2024年高考數(shù)學真題分類匯編五 數(shù)列

年高考數(shù)學真題分類匯編五數(shù)列一、選擇題1．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S9＝1，a3+a7＝（）A．﹣2 B．73 C．1 D．2．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若S5＝S10，a5＝1，則a1＝（）A．﹣2 B．73 C．1 3．已知函數(shù)為f（x）的定義域為R，f（x）＞f（x﹣1）+f（x﹣2），且當x＜3時，f（x）＝x，則下列結論中一定正確的是（）A．f（10）＞100 B．f（20）＞1000C．f（10）＜1000 D．f（20）＜10000二、填空題4．數(shù)列{an}，an＝n+c，S7＜0，c的取值范圍為．5．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a6．已知三個圓柱的體積為公比為10的等比數(shù)列．第一個圓柱的直徑為65mm，第二、三個圓柱的直徑為325mm，第三個圓柱的高為230mm，求前兩個圓柱的高度分別為．7．等比數(shù)列{an}首項a1>0，q>1，記ln={x?y∣x,y∈[a8．已知M={k|ak=bk}①{an}，{bn}均為等差數(shù)列，則M中最多一個元素；②{an}，{bn}均為等比數(shù)列，則M中最多三個元素；③{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，則M中最多三個元素；④{an}單調遞增，{bn}單調遞減，則M中最多一個元素三、解答題9．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且2Sn＝3an+1﹣3．（1）求{an}的通項公式；（2）求數(shù)列{Sn}的通項公式．10．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且4Sn＝3an+4．（1）求{an}的通項公式；（2）設bn=(?1)n?1nan11．已知數(shù)列{an}是公比大于0的等比數(shù)列.其前n項和為S（1）求數(shù)列{an}前n（2）設bn=k(i)當n=ak+1時，求證：(ii)求i=1S12．若f(x)=lo（1）y=f(x)過(（2）存在x使得f(x+1)、f(ax13．已知雙曲線C:x2?y2=m(m>0)，點P1(5,4)在C上，k為常數(shù)，0<k<1．按照如下方式依次構造點Pn(n=2（1）若k=12，求（2）證明：數(shù)列{xn?（3）設Sn為△Pn14．設m為正整數(shù)，數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項ai和aj（i＜j）后剩余的4m項可被平均分為m組，且每組的4個數(shù)都能構成等差數(shù)列，則稱數(shù)列a1，a2…，a4m+2是（i，j）——可分數(shù)列．（1）寫出所有的（i，j），1≤i＜j≤6，使數(shù)列a1，a2，…，a6是（i，j）——可分數(shù)列；（2）當m≥3時，證明：數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是（2，13）——可分數(shù)列；（3）從1，2，…，4m+2中一次任取兩個數(shù)i和j（i＜j），記數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）——可分數(shù)列的概率為Pm，證明：Pm＞1815．設集合M={（i，j，s，t）|i∈{1，2}，j∈{3，4}，s∈{5，6}，t∈{7，8}，2|（i+j+s+t）}．對于給定有窮數(shù)列A：{an}（1≤n≤8），及序列Ω：ω1，ω2，…，ωs，ωk=（ik，jk，sk，tk）∈M，定義變換T：將數(shù)列A的第i1，j1，s1，t1項加1，得到數(shù)列T1（A）；將數(shù)列T1（A）的第i2，j2，s2，t2項加1，得到數(shù)列T2T1（A）…；重復上述操作，得到數(shù)列Ts?T2T1（A），記為Ω（A）．（1）給定數(shù)列A：1，3，2，4，6，3，1，9和序列Ω：（1，3，5，7），（2，4，6，8），（1，3，5，7），寫出Ω（A）；（2）是否存在序列Ω，使得Ω（A）為a1+2，a2+6，a3+4，a4+2，a5+8，a6+2，a+4，a8+4，若存在，寫出一個符合條件的Ω；若不存在，請說明理由；（3）若數(shù)列A的各項均為正整數(shù)，且a1+a3+a5+a7為偶數(shù)，證明：“存在序列Ω，使得Ω（A）為常數(shù)列”的充要條件為“a1+a2=a3+a4=a5+a6=a7+a8”．

答案解析部分1．【答案】D2．【答案】B3．【答案】B4．【答案】（﹣∞，﹣4）5．【答案】956．【答案】11527．【答案】[28．【答案】①③④9．【答案】（1）解：由2Sn＝3an+1﹣3，

當n≥2，2Sn?1=3an?3，

兩式相減得：2an=3an+1?3an，

所以5an=3an+1，所以an+1an=53

（2）解：由（1）可得：等比數(shù)列{an}的公比為q=53，首項a1=1，

10．【答案】（1）解：當n=1時，4S1=4當n≥2時，4Sn?1=3an?1而a1=4≠0，故an∴數(shù)列{an}所以an????（2）解：bn所以T故3所以?2=4+4?=(∴T?????11．【答案】（1）解：設等比數(shù)列{an}的公比為q>0，因為a1=1，即q2?q?2=0，解得q=2，故（2）證明：（i）由（1）可知數(shù)列{an}當n=ak+1=2k可知akbn?1可得bn?1?a所以bn?1（ii）由（1）可知：Sn若n=1，則S1若n≥2，則ak+1當2k?1<i≤2k?1i=2所以i=1b當n=1時，符合上式，綜上所述：i=1b12．【答案】（1）解：因為函數(shù)f(x)=logax的圖象過(4,又因為函數(shù)f(x)=log2x在(0,+∞)上單調遞增，則f(2x?2)<f(x)故f(2x?2)<f(x)的解集為{x|（2）解：因為存在x使得f(x+1)、f(ax)、f(x+2)成等差數(shù)列，所以2f(ax)=f(x+1)+f(x+2)有解，

