2025屆廣東省越秀外國(guó)語(yǔ)學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試考試說(shuō)明跟蹤卷(四)數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁(yè)
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2025屆廣東省越秀外國(guó)語(yǔ)學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試考試說(shuō)明跟蹤卷(四)數(shù)學(xué)試題請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知,是兩條不重合的直線,是一個(gè)平面,則下列命題中正確的是()A.若,,則 B.若,,則C.若,,則 D.若,,則2.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,每次正反面出現(xiàn)的概率相同,連續(xù)拋擲5次,至少連續(xù)出現(xiàn)3次正面朝上的概率是()A. B. C. D.3.已知實(shí)數(shù),滿足約束條件,則的取值范圍是()A. B. C. D.4.設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位:kg)與身高x(單位:cm)具有線性相關(guān)關(guān)系,根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71,則下列結(jié)論中不正確的是A.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B.回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心(,)C.若該大學(xué)某女生身高增加1cm,則其體重約增加0.85kgD.若該大學(xué)某女生身高為170cm,則可斷定其體重比為58.79kg5.已知函數(shù)是奇函數(shù),且,若對(duì),恒成立,則的取值范圍是()A. B. C. D.6.根據(jù)如圖所示的程序框圖,當(dāng)輸入的值為3時(shí),輸出的值等于()A.1 B. C. D.7.已知,,,則()A. B.C. D.8.如圖,在△ABC中,點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn),將△ABM沿著AM翻折成△AB'M,且點(diǎn)B'不在平面AMC內(nèi),點(diǎn)P是線段B'C上一點(diǎn).若二面角P-AM-B'與二面角P-AM-C的平面角相等,則直線AP經(jīng)過(guò)△AB'CA.重心 B.垂心 C.內(nèi)心 D.外心9.已知命題:R,;命題:R,,則下列命題中為真命題的是()A. B. C. D.10.某三棱錐的三視圖如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為,則該三棱錐外接球的表面積為()A. B. C. D.11.近年來(lái),隨著網(wǎng)絡(luò)的普及和智能手機(jī)的更新?lián)Q代,各種方便的相繼出世,其功能也是五花八門.某大學(xué)為了調(diào)查在校大學(xué)生使用的主要用途,隨機(jī)抽取了名大學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,各主要用途與對(duì)應(yīng)人數(shù)的結(jié)果統(tǒng)計(jì)如圖所示,現(xiàn)有如下說(shuō)法:①可以估計(jì)使用主要聽(tīng)音樂(lè)的大學(xué)生人數(shù)多于主要看社區(qū)、新聞、資訊的大學(xué)生人數(shù);②可以估計(jì)不足的大學(xué)生使用主要玩游戲;③可以估計(jì)使用主要找人聊天的大學(xué)生超過(guò)總數(shù)的.其中正確的個(gè)數(shù)為()A. B. C. D.12.已知集合,,若,則的最小值為()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知雙曲線(a>0)的一條漸近線方程為,則a=_______.14.已知,則_____.15.(5分)在平面直角坐標(biāo)系中,過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線,已知直線與圓相交于兩點(diǎn),則弦的長(zhǎng)等于____________.16.如果橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一正三角形,焦點(diǎn)在x軸上,且=,那么橢圓的方程是.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(),不等式的解集為.(1)求的值;(2)若,,,且,求的最大值.18.(12分)已知數(shù)列,,數(shù)列滿足,n.(1)若,,求數(shù)列的前2n項(xiàng)和;(2)若數(shù)列為等差數(shù)列,且對(duì)任意n,恒成立.①當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時(shí),求證:數(shù)列,的公差相等;②數(shù)列能否為等比數(shù)列?若能,請(qǐng)寫(xiě)出所有滿足條件的數(shù)列;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓:的右焦點(diǎn)為(,為常數(shù)),離心率等于0.8,過(guò)焦點(diǎn)、傾斜角為的直線交橢圓于、兩點(diǎn).⑴求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;⑵若時(shí),,求實(shí)數(shù);⑶試問(wèn)的值是否與的大小無(wú)關(guān),并證明你的結(jié)論.20.(12分)在中,角所對(duì)的邊分別是,且.(1)求角的大小;(2)若,求邊長(zhǎng).21.(12分)有甲、乙兩家外賣公司,其送餐員的日工資方案如下:甲公司底薪元,送餐員每單制成元;乙公司無(wú)底薪,單以內(nèi)(含單)的部分送餐員每單抽成元,超過(guò)單的部分送餐員每單抽成元.現(xiàn)從這兩家公司各隨機(jī)選取一名送餐員,分別記錄其天的送餐單數(shù),得到如下頻數(shù)分布表:送餐單數(shù)3839404142甲公司天數(shù)101015105乙公司天數(shù)101510105(1)從記錄甲公司的天送餐單數(shù)中隨機(jī)抽取天,求這天的送餐單數(shù)都不小于單的概率;(2)假設(shè)同一公司的送餐員一天的送餐單數(shù)相同,將頻率視為概率,回答下列兩個(gè)問(wèn)題:①求乙公司送餐員日工資的分布列和數(shù)學(xué)期望;②小張打算到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員,如果僅從日工資的角度考慮,小張應(yīng)選擇哪家公司應(yīng)聘?說(shuō)明你的理由.22.(10分)已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】

