2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第22講 多邊形與平行四邊形（講義）（原卷版）

第22講多邊形與平行四邊形目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知識建構(gòu)考點(diǎn)一多邊形的相關(guān)概念題型01多邊形的概念及分類題型02計(jì)算網(wǎng)格中不規(guī)則多邊形面積題型03計(jì)算多邊形對角線條數(shù)題型04對角線分三角形個(gè)數(shù)問題題型05多邊形內(nèi)角和問題題型06已知多邊形內(nèi)角和求邊數(shù)題型07多邊形的割角問題題型08多邊形的外角問題題型09多邊形內(nèi)角和、外角和與平行線的合運(yùn)用題型10多邊形內(nèi)角和、外角和與角平分線的綜合運(yùn)用題型11多邊形內(nèi)角和與外角和的綜合應(yīng)用題型12多邊形外角和的實(shí)際應(yīng)用題型13平面鑲嵌考點(diǎn)二平行四邊形的性質(zhì)與判定題型01利用平行四邊形的性質(zhì)求解題型02利用平行四邊形的性質(zhì)證明題型03判斷已知條件能否構(gòu)成平行四邊形題型04添加一個(gè)條件使四邊形成為平行四邊形題型05數(shù)平行四邊形個(gè)數(shù)題型06求與已知三點(diǎn)組成平行四邊形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)題型07證明四邊形是平行四邊形題型08與平行四邊形有關(guān)的新定義問題題型09利用平行四邊形的性質(zhì)與判定求解題型10利用平行四邊形的性質(zhì)與判定證明題型11平行四邊形性質(zhì)與判定的應(yīng)用考點(diǎn)三三角形中位線題型01三角形中位線有關(guān)的計(jì)算題型02三角形中位線與三角形面積計(jì)算問題題型03與三角形中位線有關(guān)的證明題型04三角形中位線的實(shí)際應(yīng)用題型05與三角形中位線有關(guān)的規(guī)律探究題型06與三角形中位線有關(guān)的格點(diǎn)作圖題型07構(gòu)造三角形中位線的常用方法類型一連接兩點(diǎn)構(gòu)造三角形中位線類型二已知中點(diǎn)，取另一條線段的中點(diǎn)構(gòu)造中位線類型三利用角平分線垂直構(gòu)造三角形的中位線

考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測多邊形的相關(guān)概念了解多邊形的概念及多邊形的頂點(diǎn)、邊、內(nèi)角、外角與對角線.探索并掌握多邊形內(nèi)角和與外角和公式.本考點(diǎn)內(nèi)容是考查重點(diǎn)，年年都會(huì)考查，分值為10分左右，預(yù)計(jì)2024年各地中考還將出現(xiàn)，并且在選擇、填空題中考查多邊形的內(nèi)角和、平行四邊形性質(zhì)和判定、與三角形中位線有關(guān)計(jì)算的可能性比較大．中考數(shù)學(xué)中，對平行四邊形的單獨(dú)考察難度一般不大，一般和三角形全等、解直角三角形綜合應(yīng)用的可能性比較大，對于本考點(diǎn)內(nèi)容，要注重基礎(chǔ)，反復(fù)練習(xí)，靈活運(yùn)用．平行四邊形的性質(zhì)與判定探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理.探索并證明平行四邊形的判定定理.三角形中位線探索并證明三角形中位線定理.考點(diǎn)一多邊形的相關(guān)概念多邊形的定義：在平面中，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對角線.

多邊形對角線條數(shù)：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引（n－3）條對角線，并且這些對角線把多邊形分成了(n–2)個(gè)三角形，n邊形的對角線條數(shù)為n(n?3)2多邊形內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為(n?2)?180°（n≥3）.【解題技巧】1）n邊形的內(nèi)角和隨邊數(shù)的增加而增加，邊數(shù)每增加1，內(nèi)角和增加180°.2）任意多邊形的內(nèi)角和均為180°的整數(shù)倍.3）利用多邊形內(nèi)角和定理可解決三類問題：①已知多邊形的邊數(shù)求內(nèi)角和；②已知多邊形的內(nèi)角和求邊數(shù)；③已知足夠的角度條件下求某一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．多邊形外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°，與多邊形的形狀和邊數(shù)無關(guān).正多邊形的定義：各角相等，各邊相等的多邊形叫做正多邊形.【解題技巧】1）正n邊形的每個(gè)內(nèi)角為（n?2）2）正n邊形有n條對稱軸．3）對于正n邊形，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，是軸對稱圖形；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．多邊形的有關(guān)計(jì)算公式有很多，一定要牢記，代錯(cuò)公式容易導(dǎo)致錯(cuò)誤多邊形的有關(guān)計(jì)算公式有很多，一定要牢記，代錯(cuò)公式容易導(dǎo)致錯(cuò)誤：①n邊形內(nèi)角和＝（n－2）×180°（n≥3）.②從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引出（n-3）條對角線，n個(gè)頂點(diǎn)可以引出n（n-3）條對角線，但是每條對角線計(jì)算了兩次，因此n邊形共有n(n?3)2

條對角線③n邊形的邊數(shù)＝（內(nèi)角和÷180°）＋2.④n邊形的外角和是360°.⑤n邊形的外角和加內(nèi)角和＝n×180°.⑥在n邊形內(nèi)任取一點(diǎn)O，連接O與各個(gè)頂點(diǎn)，把n邊形分成n個(gè)三角形；在n邊形的任意一邊上任取一點(diǎn)O，連接O點(diǎn)與其不相鄰的其它各頂點(diǎn)的線段可以把n邊形分成（n－1）個(gè)三角形；連接n邊形的任一頂點(diǎn)A與其不相鄰的各個(gè)頂點(diǎn)的線段，把n邊形分成（n－2）個(gè)三角形．題型01多邊形的概念及分類【例1】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在等邊三角形、正五邊形、正六邊形、正七邊形中，既是軸對稱又是中心對稱的圖形是（）A．等邊三角形 B．正五邊形 C．正六邊形 D．正七邊形【變式1-1】（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考二模）下列長度的三條線段與長度為5的線段能組成四邊形的是（

