2023-2024學年北京市通州區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷【含解析】

第1頁（共1頁）2023-2024學年北京市通州區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（本題共8個小題，每小題2分，共16分）每題均有四個選項，符合題意的選項只有一個。1．（2分）下列各組中的四條線段成比例的是（）A．3cm、5cm、6cm、9cm B．3cm、5cm、8cm、9cm C．3cm、9cm、10cm、30cm D．3cm、6cm、7cm、9cm2．（2分）拋物線y＝（x﹣1）2+2的頂點坐標為（）A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（1，﹣2） D．（2，1）3．（2分）如圖所示，點D，E分別在△ABC的AB，AC邊上，且DE∥BC．如果AD：DB＝2：1，那么AE：AC等于（）A．2：1 B．2：5 C．2：3 D．3：54．（2分）將拋物線y＝2x2向下平移3個單位，得到的拋物線為（）A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3 C．y＝2（x+3）2 D．y＝2（x﹣3）25．（2分）如圖，圖1是可折疊的熨衣架的實物圖，圖2是它的側(cè)面示意圖，AD與CB相交于點O，AB∥CD，根據(jù)圖2中的數(shù)據(jù)可得x的值為（）A．0.4 B．0.8 C．1 D．1.66．（2分）如圖，已知D是△ABC的邊AC上一點，根據(jù)下列條件，不能判定△CAB∽△CBD的是（）A．∠A＝∠CBD B．∠CBA＝∠CDB C．AB?CD＝BD?BC D．BC2＝AC?CD7．（2分）若二次函數(shù)y＝x2﹣4x﹣m的圖象與x軸有公共點，那么m的取值范圍是（）A．m≥﹣4 B．m＞﹣4 C．m≤4 D．m＜48．（2分）函數(shù)y＝x2﹣4|x|﹣2的自變量x的取值范圍為全體實數(shù)，其中x≥0部分的圖象如圖所示，對于此函數(shù)有下列結(jié)論：①函數(shù)圖象關于y軸對稱；②函數(shù)既有最大值，也有最小值；③當x＜﹣2時，y隨x的增大而減??；④當﹣6＜a＜﹣2時，關于x的方程x2﹣4|x|﹣2＝a有4個實數(shù)根．其中正確的結(jié)論個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題（本題共8個小題，每小題2分，共16分）9．（2分）已知，則＝．10．（2分）請寫出一個開口向下，經(jīng)過原點的二次函數(shù)的表達式．11．（2分）兩個相似三角形的相似比為2：3，則它們的面積之比為．12．（2分）20世紀70年代初，我國著名的數(shù)學家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國大規(guī)模推廣，取得了很大成果．如圖，利用黃金分割法，所做EF將矩形窗框ABCD分為上下兩部分，其中E為邊AB的黃金分割點，BE＞AE．已知AB為2米，則線段BE的長為米．13．（2分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為x＝1，點P，點Q是拋物線與x軸的兩個交點，若點P的坐標為（﹣1，0），則點Q的坐標為．14．（2分）點（﹣2，y1），（3，y2）為拋物線y＝﹣x2+2x﹣n上兩點，則y1y2．（用“＜”或“＞”號連接）15．（2分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AB＝6，BD＝2，則CD的長為．16．（2分）如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABOC的邊OB，OC分別在x軸、y軸的正半軸上，點A的坐標為（8，6），點P在矩形ABOC的內(nèi)部，點E在BO邊上，且滿足△PBE∽△CBO，當△APC是等腰三角形時，點P的坐標為．三、解答題（本題共68分，第17-18題每題4分；第19-21題每題5分；第22-27題每題6分；第28題9分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.17．（4分）已知一條拋物線的頂點坐標為（﹣2，﹣4），且經(jīng)過點（0，4），求拋物線的表達式．18．（4分）如圖，△ABC的高AD，BE相交于點O．（1）寫出一個與△ACD相似的三角形（不添加其他線段），這個三角形是；（2）證明：19．（5分）已知拋物線y＝x2﹣2x﹣3；（1）求拋物線的頂點坐標及與坐標軸的交點坐標；（2）在平面直角坐標系xOy中畫出函數(shù)圖象．20．