7P是的中點，△/BC是等邊三角形，

:.AP平分/CAB,Z5=ZC=60°,:.PE=PF,

由⑵可得APEMdPFN,:.EM=FN,

'AB=4,CP=—BC=—AB=2,

22

/.ZEPC=ZFP^=90°-60°=30°,

:.CE=FB=l,AE=AF=3,

?/AM=S,/.AN=AF+FN=AF+EM=AF+AE+AM=3-^-3+S=14,

②如圖，當(dāng)M在上方時，過點。分別作的垂線尸瓦尸尸，垂足分別為￡、F,

同理可得及1/=EV

AN=FN-AF=EM-AF=8-3-3=2.

綜上所述，ZN的長為14或2.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，含30

度角的直角三角形的性質(zhì)，作兩垂線證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

模型2.對角互補(bǔ)模型（相似模型）

【模型解讀】

四邊形或多邊形構(gòu)成的幾何圖形中，相對的角互補(bǔ).常見含90°,120°（60°）及任意角度的三種對角互

補(bǔ)類型。該題型常用到的輔助線主要是頂定點向兩邊做垂線，從而證明兩個三角形相似.

【常見模型及結(jié)論】

1.對角互補(bǔ)相似如圖，在相AABC中，4C=90。，點。是AB的中點，若乙EOF=90。，則隹=旦2

OFAC

2.相似型一90。

如圖，已知乙AOB=4DCE=90°,4BOC=Q.結(jié)論：CE=CD-tana.

1.（2022?黑龍江?雞西九年級期末）如圖，在RS48C中，乙43c=90。，48=6,BC=8,在RtAMPN中,

NMPN=90。，點尸在NC上，PM交4B于點、E,PN交BC于點、F,當(dāng)尸E=2P尸時，4P的長為（）

25

D.

6

【答案】B

PQPE

【分析】如圖作尸。_L48于。，PRLBC于R.由AQPEsARPF,推出兩=m=2,可得尸。=2依=28。,

由PQ1/BC,可得/。：QP-.AP=AB；BC-.AC=3：4：5,設(shè)尸Q=4x,貝!]NQ=3x,AP=5x,BQ=2x,可

得2x+3x=6,求出x即可解決問題.

【詳解】解：如圖作尸0L45于。，依，5C于氏

'：APQB=ZQBR=/BRP=9。。,：.四邊形PQBR是矩形，

.,./QPR=9()o=/MPN,:"QPE=/RPF,

:.△QPESLRPF,：.將=簧=2,:.PQ=2PR=2BQ,

:PQ//BC,:.AAQPSAABC,

：.AQ-.QP：AP=AB：BC-.AC=3：4：5,

設(shè)尸Q=4x,則NQ=3x,AP=5x,BQ=2x,

2x+3x=6,=：,;./尸=5x=6.故選：B.

【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、矩形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添

加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題.

2.(2022?山東黃澤?中考真題)如圖，在及A/3C中，乙43c=90。，￡是邊NC上一點，且BE=BC,過點

/作BE的垂線，交■的延長線于點。，求證：dADEs/xABC.

【答案】見解析

［分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得ZC=ZBEC,又由對頂角相等可證得ZAED=NC,再由N。=//8C=90。,

即可得出結(jié)論.

【詳解】證明：???BE=BC：.ZC=Z.BEC,

:NBEC=/AED,：.Z.AED=AC,-：ADLBD,：.ZB=90°,

AABC=9Q°,:.ND=NABC,/\ADE^/\ABC.

【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判

定定理是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?江蘇?九年級專題練習(xí)）如下圖1,將三角板放在正方形/BCD上，使三角板的直角頂點E與正

（2）探究證明：如圖2,移動三角板，使頂點￡始終在正方形/BCD的對角線/C上，其他條件不變，（1）

中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明：若不成立.請說明理由：

（3）拓展延伸：如圖3,將（2）中的“正方形改為“矩形/BCD”，且使三角板的一邊經(jīng)過點3,其

EF

他條件不變，若AB=a、BC=b,求上的值.

