人教版九年級數(shù)學上冊《正多邊形和圓（第1課時）》示范教學設計

正多邊形和圓（第1課時）教學目標1．了解正多邊形和圓的關系；掌握正多邊形的中心、半徑、邊心距等概念．2．掌握圓內(nèi)接正多邊形的相關計算及運用．3．學會與人合作、交流，體驗數(shù)學在生產(chǎn)、生活中的廣泛應用．教學重點了解正多邊形的有關概念，并能進行相關計算．教學難點探索正多邊形與圓的關系．教學過程知識回顧1．正三角形三條邊都相等，三個角都相等．2．正方形四條邊都相等，四個角都相等．3．各邊相等、各角也相等的多邊形是正多邊形．4．正多邊形是軸對稱圖形；當邊數(shù)為偶數(shù)時，正多邊形也是中心對稱圖形．5．圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．新知探究一、探究學習【問題】觀察這些圖片，你看到了哪些正多邊形？【師生活動】學生獨立回答，教師給予肯定．【設計意圖】感受生活中的正多邊形，體會正多邊形的美．【新知】正多邊形和圓的關系非常密切，只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓．【問題】以正五邊形為例，把⊙O分成相等的5段弧，依次連接各分點得到五邊形ABCDE．如何證明這個五邊形是圓內(nèi)接正五邊形呢？【師生活動】教師引導學生作答，然后給出正確答案．【答案】如圖，把⊙O分成相等的5段弧，依次連接各分點得到五邊形ABCDE．證明：∵，∴，．∴，同理．又五邊形ABCDE的頂點都在⊙O上，∴五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形．【設計意圖】利用正多邊形的性質(zhì)探究正多邊形和圓的關系，讓學生利用所學知識展開想象，激發(fā)學生的好奇心，引入新知．【追問】正n邊形呢？【師生活動】教師組織學生在小組內(nèi)有序交流，然后給出正確答案．【答案】由上題可知：．當正多邊形為正n邊形時，只需要將“3”換成“(n－2)”即可求證．【設計意圖】通過對特殊問題的學習，讓學生積極思考，用類比的方法分析、歸納出一個類型題目的思路．二、新知精講（一）正多邊形的相關概念【新知】圓中的元素和正多邊形有什么關系呢？一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角，中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．【問題】找出下列正多邊形的中心O，并標出正多邊形的半徑R、邊心距r、中心角α．【師生活動】教師組織學生獨立作答，然后統(tǒng)一給出正確答案．【答案】解：如圖所示．【問題】（1）各邊相等的多邊形是正多邊形嗎？（2）各角相等的多邊形是正多邊形嗎？【師生活動】教師組織學生在小組內(nèi)有序交流，然后給出正確答案．【答案】解：（1）如圖，菱形的各邊相等，但是各角不相等，所以菱形不是正多邊形，即各邊相等的多邊形不一定是正多邊形．（2）如圖，矩形的各角相等，但是各邊不相等，所以矩形不是正多邊形，即各角相等的多邊形不一定是正多邊形．【追問1】各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形嗎？【師生活動】教師引導學生作答，然后給出正確答案．【答案】解：以四邊形為例．已知：四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，且AB＝BC＝CD＝DA．求證：四邊形ABCD是正四邊形．證明：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O．∵，∴．∴．∴．同理，．∴四邊形ABCD是正四邊形．證明各邊相等的圓內(nèi)接n邊形是正n邊形時，只需要把“”中的“2”換成“(n－2)”即可．【追問2】各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形嗎？【師生活動】教師引導學生作答，然后給出正確答案．【答案】解：如圖，矩形ABCD內(nèi)接于⊙O，其中．∵AB≠AD，∴各角相等的圓內(nèi)接四邊形不一定是正四邊形，即各角相等的圓內(nèi)接多邊形不一定是正多邊形．【設計意圖】感受知識間的聯(lián)系，學會利用所學知識解決新問題．（二）正多邊形的相關計算【例1】已知正三角形的半徑為R，求它的邊長、邊心距和面積．【師生活動】教師引導學生作答，然后給出正確答案．【答案】解：由題意，畫出示意圖如圖所示．由題意，得中心角，OB＝OC＝R，∴．在Rt△OBD中，邊心距．根據(jù)勾股定理，得，∴邊長．∴．【例2】已知半徑為R的圓內(nèi)接正方形，求該正方形的邊長、邊心距和面積．【師生活動】教師引導學生作答，然后給出正確答案．【答案】解：由題意，畫出示意圖如圖所示．由題意，得中心角，OA＝OB＝R，∴，AC＝OC．在Rt△OAC中，根據(jù)勾股定理，得邊心距OC＝AC＝，邊長．∴面積．【歸納】1．正n邊形的角的有關計算：中心角＝．2．正n邊形的邊心距、周長及面積的計算：如圖，設正n邊形的邊長為a，外接圓半徑為R，則邊心距，周長，面積．【例3】如圖，有一個亭子，它的地基是半徑為4m的正六邊形，求地基的周長和面積（結果保留小數(shù)點后一位）．【師生活動】教師引導學生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題作答，然后給出正確答案．【答案】解：如圖，連接OB，OC，作OP⊥BC，垂足為P．∵六邊形ABCDEF為正六邊形，∴∠BOC＝＝60，OB＝OC．∴△BOC是等邊三角形．∴OB＝BC＝OC＝4m．∴地基的周長．在Rt△OPC中，OC＝BC＝4m，PC＝BC＝2m．由勾股定理，可得邊心距（m）．地基的面積(m2)．【設計意圖】引導學生將所求問題一步步轉(zhuǎn)化為由已知可得出的結論，從而找到解題的入手點和整個解題思路．【問題】正n邊形的內(nèi)角的度數(shù)是多少？中心角的度數(shù)如何計算？正多邊形的中心角與外角的大小有什么關系？【師生活動】學生先獨立思考，然后小組內(nèi)交流，每組派出代表發(fā)言，最后教師引導學生歸納．【答案】解：如圖．三角形的內(nèi)角為，中心角為，外角為；正方形的內(nèi)角為，中心角為，外角為；正六邊形的內(nèi)角為，中心角為，外角為．……由此推出：正n邊形的內(nèi)角為，中心角為，外角為，即正多邊形的中心角