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2025屆廣東省北京師范大學(xué)東莞石竹附屬學(xué)校高考數(shù)學(xué)試題押題精粹試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在中,“”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件2.已知直線與直線則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.《易經(jīng)》包含著很多哲理,在信息學(xué)、天文學(xué)中都有廣泛的應(yīng)用,《易經(jīng)》的博大精深,對(duì)今天的幾何學(xué)和其它學(xué)科仍有深刻的影響.下圖就是易經(jīng)中記載的幾何圖形——八卦田,圖中正八邊形代表八卦,中間的圓代表陰陽太極圖,八塊面積相等的曲邊梯形代表八卦田.已知正八邊形的邊長(zhǎng)為,陰陽太極圖的半徑為,則每塊八卦田的面積約為()A. B.C. D.4.若向量,則()A.30 B.31 C.32 D.335.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為,則在軸上的截距為()A. B. C. D.6.已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足,若存在兩項(xiàng),,使得,則的最小值為().A.16 B. C.5 D.47.已知中,,則()A.1 B. C. D.8.中國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一道算術(shù)題:“今有物不知其數(shù),三三數(shù)之余二,五五數(shù)之余三,問物幾何?”人們把此類題目稱為“中國剩余定理”,若正整數(shù)除以正整數(shù)后的余數(shù)為,則記為,例如.現(xiàn)將該問題以程序框圖的算法給出,執(zhí)行該程序框圖,則輸出的等于().A. B. C. D.9.若,則下列不等式不能成立的是()A. B. C. D.10.已知函數(shù)的圖像與一條平行于軸的直線有兩個(gè)交點(diǎn),其橫坐標(biāo)分別為,則()A. B. C. D.11.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?,滿足,且當(dāng)時(shí),.若對(duì)任意,都有,則的取值范圍是().A. B. C. D.12.已知六棱錐各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球(記為球)的球面上,且底面為正六邊形,頂點(diǎn)在底面上的射影是正六邊形的中心,若,,則球的表面積為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平面直角坐標(biāo)系中,曲線上任意一點(diǎn)到直線的距離的最小值為________.14.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù),且成等差數(shù)列,則=__________.15.在平面直角坐標(biāo)系中,若函數(shù)在處的切線與圓存在公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為_____.16.小李參加有關(guān)“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的答題活動(dòng),要從4道題中隨機(jī)抽取2道作答,小李會(huì)其中的三道題,則抽到的2道題小李都會(huì)的概率為_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)棉花的纖維長(zhǎng)度是評(píng)價(jià)棉花質(zhì)量的重要指標(biāo),某農(nóng)科所的專家在土壤環(huán)境不同的甲、乙兩塊實(shí)驗(yàn)地分別種植某品種的棉花,為了評(píng)價(jià)該品種的棉花質(zhì)量,在棉花成熟后,分別從甲、乙兩地的棉花中各隨機(jī)抽取21根棉花纖維進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下表:(記纖維長(zhǎng)度不低于311的為“長(zhǎng)纖維”,其余為“短纖維”)纖維長(zhǎng)度甲地(根數(shù))34454乙地(根數(shù))112116(1)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),填寫下面列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯(cuò)誤概率不超過1.125的前提下認(rèn)為“纖維長(zhǎng)度與土壤環(huán)境有關(guān)系”.甲地乙地總計(jì)長(zhǎng)纖維短纖維總計(jì)附:(1);(2)臨界值表;1.111.151.1251.1111.1151.1112.7163.8415.1246.6357.87911.828(2)現(xiàn)從上述41根纖維中,按纖維長(zhǎng)度是否為“長(zhǎng)纖維”還是“短纖維”采用分層抽樣的方法抽取8根進(jìn)行檢測(cè),在這8根纖維中,記乙地“短纖維”的根數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.18.(12分)已知拋物線:()的焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為.