EFb

【答案】（1）EF=EG;⑵成立，證明過程見解析；（3）訪=『

【分析】（1）利用三角形全等的判定定理與性質(zhì)即可得；

（2）如圖（見解析），過點E分別作垂足分別為》,/,證明方法與題（1）相同；

（3）如圖（見解析），過點E分別作瓦1C5C/N1CQ,垂足分別為MN,先同⑵求出4FEN=4GEM,

EFEN一一

從而可證AFENMGE",由相似三角形的性質(zhì)可得否=瓦彳，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)

EN

求出取的值，即可得出答案.

【詳解】（DEF=EG,理由如下：

\ED=EB

由直角二角板和正方形的性質(zhì)得j/D=ZEBC=ABED=4GEF=9cp

AFED+ABEF=AGEB+ABEF=9CP

/.ZFED=/GEB

ZD=4EBG=9(T

/FED=/GEB

在"ED和RGEB中<ED=EB"ED3AGEB(ASA)：.EF=EG；

AD=ZEBG=9(T

（2）成立，證明如下:

如圖，過點￡分別作項垂足分別為"，/,則四邊形是矩形

/.AHE1=90°「./FEI+AHEF=90°,AGEH+4HEF=90°AFEI=ZGEH

由正方形對角線的性質(zhì)得，AC為/BCD的角平分線則EI=EH

ZFEI=ZGEH

在"E1和八GEH中，＜EI=EH:."EI"GEH(ASA)：.EF=EG；

ZFIE=ZGHE=9(T

(3)如圖，過點￡分別作￡N15C,EN1C。，垂足分別為

同(2)可知，/FEN=4GEM

由長方形性質(zhì)得：/D=AENC=90°,/ABC=/EMC=90°,AD=BC=b

/.EN//AD,EM//ABXCEN~KCAD^CEM~NCAB

■_E_N_=_C__E_E_M___C__E,_E_N_=_E__M_艮口口_E_N_=_A__D=_b_

"~AD'CA，^4BCA"AD~AB''EM~AB'a

[ZFEN=ZGEMEFENb

在KEN和RGEM中，RE=4GME=9W.皿~^EM;?由=前=7

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、相似三角形的判定定理

與性質(zhì)，較難的是題(3),通過作輔助線，構(gòu)造兩個相似三角形是解題關(guān)鍵.

課后專項訓(xùn)練：

1.(2022?山東濟(jì)南一模)在等邊MBC的兩邊NC所在直線上分別有兩點M、N,D為AABC外一息,

且/AffiW=60。，/50C=12O。，BD=DC,探究：當(dāng)必N分別在直線/2、/C上移動時，BM、NC、MN

之間的數(shù)量關(guān)系.

⑴如圖1,當(dāng)點朋;N近AB、AC±,且DW=￡>N時，BM、NC、之間的數(shù)量關(guān)系是；

(2)如圖2,點M、N在邊/夙AC±,且當(dāng)時，猜想(1)問的結(jié)論還成立嗎？若成立請直接寫出

你的結(jié)論；若不成立請說明理由.⑶如圖3,當(dāng)"、N分別在邊48、◎的延長線上時，探索的以NC、

"N之間的數(shù)量關(guān)系如何？并給出證明.

【答案】⑴EW+NC=JW；⑵成立，MN=BM+NC-,(3)NC-BM=MN,見解析

【分析】(1)由'=。乂/AfflN=60?？傻檬堑冗吶切?，得到然后由直

角三角形的性質(zhì)即可求解；

(2)在CN的延長線上截取CM=2M,連接。/，可證白△。。/，得到NW/W=N〃DN=60。，

從而得到(SAS),即可求證；

(3)在CN上截取CM=8M,連接0對,可證得AMEW2△M/W,即可求證.

(1)解：BM、NC、AW之間的數(shù)量關(guān)系BM+NC=MN.

