平面向量（易錯題+三大題型）（原卷版）-2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（新高考專用）

平面向量

目錄

【高考預(yù)測】概率預(yù)測+題型預(yù)測+考向預(yù)測

【應(yīng)試】總結(jié)常考點及應(yīng)對的策略

【誤區(qū)點撥】點撥常見的易錯點

易錯點：投影向量、投影向量的模與向量的投影

【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略

【題型一】奔馳定理

【題型二】極化恒等式

【題型三】等和線

高考預(yù)測

概率預(yù)測☆☆☆☆

題型預(yù)測選擇題、填空題☆☆☆☆☆

考向預(yù)測投影向量的概念

應(yīng)試

平面向量是近幾年小題的熱點必考題型，主要考察學(xué)生對于向量的轉(zhuǎn)化也就是基底思想的熟練程度，

包含了對于復(fù)雜知識的簡單化也就是化歸與轉(zhuǎn)化的思想的掌握。近幾年的向量也出現(xiàn)過單選的壓軸題，考

察的大多為向量的三大定理之一。還有新教材新加的投影向量也是今年的熱門知識點。注意題目的問法，

分清投影向量、向量的投影和投影向量的模之間的區(qū)別。

誤區(qū)點撥

易錯點：投影向量、投影向量的模與向量的投影

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的同方向單位向量為旦,

1.同方向單位向量:Z指的是方向和。相同，模長為1的向量。

2.向量］在￡方向上的投影：設(shè)。為15的夾角，則W-cose為］在￡方向上的投影.

3.投影也是一個數(shù)量，不是向量.當(dāng)。為銳角時投影為正值；當(dāng)。為鈍角時投影為負(fù)值；當(dāng)夕為直角時投影為

0；當(dāng)0=0。時投影為㈤；當(dāng)夕=180°時投影為一同.

4.向量］在￡方向上的投影向量：設(shè)。為￡、］的夾角，則W-cos6?3為］在￡方向上的投影向量.

同

5.向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積7石等于￡的長度與B在a方向上投影的乘積.

易錯提醒：L投影和投影向量的模都是數(shù)量，區(qū)別在于投影有正負(fù)，投影向量的模永遠(yuǎn)是正值。

2.投影向量結(jié)果是向量，所以是其投影（大?。┏松掀渫较騿挝幌蛄浚ǚ较颍?/p>

例（多選）（2023?海南?模擬預(yù)測）已知向量3=（sin0,cos。）e=（1,網(wǎng),d=（3,網(wǎng)，則（）

A.若3//B，則。=］

B.B在/方向上的投影向量為;

C.存在0,使得3在3方向上投影向量的模為1

D.歸-同的取值范圍為［1,3］

變式1：（2024?遼寧鞍山、二模）已知非零向量］,b滿足同=2同，向量方在向量B方向上的投影向量是同,

則I與B夾角的余弦值為（）

A.—B.—C.—D.1

3623

變式2：（多選）（2024?廣東廣州?一模）已知向量入3不共線，向量2+1平分G與石的夾角，則下列結(jié)論

一定正確的是（）

A.〃?6=0B.（a+Z?）_L（a—/））

c.向量入5在2+日上的投影向量相等D.|a+s|=p-s|

變式3：（2024?青海，一模）已知向量3=（3,2）,6=（-2,1）,則向量￡+5在石方向上的投影為.

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搶分通關(guān)

【題型一】奔馳定理

P為A248c內(nèi)一點，axPA+b~x.PB+cxPC=0>則SAPBC：^^PAC:^APAB=b：c.

*'S^BCa+b+c'S^BCa+b+c'SMBCa+b+c'

結(jié)論1：對于AA8C內(nèi)的任意一點?，若"BC、NPCA.A/M2的面積分別為、SB.Sc,則:

SA-PA+SB-PB+SC-PC=O.

即三角形內(nèi)共點向量的線性加權(quán)和為零，權(quán)系數(shù)分別為向量所對的三角形的面積.

結(jié)論2：對于A4BC平面內(nèi)的任意一點尸，若點P在A4BC的外部，并且在N8/C的內(nèi)部或其對頂角的內(nèi)部所

在區(qū)域時，則有-%%?2+SA/MC?麗+Spg正=°?

