平行的判定與性質(zhì) 講義-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

知識(shí)點(diǎn)一線面平行的判定

【基礎(chǔ)指數(shù)框架】

1.線線平行的判定

（1）平行四邊形的對(duì)邊（2）三角形的中位線或等高線（3）線面平行與面面平行的性質(zhì)

2.線面平行的判定

線文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

面如果平面外一條直線與

平

此平面內(nèi)的一條直線平

行

行，那么該直線與此平面

的

判平行.

定

【例題分析】

例1.（2024?甲卷?節(jié)選）如圖，在以A,B,C,D,E,P為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形CDEF

均為等腰梯形，AB//CD,CD//EF,AB=DE=EF=CF=2,CD=4,AD=BC=y/10,AE=2^/3,M為CD

的中點(diǎn).

（1）證明：EM//平面i?cr；

例2.（2024?北京?節(jié)選）如圖，在四棱錐尸—ABCD,BC//AD,AB=BC=1,AD=3,點(diǎn)E在"）上，且AD,

DE=PE=2.

（1）若尸為線段PE的中點(diǎn)，求證：3尸//平面PCD.

例3.如圖，四邊形ABCD為正方形，石4_1_平面ABCD,EF//AB,AB=4,AE=2,EF=1.若點(diǎn)M在線段AC上

,且滿足。加=工。1,求證：EW平面FBC；

4

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?天津?節(jié)選）在三棱臺(tái)ABC-ABC中，若AA_L平面ABC,AB±AC,AB=AC=AAi=2,4G=1,

M,N分別為BC,AB中點(diǎn).

(I)求證：AN//平面GM4；

2.（2022?廣東廣州?統(tǒng)考一模）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面A3CD是菱形，平面平面ABCD,

/ACD=3O,E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在PA上，AP=3AF.

證明：PC〃平面BE尸；

知識(shí)點(diǎn)二線面平行的性質(zhì)

【基礎(chǔ)指數(shù)框架】

線文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

面一條直線與一個(gè)平面平

平

行，如果過(guò)該直線的平面

行

與此平面相交，那么該直

的

性線與交線平行.

質(zhì)

【例題分析】

例1.（23-24高一下?北京?期中?節(jié)選）如圖，已知三棱柱ABC-A與C中，AC與AC1交于點(diǎn)QD為BC邊上

一點(diǎn)，2為4G中點(diǎn)，且48//平面AOQ.求證：

(1)A.B//OD.

例2.(2023春?湖北黃岡?高一?？茧A段練習(xí)?節(jié)選)如圖，四棱錐P-ABCD的底面為平行四邊形.設(shè)平面上4。

與平面P3C的交線為/,M、N、。分別為尸C、CD、AB的中點(diǎn).

(1)求證：5C〃平面RW；

(2)求證：BC//1.

【變式訓(xùn)練】

1.(23-24高二下?浙江衢州?期末?節(jié)選)如圖，在棱長(zhǎng)為1的正四面體A-BCD中，E是的中點(diǎn)，F(xiàn),G分

別在棱AO和8上(不含端點(diǎn))，且尸G〃平面A3C.

(1)證明：AC//平面EFG；

知識(shí)點(diǎn)三面面平行的判定

【基礎(chǔ)指數(shù)框架】

面文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

面如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條

平

相交直線與另一個(gè)平面

行

平行，那么這兩個(gè)平面平

的

判行.

定

【例題分析】

例1.(2024高二下?天津南開(kāi)?學(xué)業(yè)考試?節(jié)選)如圖，在正方體ABCD-ABCiA中,

(1)求證：平面AB。//平面4G。；

例2.(23-24高一下?山西運(yùn)城?階段練習(xí)?節(jié)選)如圖，直四棱柱ABC。-4月62中，底面/灰/為菱形,

ZDAB=60,AA,=AD=1,p,M,"分別為切，AA,,的中點(diǎn).

(1)證明：平面PMN//平面BCR；

【變式訓(xùn)練】

1.(23-24高一下?山西忻州?階段練習(xí)?節(jié)選)如圖，在六面體ABCDE尸中，DE//CF,正方形ABCD的邊長(zhǎng)

為2,DE=2FC=2,AE=2近,BE=26.

(1)證明：平面ADE〃平面BC尸.

2.如圖，在三棱柱ABC-4旦G中，A&，AC且A4=AC,點(diǎn)E，尸分別為耳￡和5c的中點(diǎn)，gA與

相交于點(diǎn)G.

(1)證明：平面ERG//平面AACG；

知識(shí)點(diǎn)四面面平行的性質(zhì)

【基礎(chǔ)指數(shù)框架】

面文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

面(1)兩個(gè)平面平行，如

平果另一個(gè)平面與這兩個(gè)

行平面相交，那么兩條交線

的平行.

性(2)兩個(gè)平面平行，一

質(zhì)個(gè)平面內(nèi)的任意一條直

線與另外一個(gè)平面平行.

【例題分析】

例1.(2023?上海?節(jié)選)已知直四棱柱45。一4戈。12，ABYAD,AB//CD,AB=2,AD=3,CD=4.

(1)證明：直線AB//平面DCG2；

AB

例2.（2023春?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，平面ABCD,跳7/平面ADE,CF//AE,ADJ.AB,AB=AD=1,

AE=3C=2.求證：ADI/BC.

例3.（2022.越秀期末.T22）在如圖所示的圓臺(tái)中，ABCD是圓臺(tái)的軸截面，。1，。分別是上、下底面圓的圓心,

E是下底面圓周上異于A,8的一點(diǎn)，設(shè)圓臺(tái)的上、下底而圓的半徑分別為『與R（R＞「），高為h,體積為V.

（1）若N外別是AD與CE的中點(diǎn)，試判斷直線與平面ABE的位置關(guān)系，并加以證明；

E

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?江蘇?高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四棱柱ABCQ-AgCN］中，底面ABCD為梯形，A