利用空間位置關(guān)系的判斷及性質(zhì)定理進(jìn)行判斷.【詳解】解:選項(xiàng)A中直線,還可能相交或異面,選項(xiàng)B中,還可能異面,選項(xiàng)C,由條件可得或.故選:D.本題主要考查直線與平面平行、垂直的性質(zhì)與判定等基礎(chǔ)知識(shí);考查空間想象能力、推理論證能力,屬于基礎(chǔ)題.2.A【解析】

首先求出樣本空間樣本點(diǎn)為個(gè),再利用分類計(jì)數(shù)原理求出三個(gè)正面向上為連續(xù)的3個(gè)“1”的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù),再求出重復(fù)數(shù)量,可得事件的樣本點(diǎn)數(shù),根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】樣本空間樣本點(diǎn)為個(gè),具體分析如下:記正面向上為1,反面向上為0,三個(gè)正面向上為連續(xù)的3個(gè)“1”,有以下3種位置1____,__1__,____1.剩下2個(gè)空位可是0或1,這三種排列的所有可能分別都是,但合并計(jì)算時(shí)會(huì)有重復(fù),重復(fù)數(shù)量為,事件的樣本點(diǎn)數(shù)為:個(gè).故不同的樣本點(diǎn)數(shù)為8個(gè),.故選:A本題考查了分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理,古典概型的概率計(jì)算公式,屬于基礎(chǔ)題3.B【解析】

畫(huà)出可行域,根據(jù)可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離,求得的取值范圍.【詳解】由約束條件作出可行域是由,,三點(diǎn)所圍成的三角形及其內(nèi)部,如圖中陰影部分,而可理解為可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方,顯然原點(diǎn)到所在的直線的距離是可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值,此時(shí),點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值,此時(shí).所以的取值范圍是.故選:B本小題考查線性規(guī)劃,兩點(diǎn)間距離公式等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,數(shù)形結(jié)合思想,應(yīng)用意識(shí).4.D【解析】根據(jù)y與x的線性回歸方程為y=0.85x﹣85.71,則=0.85>0,y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系,A正確;回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心(),B正確;該大學(xué)某女生身高增加1cm,預(yù)測(cè)其體重約增加0.85kg,C正確;該大學(xué)某女生身高為170cm,預(yù)測(cè)其體重約為0.85×170﹣85.71=58.79kg,D錯(cuò)誤.故選D.5.A【解析】

先根據(jù)函數(shù)奇偶性求得,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性,利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù),所以函數(shù)是偶函數(shù).,即,又,所以,.函數(shù)的定義域?yàn)椋?,則函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù).又在上,,所以為偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增.由,可得,對(duì)恒成立,則,對(duì)恒成立,,得,所以的取值范圍是.故選:A.本題考查利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式,根據(jù)方程組法求函數(shù)解析式,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性,屬壓軸題.6.C【解析】

根據(jù)程序圖,當(dāng)x<0時(shí)結(jié)束對(duì)x的計(jì)算,可得y值.【詳解】由題x=3,x=x-2=3-1,此時(shí)x>0繼續(xù)運(yùn)行,x=1-2=-1<0,程序運(yùn)行結(jié)束,得,故選C.本題考查程序框圖,是基礎(chǔ)題.7.C【解析】

利用二倍角公式,和同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系式,化簡(jiǎn)可得,即可求得結(jié)果.【詳解】,所以,即.故選:C.本題考查三角恒等變換中二倍角公式的應(yīng)用和弦化切化簡(jiǎn)三角函數(shù),難度較易.8.A【解析】