即2lo因為a>0,a≠1，故x>0，所以a2則a2=x令t=1x∈(0,+∞)，因為y=2(t+34)13．【答案】（1）解：因為點P1(5,4)在雙曲線C:當k=12時，過P1(5,4)且斜率為12解得x=?3或x=5，所以該直線與C的不同于P1的交點為Q1(?3故P2(3,0)，（2）證明：由題可知，過Pn(xn,yn)且斜率為k的直線為y=k(x?xn)+yn，聯(lián)立直線y=k(x?由根據(jù)韋達定理可得另一根x=2k(yn所以該直線與C的另一個交點為Qn(2kxn+1=x所以x=x再由x12?y12=9（3）證明：由（2）可得xn+1=x故xn+1由于x12?y12=9所以對任意的正整數(shù)m，都有x=====9則xn+2yxn+1y①②兩式相減可得(x化簡整理得xn+2故(y因為PnPn+3所以PnPn+3和Pn+1P14．【答案】（1）解：等差數(shù)列a1，a2，…，a6刪去兩項后，余下4項成等差數(shù)列，此時剩下的數(shù)列若想構成數(shù)列，必然是公差為d的數(shù)列，

即可能的情況為a1，a2，a3，a4或a2，a3，a4，a5，或a3，a4，a5，a6，

故刪去的兩項（i，j）可以為（5，6），（1，6），（1，2）（2）證明：依題意得，數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是（2，13）——可分數(shù)列，

即a1，a3，a4，…，a10，a11，a13，a14，a4m+2，易分析連續(xù)的四項為等差數(shù)列，

即a14，a15，，a4m+2，后共有(4m-12)連續(xù)項，此時必然構成等差數(shù)列，

即證得a1，a3，a4，…，a10，a11，a13，a14，為等差數(shù)列，則數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是（2，13）——可分數(shù)列，

通過分析可知，可以按照a1，a4，a7，a10，a3，a6，a9，a（3）證明：按如下兩種方式進行選取（i，j），1≤i＜j≤4m+2，且i，j∈Z?，

①原數(shù)列除去ai，aj外，所有連續(xù)的部分為4的倍數(shù)，此時數(shù)列分組的公差為d.

1)當j-i=1時，即（i，j）為（1，2），（5，6），（4m+1，4m+2），共(m＋1)種；

2)當i=1時，j=4k＋2，即（i，j）為（1，6），（1，10），（1，4m+2），k=1，2，3，.…，m，共m種；

3)當i=5時，j=4k＋6，即（i，j）為（5，10），（5，14），（5，4m+2），k=1，2，3，.…，(m-1)，共m種；

4)當i=4m-3時，j=4m+2，即（4m-3，4m+2），共1種；

綜上，共有(m+2)(m+1)2種可能情況，

②連續(xù)(4t＋2)(t∈Z?)項刪去其中第2項和倒數(shù)第2項，余下的部分保證其連續(xù)部分為4的倍數(shù).此時，除去這(4t＋2)項，余下的項每4項依次構成一組，則每組均為等差數(shù)列.

下面先證明，連續(xù)(4t＋2)(k∈N*)項刪去其中第2項和倒數(shù)第2項后，這4t項可完成一個劃分.

設b1,b2,b3,b4t+2是數(shù)列a1,a2,a3,a4m+2中的連續(xù)(4t＋2)項，可按如下方式完成劃分：

b1,bt+1,b2t+1,b3t+1,，b2,bt+115．【答案】（1）解：因為數(shù)列A:由序列(1,3,由序列(2,4,由序列(1,3,所以Ω(A):（2）解：不存在，理由如下：

由題意可知：對于任意序列，所對數(shù)列之和比原數(shù)列之和多4，假設存在符合條件的Ω，且Ω(A):因為2+6+4+2+8+2+4+44=8，即序列由題意可知：(b檢驗可知：當n=2,即假設不成立，所以不存在符合條件的Ω；（3）解：因為數(shù)列A:由序列T1(1,由序列T2(2,由序列T3(1,所以Ω(A):由題意可知：對于任意序列，所對數(shù)列之和比原數(shù)列之和多4，假設存在符合條件的Ω，且Ω(A):因為2+6+4+2+8+2+4+44=8，即序列由題意可知：(b檢驗可知：當n=2,即假設不成立，所以不存在符合條件的Ω；由題意可知：Ω中序列的順序不影響Ω(A)的結果，且(a（ⅰ）若a1不妨設a1≤a①當a1=a分別執(zhí)行a1個序列(2,4,6可得a1②當a1,a3,即a1分別執(zhí)行a2個序列(1,3,可得a1即a1因為a1+a可知a1,a分別執(zhí)行a7?a12個序列(1,3可得3a為常數(shù)列，符合題意；③若a1=a3<分別執(zhí)行a5個(1,3,6可