（5分）如圖，小明同學用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上，已知紙板的兩條直角邊DE＝40cm，EF＝20cm，測得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，求樹高AB．21．（5分）如圖，在矩形ABCD中，E是邊AB的中點，連接DE交對角線AC于點F．（1）求證：△AFE∽△CFD；（2）若AB＝4，AD＝3，求CF的長．22．（6分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣ax+b在x＝0和x＝4時的函數(shù)值相等．（1）求二次函數(shù)y＝x2﹣ax+b圖象的對稱軸；（2）過P（0，2）作x軸的平行線與二次函數(shù)y＝x2﹣ax+b的圖象交于不同的兩點M、N．當MN＝2時，求b的值．23．（6分）已知：如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一點，且AB：AC＝AE：AD．判斷BE與BD的數(shù)量關系并證明．24．（6分）跳繩是大家喜愛的一項體育運動，當繩子甩到最高處時，其形狀視為拋物線．如圖是甲，乙兩人將繩子甩到最高處時的示意圖，已知兩人拿繩子的手離地面的高度都為1m，并且相距4m，現(xiàn)以兩人的站立點所在的直線為x軸，過甲拿繩子的手作x軸的垂線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，且繩子所對應的拋物線表達式為．（1）求繩子所對應的拋物線表達式；（2）身高1.70m的小明，能否站在繩子的正下方，讓繩子通過他的頭頂？25．（6分）如圖，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，D是BC邊上的一個動點（不與B、C重合），在AC上取一點E，使∠ADE＝45°．（1）求證：△ABD∽△DCE；（2）設BD＝x，AE＝y(tǒng)，求y關于x的函數(shù)表達式，并寫出自變量x的取值范圍．26．（6分）某水果經(jīng)銷商以每公斤8元的價格購進一批葡萄，若按每公斤20元的價格銷售，平均每天可售出60公斤．結(jié)合銷售記錄發(fā)現(xiàn)，若售價每降低1元，平均每天的銷售量增加10公斤，為了盡快減少庫存，該水果商決定降價銷售．（1）若每公斤降價2元，則每天的銷售利潤為元；（2）銷售單價定為每公斤多少元時，每天銷售該品種葡萄獲得的利潤w最大？最大利潤是多少元？27．（6分）已知拋物線y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）．（1）求拋物線的頂點坐標（用含a的代數(shù)式表示）；（2）點P（a，y1），Q（3，y2）在該拋物線上，若y1＞y2，求a的取值范圍．28．（9分）定義：兩個相似三角形共邊且位于一個角的平分線兩側(cè)，則稱這樣的兩個相似三角形為疊似三角形．（1）如圖1，四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD，∠BCD+∠BAD＝180°，求證：△ACB和△ADC為疊似三角形；（2）如圖2，△ACB和△ADC為疊似三角形，若CD∥AB，AD＝4，AC＝6，求四邊形ABCD的周長；（3）如圖3，在△ABC中，D是BC上一點，連結(jié)AD，點E在AD上，且DE＝DC，F(xiàn)為AC中點，且∠BEC＝∠AEF，若BC＝9，AE＝4，求的值．

2023-2024學年北京市通州區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共8個小題，每小題2分，共16分）每題均有四個選項，符合題意的選項只有一個。1．（2分）下列各組中的四條線段成比例的是（）A．3cm、5cm、6cm、9cm B．3cm、5cm、8cm、9cm C．3cm、9cm、10cm、30cm D．3cm、6cm、7cm、9cm【分析】根據(jù)比例線段的定義和比例的性質(zhì)，利用每組數(shù)中最大和最小數(shù)的積與另兩個數(shù)之積是否相等進行判斷．【解答】解：A.3×9≠5×6，所以四條線段不成比例，故A選項不符合題意；B.3×9≠5×8，所以四條線段不成比例，故B選項不符合題意；C.3×30＝9×10，所以四條線段成比例，故C選項符合題意；D.3×9≠6×7，所以四條線段不成比例，故D選項不符合題意．故選：C．【點評】本題考查成比例線段的概念，關鍵是理解比例線段的定義，兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．2．（2分）拋物線y＝（x﹣1）2+2的頂點坐標為（）A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（1，﹣2） D．（2，1）【分析】直接根據(jù)二次函數(shù)的頂點式可得出結(jié)論．