）A．1，1，1 B．1，1，8 C．1，2，2 D．2，2，2【變式1-2】（2022·遼寧盤錦·?？家荒＃┫铝忻}正確的是（

）A．每個(gè)內(nèi)角都相等的多邊形是正多邊形B．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形C．過線段中點(diǎn)的直線是線段的垂直平分線D．三角形的中位線將三角形的面積分成1∶2兩部分題型02計(jì)算網(wǎng)格中不規(guī)則多邊形面積【例2】（2022·北京海淀·統(tǒng)考二模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A，B，C，D是網(wǎng)格線交點(diǎn)．若AB=1，則四邊形ABCD的面積為．【變式2-1】（2021·北京昌平·統(tǒng)考二模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A，B，C，D是網(wǎng)格線交點(diǎn)，則△ABC的面積與△ADB的面積大小關(guān)系為：S△ABCS【變式2-2】（2021·湖南婁底·統(tǒng)考一模）各頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)（橫豎格子線的交錯(cuò)點(diǎn)）上的多邊形稱為格點(diǎn)多邊形，它的面積S可用公式S=a+12b?1（a是多邊形內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)，b是多邊形邊界上的格點(diǎn)數(shù)）計(jì)算，這個(gè)公式稱為“皮克（Pick）定理”．如圖給出了一個(gè)格點(diǎn)五邊形，則該五邊形的面積【變式2-3】（2021·山西臨汾·統(tǒng)考三模）閱讀下列材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．你知道“皮克定理”嗎？“皮克定理”是奧地利數(shù)學(xué)家皮克（如圖1）發(fā)現(xiàn)的一個(gè)計(jì)算點(diǎn)陣中多邊形的面積公式．在一張方格紙上，上面畫著縱橫兩組平行線，相鄰平行線之間的距離都相等，這樣兩組平行線的交點(diǎn)，就是所謂格點(diǎn)．一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)如果全是格點(diǎn)，這個(gè)多邊形就叫做格點(diǎn)多邊形．有趣的是，這種格點(diǎn)多邊形的面積計(jì)算起來很方便，只要數(shù)一下圖形邊線上的點(diǎn)的數(shù)目及圖內(nèi)的點(diǎn)的數(shù)目，就可用公式算出．即S=a+12b?1，其中a表示多邊形內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)，b任務(wù)：（1）如圖2，是6×6的正方形網(wǎng)格，且小正方形的邊長為1，利用“皮克定理”可以求出圖中格點(diǎn)多邊形的面積是_______．（2）已知：一個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積S為19，且邊界上的點(diǎn)數(shù)b是內(nèi)部點(diǎn)數(shù)a的3倍，則a+b=______．（3）請你在圖3中設(shè)計(jì)一個(gè)格點(diǎn)多邊形．要求：①格點(diǎn)多邊形的面積為8；②格點(diǎn)多邊形是一個(gè)軸對稱圖形．題型03計(jì)算多邊形對角線條數(shù)【例3】（2023·浙江麗水·統(tǒng)考一模）已知一個(gè)多邊形內(nèi)角和為1080°，則這個(gè)多邊形可連對角線的條數(shù)是（

）A．10 B．16 C．20 D．40【變式3-1】（2022·河北保定·統(tǒng)考一模）如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的2倍，那么從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對角線的條數(shù)是（

）A．3 B．6 C．9 D．18【變式3-2】（2021·云南普洱·統(tǒng)考一模）如圖，從一個(gè)四邊形的同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引出1條對角線，從五邊形的同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引出2條對角線，從六邊形的同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引出3條對角線，……，依此規(guī)律，從n邊形的同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引出的對角線數(shù)量為（

）A．n B．n?2 C．n?3 D．2n?3【變式3-3】（2023·陜西西安·高新一中?？寄M預(yù)測）一個(gè)正多邊形的中心角是72°，則過它的一個(gè)頂點(diǎn)有條對角線．【變式3-4】（2022·陜西西安·?？既＃┮粋€(gè)正多邊形的每個(gè)外角為45°，則這個(gè)正多邊形的對角線共有條．題型04對角線分三角形個(gè)數(shù)問題【例4】（2019·廣東深圳·校聯(lián)考一模）如圖，從多邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)作多邊形的對角線，試根據(jù)下面幾種多邊形的頂點(diǎn)數(shù)、線段數(shù)及三角形個(gè)數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，推斷f,e,v三個(gè)量之間的數(shù)量關(guān)系是:多邊形：

頂點(diǎn)個(gè)數(shù)f1:

4

5

6

…線段條數(shù)e:

5

7

9

…三角形個(gè)數(shù)v1:

2

3

4

…題型05多邊形內(nèi)角和問題【例5】（2021·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E相互外離，它們的半徑都是2，順次連接五個(gè)圓心得到五邊形ABCDE，則圖中五個(gè)扇形（陰影部分）的面積之和是（

）A．6π B．5π C．4π D．3π【變式5-1】（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）下列多邊形中，內(nèi)角和最大的是（

）A． B． C． D．【變式5-2】（2022·河北石家莊·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形ABCD中，∠1=93°，∠2=107°，∠3=110°，則∠D的度數(shù)為（

）A．125° B．130° C．135° D．140°【變式5-3】（2020·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考三模）如圖，多邊形ABCDEFG中，∠E=∠F=∠G=108°,∠C=∠D=72°，則∠A+∠B的值為（

）A．108° B．72° C．54° D．36°【變式5-4】（2022·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）如圖，正方形AMNP的邊AM在正五邊形ABCDE的邊AB上，則∠PAE=°．【變式5-5】（2021·陜西·三模）如圖所示的六邊形花環(huán)是用六個(gè)全等的直角三角形拼成的，則∠ABC等于度．題型06已知多邊形內(nèi)角和求邊數(shù)【例6】（2022·湖南懷化·統(tǒng)考模擬預(yù)測）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為900°，則這個(gè)多邊形是（）A．七邊形 B．八邊形 C．九邊形 D．十邊形【變式6-1】（2022·北京房山·統(tǒng)考一模）下列多邊形中，內(nèi)角和為720°的是（