：DM=DN,4MDN=60。,二是等邊三角形，

?.?△A8C是等邊三角形，.,.//=60。，

：BD=CD,ZSDC=120°,:.NBDC="CB=30°,

￡MBD=￡NCD=9G。,在RtABZW和RtACDN中，

\DM=DN

OR-nr>..PA.hBDM^PX^CDN(HL),

:.乙BDM=LCDN=30°,BM=CN,:.DM=2BM,DN=2CN,

：.MN=2BM=2CN=BM+CN,故答案為：BM+NC=MN；

(2)猜想：結(jié)論仍然成立.

證明：在CN的延長線上截取CM=8M連接0％.

■：AMBD=^MICD=90°,BD=CD,

:.ADBMSADCM](SAS),

:.DM=DMr4MBD=4M]CD,Mg=BM,

■：^MDN=60°,Z5DC=120°,

乙MpN=乙MDN=60°,

:AMDN9AMpN(SAS),

:.MN=M1N=M]C+NC=BM+NC；

(3)NC-BM=MN,理由如下：

證明：在CN上截取CM："%連接砍V,DM1

由⑵得，4DBM，2DCM「：,DM=DM],

：.AMtDN=4MDN=60°,/\MDN9AMpN(SAS),

：.MN=MIN,：.NC-BM=MN.

【點睛】本題考查了等邊三角形，直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識,

解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，作出合適的輔助線，構(gòu)造出全等三角形.

2.(2022?山東德州?九年級期中)【發(fā)現(xiàn)與證明】

如圖，正方形/BCD的對角線相交于點。，點。是正方形/ECO的一個頂點，如果兩個正方形的邊長都等

于。，那么正方形繞點。無論怎樣轉(zhuǎn)動，兩個正方形重疊部分的面積是一個定值.

（1）請你寫出這個定值，并證明你的結(jié)論.

【應(yīng)用遷移】（2）如圖，四邊形/BCD中，AB=AD,ZB4D=ZBCD=90。,連接/C.若/。=8,求四

邊形/BCD的面積.

【答案】（1）S=\ai,證明見解析；（2）32

四邊形OEBF4

【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得。/=05,AOLBO,/。42=/。8尸=45。即可證得4/°￡二42°尸（/"）

SS

從而得到=kA0E即可求解.

（2）過點/作1BC交2C于ANLCD,交CD的延長線于點N,可證得△/BM"AADN可得

放…四邊形"MCN為正方形‘。邊咿°=S正方以仆即可求解.

C1

【詳解】解：⑴S—F?

證明：：四邊形/BCD為正方形,

OA=OB,ZOAB=Z.OBF=45,,BO1AC

/.AAOE+ZEOB=90o,

7四邊形為正方形,

ZA'OC'=90.,即N8O歹+NEOB=90。，：.AAOE=ZBOF,

又,「O/=OB,NOAB=AOBFLAOE/△BOF(ASA)

則兩個正方形重疊部分的面積：

s=s+s=s+s=s=1

四邊形OEB尸&BOFABOEXAEO叢BOE/BO4正方彩45CQ4

(2)如圖，作/M18C交5c于/、ANLCD,交CO的延長線于點N；

則z_AMB=z_AND=：ABAD=NBCD=90。

四邊形AMCN為矩形，AMAN=90o；

QABAD=90o,AMAN-ADAM=/.BAD-ADAM即ZBAM=ZDAN；

又：乙4MB=ZAND,AB=AD:.△ABMHADN(AAS),

AM=AN,四邊形/MOV為正方形

S=S=—AC2=J.X82=32

四邊形/BCD正方形ZMCN22

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)等等，構(gòu)造全等三角形時解題

的關(guān)鍵.

3.（2022?山西呂梁?九年級期末）如圖，已知/DCE與N/O8,OC平分N/O8.

圖2(備川)

⑴如圖1,/DCE與乙4。8的兩邊分別相交于點。、E,NAOB=NDCE=90°,試判斷線段。與CE的

數(shù)量關(guān)系，并說明理由.以下是小宇同學(xué)給出如下正確的解法：

解：CD=CE.

理由如下：如圖1,過點C作CV1OC,交OB于點、F,貝！JNOC尸=90。,

請根據(jù)小宇同學(xué)的證明思路，寫出該證明的剩余部分.