結(jié)論3：對于A48c內(nèi)的任意一點?，若4方+4萬+4定=。，則APBC、APCA、AP48的面積之比為

即若三角形內(nèi)共點向量的線性加權(quán)和為零，則各向量所對的三角形面積之比等于權(quán)系數(shù)之比.

結(jié)論4：對于A4BC所在平面內(nèi)不在三角形邊上的任一點尸，4秒+辦方+4正=0,則APBC、NPCA.

AP4B的面積分別為同：田：同.

奔馳定理與三角形四心的關(guān)系：

一、三角形的“重心”

1、重心的定義：中線的交點，重心將中線長度分成2:1A

三角形中線向量式：AM=^（AB+AC}

2、重心的性質(zhì):

（1）重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2:lo

（2）重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。

所以瓦＜+礪+擊=6

二、三角形的“垂心”

垂心的定義：高的交點。

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銳角三角形的垂心在三角形內(nèi):

直角三角形的垂心在直角頂點上:

鈍角三角形的乖心在三角形外。

奔馳定理推論：SABOC：SACOA：SAAOB-tanA\tanB:tanC,

tanA-OA+tanB-OB+tanC-OC—0.

三、三角形的“內(nèi)心”

1、內(nèi)心的定義：角平分線的交點（或內(nèi)切圓的圓心）。

2、常見內(nèi)心向量式：P是△力BC的內(nèi)心，

（1）\AB\PC+\BC\PA+\CA\PB=0（或a而+bPB+cPC=0）

其中a,b,c分別是A4BC的三邊BC、AC、AB的長，

四、三角形的“外心”

1、外心的定義：三角形三邊的垂直平分線的交點（或三角形外接圓的圓心到三角形三個頂點的距離相等

2、常用外心向量式：。是AA8C的外心，

1、|o2|=\0B\=|oc|qa2=OB2=OC2

2、(OA+0B)-AB=(OB+0C)-BC=(OA+0C)-AC=0

3、若01+0B")-AB=(OB+0C")-BC=(OC+0A")-CA=0,則。是△力BC的外

心.

I—I

典例精講

【例1】（2021?四川涼山?三模）如圖，P為“BC內(nèi)任意一點,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.總有

優(yōu)美等式S"8c萬+S?4c而+近=0成立，因該圖形酷似奔馳汽車車標(biāo)，故又稱為奔馳定理.現(xiàn)有以下

②若a沙+6方+cU成立，則尸是的內(nèi)心；

_—>2—?1-?_

（3）^AP=-AB+—AC,則以物產(chǎn)：=2:5；

④若P是“6C的外心，N=W，PA=mPB+nPC>則比+

則正確的命題有.

【例2】（多選）（22-23高一下?山東?階段練習(xí)）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量

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中一個非常優(yōu)美的結(jié)論.奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián).它的具體內(nèi)容

是：已知〃是AASC內(nèi)一點，的面積分別為邑,Ss，Sc，且

疝+邑?筱+Sc?慶=。?以下命題正確的有（）

A.若邑：&:品=1:1:1,則/為A/MC的重心

B.若“為“BC的內(nèi)心，則3c.而+/C.磁+48.流=6

C.ABAC=45°,ZABC=60°,〃為“BC的外心，則邑：：S?=6：2:1

D.若M為AABC的垂心，3MA+4MB+5MC=6>貝！Icos乙4兒e=-"

6

【例3】（2023高一?江蘇?專題練習(xí)）已知。是平面上的一個定點，4&C是平面上不共線的三點，動點尸

(AeR),貝!］點尸的軌跡一定經(jīng)過〃8c的（

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

1=1

名校模擬

【變式1］（2023?吉林?一模）在直角三角形4BC中，/=90。，”8C的重心、外心、垂心、內(nèi)心分別為G〉

G-G3,G4,若布=%荏+從就（其中i=l,2,3,4）,當(dāng)4+4取最大值時，，=（）

A.1B.2C.3D.4

【變式2］（22-23高三上?江西?階段練習(xí)）奔馳定理：已知點。是“BC內(nèi)的一點，若小。C,"OC,“OB的

面積分別記為耳,邑出，則?刀+邑?礪+邑?前=丘?“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因

為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，己知。是“8C的

垂心，＞04+205+300=0,貝lJcosC=（）

A3Vw

10

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【變式3]（2022?安徽?三模）平面上有“3C及其內(nèi)一點O,構(gòu)成如圖所示圖形，若將AOBC,^OCA