根據(jù)題意P到兩個(gè)平面的距離相等,根據(jù)等體積法得到SΔPB'M【詳解】二面角P-AM-B'與二面角P-AM-C的平面角相等,故P到兩個(gè)平面的距離相等.故VP-AB'M=VP-ACM,即故B'P=CP,故P為CB'中點(diǎn).故選:A.本題考查了二面角,等體積法,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.9.B【解析】

根據(jù),可知命題的真假,然后對(duì)取值,可得命題的真假,最后根據(jù)真值表,可得結(jié)果.【詳解】對(duì)命題:可知,所以R,故命題為假命題命題:取,可知所以R,故命題為真命題所以為真命題故選:B本題主要考查對(duì)命題真假的判斷以及真值表的應(yīng)用,識(shí)記真值表,屬基礎(chǔ)題.10.C【解析】

作出三棱錐的實(shí)物圖,然后補(bǔ)成直四棱錐,且底面為矩形,可得知三棱錐的外接球和直四棱錐的外接球?yàn)橥粋€(gè)球,然后計(jì)算出矩形的外接圓直徑,利用公式可計(jì)算出外接球的直徑,再利用球體的表面積公式即可得出該三棱錐的外接球的表面積.【詳解】三棱錐的實(shí)物圖如下圖所示:將其補(bǔ)成直四棱錐,底面,可知四邊形為矩形,且,.矩形的外接圓直徑,且.所以,三棱錐外接球的直徑為,因此,該三棱錐的外接球的表面積為.故選:C.本題考查三棱錐外接球的表面積,解題時(shí)要結(jié)合三視圖作出三棱錐的實(shí)物圖,并分析三棱錐的結(jié)構(gòu),選擇合適的模型進(jìn)行計(jì)算,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.11.C【解析】

根據(jù)利用主要聽(tīng)音樂(lè)的人數(shù)和使用主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數(shù)作大小比較,可判斷①的正誤;計(jì)算使用主要玩游戲的大學(xué)生所占的比例,可判斷②的正誤;計(jì)算使用主要找人聊天的大學(xué)生所占的比例,可判斷③的正誤.綜合得出結(jié)論.【詳解】使用主要聽(tīng)音樂(lè)的人數(shù)為,使用主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數(shù)為,所以①正確;使用主要玩游戲的人數(shù)為,而調(diào)查的總?cè)藬?shù)為,,故超過(guò)的大學(xué)生使用主要玩游戲,所以②錯(cuò)誤;使用主要找人聊天的大學(xué)生人數(shù)為,因?yàn)?,所以③正確.故選:C.本題考查統(tǒng)計(jì)中相關(guān)命題真假的判斷,計(jì)算出相應(yīng)的頻數(shù)與頻率是關(guān)鍵,考查數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎(chǔ)題.12.B【解析】

解出,分別代入選項(xiàng)中的值進(jìn)行驗(yàn)證.【詳解】解:,.當(dāng)時(shí),,此時(shí)不成立.當(dāng)時(shí),,此時(shí)成立,符合題意.故選:B.本題考查了不等式的解法,考查了集合的關(guān)系.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.3【解析】

雙曲線的焦點(diǎn)在軸上,漸近線為,結(jié)合漸近線方程為可求.【詳解】因?yàn)殡p曲線(a>0)的漸近線為,且一條漸近線方程為,所以.故答案為:.本題主要考查雙曲線的漸近線,明確雙曲線的焦點(diǎn)位置,寫(xiě)出雙曲線的漸近線方程的對(duì)應(yīng)形式是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).14.【解析】

對(duì)原方程兩邊求導(dǎo),然后令求得表達(dá)式的值.【詳解】對(duì)等式兩邊求導(dǎo),得,令,則.本小題主要考查二項(xiàng)式展開(kāi)式,考查利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化已知條件,考查賦值法,屬于中檔題.15.【解析】

方法一:依題意,知直線的方程為,代入圓的方程化簡(jiǎn)得,解得或,從而得或,則.方法二:依題意,知直線的方程為,代入圓的方程化簡(jiǎn)得,設(shè),則,故.方法三:將圓的方程配方得,其半徑,圓心到直線的距離,則.16.【解析】

由題意可設(shè)橢圓方程為:∵短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一正三角形,焦點(diǎn)在軸上∴又,∴,∴橢圓的方程為,故答案為.考點(diǎn):橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,解三角形以及解方程組的相關(guān)知識(shí).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)(2)32【解析】