(2)你有與小宇不同的思考方法嗎？請寫出你的證明過程.

(3)若NAOB=120°,ZDCE=60°.

①如圖3,/DCE與乙4。8的兩邊分別相交于點。、E時，(1)中的結(jié)論成立嗎？為什么？線段OE、

OC有什么數(shù)量關(guān)系？說明理由.

②如圖4,NDCE的一邊與N。的延長線相交時，請回答⑴中的結(jié)論是否成立，并請直接寫出線段、OE、

0c有什么數(shù)量關(guān)系；如圖5,ZDCE的一邊與8。的延長線相交時，請回答⑴中的結(jié)論是否成立，并請直

【答案】⑴見解析；⑵證明見解析；(3)①成立，理由見解析；②在圖4中，⑴中的結(jié)論成立，OE-OD=OC.

在圖5中，⑴中的結(jié)論成立，OD-OE=OC

【分析】(1)通過ASA證明△COO”ACE尸即可得至UCD=CE；(2)過點C作CM104,CN1OB,垂足分

別為M,N,通過AAS證明ACMD^ACNE同樣可得到CD=CE；(3)①方法一：過點C作CM1,

CN108垂足分別為M,N,通過AAS得到△CMMAOVE,進(jìn)而得到CD=CEQM=EN,利用等量代

換得到OE+OD=ON+(W,在中，利用30。角所對的邊是斜邊的一半得=；?！?同理得到

ON=LoC,所以O(shè)￡+OZ)=OC；方法二：以CO為一邊作NFCO=60。，交OB于點、尸,通過ASA證明

△CD0”XCEF,得至I」CD=CE,OD=EF,所以O(shè)E+OD=OE+EF=OF=OC②圖4：以O(shè)C為一邊，

作NOCF=60。與OB交于F點，利用ASA證得ACOD組ACFE,即有CD=CE,OD=EF

得至IJOE=OF+EF=OC+OD；圖5:以O(shè)C為一邊，作/OCG=60。與0A交于G點，利用ASA證得

△CGD^ACOE,即有CD=CE,OD=EF,得至UOE=OF+EF=OC+OD.

【詳解】解：(1);OC平分N/O8,Z1=Z2=45°,

.?./3=90。一/2=45。，AZ1=Z2=Z3OC=FCX'.-Z4+Z5=Z6+Z5=90?

Z1=Z3

在/\CDO與NCEF中，,OC=FCLCDO^CEF(ASA)CD=CE

N4=N6

⑵如圖2,過點。作CNIOZ,CNLOB,垂足分別為N,..ZCMD=ACNE=9(T,

又:OC平分/.AOB,CM=CNf

在四邊形ODCE中，AAOB+ADCE+Z1+Z2=360°,

又「/AOB=/DCE=90。,Zl+Z2=180°,

又?「Nl+N3=180。，/.Z3=Z2,

Z3=Z2

在4CMD與XCNE中,2cMD=4CNE

CM=CN

：,ACMgACNE(AAS),CD=CE.

(3)①(1)中的結(jié)論仍成立.O￡+QD=OC.

理由如下：方法一：如圖3⑴，過點。作CW"CN1O8,

4

DD6\

3人

BOIEFB

圖3(I)圖3(2)

垂足分別為M,N,ZCMD=ACNE=90°,

又丫OC平分NNO3,CM=CN,

在四邊形ODCE中，^AOB+/LDCE+Z1+Z2=360°,

又：ZAOB+ADCE=60°+120°=180°,二.Zl+Z2=180°,

又?「N2+N3=180。，/.Z1=Z3,

Z1=Z3

在ACMD與ACWE中，^CMD=ACNEACMD"4CNE(AAS),：,CD=CE,DMEN.

CM=CN

:.OE+OD=OE+OM+DM=OE+OM-iEN=ON+OM.

在Rt&CMO中，N4=90°-N5=90。-30。，

-OM=1(9C,同理ON」OC,OE+OD=LOC+1.OC=OC.