(1)求拋物線的方程;(2)過點(diǎn)作拋物線的兩條切線,切點(diǎn)分別為,,點(diǎn)、分別在第一和第二象限內(nèi),求的面積.19.(12分)傳染病的流行必須具備的三個(gè)基本環(huán)節(jié)是:傳染源、傳播途徑和人群易感性.三個(gè)環(huán)節(jié)必須同時(shí)存在,方能構(gòu)成傳染病流行.呼吸道飛沫和密切接觸傳播是新冠狀病毒的主要傳播途徑,為了有效防控新冠狀病毒的流行,人們出行都應(yīng)該佩戴口罩.某地區(qū)已經(jīng)出現(xiàn)了新冠狀病毒的感染病人,為了掌握該地區(qū)居民的防控意識(shí)和防控情況,用分層抽樣的方法從全體居民中抽出一個(gè)容量為100的樣本,統(tǒng)計(jì)樣本中每個(gè)人出行是否會(huì)佩戴口罩的情況,得到下面列聯(lián)表:戴口罩不戴口罩青年人5010中老年人2020(1)能否有的把握認(rèn)為是否會(huì)佩戴口罩出行的行為與年齡有關(guān)?(2)用樣本估計(jì)總體,若從該地區(qū)出行不戴口罩的居民中隨機(jī)抽取5人,求恰好有2人是青年人的概率.附:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82820.(12分)已知函數(shù),.(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù);(2)記函數(shù)在區(qū)間上的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為、,求證:.21.(12分)如圖1,四邊形為直角梯形,,,,,,為線段上一點(diǎn),滿足,為的中點(diǎn),現(xiàn)將梯形沿折疊(如圖2),使平面平面.(1)求證:平面平面;(2)能否在線段上找到一點(diǎn)(端點(diǎn)除外)使得直線與平面所成角的正弦值為?若存在,試確定點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.22.(10分)如圖,在直棱柱中,底面為菱形,,,與相交于點(diǎn),與相交于點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成的角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】
由余弦函數(shù)的單調(diào)性找出的等價(jià)條件為,再利用大角對(duì)大邊,結(jié)合正弦定理可判斷出“”是“”的充分必要條件.【詳解】余弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,且,,由,可得,,由正弦定理可得.因此,“”是“”的充分必要條件.故選:C.本題考查充分必要條件的判定,同時(shí)也考查了余弦函數(shù)的單調(diào)性、大角對(duì)大邊以及正弦定理的應(yīng)用,考查推理能力,屬于中等題.2.B【解析】
利用充分必要條件的定義可判斷兩個(gè)條件之間的關(guān)系.【詳解】若,則,故或,當(dāng)時(shí),直線,直線,此時(shí)兩條直線平行;當(dāng)時(shí),直線,直線,此時(shí)兩條直線平行.所以當(dāng)時(shí),推不出,故“”是“”的不充分條件,當(dāng)時(shí),可以推出,故“”是“”的必要條件,故選:B.本題考查兩條直線的位置關(guān)系以及必要不充分條件的判斷,前者應(yīng)根據(jù)系數(shù)關(guān)系來考慮,后者依據(jù)兩個(gè)條件之間的推出關(guān)系,本題屬于中檔題.3.B【解析】
由圖利用三角形的面積公式可得正八邊形中每個(gè)三角形的面積,再計(jì)算出圓面積的,兩面積作差即可求解.【詳解】由圖,正八邊形分割成個(gè)等腰三角形,頂角為,設(shè)三角形的腰為,由正弦定理可得,解得,所以三角形的面積為:,所以每塊八卦田的面積約為:.故選:B本題考查了正弦定理解三角形、三角形的面積公式,需熟記定理與面積公式,屬于基礎(chǔ)題.4.C【解析】
先求出,再與相乘即可求出答案.【詳解】因?yàn)?所以.故選:C.本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,考查了學(xué)生的計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5.A【解析】
求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)后可得曲線在處的切線方程,從而可求切線的縱截距.【詳解】,故,所以曲線在處的切線方程為:.令,則,故切線的縱截距為.故選:A.本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線的截距,注意直線的縱截距指直線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo),因此截距有正有負(fù),本題屬于基礎(chǔ)題.6.D【解析】
由,可得,由,可得,再利用“1”的妙用即可求出所求式子的最小值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為,由已知,,即,解得或(舍),又,所以,即,故,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.故選:D.本題考查利用基本不等式求式子和的最小值問題,涉及到等比數(shù)列的知識(shí),是一道中檔題.7.C【解析】
以為基底,將用基底表示,根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律,即可求解.【詳解】,,.故選:C.本題考查向量的線性運(yùn)算以及向量的基本定理,考查向量數(shù)量積運(yùn)算,屬于中檔題.8.C【解析】從21開始,輸出的數(shù)是除以3余2,除以5余3,滿足條件的是23,故選C.9.B【解析】