【解答】解：∵拋物線的解析式為：y＝（x﹣1）2+2，∴其頂點坐標為（1，2）．故選：B．【點評】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，熟知二次函數(shù)的頂點式是解答此題的關鍵．3．（2分）如圖所示，點D，E分別在△ABC的AB，AC邊上，且DE∥BC．如果AD：DB＝2：1，那么AE：AC等于（）A．2：1 B．2：5 C．2：3 D．3：5【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出＝＝，求出AE＝2EC，再代入AE：AC求出即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，∵AD：DB＝2：1，∴＝，∴AE＝2EC，∴AE：AC＝＝，故選：C．【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關鍵．4．（2分）將拋物線y＝2x2向下平移3個單位，得到的拋物線為（）A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3 C．y＝2（x+3）2 D．y＝2（x﹣3）2【分析】根據(jù)“左加右減，上加下減“即可得到答案．【解答】解：將拋物線y＝2x2向下平移3個單位，得到的拋物線為y＝2x2﹣3；故選：B．【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與幾何變換，解題的關鍵是掌握“左加右減，上加下減“的平移口訣．5．（2分）如圖，圖1是可折疊的熨衣架的實物圖，圖2是它的側(cè)面示意圖，AD與CB相交于點O，AB∥CD，根據(jù)圖2中的數(shù)據(jù)可得x的值為（）A．0.4 B．0.8 C．1 D．1.6【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵AB∥CD，∴△COD∽△BOA，∴，∴，∴x＝0.4，故選：A．【點評】本題考查了相似三角形的應用，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關鍵．6．（2分）如圖，已知D是△ABC的邊AC上一點，根據(jù)下列條件，不能判定△CAB∽△CBD的是（）A．∠A＝∠CBD B．∠CBA＝∠CDB C．AB?CD＝BD?BC D．BC2＝AC?CD【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理對各個選項逐一分析即可．【解答】解：∵∠C是公共角，∴再加上∠A＝∠CBD或∠CBA＝∠CDB都可以證明△CAB∽△CBD，故A，B不符合題意，C選項中的對兩邊成比例，但不是相應的夾角相等，所以選項C符合題意．∵∠C＝∠C，若再添加，即BC2＝AC?CD，可證明△CAB∽△CBD，故D不符合題意．故選：C．【點評】本題考查相似三角形的判定定理，熟練掌握相關定理是解題的關鍵．7．（2分）若二次函數(shù)y＝x2﹣4x﹣m的圖象與x軸有公共點，那么m的取值范圍是（）A．m≥﹣4 B．m＞﹣4 C．m≤4 D．m＜4【分析】根據(jù)已知得出方程x2﹣4x﹣m＝0有兩個實數(shù)根，即Δ≥0，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵函數(shù)y＝x2﹣4x﹣m的圖象與x軸有公共點，∴方程x2﹣4x﹣m＝0有兩個實數(shù)根，即Δ＝42﹣4×1×（﹣m）≥0，解得：m≥﹣4．故選：A．【點評】本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點問題和一元二次方程的根的判別式，8．（2分）函數(shù)y＝x2﹣4|x|﹣2的自變量x的取值范圍為全體實數(shù)，其中x≥0部分的圖象如圖所示，對于此函數(shù)有下列結(jié)論：①函數(shù)圖象關于y軸對稱；②函數(shù)既有最大值，也有最小值；③當x＜﹣2時，y隨x的增大而減?。虎墚敥?＜a＜﹣2時，關于x的方程x2﹣4|x|﹣2＝a有4個實數(shù)根．其中正確的結(jié)論個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)函數(shù)解析式畫出函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)圖象進行判斷，解題的關鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．【解答】解：如圖：①如圖所示：函數(shù)圖象關于y軸對稱，則正確；②如圖所示：函數(shù)沒有最大值，只有最小值，則錯誤；③如圖所示：當x＜﹣2時，y隨x的增大而減小，則正確；④如圖所示：當﹣6＜a＜﹣2時，關于x的方程x2﹣4|x|﹣2＝a有4個實數(shù)根，則正確；則正確的個數(shù)有3個，故選C．