2024秋新教材高中數(shù)學(xué)階段驗(yàn)收評(píng)價(jià)三函數(shù)的概念與性質(zhì)新人教A版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE6階段驗(yàn)收評(píng)價(jià)（三）函數(shù)的概念與性質(zhì)(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)1．函數(shù)f(x)＝eq\f(\r(x－1),x－2)的定義域?yàn)?)A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)C．[1,2) D．[1,2)∪(2，＋∞)解析：選D依據(jù)題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x－2≠0，))解得x≥1且x≠2.2．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2，0≤x≤1，,2，1＜x＜2，,3，x≥2))的值域是()A．R B．[0，＋∞)C．[0,3] D．[0,2]∪{3}解析：選D當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝2x2∈[0,2]，所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0,2]∪{2,3}＝[0,2]∪{3}．3．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是()A．y＝|x| B．y＝3－xC．y＝eq\f(1,x) D．y＝－x2＋4解析：選AB中函數(shù)非奇非偶，C中函數(shù)是奇函數(shù)，均不符合題意，A、D中函數(shù)均為偶函數(shù)，A中函數(shù)在(0，＋∞)上遞增，D中函數(shù)在(0，＋∞)上遞減，因此A中函數(shù)符合題意，故選A.4．已知冪函數(shù)f(x)＝xn，n∈{－2，－1,1,3}的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則下列選項(xiàng)正確的是()A．f(－2)>f(1) B．f(－2)<f(1)C．f(2)＝f(1) D．f(－2)>f(－1)解析：選B由冪函數(shù)f(x)＝xn的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可知f(x)＝xn為偶函數(shù)，所以n＝－2，即f(x)＝x－2，則有f(－2)＝f(2)＝eq\f(1,4)，f(－1)＝f(1)＝1，所以f(－2)<f(1)，故選B.5．已知函數(shù)f(x)是定義在[2，＋∞)的單調(diào)遞增函數(shù)，若f(2a2－5a＋4)＜f(a2＋a＋4)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪(2，＋∞) B．[2,6)C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[2,6) D．(0,6)解析：選C函數(shù)f(x)是定義在[2，＋∞)的單調(diào)遞增函數(shù)，若f(2a2－5a＋4)＜f(a2＋a＋4)，則2≤2a2－5a＋4＜a2＋a＋4，解得0＜a≤eq\f(1,2)或2≤a＜6，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[2,6)．6.已知函數(shù)f(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式xf(x)<0的解集是()A．(－2，－1)∪(1,2)B．(－2，－1)∪(0,1)∪(2，＋∞)C．(－∞，－2)∪(－1,0)∪(1,2)D．(－∞，－2)∪(－1,0)∪(0,1)∪(2，＋∞)解析：選D當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0由圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴x∈(0,1)∪(2，＋∞)；當(dāng)x<0時(shí)，f(x)>0，∴x∈(－∞，－2)∪(－1,0)．∴選D.7．若f(x)和g(x)都是奇函數(shù)，且F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，則在(－∞，0)上，F(xiàn)(x)有()A．最小值－8 B．最大值－8C．最小值－6 D．最小值－4解析：選D∵f(x)和g(x)都是奇函數(shù)，∴f(x)＋g(x)也是奇函數(shù)．又F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，∴f(x)＋g(x)在(0，＋∞)上有最大值6，∴f(x)＋g(x)在(－∞，0)上有最小值－6，∴F(x)在(－∞，0)上有最小值－4.8．二次函數(shù)f(x)＝ax2＋2a是區(qū)間[－a，a2]上的偶函數(shù)，又g(x)＝f(x－1)，則g(0)，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，g(3)的大小關(guān)系為()A．geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<g(0)<g(3) B．g(0)<geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<g(3)C．geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<g(3)<g(0) D．