根據(jù)不等式的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】選項(xiàng)A:由于,即,,所以,所以,所以成立;選項(xiàng)B:由于,即,所以,所以,所以不成立;選項(xiàng)C:由于,所以,所以,所以成立;選項(xiàng)D:由于,所以,所以,所以,所以成立.故選:B.本題考查不等關(guān)系和不等式,屬于基礎(chǔ)題.10.A【解析】
畫出函數(shù)的圖像,函數(shù)對(duì)稱軸方程為,由圖可得與關(guān)于對(duì)稱,即得解.【詳解】函數(shù)的圖像如圖,對(duì)稱軸方程為,,又,由圖可得與關(guān)于對(duì)稱,故選:A本題考查了正弦型函數(shù)的對(duì)稱性,考查了學(xué)生綜合分析,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.11.B【解析】
求出在的解析式,作出函數(shù)圖象,數(shù)形結(jié)合即可得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí),,,,又,所以至少小于7,此時(shí),令,得,解得或,結(jié)合圖象,故.故選:B.本題考查不等式恒成立求參數(shù)的范圍,考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想,是一道中檔題.12.D【解析】
由題意,得出六棱錐為正六棱錐,求得,再結(jié)合球的性質(zhì),求得球的半徑,利用表面積公式,即可求解.【詳解】由題意,六棱錐底面為正六邊形,頂點(diǎn)在底面上的射影是正六邊形的中心,可得此六棱錐為正六棱錐,又由,所以,在直角中,因?yàn)?,所以,設(shè)外接球的半徑為,在中,可得,即,解得,所以外接球的表面積為.故選:D.本題主要考查了正棱錐的幾何結(jié)構(gòu)特征,以及外接球的表面積的計(jì)算,其中解答中熟記幾何體的結(jié)構(gòu)特征,熟練應(yīng)用球的性質(zhì)求得球的半徑是解答的關(guān)鍵,著重考查了空間想象能力,以及推理與計(jì)算能力,屬于中檔試題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
解法一:曲線上任取一點(diǎn),利用基本不等式可求出該點(diǎn)到直線的距離的最小值;解法二:曲線函數(shù)解析式為,由求出切點(diǎn)坐標(biāo),再計(jì)算出切點(diǎn)到直線的距離即可所求答案.【詳解】解法一(基本不等式):在曲線上任取一點(diǎn),該點(diǎn)到直線的距離為,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,因此,曲線上任意一點(diǎn)到直線距離的最小值為;解法二(導(dǎo)數(shù)法):曲線的函數(shù)解析式為,則,設(shè)過曲線上任意一點(diǎn)的切線與直線平行,則,解得,當(dāng)時(shí),到直線的距離;當(dāng)時(shí),到直線的距離.所以曲線上任意一點(diǎn)到直線的距離的最小值為.故答案為:.本題考查曲線上一點(diǎn)到直線距離最小值的計(jì)算,可轉(zhuǎn)化為利用切線與直線平行來找出切點(diǎn),轉(zhuǎn)化為切點(diǎn)到直線的距離,也可以設(shè)曲線上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo),利用基本不等式法或函數(shù)的最值進(jìn)行求解,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.14.【解析】
根據(jù)等差中項(xiàng)性質(zhì),結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求得公比;代入表達(dá)式,結(jié)合對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù),且成等差數(shù)列,則,由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可知,所以,解得或(舍),所以由對(duì)數(shù)式運(yùn)算性質(zhì)可得,故答案為:.本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用,等比數(shù)列通項(xiàng)公式的用法,對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)運(yùn)算,屬于中檔題.15.【解析】
利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得函數(shù)在處的切線,再根據(jù)切線與圓存在公共點(diǎn),利用圓心到直線的距離滿足的條件列式求解即可.【詳解】解:由條件得到又所以函數(shù)在處的切線為,即圓方程整理可得:即有圓心且所以圓心到直線的距離,即.解得或,故答案為:.本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線方程的問題,同時(shí)也考查了根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求解參數(shù)范圍的問題,屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】