【點評】本題考查了根據(jù)函數(shù)圖象判斷函數(shù)的對稱性、增減性以及從函數(shù)的角度解決方程問題．二、填空題（本題共8個小題，每小題2分，共16分）9．（2分）已知，則＝＝．【分析】根據(jù)分比性質(zhì)，可得答案．【解答】解：由分比性質(zhì)，得＝，即＝，故答案為：＝．【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，利用了分比性質(zhì)：＝?＝．10．（2分）請寫出一個開口向下，經(jīng)過原點的二次函數(shù)的表達式y(tǒng)＝﹣x2．【分析】根據(jù)開口向下，可知a＜0，再根據(jù)經(jīng)過原點，可知c＝0，從而可以寫出一個符合要求的二次函數(shù)解析式，本題得以解決，注意本題答案不唯一．【解答】解：開口向下，經(jīng)過原點的二次函數(shù)的表達式是y＝﹣x2，故答案為：y＝﹣x2．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．11．（2分）兩個相似三角形的相似比為2：3，則它們的面積之比為4：9．【分析】直接根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進行解答即可．【解答】解：∵兩個相似三角形的相似比為2：3，∴它們的面積之比為4：9．故答案為：4：9【點評】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，即相似三角形面積的比等于相似比的平方．12．（2分）20世紀70年代初，我國著名的數(shù)學家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國大規(guī)模推廣，取得了很大成果．如圖，利用黃金分割法，所做EF將矩形窗框ABCD分為上下兩部分，其中E為邊AB的黃金分割點，BE＞AE．已知AB為2米，則線段BE的長為（﹣1）米．【分析】根據(jù)黃金分割的定義進行計算，即可解答．【解答】解：∵E為邊AB的黃金分割點，BE＞AE，AB為2米，∴BE＝AB＝×2＝（﹣1）米，故答案為：（﹣1）．【點評】本題考查了黃金分割，數(shù)學常識，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關鍵．13．（2分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為x＝1，點P，點Q是拋物線與x軸的兩個交點，若點P的坐標為（﹣1，0），則點Q的坐標為（3，0）．【分析】點P的坐標為（﹣1，0），對稱軸為x＝1，則：PQ之間的距離為2×（1+1）＝4，即可求解．【解答】解：點P的坐標為（﹣1，0），對稱軸為x＝1，則：PQ之間的距離為2×（1+1）＝4，則：點Q的橫坐標為﹣1+4＝3，故答案為：（3，0）．【點評】本題考查的是拋物線與x軸的交點，涉及到圖象上點的性質(zhì)等函數(shù)基本屬性，本題是一道基本題．14．（2分）點（﹣2，y1），（3，y2）為拋物線y＝﹣x2+2x﹣n上兩點，則y1＜y2．（用“＜”或“＞”號連接）【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性將點化在對稱軸的同一側(cè)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)比較即可得到答案．【解答】解：由題意可得，拋物線y＝﹣x2+2x﹣n的對稱軸為：直線，∴（﹣2，y1）的對稱點為：（4，y1），∵﹣1＜0，1＜3＜4，∴y1＜y2，故答案為：＜．【點評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．15．（2分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AB＝6，BD＝2，則CD的長為2．【分析】根據(jù)射影定理計算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，由射影定理得：CD2＝AD?BD，∵AB＝6，BD＝2，∴AD＝6﹣2＝4，∴CD2＝4×2＝8，∴CD＝2，故答案為：2．【點評】本題考查的是射影定理，直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項．16．（2分）如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABOC的邊OB，OC分別在x軸、y軸的正半軸上，點A的坐標為（8，6），點P在矩形ABOC的內(nèi)部，點E在BO邊上，且滿足△PBE∽△CBO，當△APC是等腰三角形時，點P的坐標為（，）或（4，3）．