的面積分別記作凡，S0,Sb,則有關(guān)系式+S?歷+[?歷=6.因圖形和奔馳車的/映。很相似，常

把上述結(jié)論稱為“奔馳定理”.已知的內(nèi)角4,3,C的對邊分別為a,6,c,若滿足°.刀+6.礪+c.歷=6,

則。為AABC的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

【題型二】極化恒等式

基礎(chǔ)知識：

/——\2-2f--?2

\a+b\=a+2ab+b

/--\2-2---2

\a-b\=a-2ab+b

簡化：在△中，。是邊的中點，則|2.

48C8C通?/=|詬IM麗I

典例精講

【例1】已知△NBC是邊長為2的等邊三角形，尸為平面48C內(nèi)一點，則莎?（而+4）的最小值是

（）

34

A.-2B.--C.——D.-1

23

【例2】在△48C中，。是3c的中點，E,尸是上的兩個三等分點，B2，C2=4'BFCF=-1'

則礪?屈的值是.

【例3】已知球。的半徑為1,48是球面上的兩點，且48=6,若點P是球面上任意一點，則沙?而

_3￡_￡3

的取值范圍是A.B.C.0,-D.0,-

2’22’222

名校模擬

【變式1】（23-24高三上?云南保山?期末）如圖，已知正方形/BCD的邊長為4,若動點尸在以48為直徑的

半圓上（正方形/BCD內(nèi)部，含邊界），則定.而的取值范圍為（）

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【變式2]（2024?江西?一模）如圖，正六邊形的邊長為2a，半徑為1的圓。的圓心為正六邊形的中心，

若點M在正六邊形的邊上運動，動點力,3在圓。上運動且關(guān)于圓心。對稱，則MA,MB的取值范圍為（）

A.[4,5]B.[5,7]C.[4,6]D.[5,8]

【變式3]（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線y=--4x+l與坐標(biāo)軸的交點都在圓C上,

48為圓C的直徑，點P是直線3x+4y+10=0上任意一點；則強.麗的最小值為（）

A.4B.12C.16D.18

【題型三】等和線

向量基本定理：

OA=A0B+JLLOC,（2G7?）o2+//=1

___________-f

OF=205+piOC^e7?)2+//=k,則卜=——

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—>—>

證明：OE=kOE,

—>—>—>

又OE-mOA+nOC,m+〃=1

—>—>—>—>—>—>

/.OF-kOE-k(mOA+nOC)-2OA+ROC

km=九,kn=〃

:.九+N=k

i—?

典例精講

--1—■

【例1】如圖，A/AA8C中，P是斜邊3C上一點，且滿足：AP=—PC,點在過點尸的直線上,

2

若押=2彳瓦前=〃*,（4〃>0）,則4+2〃的最小值為（）

810

A.2B.-C.3D.——

33

【例2】設(shè)/,B,。是平面內(nèi)共線的三個不同的點，點。是/,B,。所在直線外任意-點，且滿足

OC=xOA+yOB，若點。在線段48的延長線上，則（）

A.x<0,y>lB.”0,x>\C.0<x<y<1D.0<y<x<l

【例3】如圖，Z.BAC=y,圓M與AB、AC分別相切于點D、E,AD=1,點P是圓M及其內(nèi)部任意一

點，且麗=久而+丫荏（x、ye/?）,則x+y的取值范圍是（）

A.[1,4+2網(wǎng)B.[4—2痣4+2網(wǎng)C.[1,2+網(wǎng)D.[2-V3,2+V3]

名校模擬

【變式1］（2024?內(nèi)蒙古包頭?一模）如圖，在菱形Z3CD中，AB=4,ZABC=60°,E,F分別為4B,BC上

的點，屜=3成，BF=3FC-若線段E尸上存在一點M,使得兩=1■反+x而（xeR）,則方面.而等

于（）

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