2222

方法二：如圖3(2),以CO為一邊作/尸CO=60。，交。8于點尸，

.OC平分乙405,Zl=Z2=60°,

Z3=180°-Z2-ZFCO=60°,Z1=Z3,Z3=Z2=AFCO,

二.ACO尸是等邊三角形，.1CO=C/，

丁NDCE=N4+N5=60°,ZFCO=Z6+Z5=60°,Z4=Z6,

Z1=Z3

在kCDO與kCEF中，\CO=CFACDO^ACEF(ASA),

Z4=Z6

CD=CE,OD=EFOE+OD=OE+EF=OF=OC.

②在圖4中，⑴中的結(jié)論成立，OE-OD=OC.

如圖，以O(shè)C為一邊，作NOCF=60。與OB交于F點

■.■ZAOB=120°,OC為NAOB的角平分線二/COB=NCOA=60°

又.:/OCF=60°ACOF為等邊三角形.-.OC=OF

???zCOF=ZOCD+ZDCF=60°,ZDCE=ZDCF+ZFCB=60°/.ZOCD=ZFCB

X???zCOD=180°-ZCOA=180°-60°=120°ZCFE=180°-ZCFO=180°-60°=120°

ZCOD=ZCFEACOD^ACFE(ASA)；.CD=CE,OD=EF

；.OE=OF+EF=OC+OD即OE-OD=OC

在圖5中，⑴中的結(jié)論成立，OD-OE=OC.

如圖，以0c為一邊，作NOCG=60。與OA交于G點

?.?/AOB=120。，0C為NAOB的角平分線二NCOB=/COA=60°

又-//OCG=60。ACOG為等邊三角形,OC=OG

'.1/COG=ZOCE+ZECG=60°,ZDCE=ZDCG+ZGCE=60°ZDCG=ZOCE

又:：乙C0E=180°-ZCOB=180°-60°=120°ZCGD=180°-ZCGO=180°-60°=120°

ZCGD=ZCOE.-.△CGD^ACOE(ASA)

..CD=CE,OE=DG.-.OD=OG+DG=OC+OE即OD-OE=OC

【點睛】本題主要考查全等三角形的綜合應(yīng)用，有一定難度，解題關(guān)鍵在于能夠做出輔助線證全等.

4.(2022?江蘇?九年級專題練習(xí))如圖，已知乙408=60。，在N/OB的角平分線OM上有一點C,將一個

120。角的頂點與點C重合，它的兩條邊分別與射線相交于點。,E.

(1)如圖1,當(dāng)/DCE繞點C旋轉(zhuǎn)到與。/垂直時，請猜想與。C的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(2)當(dāng)NDCE繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與。4不垂直時，到達(dá)圖2的位置，(1)中的結(jié)論是否成立？并說明理由；

(3)如圖3,當(dāng)/DCE繞點C旋轉(zhuǎn)到點。位于0/的反向延長線上時，求線段。2。石與OC之間又有怎樣

的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明.

【答案】（1）OD+OE=y/3OC,見解析；（2）結(jié)論仍然成立，見解析；（3）OE-OD=^OC

【分析】（1）先判斷出NOCE=60。，再利用特殊角的三角函數(shù)得出0D=乎℃,同?！?步℃,即可

得出結(jié)論；（2）同（1）的方法得0F+0G=60C,再判斷出4CFD織ACGE,得出DF=EG,最后等量

代換即可得出結(jié)論；（3）同（2）的方法即可得出結(jié)論.

【詳解】解：（1）QOM是乙4。5的角平分線

ZAOC=4BOC=LZAOB=30

2

,：CDLOA,:.NODC=90°,AOCD=60°

NOCE=Z.DCE-NOCD=60°

在放△OC。中，OQ=OCcos3（T=芋oc,

同理：OE=*OC;.OD+OE=?C

（2）（1）中結(jié)論仍然成立，理由：

過點C作CFLCM于尸，CG，。B于G

ZOFC=ZOGC=90°

,:NAOB=60°ZFCG=120°

由（1）知，OF=^_OC,OG=^_OCOF+OG=

■：CFLOA,CGLOB且點C是NN08的平分線OM上一點：.CF=CG

'：/DCF=120°,ZFCG=120°ADCF="CG,:.KCFD=XCGE

：,DF=EGOF=OD+DF=OD+EG,OG=OE—EG

OF+OG=OD+EG+OE—EG=OD+OEOD+OE=gC

（3）結(jié)論為：OE-OD=4k）C.