【分析】由題意得出P點在AC的垂直平分線上或在以點C為圓心AC為半徑的圓弧上，由此分兩種情形分別求解，可得結(jié)論．【解答】解：∵點P在矩形ABOC的內(nèi)部，且△APC是等腰三角形，∴P點在AC的垂直平分線上或在以點C為圓心AC為半徑的圓弧上；①當P點在AC的垂直平分線上時，點P同時在BC上，AC的垂直平分線與BO的交點即是E，如圖1所示：∵PE⊥BO，CO⊥BO，∴PE∥CO，∴△PBE∽△CBO，∵四邊形ABOC是矩形，A點的坐標為（8，6），∴點P橫坐標為4，OC＝6，BO＝8，BE＝4，∵△PBE∽△CBO，∴＝，即＝，解得：PE＝3，∴點P（4，3）；②P點在以點C為圓心AC為半徑的圓弧上，圓弧與BC的交點為P，過點P作PE⊥BO于E，如圖2所示：∵CO⊥BO，∴PE∥CO，∴△PBE∽△CBO，∵四邊形ABOC是矩形，A點的坐標為（8，6），∴AC＝BO＝8，CP＝8，AB＝OC＝6，∴BC＝＝＝10，∴BP＝2，∵△PBE∽△CBO，∴＝＝，即：＝＝，解得：PE＝，BE＝，∴OE＝8﹣＝，∴點P（，）；綜上所述：點P的坐標為：（，）或（4，3）；故答案為：（，）或（4，3）．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、坐標與圖形的性質(zhì)、平行線的判定、勾股定理、分類討論等知識，熟練掌握相似三角形與等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．三、解答題（本題共68分，第17-18題每題4分；第19-21題每題5分；第22-27題每題6分；第28題9分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.17．（4分）已知一條拋物線的頂點坐標為（﹣2，﹣4），且經(jīng)過點（0，4），求拋物線的表達式．【分析】根據(jù)頂點坐標設拋物線解析式為y＝a（x+2）2﹣4，代入已知點坐標計算即可．【解答】解：∵拋物線的頂點坐標為（﹣2，﹣4），∴設拋物線表達式為y＝a（x+2）2﹣4，∵拋物線經(jīng)過點（0，4），∴將（0，4）代入y＝a（x+2）2﹣4，得：4a﹣4＝4，∴a＝2，∴y＝2（x+2）2﹣4．【點評】本題考查二次函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是掌握相關知識的靈活運用．18．（4分）如圖，△ABC的高AD，BE相交于點O．（1）寫出一個與△ACD相似的三角形（不添加其他線段），這個三角形是△AOE或△BOD或△BCE；（2）證明：【分析】（1）根據(jù)兩個角相等，兩個三角形相似，可證明與△ACD相似的三角形有△BOD或△CBE或△AOE；（2）證明過程同（1）．【解答】（1）解：∵∠AEO＝∠ADC＝90°，∠DAC＝∠OAE，∴△AOE∽△ACD，∴∠AOE＝∠C，∵∠AOE＝∠BOD，∴△BOD∽△ACD；∵∠AEO＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，∴△CBE∽△ACD，∴與△ACD相似的三角形為△AOE或△BOD或△BCE，故答案為：△AOE或△BOD或△BCE；（2）證明：∵∠AEO＝∠ADC＝90°，∠DAC＝∠OAE，∴△AOE∽△ACD，∴∠AOE＝∠C，∵∠AOE＝∠BOD，∴△BOD∽△ACD；∵∠AEO＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，∴△CBE∽△ACD．【點評】本題主要考查了相似三角形的判定，熟練掌握兩個角相等的兩個三角形相似是解題的關鍵．19．（5分）已知拋物線y＝x2﹣2x﹣3；（1）求拋物線的頂點坐標及與坐標軸的交點坐標；（2）在平面直角坐標系xOy中畫出函數(shù)圖象．【分析】（1）由y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，得到拋物線的頂點坐標為（1，﹣4），令x＝0，則y＝﹣3，得到拋物線與y軸交點坐標，令y＝0，求出拋物線與x軸交點，即可求解；（2）取點描點連線畫圖即可．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3，∴y＝（x﹣1）2﹣4，∴拋物線的頂點坐標為（1，﹣4），令x＝0，則y＝﹣3，拋物線與y軸交點為（0，﹣3），令y＝0，則x1＝3．x2＝﹣1，拋物線與x軸交點為（3，0）和（﹣1，0）；（2）當x＝2時，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，即拋物線過點（2，﹣3），根據(jù)（1）中的數(shù)據(jù)畫出函數(shù)圖象如下：【點評】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關鍵．20．