）A． B． C． D．題型07多邊形的割角問題【例7】（2020·浙江杭州·模擬預(yù)測）一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成的另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1440°．則原來多邊形的邊數(shù)是．【變式7-1】（2018·山東聊城·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如果一個(gè)正方形被截掉一個(gè)角后，得到一個(gè)多邊形，那么這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是．【變式7-2】（2021·河北唐山·統(tǒng)考一模）如圖，一張內(nèi)角和為1800°的多邊形紙片按圖示的剪法剪去一個(gè)內(nèi)角后，得到的新多邊形的邊數(shù)為．一個(gè)n變形剪去一個(gè)角后，若剪去的一個(gè)角只經(jīng)過一個(gè)頂點(diǎn)和一邊，則剩下的形狀是n邊形，若剪去的一個(gè)角經(jīng)過兩條鄰邊，則剩下的形狀是（n＋1）邊形，若剪去的一個(gè)角經(jīng)過兩個(gè)相鄰點(diǎn)，則剩下的形狀是（n－1）邊形．所以遇到相關(guān)題目時(shí)，要分類討論．題型08多邊形的外角問題【例8】（2022·湖南長沙·模擬預(yù)測）若一個(gè)正多邊形的一個(gè)外角是60°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（

）A．10 B．9 C．8 D．6【變式8-1】（2020·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，小明從點(diǎn)A出發(fā)沿直線前進(jìn)10米到達(dá)點(diǎn)B，向左轉(zhuǎn)45°后又沿直線前進(jìn)10米到達(dá)點(diǎn)C，再向左轉(zhuǎn)45°后沿直線前進(jìn)10米到達(dá)點(diǎn)D……照這樣走下去，小明第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)所走的路程為（）A．100米 B．80米 C．60米 D．40米【變式8-2】（2020·山東濟(jì)寧·濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)?？级＃┱呅蔚耐饨呛蜑椋?/p>

）A．180° B．360° C．720° D．1440°題型09多邊形內(nèi)角和、外角和與平行線的綜合運(yùn)用【例9】（2022·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，一束太陽光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，若∠1=19°，則∠2的度數(shù)為（）A．41° B．51° C．42° D．49°【變式9-1】（2019·四川宜賓·校聯(lián)考一模）如圖，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分線與∠CDE的平分線交于點(diǎn)F，則∠DFB=（）A．149° B．149.5° C．150° D．150.5°【變式9-2】（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，五邊形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3是外角，則∠1+∠2+∠3等于（A．100° B．180° C．210° D．270°【變式9-3】（2023·江蘇宿遷·模擬預(yù)測）如圖，一束太陽光平行照射在正n邊形A1A2A3……

【變式9-4】（2022·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，AB∥CD，AD平分∠BDC，CE∥AD，∠DCE=150°.(1)求∠BAD的度數(shù)：(2)若∠F=40°，求∠E的度數(shù).題型10多邊形內(nèi)角和、外角和與角平分線的綜合運(yùn)用【例10】（2022·貴州黔東南·模擬預(yù)測）如圖，AB∥CD，∠BED=100°，BF、DF分別為∠ABE、∠CDE的角平分線，則∠BFD=（

）A．100° B．120° C．130° D．135°【變式10-1】（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝150°，∠C＝60°，∠ABC與∠ADC的平分線交于點(diǎn)O，則∠BOD的度數(shù)為（

）A．120° B．125° C．130° D．135°【變式10-2】（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）如圖，正五邊形ABCDE中，內(nèi)角∠EAB的角平分線與其內(nèi)角∠ABC的角平分線相交于點(diǎn)P，則∠APB＝度．【變式10-3】（2021·江蘇蘇州·蘇州市振華中學(xué)校?？级＃┤鐖D，在四邊形ABCD中，∠DAB的角平分線與∠ABC的外角平分線相交于點(diǎn)P，且∠D+∠C=210°，則∠P=．【變式10-4】（2020·河北·模擬預(yù)測）如圖所示，過正五邊形ABCDE的頂點(diǎn)B作一條射線與其內(nèi)角∠EAB的角平分線相交于點(diǎn)P，且∠ABP=60°，則∠APB=度．題型11多邊形內(nèi)角和與外角和的綜合應(yīng)用【例11】（2022·河北唐山·統(tǒng)考一模）如圖，由一個(gè)正六邊形和正五邊形組成的圖形中，∠1的度數(shù)應(yīng)是（

）A．72° B．84° C．82° D．94°【變式11-1】（2022·廣西梧州·統(tǒng)考一模）一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和是1260°，則這個(gè)正多邊形的一個(gè)外角等于（

）A．60° B．45° C．72° D．40°【變式11-2】（2022·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖，五邊形ABCDE是正五邊形，AF∥DG，若∠2=20°，則∠1=（A．60° B．56° C．52° D．40°【變式11-3】（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）正八邊形中，每個(gè)內(nèi)角與每個(gè)外角的度數(shù)之比為（

）A．1：3 B．1：2 C．2：1 D．3：1【變式11-4】．（2023·山西大同·大同一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）等邊三角形、正方形及正五邊形各一個(gè)，按下圖放在同一平面內(nèi)，則∠1+∠2+∠3=（