利用絕對(duì)值不等式的解法求出不等式的解集,得到關(guān)于的方程,求出的值即可;由知可得,,利用三個(gè)正數(shù)的基本不等式,構(gòu)造和是定值即可求出的最大值.【詳解】(1)∵,,所以不等式的解集為,即為不等式的解集為,∴的解集為,即不等式的解集為,化簡(jiǎn)可得,不等式的解集為,所以,即.(2)∵,∴.又∵,,,∴,當(dāng)且僅當(dāng),等號(hào)成立,即,,時(shí),等號(hào)成立,∴的最大值為32.本題主要考查含有兩個(gè)絕對(duì)值不等式的解法和三個(gè)正數(shù)的基本不等式的靈活運(yùn)用;其中利用構(gòu)造出和為定值即為定值是求解本題的關(guān)鍵;基本不等式取最值的條件:一正二定三相等是本題的易錯(cuò)點(diǎn);屬于中檔題.18.(1)(2)①見(jiàn)解析②數(shù)列不能為等比數(shù)列,見(jiàn)解析【解析】

(1)根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式的特點(diǎn),奇數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列,偶數(shù)項(xiàng)為等比數(shù)列,選用分組求和的方法進(jìn)行求解;(2)①設(shè)數(shù)列的公差為,數(shù)列的公差為,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),得出;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),得出,從而可證數(shù)列,的公差相等;②利用反證法,先假設(shè)可以為等比數(shù)列,結(jié)合題意得出矛盾,進(jìn)而得出數(shù)列不能為等比數(shù)列.【詳解】(1)因?yàn)?,,所以,且,由題意可知,數(shù)列是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,數(shù)列是首項(xiàng)和公比均為4的等比數(shù)列,所以;(2)①證明:設(shè)數(shù)列的公差為,數(shù)列的公差為,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),,若,則當(dāng)時(shí),,即,與題意不符,所以,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),,,若,則當(dāng)時(shí),,即,與題意不符,所以,綜上,,原命題得證;②假設(shè)可以為等比數(shù)列,設(shè)公比為q,因?yàn)椋?,所以,,因?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以當(dāng)n為偶數(shù),且時(shí),,即當(dāng)n為偶數(shù),且時(shí),不成立,與題意矛盾,所以數(shù)列不能為等比數(shù)列.本題主要考查數(shù)列的求和及數(shù)列的綜合,數(shù)列求和時(shí)一般是結(jié)合通項(xiàng)公式的特征選取合適的求和方法,數(shù)列綜合題要回歸基本量,充分挖掘題目已知信息,細(xì)思細(xì)算,本題綜合性較強(qiáng),難度較大,側(cè)重考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).19.(1)(2)(3)為定值【解析】試題分析:(1)利用待定系數(shù)法可得,橢圓方程為;(2)我們要知道=的條件應(yīng)用,在于直線交橢圓兩交點(diǎn)M,N的橫坐標(biāo)為,這樣代入橢圓方程,容易得到,從而解得;(3)需討論斜率是否存在.一方面斜率不存在即=時(shí),由(2)得;另一方面,當(dāng)斜率存在即時(shí),可設(shè)直線的斜率為,得直線MN:,聯(lián)立直線與橢圓方程,利用韋達(dá)定理和焦半徑公式,就能得到,所以為定值,與直線的傾斜角的大小無(wú)關(guān)試題解析:(1),得:,橢圓方程為(2)當(dāng)時(shí),,得:,于是當(dāng)=時(shí),,于是,得到(3)①當(dāng)=時(shí),由(2)知②當(dāng)時(shí),設(shè)直線的斜率為,,則直線MN:聯(lián)立橢圓方程有,,,=+==得綜上,為定值,與直線的傾斜角的大小無(wú)關(guān)考點(diǎn):(1)待定系數(shù)求橢圓方程;(2)橢圓簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì);(3)直線與圓錐曲線20.(1);(2).【解析】

(1)把代入已知條件,得到關(guān)于的方程,得到的值,從而得到的值.(2)由(1)中得到的的值和已知條件,求出,再根據(jù)正弦定理求出邊長(zhǎng).【詳解】(1)因?yàn)?,,所以,,所以,?因?yàn)?,所以,因?yàn)?,所?(2).在中,由正弦定理得,所以,解得.本題考查三角函數(shù)公式的運(yùn)用,正弦定理解三角形,屬于簡(jiǎn)單題.21.(1);(2)①分布列見(jiàn)解析,;②小張應(yīng)選擇甲公司應(yīng)聘.【解析】

(1)記抽取的3天送餐單數(shù)都不小于40為事

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