（5分）如圖，小明同學用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上，已知紙板的兩條直角邊DE＝40cm，EF＝20cm，測得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，求樹高AB．【分析】先判定△DEF和△DBC相似，然后根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求出BC的長，再加上AC即可得解．【解答】解：在△DEF和△DBC中，，∴△DEF∽△DBC，∴＝，即＝，解得BC＝4，∵AC＝1.5m，∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5m，即樹高5.5m．【點評】本題考查了相似三角形的應用，主要利用了相似三角形對應邊成比例的性質(zhì)，比較簡單，判定出△DEF和△DBC相似是解題的關鍵．21．（5分）如圖，在矩形ABCD中，E是邊AB的中點，連接DE交對角線AC于點F．（1）求證：△AFE∽△CFD；（2）若AB＝4，AD＝3，求CF的長．【分析】（1）根據(jù)矩形對邊平行，有AE∥DC，可知△AFE∽△CFD；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，再利用已知線段的長代入即可求出CF的長．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AE∥DC，∴∠FAE＝∠FCD，∠FEA＝∠FDC，∴△AFE∽△CFD，故△AFE∽△CFD得證．（2）解：由（1）知△AFE∽△CFD，∴，而E是邊AB的中點，且AB＝4，AD＝3，∴AE＝2，AC＝5，∴＝＝，而AC＝5，∴AF＝，CF＝，故CF的長為．【點評】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)對應邊成比例即可利用已知線段求出未知線段的長度．22．（6分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣ax+b在x＝0和x＝4時的函數(shù)值相等．（1）求二次函數(shù)y＝x2﹣ax+b圖象的對稱軸；（2）過P（0，2）作x軸的平行線與二次函數(shù)y＝x2﹣ax+b的圖象交于不同的兩點M、N．當MN＝2時，求b的值．【分析】（1）根據(jù)對稱軸為對稱點橫坐標和的一半計算即可．（2）設M（x1，2），N（x2，2），根據(jù)對稱軸為直線x＝2，MN＝2，得到，求得值后，利用對稱軸和點的坐標計算即可；【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝x2﹣ax+b在x＝0和x＝4時函數(shù)值相等，∴對稱軸為直線x＝2．（2）∵過P（0，2）作x軸的平行線與二次函數(shù)y＝x2﹣ax+b的圖象交于不同的兩點M、N，設點M在點N的左側(cè)，設M（x1，2），N（x2，2），∵對稱軸為直線x＝2，MN＝2，∴，解得，∴點M的坐標為（1，2），點N的坐標為（3，2）∴，1﹣a+b＝2，∴a＝4，b＝5．【點評】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關鍵．23．（6分）已知：如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一點，且AB：AC＝AE：AD．判斷BE與BD的數(shù)量關系并證明．【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法，利用∠CAD＝∠DAB和AB：AC＝AE：AD可判斷△EAB∽△DAC，則∠AEB＝∠ADC，根據(jù)等角的補角相等得到∠BED＝∠BDE，從而可判斷BE＝BD．【解答】解：BE＝BD．理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠DAB，∵AB：AC＝AE：AD，∴△EAB∽△DAC，∴∠AEB＝∠ADC，∴∠BED＝∠BDE，∴BE＝BD．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形，靈活運用相似三角形的性質(zhì)表示線段之間的關系；也考查了等腰三角形的判定．24．（6分）跳繩是大家喜愛的一項體育運動，當繩子甩到最高處時，其形狀視為拋物線．如圖是甲，乙兩人將繩子甩到最高處時的示意圖，已知兩人拿繩子的手離地面的高度都為1m，并且相距4m，現(xiàn)以兩人的站立點所在的直線為x軸，過甲拿繩子的手作x軸的垂線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，且繩子所對應的拋物線表達式為．