）

A．102° B．104° C．106° D．108°【變式11-5】（2019·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）發(fā)現(xiàn)：如圖1，在有一個(gè)“凹角∠A1A2A3”n邊形A1驗(yàn)證：（1）如圖2，在有一個(gè)“凹角∠ABC”的四邊形ABCD中，證明：∠ABC=∠A+∠C+∠D．（2）如圖3，有一個(gè)“凹角∠ABC”的六邊形ABCDEF中，證明；∠ABC=∠A+∠C+∠D+∠E+∠F?360°．延伸：（3）如圖4，在有兩個(gè)連續(xù)“凹角A1A2A3和∠A2A3【變式11-6】（2023·陜西西安·高新一中?？寄M預(yù)測）定義：由n條線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做n邊形．相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角，一邊和它鄰邊的延長線組成的角叫做它的外角．為了探究n邊形的外角和與內(nèi)角和的度數(shù)，小華做了以下實(shí)驗(yàn)：取若干張紙片，分別在紙片上畫出三角形、四邊形、五邊形等，順次延長各邊得到各個(gè)外角，然后沿著多邊形的邊和延長線將它剪開，將外角拼在一起，觀察圖形，并進(jìn)行推理．（1）實(shí)驗(yàn)操作．

（2）歸納猜想．多邊形三角形四邊形五邊形…n邊形外角和_________________________________…___________內(nèi)角和_________________________________…___________（3）理解應(yīng)用．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的1008倍，它是多少邊形？題型12多邊形外角和的實(shí)際應(yīng)用【例12】（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）如圖，將三角形紙片剪掉一角得四邊形，設(shè)△ABC與四邊形BCDE的外角和的度數(shù)分別為α，β，則正確的是（

）A．α?β=0 B．α?β<0C．α?β>0 D．無法比較α與β的大小【變式12-1】（2022·北京順義·統(tǒng)考一模）如圖，小明從A點(diǎn)出發(fā)，沿直線前進(jìn)20米后左轉(zhuǎn)30°，再沿直線前進(jìn)20米，又向左轉(zhuǎn)30°，…，照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地A點(diǎn)時(shí)，一共走了（

）A．120米 B．200米 C．160米 D．240米【變式12-2】（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）如圖，琪琪沿著一個(gè)四邊形公園小路跑步鍛煉，從A處出發(fā)，當(dāng)她跑完一圈時(shí)，她身體轉(zhuǎn)過的角度之和為．題型13平面鑲嵌【例13】（2022·山西太原·一模）如圖，若干個(gè)全等的正五邊形排成圓環(huán)狀，圖中所示的是前3個(gè)正五邊形，要完成這一圓環(huán)還需正五邊形的個(gè)數(shù)為（

）A．10 B．9 C．8 D．7【變式13-1】（2023·北京平谷·統(tǒng)考二模）如圖所示的地面由正六邊形和四邊形兩種地磚鑲嵌而成，則∠BAD的度數(shù)為（

）A．50° B．60° C．100° D．120°【變式13-2】（2023·吉林長春·長春市第八十七中學(xué)?？既＃┤鐖D①是15世紀(jì)藝術(shù)家阿爾布雷希特·丟勒利用正五邊形和菱形創(chuàng)作的鑲嵌圖案設(shè)計(jì)，圖②是鑲嵌圖案中的某一片段的放大圖，其中菱形的最小內(nèi)角為度．

【變式13-3】（2023·陜西西安·高新一中?？寄M預(yù)測）“動(dòng)感數(shù)學(xué)”社團(tuán)教室重新裝修，如圖是用邊長相等的正方形和正n邊形兩種地磚鋪滿地面后的部分示意圖，則n的值為．【變式13-4】（2021·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖，要設(shè)計(jì)一個(gè)裝彩鉛的圓柱體紙盒，已知每支鉛筆大小相同，底面均為正六邊形，邊長記作2a．下面我們來探究紙盒底面半徑的最小值：（1）如果要裝10支鉛筆，小藍(lán)畫了圖①、圖②兩種排列方式，請你通過計(jì)算，判斷哪種方式更節(jié)省空間：．（填①或②）（2）如果要裝24支鉛筆，請你模仿以上兩種方式，算出紙盒底面最小半徑是．（用含a的代數(shù)式表示）解決幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是：圍繞一點(diǎn)拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角．考點(diǎn)二平行四邊形的性質(zhì)與判定平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.平行四邊形的表示：用符號“?”表示，平行四邊形ABCD記作“?ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.平行四邊形的性質(zhì)：1)對邊平行且相等；2)對角相等、鄰角互補(bǔ)；3)對角線互相平分；

4)平行四邊形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，平行四邊形的對角線的交點(diǎn)是平行四邊形的對稱中心.【解題技巧】1）平行四邊形相鄰兩邊之和等于周長的一半．2）平行四邊形中有相等的邊、角和平行關(guān)系，所以經(jīng)常需結(jié)合三角形全等來解題．3）過平行四邊形對稱中心的任一直線等分平行四邊形的面積及周長．4）如圖①，AE平分∠BAD，則可利用平行線的性質(zhì)結(jié)合等角對等邊得到△ABE為等腰三角形，即AB=BE．5）如圖②，已知點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，根據(jù)平行線間的距離處處相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE．6）如圖③，根據(jù)平行四邊形的面積的求法，可得AE·BC=AF·CD．平行四邊形的判定定理：①定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．②一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．③兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．④兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．⑤對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．【解題技巧】一般地，要判定一個(gè)四邊形是平行四邊形有多種方法，主要有以下三種思路：1）當(dāng)已知條件中有關(guān)于所證四邊形的角時(shí)，可用“兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形”來證明；2）當(dāng)已知條件中有關(guān)于所證四邊形的邊時(shí)，可選擇“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”或“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”或“有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”來證明；3）當(dāng)已知條件中有關(guān)于所證四邊形的對角線時(shí)，可選擇“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”來證明．題型01利用平行四邊形的性質(zhì)求解【例1】（2022·福建·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，現(xiàn)有一把直尺和一塊三角尺，其中∠ABC=90°，∠CAB=60°，AB＝8，點(diǎn)A對應(yīng)直尺的刻度為12.將該三角尺沿著直尺邊緣平移，使得△ABC移動(dòng)到△A'B'C'，點(diǎn)A．96 B．963 C．192 D．【變式1-1】（2023·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）將一個(gè)三角尺按如圖所示的方式放置在一張平行四邊形的紙片上，∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，則∠EGC的度數(shù)為（）A．100° B．80° C．70° D．60°【變式1-2】（2023·陜西西安·西北大學(xué)附中?？寄M預(yù)測）如圖，在?ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分線BM交CD邊于點(diǎn)M，則DM的長為（）A．2 B．4 C．6 D．8【變式1-3】（2022·甘肅平?jīng)觥つM預(yù)測）如圖，將平行四邊形ABCD沿對角線AC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處，若∠1=∠2=36°，∠B為（