從四道題中隨機(jī)抽取兩道共6種情況,抽到的兩道全都會(huì)的情況有3種,即可得到概率.【詳解】由題:從從4道題中隨機(jī)抽取2道作答,共有種,小李會(huì)其中的三道題,則抽到的2道題小李都會(huì)的情況共有種,所以其概率為.故答案為:此題考查根據(jù)古典概型求概率,關(guān)鍵在于根據(jù)題意準(zhǔn)確求出基本事件的總數(shù)和某一事件包含的基本事件個(gè)數(shù).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)在犯錯(cuò)誤概率不超過的前提下認(rèn)為“纖維長(zhǎng)度與土壤環(huán)境有關(guān)系”.(2)見解析【解析】試題分析:(1)可以根據(jù)所給表格填出列聯(lián)表,利用列聯(lián)表求出,結(jié)合所給數(shù)據(jù),應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí)可作出判斷;(2)寫出的所有可能取值,并求出對(duì)應(yīng)的概率,可列出分布列并進(jìn)一步求出的數(shù)學(xué)期望.試題解析:(Ⅰ)根據(jù)已知數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表:甲地乙地總計(jì)長(zhǎng)纖維91625短纖維11415總計(jì)212141根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),可得所以,在犯錯(cuò)誤概率不超過的前提下認(rèn)為“纖維長(zhǎng)度與土壤環(huán)境有關(guān)系”.(Ⅱ)由表可知在8根中乙地“短纖維”的根數(shù)為,的可能取值為:1,1,2,3,,,,.∴的分布列為:1123∴.18.(1)(2)【解析】
(1)因?yàn)?,可得,即可求得答案;?)分別設(shè)、的斜率為和,切點(diǎn),,可得過點(diǎn)的拋物線的切線方程為:,聯(lián)立直線方程和拋物線方程,得到關(guān)于一元二次方程,根據(jù),求得,,進(jìn)而求得切點(diǎn),坐標(biāo),根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求得,根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求得點(diǎn)到切線的距離,進(jìn)而求得的面積.【詳解】(1),,解得,拋物線的方程為.(2)由題意可知,、的斜率都存在,分別設(shè)為和,切點(diǎn),,過點(diǎn)的拋物線的切線:,由,消掉,可得,,即,解得,,又由,得,,,同理可得,,,,,切線的方程為,點(diǎn)到切線的距離為,,即的面積為.本題主要考查了求拋物線方程和拋物線中三角形面積問題,解題關(guān)鍵是掌握拋物線定義和圓錐曲線與直線交點(diǎn)問題時(shí),通常用直線和圓錐曲線聯(lián)立方程組,通過韋達(dá)定理建立起目標(biāo)的關(guān)系式19.(1)有的把握認(rèn)為是否戴口罩出行的行為與年齡有關(guān).(2)【解析】
(1)根據(jù)列聯(lián)表和獨(dú)立性檢驗(yàn)的公式計(jì)算出觀測(cè)值,從而由參考數(shù)據(jù)作出判斷.(2)因?yàn)闃颖局谐鲂胁淮骺谡值木用裼?0人,其中年輕人有10人,用樣本估計(jì)總體,則出行不戴口罩的年輕人的概率為,是老年人的概率為.根據(jù)獨(dú)立重復(fù)事件的概率公式即可求得結(jié)果.【詳解】(1)由題意可知,有的把握認(rèn)為是否戴口罩出行的行為與年齡有關(guān).(2)由樣本估計(jì)總體,出行不戴口罩的年輕人的概率為,是老年人的概率為.人未戴口罩,恰有2人是青年人的概率.本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)及獨(dú)立重復(fù)事件的概率求法,難度一般.20.(1);(2)見解析.【解析】
(1)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性與極值,結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得出結(jié)論;(2)設(shè)函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)分別為、,由(1)知,,且滿足,,于是得出,由得,利用正切函數(shù)的單調(diào)性推導(dǎo)出,再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論.【詳解】(1),,,當(dāng)時(shí),,,,則函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,,,則函數(shù)在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,,,則函數(shù)在上單調(diào)遞增.,,,,.所以,函數(shù)在與不存在零點(diǎn),在區(qū)間和上各存在一個(gè)零點(diǎn).綜上所述,函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為;(2),.由(1)得,在區(qū)間與上存在零點(diǎn),所以,函數(shù)在區(qū)間與上各存在一個(gè)極值點(diǎn)、,且,,且滿足即,,,又,即,,,,,由在上單調(diào)遞增,得,再由在上單調(diào)遞減,得,即.本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,考查分析問題和解決問題的能力,屬于難題.21.(1)證明見
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