（1）求繩子所對應的拋物線表達式；（2）身高1.70m的小明，能否站在繩子的正下方，讓繩子通過他的頭頂？【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求解；（2）先將函數(shù)關系式化為頂點式，求出函數(shù)的最值，再與小明的身高作比較，即可作答．【解答】解：（1）根據(jù)題意，拋物線經(jīng)過點（0，1），（4，1）．∴，解得，∴繩子所對應的拋物線表達式為：；（2）身高1.70m的小明，不能站在繩子的正下方讓繩子通過他的頭頂．理由如下：∵，∴當x＝2時，，∵，∴繩子能碰到小明，小明不能站在繩子的正下方讓繩子通過他的頭頂．【點評】本題考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)最值求法是解答本題的關鍵．25．（6分）如圖，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，D是BC邊上的一個動點（不與B、C重合），在AC上取一點E，使∠ADE＝45°．（1）求證：△ABD∽△DCE；（2）設BD＝x，AE＝y(tǒng)，求y關于x的函數(shù)表達式，并寫出自變量x的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C＝45°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠BAD＝∠EAC，根據(jù)相似三角形的判定定理證明結(jié)論；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，代入計算得到y(tǒng)關于x的函數(shù)關系式．【解答】（1）證明：∵等腰三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∴∠B＝∠C＝45°，，∵∠ADE＝45°，∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠EDC，∴∠BAD＝∠EDC，∴△ABD∽△DCE；（2）解：∵△ABD∽△DCE，∴，∵BD＝x，AE＝y(tǒng)，∴，∴．【點評】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關鍵．26．（6分）某水果經(jīng)銷商以每公斤8元的價格購進一批葡萄，若按每公斤20元的價格銷售，平均每天可售出60公斤．結(jié)合銷售記錄發(fā)現(xiàn)，若售價每降低1元，平均每天的銷售量增加10公斤，為了盡快減少庫存，該水果商決定降價銷售．（1）若每公斤降價2元，則每天的銷售利潤為800元；（2）銷售單價定為每公斤多少元時，每天銷售該品種葡萄獲得的利潤w最大？最大利潤是多少元？【分析】（1）本題考查二次函數(shù)解決銷售理論問題，解題的關鍵是找到等量關系式，根據(jù)利潤＝利潤單價×數(shù)量即可得到答案；（2）本題考查二次函數(shù)解決銷售理論問題，解題的關鍵是找到等量關系式，根據(jù)利潤＝利潤單價×數(shù)量寫出函數(shù)關系式，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)即可得到答案．【解答】解：（1）由題意得每天的銷售利潤為：（20﹣2﹣8）（60+2×10）＝800（元），故答案為：800；（2）設銷售單價定為每公斤x元，由題意得，w＝（x﹣8）[60+（20﹣x）×10]＝﹣10x2+340x﹣2080＝﹣10（x﹣17）2+810，∵﹣10＜0，∴當x＝17時w最大，wmax＝810（元），答：銷售單價定為每公斤17元時，每天銷售該品種葡萄獲得的利潤最大，最大利潤是810元．【點評】本題考查二次函數(shù)的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．27．（6分）已知拋物線y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）．（1）求拋物線的頂點坐標（用含a的代數(shù)式表示）；（2）點P（a，y1），Q（3，y2）在該拋物線上，若y1＞y2，求a的取值范圍．【分析】（1）把拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式即可求解；（2）分類討論：當a＞0時，拋物線開口向上時，當a＜0時，拋物線開口向下時，根據(jù)點P、Q在對稱軸異側(cè)或同側(cè)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解即可．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2﹣2ax+3（a≠0），∴y＝a（x﹣1）2+3﹣a，∴拋物線的頂點坐標為（1，3﹣a）．（2）當a＞0時，拋物線開口向