A．36° B．144° C．108° D．126°【變式1-4】（2023·吉林松原·校聯(lián)考一模）如圖，在?ABCD中，AD=10，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AC+BD=22，則△BOC的周長為【變式1-5】（2022·遼寧沈陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖四邊形ABCD是平行四邊形，CD在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象經(jīng)過第一象限點(diǎn)A，且平行四邊形ABCD的面積為6，則【變式1-6】（2023·湖南衡陽·?？家荒＃┤鐖D，平行四邊形ABCD中，AB=5,BC=10,BC邊上的高AM=4，點(diǎn)E為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合，過點(diǎn)E作直線AB的垂線，垂足為F，連接DE、DF．(1)求證：△ABM∽△EBF；(2)當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，求DE的長；(3)設(shè)BE=x,△DEF的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值，最大值是多少？題型02利用平行四邊形的性質(zhì)證明【例2】（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，BE⊥AC，DF⊥AC，求證：AE＝CF．【變式2-1】（2023·廣西貴港·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,點(diǎn)F在CD邊上，CF=AE,連接AF,BF.(1)求證：四邊形BFDE是矩形；(2)若AF平分∠DAB,CF=3,DF=5,求四邊形BFDE的面積．【變式2-2】（2021·河南駐馬店·統(tǒng)考一模）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，?OABC的邊OC在x軸上，對角線AC，OB交于點(diǎn)M，函數(shù)y=kxx>0的圖象經(jīng)過點(diǎn)A

（1）求k的值和點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）求?OABC的周長．【變式2-3】（2022·重慶·重慶八中?？级＃┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAD，交對角線BD于點(diǎn)E．(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：作∠BCD的平分線，交對角線BD于點(diǎn)F；（不寫作法和證明，保留作圖痕跡）(2)在（1）所作的圖形中，求證：BE=DF．（請補(bǔ)全下面的證明過程，除題目給的字母外，不添加其它字母或者符號）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CD，①__________，∴∠ABE=∠CDF∵AE、CF分別平分∠BAD和∠DCB∴∠BAE=12∠BAD，②∵四邊形ABCD是平行四邊形∴③_______________∴∠BAE=∠DCF在△ABE與△CDF中∠ABE=∠CDF∴△ABE≌△CDF（ASA）∴BE=DF【變式2-4】（2022·山西臨汾·統(tǒng)考一模）如圖，在?ABCD中，AB>AD．（1）用尺規(guī)完成以下基本作圖：在AB上截取AE，使得AE=AD；作∠BCD的平分線交AB于點(diǎn)F．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）所作的圖形中，連接DE交CF于點(diǎn)P，猜想△CDP按角分類的類型，并證明你的結(jié)論．題型03判斷已知條件能否構(gòu)成平行四邊形【例3】（2022·河南鄭州·一模）如圖1，?ABCD中，AD>AB，∠ABC為銳角．要在對角線BD上找點(diǎn)N，M，使四邊形ANCM為平行四邊形，現(xiàn)有圖2中的甲、乙、丙三種方案，則正確的方案（

）A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、乙才是C．只有甲、丙才是 D．只有乙、丙才是【變式3-1】（2023·湖南婁底·統(tǒng)考二模）在下列條件中，不能判定四邊形為平行四邊形的是（）A．對角線互相平分 B．一組對邊平行且相等C．兩組對邊分別平行 D．一組對邊平行，另一組對邊相等【變式3-2】（2023·湖南婁底·婁底市第三中學(xué)統(tǒng)考二模）在下列條件中，不能判定一個(gè)四邊形是平行四邊形的是（）A．一組對邊平行另一組對邊相等 B．一組對邊平行且相等C．兩組對角相等 D．對角線互相平分題型04添加一個(gè)條件使四邊形成為平行四邊形【例4】（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測）在四邊形ABCD中，∠A+∠B=180°，添加下列條件，能使四邊形ABCD成為平行四邊形的是（A．AB=CD B．AD∥C．AD=BC D．∠C+∠D=【變式4-1】（2023·河北衡水·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖是嘉淇不完整的推理過程．小明為保證嘉淇的推理成立，需在四邊形ABCD中添加條件，下列正確的是(

)A．∠B+∠C=180° B．AB=CDC．∠A=∠B D．AD=BC【變式4-2】（2022·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)E、F在?ABCD的對角線AC上，連接BE、DE、DF、BF，請?zhí)砑右粋€(gè)條件使四邊形BEDF是平行四邊形，那么需要添加的條件是．（只填一個(gè)即可）題型05數(shù)平行四邊形個(gè)數(shù)【例5】（2020·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，由25個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的5×5的正方形點(diǎn)陣中，橫、縱方向相鄰的兩點(diǎn)之間的距離都是1個(gè)單位．定義：由點(diǎn)陣中的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形叫做陣點(diǎn)平行四邊形．圖中以A，B為頂點(diǎn)，面積為4的陣點(diǎn)平行四邊形的個(gè)數(shù)為（

）A．6個(gè) B．7個(gè) C．9個(gè) D．11個(gè)【變式5-1】（2019·湖北黃石·校聯(lián)考一模）如圖，已知平行四邊形ABCD的對角線的交點(diǎn)是O，直線EF過O點(diǎn)，且平行于AD，直線GH過O點(diǎn)且平行于AB，則圖中平行四邊形共有(