理由：過點C作CFLOA于F,CGLOB于G,ZOFC=ZOGC=90°,

?/ZAOB=60°,/.ZFCG=120°,

同（1）的方法得,OF=#OC,OG=?^OC,/.OF+OG=^OC,

vCFlOA,CG1OB,且點C是/AOB的平分線OM上一點，

??.CF=CG,?./DCE=120。，ZFCG=120°,

.?./DCF=/ECG,/.ACFD^ACGE,，DF=EG,

/.OF=DF-OD=EG-OD,OG=OE—EG,

.'.OF+OG=EG-OD+OE-EG=OE-OD,.'.OE-OD=小OC.

【點睛】此題屬于幾何變換綜合題，主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)的綜合運用，

正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵.

5.（2022潔林白城?九年級期末）已知/AOB=90。，在NAOB的平分線OM上有一點C,將一個三角板的

直角頂點與C重合，它的兩條直角邊分別與OA,OB（或它們的反向延長線）相交于點D,E.

當(dāng)三角板繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與0A垂直時（如圖①），易證：OD+OE="OC；

當(dāng)三角板繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時，即在圖②，圖③這兩種情況下，上述結(jié)論是否仍然成立？若

成立，請給予證明：若不成立，線段OD,OE,OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明.

【答案】圖②中OD+OE=J?0c成立.證明見解析；圖③不成立，有數(shù)量關(guān)系：OE-OD=#OC

【分析】當(dāng)三角板繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時，易得ACKD組△CHE,進(jìn)而可得出證明；判斷出結(jié)

果，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到全等三角形或等價關(guān)系，進(jìn)而得出OC與OD、OE的關(guān)系；最后轉(zhuǎn)化得

到結(jié)論.

【詳解】解：圖②中OD+OE=#OC成立?

證明：過點C分別作OA,0B的垂線，垂足分別為P,Q

有4CPD白△CQE,.-.DP=EQ,

?.OP=OD+DP,OQ=OE-EQ,

X/OP+OQ=V？0C>

即OD+DP+OE-EQ=/OC,

.'.OD+OE=^/2OC.圖③不成立，

有數(shù)量關(guān)系：OE-OD=>/?OC

過點C分另ij作CK^OA,CH1OB,

,.OC為NAOB的角平分線，1.CK1OA,CH±OB,

.-.CK=CH,ZCKD=ZCHE=90°,

又.二/KCD與/HCE都為旋轉(zhuǎn)角，

ZKCD=ZHCE,.-.ACKD^ACHE,，DK=EH,

.'.OE-OD=OH+EH-OD=OH+DK-OD=OH+OK,

由(1)知：0H+0K=V20C,

.'.OD,OE,OC滿足OE-OD=7IOC.

【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)線段、對應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變,

兩組對應(yīng)點連線的交點是旋轉(zhuǎn)中心.

6.(2022?湖北武漢?中考真題)已知是的角平分線，點E,廠分別在邊NC,SC±,AD=m,BD=n,

△ADE與ABDF的面積之和為S.

圖1圖2圖3圖4

⑴填空：當(dāng)N/1C3=90。，DELAC,。尸18c時，

①如圖1,若NB=45。,m=5j2,貝/=,S=;

②如圖2,若NB=60。,m=4^3,則"=，S=;

(2)如圖3,當(dāng)乙4cB=N瓦邛=90。時，探究S與加、〃的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：

⑶如圖4,當(dāng)4C5=60。，NEZ卯=120。，m=6,〃=4時，請直接寫出S的大小.