g(3)<geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<g(0)解析：選A由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,－a＝－a2，))解得a＝1，所以f(x)＝x2＋2，所以g(x)＝f(x－1)＝(x－1)2＋2.因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，所以g(0)＝g(2)．又因?yàn)楹瘮?shù)g(x)＝(x－1)2＋2在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<g(2)<g(3)，所以geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<g(0)<g(3)．二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)9．若函數(shù)y＝x2－4x－4的定義域?yàn)閇0，m]，值域?yàn)閇－8，－4]，則實(shí)數(shù)m的值可能為()A．2 B．3C．4 D．5解析：選ABC函數(shù)y＝x2－4x－4的對(duì)稱軸方程為x＝2，當(dāng)0≤m≤2時(shí)，函數(shù)在[0，m]上單調(diào)遞減，x＝0時(shí)取最大值－4，x＝m時(shí)有最小值m2－4m－4＝－8，解得m＝2.則當(dāng)m＞2時(shí)，最小值為－8，而f(0)＝－4，由對(duì)稱性可知，m≤4.∴實(shí)數(shù)m的值可能為2,3,4.10．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x－x2，則下列說(shuō)法正確的是()A．f(x)的最大值為eq\f(1,4)B．f(x)在(－1,0)上單調(diào)遞增C．f(x)＞0的解集為(－1,1)D．f(x)＋2x≥0的解集為[0,3]解析：選AD當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x－x2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(1,4)，∴f(x)的最大值為eq\f(1,4)，A正確；f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))上單調(diào)遞減，B錯(cuò)誤；f(x)＞0的解集為(－1,0)∪(0,1)，C錯(cuò)誤；當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＋2x＝3x－x2≥0的解集為[0,3]，當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＋2x＝x－x2≥0無(wú)解，故D正確．11．下列說(shuō)法正確的是()A．函數(shù)f(x)的值域是[－2,2]，則函數(shù)f(x＋1)的值域?yàn)閇－3,1]B．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)有多數(shù)個(gè)C．若A∪B＝B，則A∩B＝AD．函數(shù)f(x)的定義域是[－2,2]，則函數(shù)f(x＋1)的定義域?yàn)閇－3,1]解析：選BCD由f(x)與f(x＋1)的值域相同知，A錯(cuò)誤；設(shè)f(x)＝0，且x∈D，D是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間，則f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，由于D有多數(shù)個(gè)，故f(x)有多數(shù)個(gè)，B正確；由A∪B＝B得，A?B，從而A∩B＝A，C正確；由－2≤x＋1≤2得－3≤x≤1，D正確．故選B、C、D.12．狄利克雷是德國(guó)聞名數(shù)學(xué)家，函數(shù)D(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x為有理數(shù)，,0，x為無(wú)理數(shù)))被稱為狄利克雷函數(shù)，下面給出關(guān)于狄利克雷函數(shù)D(x)的結(jié)論中正確的是()A．若x是無(wú)理數(shù)，則D(D(x))＝0B．函數(shù)D(x)的值域是[0,1]C．D(－x)＝D(x)D．若T≠0且T為有理數(shù)，則D(x＋T)＝D(x)對(duì)隨意的x∈R恒成立解析：選CD對(duì)于A，∵當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，D(x)＝1；當(dāng)x為無(wú)理數(shù)時(shí)，D(x)＝0，∴當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，D(D(x))＝D(1)＝1；當(dāng)x為無(wú)理數(shù)時(shí)，D(D(x))＝D(0)＝1，即不管x是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)，均有D(D(x))＝1，故A不正確；對(duì)于B，函數(shù)D(x)的值域?yàn)閧0,1}不是[0,1]，故B不正確；對(duì)于C，∵有理數(shù)的相反數(shù)還是有理數(shù)，無(wú)理數(shù)的相反數(shù)還是無(wú)理數(shù)，∴對(duì)隨意x∈R，都有D(－x)＝D(x)，故C正確；對(duì)于D，若x是有理數(shù)，則x＋T也是有理數(shù)；若x是無(wú)理數(shù)，則x＋T也是無(wú)理數(shù)，∴依據(jù)函數(shù)的表達(dá)式，任取一個(gè)不為零的有理數(shù)T，D(x＋T)＝D(x)對(duì)隨意的x∈R恒成立，故D正確．