)A．15個(gè) B．16個(gè) C．17個(gè) D．18個(gè)題型06求與已知三點(diǎn)組成平行四邊形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)【例6】（2021·河南商丘·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A1,0，B?1,3，C?2,?1，找一點(diǎn)D，使得以點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則點(diǎn)DA．2,4 B．?4,2 C．0,?4 D．?3,2【變式6-1】（2020·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖，A、B、C為一個(gè)平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，且A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(3,3),(6,4),(4,6)．（1）請直接寫出這個(gè)平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）在△ABC中，求出AB邊上的高．題型07證明四邊形是平行四邊形【例7】（2022·福建莆田·統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，且BE=DF，∠ABD=∠BDC．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【變式7-1】（2023·山東青島·模擬預(yù)測）如圖，在四邊形ABDF中，點(diǎn)E，C為對角線BF上的兩點(diǎn)，AB=DF,AC=DE,EB=CF．連接AE,CD．(1)求證：四邊形ABDF是平行四邊形；(2)若AE=AC，求證：AB=DB．【變式7-2】（2023·山東棗莊·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC上，且ED=BF，連接AF，CE，AC，EF，且AC與EF相交于點(diǎn)O．(1)求證：四邊形AFCE是平行四邊形；(2)若AC平分∠FAE，AC=8，tan∠DAC=【變式7-3】（2020·山東濰坊·統(tǒng)考一模）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC＝30°，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度α得到△AED，點(diǎn)B、C的對應(yīng)點(diǎn)分別是E、D.(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E恰好在AC上時(shí)，求∠CDE的度數(shù)；(2)如圖2，若α=60°時(shí)，點(diǎn)F是邊AC中點(diǎn)，求證：四邊形BFDE是平行四邊形.

【變式7-4】（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，矩形OABC的邊OA、OC分別在y軸和x軸上．反比例函數(shù)數(shù)y=kx（x>0）的圖象經(jīng)過矩形OABC對角線的交點(diǎn)D（4，2），且與邊AB，BC分別交干點(diǎn)E，F(xiàn)，直線EF交x軸于點(diǎn)G(1)求點(diǎn)F的坐標(biāo)；(2)求證:四邊形AEGC是平行四邊形．【變式7-5】（2023·河南·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┤鐖D，已知反比例函數(shù)y=kxx>0的圖像經(jīng)過點(diǎn)A4,2，過A作AC⊥y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)B為該反比例函數(shù)圖像上的一點(diǎn)，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，連接AD．直線BC與

(1)求反比例函數(shù)表達(dá)式；(2)若BD=2OC，判斷四邊形ACED的形狀，并說明理由．題型08與平行四邊形有關(guān)的新定義問題【例8】（2023·江西撫州·金溪一中校聯(lián)考二模）定義：在平行四邊形中，若有一條對角線長是一邊長的兩倍，則稱這個(gè)平行四邊形叫做和諧四邊形，其中這條對角線叫做和諧對角線，這條邊叫做和諧邊．【概念理解】(1)如圖1，四邊形ABCD是和諧四邊形，對角線AC與BD交于點(diǎn)G，BD是和諧對角線，AD是和諧邊．①△BCG是________三角形．②若AD=4，則BD=________．【問題探究】(2)如圖2，四邊形ABCD是矩形，過點(diǎn)B作BE∥AC交DC的延長線于點(diǎn)E，連接AE交BC于點(diǎn)F，AD=4，AB=k，是否存在實(shí)數(shù)k，使得四邊形ABEC是和諧四邊形，若存在，求出k的值，若不存在，請說明理由．【應(yīng)用拓展】(3)如圖3，四邊形ABCD與四邊形ABEC都是和諧四邊形，其中BD與AE分別是和諧對角線，AD與AC分別是和諧邊，AB=4，AD=k，請求出k的值．【變式8-1】（2021·浙江寧波·統(tǒng)考二模）定義：有一個(gè)角為45°的平行四邊形稱為半矩形．(1)如圖1，若?ABCD的一組鄰邊AB＝4，AD＝7，且它的面積為142．求證：?ABCD為半矩形．(2)如圖2，半矩形ABCD中，△ABD的外心O（外心O在△ABD內(nèi)）到AB的距離為1，⊙O的半徑＝5，求AD的長．(3)如圖3，半矩形ABCD中，∠A＝45°，AD=BD=4①求證：CD是△ABD外接圓的切線；②求出圖中陰影部分的面積．【變式8-2】（2021·浙江臺州·紹興市柯橋區(qū)楊汛橋鎮(zhèn)中學(xué)統(tǒng)考二模）定義：如圖1，四邊形EFGH的四個(gè)頂點(diǎn)分別在□ABCD四條邊上（不與□ABCD的頂點(diǎn)重合），我們稱四邊形EFGH為□ABCD的內(nèi)接四邊形．（1）如圖1，若?ABCD的內(nèi)接四邊形EFGH是平行四邊形，求證：AE＝CG（2）若?ABCD的內(nèi)接四邊形EFGH是矩形．①請用無刻度的直尺與圓規(guī)，在圖2中作出一個(gè)符合要求的矩形EFGH．（不必說明作圖過程，但要保留作圖痕跡）②如圖3，已知sinA=45，AB＝10，H是AD的中點(diǎn)，HG＝2HE（3）已知，?ABCD的內(nèi)接四邊形EFGH是平行四邊形，且S?EFGH=12S?ABCD，求證：點(diǎn)E，F(xiàn)，題型09利用平行四邊形的性質(zhì)與判定求解【例9】（2022·浙江麗水·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是BC，AC，AB的中點(diǎn)．若AB=6，BC=8，則四邊形BDEF的周長是（

）A．28 B．14 C．10 D．7【變式9-1】（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線y=x+1、y=x?1與雙曲線y=kxk>0分別相交于點(diǎn)A、B、C