【答案】⑴①5卷，25；②4；852)5=；加"(3)S=60

【分析】(1)①先證四邊形DECF為正方形，再證△/BC為等腰直角三角形，根據(jù)。平分N/C3,得出

CDLAB,且然后利用三角函數(shù)求出8P=2Dcos45o=5,r>F=5Dsin45°=5,/￡=/Dcos45o=5即

可；②先證四邊形DEC尸為正方形，利用直角三角形兩銳角互余求出/4=90。-/8=30。，利用30。直角三角

形先證求出DE=340=:*4事=2^/3，利用三角函數(shù)求出AE=ADcos3Q°=Q,DF=DE=2串,SF=r>Man30o=2,

8D=DF+sin60o=4即可；(2)過點。作。HB4C于H,DGLBC^G,在8C上截取m=BG,連接D/,先

證四邊形。GCH為正方形，再證△。尸G組△。即(ASA)與ADBG94DIH(SAS),然后證明

/3=180。-/4-/。田=90°即可；(3)過點。作DP_L/C于尸，DQLBC^Q,在尸C上截取PR=02,

連接DR,過點/作/S_LD及于S,先證明△。。尸組△￡>「￡,△DBQ/ADRP,再證△D3尸織△。尺瓦求出

ZADR=ZADE+ZBDF=180°-ZFDE=60°即可.

(1)解：①CB=90。，DEVAC,DFIBC,CO是A4BC的角平分線，

.?.四邊形。EC尸為矩形，DE=DF,二四邊形DECF為正方形，

???Z3=45°,.?.N/=90°-N3=45°=N8,..?△/8C為等腰直角三角形，

■:CD平分/4CB,：.CD±AB,且AD=BD=m,:m=5",BD=n=542,

:.BF=BDcos45°=5,DF=BDsin450=5,AE=ADcos45°=5,ED=DF=5,

-S=+=故答案為5#,25；

②?.?44c3=90。，DELAC,DF1BC,CO是A4BC的角平分線，

二四邊形DECF為矩形，DE=DF,二四邊形DECF為正方形，

ZS=60o,二//=90°-/8=30°,

：.DE=；AD=4卓=2*,/￡=/Dcos30o=6,DF=DE=2p,

..?/2。斤=90°-/8=30°,：.BF=DFtan30°=2,：.BD=DF^sin60°=4,:.BD=n=4,

'S=S呼+$岫前=；義2?義6+；義2義2事=80,故答案為：4；8石；

△ADELBDFZZ

(2)解：過點。作ZWL/C于“，DGLBC^G,在HC上截取H/=BG,連接。/,

ZDHC=ZDGC=ZGCH=90°,：.四邊形DGC”為矩形，

?rCO是A/BC的角平分線，DHLAC,DGLBC,：.DG=DH,

，四邊形。GCH為正方形，.,./GD〃=90。，

AEDF=90。,ZFDG+ZGDE=ZGDE+ZEDH=90°,

ZFDG=ZEDH,在ADFG和LDEH中，

ZFDG=AEDH

-DG=DH,.-.^DFG^ADEH(ASA)：.FG=EH,在△DBG和△。田中，

ZDGF=ZDHE

DG=DH

ZDGB=ADH1:ADBG94DIH(SAS),:.NB=/DIH,DB=DI=n,

BG=IH

?；NDIH+//=/8+/N=90°,:.AIDA=A80°-/A-/DIH=90°,:.S^ADI=^AD-DI=^mn,

,-,S=S+S=S+S=S=Lmn.

⑶過點。作DPL4c于尸，DQLBC^-Q,在尸C上截取PR=Q8,連接。尺過點工作NSLDR于S,

;是A/BC的角平分線，DPLAC,DQLBC,:.DP=DQ,

ZACB=60°ZQDP^20°,■:NEDF=120°,NFDQ+NFDP=NFDP+/EDP=120。，：.NFDQ=NEDP,

在△。F°和△Z)EP中，

ZFDQ=ZEDP

'DQ=DP,.,.△DFQ0ADEP(ASA):.DF=DE,AQDF=￡P(guān)DE,在△D8Q和△DR尸中，

ADQF=ADPE

DQ=DP

ADQB=ADPR.?.△DBQ94DRP(SAS),:.NBDQ=NRDP,DB=DR,

BQ=RP

ZBDF-ZBDQ+ZFDQ=ZRDP+