三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13．若函數(shù)f(x)＝x2＋2bx－3a＋1為定義在[2a－10,3a]上的偶函數(shù)，則aa＋b＝________.解析：依據(jù)題意，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇2a－10,3a]，則2a－10＋3a＝0，解得a＝2，所以f(x)＝x2＋2bx－5，是二次函數(shù)，其對(duì)稱軸x＝－b，必有x＝－b＝0，即b＝0，則aa＋b＝22＋0＝4.答案：414．若函數(shù)g(x)＝f(2x)－x2是奇函數(shù)，且f(1)＝2，則f(－1)＝________.解析：依據(jù)題意，函數(shù)g(x)＝f(2x)－x2，則geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝f(1)－eq\f(1,4)，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝f(－1)－eq\f(1,4)，函數(shù)g(x)＝f(2x)－x2是奇函數(shù)，則有g(shù)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f1－\f(1,4)))＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f－1－\f(1,4)))＝f(1)＋f(－1)－eq\f(1,2)＝0，又由f(1)＝2，則f(－1)＝－eq\f(3,2).答案：－eq\f(3,2)15．已知汽車剎車距離y(米)與行駛速度的平方v2(v的單位：千米/時(shí))成正比，當(dāng)汽車行駛速度為60千米/時(shí)時(shí)，剎車距離為20米，若某人駕駛汽車的速度為90千米/時(shí)，則剎車距離為_(kāi)_______米．解析：由汽車剎車距離y(米)與行駛速度的平方v2(v的單位：千米/時(shí))成正比，可設(shè)y＝kv2(k≠0)，當(dāng)汽車行駛速度為60千米/時(shí)時(shí)，剎車距離為20米，∴20＝3600k，解得k＝eq\f(1,180)，∴y＝eq\f(1,180)v2，當(dāng)v＝90千米/時(shí)時(shí)，y＝eq\f(1,180)×902＝45米，故答案為45.答案：4516．已知函數(shù)f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.設(shè)H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的較大值，min{p，q}表示p，q中的較小值)．記H1(x)的最小值為A，H2(x)的最大值為B，則A－B＝________.解析：f(x)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(a＋2，－4a－4)，g(x)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(a－2，－4a＋12)，并且f(x)與g(x)的圖象的頂點(diǎn)都在對(duì)方的圖象上，如圖所示，所以A－B＝－4a－4－(－4a＋12)＝－16.答案：－16四、解答題(本大題共6小題，共70分)17．(10分)推斷函數(shù)f(x)＝eq\f(ax,x2－1)(a≠0)在區(qū)間(－1,1)上的單調(diào)性．解：設(shè)?x1，x2∈(－1,1)，且x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(ax1,x\o\al(2,1)－1)－eq\f(ax2,x\o\al(2,2)－1)＝eq\f(ax1x2＋1x2－x1,x\o\al(2,1)－1x\o\al(2,2)－1).∵xeq\o\al(2,1)－1<0，xeq\o\al(2,2)－1<0，x1x2＋1>0，x2－x1>0，∴eq\f(x1x2＋1x2－x1,x\o\al(2,1)－1x\o\al(2,2)－1)>0.∴當(dāng)a>0時(shí)，f(x1)－f(x2)>0，函數(shù)y＝f(x)在(－1,1)上是減函數(shù)；當(dāng)a<0時(shí)，f(x1)－f(x2)<0，函數(shù)y＝f(x)在(－1,1)上是增函數(shù)．18．(12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b為實(shí)數(shù))，F(xiàn)(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，x＞0，,－fx，x＜0，))(1)若F(－1)＝0且對(duì)隨意實(shí)數(shù)x均有f(x)≥0成立，求F(x)的表達(dá)式；(2)在(1)的條件下，當(dāng)x∈[－2,2]時(shí)，g(x)＝f(x)－kx是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．解：(1)由已知可知：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(F－1＝－a－b＋1＝0，,a＞0，,b2－4a≤0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2，))則F(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x＋1，x＞0，,－x2－2x－1，x＜0.))