A．34 B．22 C．4【變式9-2】（2023上·山東臨沂·九年級沂水縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┮阎鐖D，A1,1、B4,2．CD為x軸上一條動(dòng)線段，D在C點(diǎn)右邊且CD=1，當(dāng)【變式9-3】（2022·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=5,AD=10．若點(diǎn)E是邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥AC且分別交對角線AC，直線BC于點(diǎn)O、F，則在點(diǎn)E移動(dòng)的過程中，AF+FE+EC的最小值為．【變式9-4】（2021·山西·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐，問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題：如圖①，在?ABCD中，BE⊥AD，垂足為E，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，連接EF，BF，試猜想EF與BF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；獨(dú)立思考：（1）請解答老師提出的問題；實(shí)踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將?ABCD沿著BF（F為CD的中點(diǎn)）所在直線折疊，如圖②，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為C'，連接DC'并延長交AB于點(diǎn)G，請判斷AG與BG的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將?ABCD沿過點(diǎn)B的直線折疊，如圖③，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A'，使A'B⊥CD于點(diǎn)H，折痕交AD于點(diǎn)M，連接A'M，交CD于點(diǎn)N．該小組提出一個(gè)問題：若此?ABCD的面積為20，邊長AB=5，BC=25，求圖中陰影部分（四邊形BHNM題型10利用平行四邊形的性質(zhì)與判定證明【例10】（2022·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O．點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接EO并延長交AD于點(diǎn)F，∠ABC=60°，BC=2AB．下列結(jié)論：①AB⊥AC；②AD=4OE；③四邊形AECF是菱形；④S△BOE=1A．4 B．3 C．2 D．1【變式10-1】（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，E是線段AB上一點(diǎn)，△ADE和△BCE是位于直線AB同側(cè)的兩個(gè)等邊三角形，點(diǎn)P,F分別是CD,AB的中點(diǎn)．若AB=4，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A．PA+PB的最小值為33 B．PE+PF的最小值為C．△CDE周長的最小值為6 D．四邊形ABCD面積的最小值為3【變式10-2】（2020·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為1,3，點(diǎn)B在x軸上，把ΔOAB沿x軸向右平移到ΔECD，若四邊形ABDC的面積為9，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為

【變式10-3】（2022·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，用四根木條釘成矩形框ABCD，把邊BC固定在地面上，向右推動(dòng)矩形框，矩形框的形狀會(huì)發(fā)生改變（四邊形具有不穩(wěn)定性）．(1)通過觀察分析，我們發(fā)現(xiàn)圖中線段存在等量關(guān)系，如線段EB由AB旋轉(zhuǎn)得到，所以EB=AB．我們還可以得到FC＝，EF＝；(2)進(jìn)一步觀察，我們還會(huì)發(fā)現(xiàn)EF∥AD，請證明這一結(jié)論；(3)已知BC=30cm,DC=80cm，若BE恰好經(jīng)過原矩形DC邊的中點(diǎn)H，求EF【變式10-4】（2020·浙江舟山·統(tǒng)考中考真題）在一次數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)中，小兵將兩個(gè)全等的直角三角形紙片ABC和DEF拼在一起，使點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，點(diǎn)C與點(diǎn)D重合（如圖1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并進(jìn)行如下研究活動(dòng)．活動(dòng)一：將圖1中的紙片DEF沿AC方向平移，連結(jié)AE，BD（如圖2），當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)停止平移．【思考】圖2中的四邊形ABDE是平行四邊形嗎？請說明理由．【發(fā)現(xiàn)】當(dāng)紙片DEF平移到某一位置時(shí)，小兵發(fā)現(xiàn)四邊形ABDE為矩形（如圖3）．求AF的長．活動(dòng)二：在圖3中，取AD的中點(diǎn)O，再將紙片DEF繞點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α度（0≤α≤90），連結(jié)OB，OE（如圖4）．【探究】當(dāng)EF平分∠AEO時(shí)，探究OF與BD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．題型11平行四邊形性質(zhì)與判定的應(yīng)用【例11】（2022·浙江舟山·校聯(lián)考三模）如圖，△ABC、△DBE和△FGC均為正三角形，以點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G在△ABC的各邊上，DE和FG相交于點(diǎn)H，若S四邊形ADHF=S△HGEA．a(chǎn)+c=2b B．b2+c2=a【變式11-1】（2020·湖北省直轄縣級單位·中考真題）在平行四邊形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，請僅用無刻度的直尺完成下列畫圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡．

（1）如圖1，在BC上找出一點(diǎn)M，使點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)；（2）如圖2，在BD上找出一點(diǎn)N，使點(diǎn)N是BD的一個(gè)三等分點(diǎn)．【變式11-2】（2021·天津南開·統(tǒng)考二模）如圖，將平行四邊形OABC放置在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，已知A(3,0),B(0,4)．（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)是（___，__）；（2）若將平行四邊形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得OFDE，DF交OC于點(diǎn)P，交y軸于點(diǎn)F，求△OPF的面積；（3）在（2）的情形下，若再將平行四邊形OFDE沿y軸正方向平移，設(shè)平移的距離為d，當(dāng)平移后的平行四邊形O'F'D'E'與平行四邊形OABC重疊部分為五邊形時(shí)，設(shè)其面積為S【變式11-3】（2023·上海青浦·?？家荒＃┤鐖D，已知∠AOB=90°，∠AOB的內(nèi)部有一點(diǎn)P，且OA=OB=OP=10，過點(diǎn)B作BC∥AP交AO于點(diǎn)C，OP與BC交于點(diǎn)(1)如果tan∠AOP=34(2)設(shè)AP=x，BC=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；(3)如果BD=AP，求△PBD的面積．【變式11-4】（2023·北京·校考模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，過點(diǎn)C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD(1)求證：CE=AD．(2)當(dāng)AC=BC，且D為中點(diǎn)時(shí)，四邊形CDBE是什么特殊四邊形？說明理由．(3)求AD∶DB=3∶2，CE=CA=3時(shí)，求EF的長．考點(diǎn)三三角形中位線三角形中位線概念：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形中位線.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.三角形中位線定理的作用：位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行.數(shù)量關(guān)系：可以證明線段的倍分關(guān)系.常用結(jié)論：任意一個(gè)三角形都有三條中位線，由此有：結(jié)論1：三條中位線組成一個(gè)三角形，其周長為原三角形周長的一半.結(jié)論2：三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全等的三角形.結(jié)論3：三條中位線將原三角形劃分出三個(gè)面積相等的平行四邊形.結(jié)論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分.結(jié)論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等.題型01三角形中位線有關(guān)的計(jì)算【例1】（2023·湖南株洲·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，BC=4，點(diǎn)D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，則DE=（

）A．14 B．12 C．1【變式1-1】（2023·河南許昌·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是BC，AC，AB的中點(diǎn)．若AB=6，BC=8，則四邊形BDEF的周長是（

）A．28 B．14 C．10 D．7【變式1-2】（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，CA的中點(diǎn)．若EF的長為10，則CD的長為．【變式1-3】（2023·江蘇揚(yáng)州·校聯(lián)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB的邊AO,AB的中點(diǎn)C，D的橫坐標(biāo)分別是1，4，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是．題型02三角形中位線與三角形面積計(jì)算問題【例2】（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，若△ADE的面積是3cm2，則四邊形BDEC的面積為（

）A．12cm2 B．9cm2 C．6cm2 D．3cm2【變式2-1】（2023·福建莆田·?？寄M預(yù)測）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB、AC的中點(diǎn)，若SΔADE=2，則S

A．4 B．8 C．2 D．16【變式2-2】（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·?？家荒＃┤鐖D，DE是△ABC的中位線，M是DE的中點(diǎn)，CM的延長線交AB于N，那么NM:MC=，S△DMN:題型03與三角形中位線有關(guān)的證明【例3】（2023·新疆和田·和田市第三中學(xué)?？级＃┤鐖D，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，延長DE至點(diǎn)F，使得CF∥AB，連接DC，AF．

(1)求證：△ADE≌△CFE；(2)求證：四邊形BDFC是平行四邊形【變式3-1】（2023·北京東城·統(tǒng)考一模）下面是證明三角形中位線定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半．已知：如圖，點(diǎn)D，E分別是△ABC的邊AB，求證：DE∥BC，且方法一證明：如圖，過點(diǎn)C作CF∥AB，交DE的延長線于點(diǎn)F．方法二證明：如圖，延長DE到點(diǎn)F，使得EF=DE，連接FC，【變式3-2】（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考二模）我們知道，三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半，如何證明三角形中位線定理呢？(1)【方法回顧】證明：三角形中位線定理．已知：如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)．求證：DE∥BC，

證明三角形中位線性質(zhì)定理的方法很多，但多數(shù)都需要通過添加輔助線構(gòu)圖去完成，下面是其中一種證法的添加輔助線方法，閱讀并完成填空：添加輔助線，如圖1，在△ABC中，過點(diǎn)C作CF∥AB，與DE的延長線交于點(diǎn)F．可證△ADE≌______，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DE=EF，然后判斷出四邊形BCFD是______，根據(jù)圖形性質(zhì)可證得DE

(2)【方法遷移】如圖2，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠D=120°，E為AD的中點(diǎn)，G、F分別為AB、CD邊上的點(diǎn)，若AG=3，DF=4，∠GEF=90°

(3)【定理應(yīng)用】如圖3，在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中點(diǎn)，G是邊BC上一點(diǎn)，CGBG=KK>1，延長BC至點(diǎn)E，使DE＝DG，延長ED交AB

【變式3-3】（2023·北京·統(tǒng)考一模）下面是證明三角形中位線定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半．已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，AC邊的中點(diǎn)．求證：DE∥BC，且方法一：證明：如圖，延長DE到點(diǎn)F，使EF=DE，連接FC，DC，AF．方法二：證明：如圖，取BC中點(diǎn)G，連接GE并延長到點(diǎn)F，使EF=GE，連接AF．題型04三角形中位線的實(shí)際應(yīng)用【例4】（2023·廣州市模擬）如圖，為了測量池塘邊A、B兩地之間的距離，在線段AB的一側(cè)取一點(diǎn)C，連接CA并延長至點(diǎn)D，連接CB并延長至點(diǎn)E，使A、B分別是CD、CE的中點(diǎn)，若DE＝16m，則線段AB的長度是（）A．12m B．10m C．9m D．8m【變式4-1】（2023·福建福州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，要測量池塘兩岸相對的A，B兩點(diǎn)間的距離，可以在池塘外選一點(diǎn)C，連接AC，BC，分別取AC，BC的中點(diǎn)D，E，測得DE＝50m，則AB的長是m．題型05與三角形中位線有關(guān)的規(guī)律探究【例5】（2022·山東聊城·校聯(lián)考一模）如圖，△ABC是邊長為1的等邊三角形，取BC邊的中點(diǎn)E，作ED∥AB交AC于點(diǎn)D，EF∥AC交AB于點(diǎn)F，得到四邊形EDAF，它的面積記作S1取BE邊的中點(diǎn)E1，作E1D1FB交EF于D1，E1F1∥【變式5-1】（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2，點(diǎn)D、點(diǎn)E、點(diǎn)F分別是AC，AB，BC邊的中點(diǎn)，連接DE、EF，得到△AED，它的面積記作S；點(diǎn)D1、點(diǎn)E1、點(diǎn)F1分別是EF，EB，F(xiàn)B邊的中點(diǎn)，連接D1E1、E1【變式5-2】（2021·黑龍江·校聯(lián)考三模）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=4，分別連接AB，AC，BC的中點(diǎn)，得到第1個(gè)等腰直角三角形A1B1C1；分別連接A1B，A1C1，題型06與三角形中位線有關(guān)的格點(diǎn)作圖【例6】（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）在5×5的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，僅用無刻度的直尺，按要求作圖：

(1)在圖中找一