(2)由(1)可知f(x)＝x2＋2x＋1，所以g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1，則g(x)的對(duì)稱軸為x＝eq\f(k－2,2).由于g(x)在[－2,2]上是單調(diào)函數(shù)，故eq\f(k－2,2)≤－2或eq\f(k－2,2)≥2，即k≤－2或k≥6.所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．19．(12分)已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝1，點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P沿矩形ABCD的邊從B逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)到A.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)的路程為x時(shí)，記點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡與線段OP，OB圍成的圖形面積為f(x)．(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)＝2，求x的值．解：(1)當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝eq\f(1,2)·OB·x＝x；當(dāng)x∈(1,5]時(shí)，f(x)＝eq\f(2＋x－1×1,2)＝eq\f(1,2)(x＋1)；當(dāng)x∈(5,6]時(shí)，f(x)＝4×1－eq\f(1,2)×2×(6－x)＝x－2.所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，0≤x≤1，,\f(1,2)x＋1，1＜x≤5，,x－2，5＜x≤6.))(2)若f(x)＝2，明顯1<x≤5，所以f(x)＝eq\f(1,2)(x＋1)＝2，解得x＝3.20．(12分)某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入100元，已知總收益滿意如下函數(shù)：R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x20≤x≤400，,80000x>400，))其中x是儀器的產(chǎn)量．(1)將利潤(rùn)f(x)表示為產(chǎn)量x的函數(shù)．(利潤(rùn)＝總收益－總成本)(2)當(dāng)產(chǎn)量x為何值時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？解：(1)由題意知f(x)＝R(x)－100x－20000＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2＋300x－200000≤x≤400，,－100x＋60000x>400.))(2)當(dāng)0≤x≤400時(shí)，f(x)＝－eq\f(1,2)(x－300)2＋25000，即當(dāng)x＝300時(shí)，f(x)有最大值25000，當(dāng)x>400時(shí)，f(x)<20000.綜上可知，當(dāng)產(chǎn)量為300臺(tái)時(shí)，公司獲得最大利潤(rùn)25000元．21．(12分)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(ax＋b,x2＋1)是定義在(－1,1)上的奇函數(shù)，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq\f(2,5).(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)推斷f(x)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0.解：(1)∵f(x)是(－1,1)上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0，∴b＝0，∴f(x)＝eq\f(ax,x2＋1).又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq\f(2,5)，∴eq\f(\f(1,2)a,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋1)＝－eq\f(2,5)，∴a＝－1，∴f(x)＝－eq\f(x,x2＋1).(2)f(x)在(－1,1)上是減函數(shù)．證明如下：設(shè)x1∈(－1,1)，x2∈(－1,1)，且x2－x1>0，∴x1x2<1，則f(x2)－f(x1)＝－eq\f(x2,x\o\al(2,2)＋1)＋eq\f(x1,x\o\al(2,1)＋1)＝eq\f(x2－x1x1x2－1,x\o\al(2,1)＋1x\o\al(2,2)＋1).∵x2－x1>0，x1x2－1<0，xeq\o\al(2,1)＋1>0，xeq\o\al(2,2)＋1>0，∴f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)<f(x1)．∴函數(shù)f(x)在(－1,1)上是減函數(shù)．(3)∵f(t－1)＋f(t)<0，∴f(t－1)<－f(t)．∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－t)＝－f(t)，∴f(t－1)<f(－t)．∵f(x)在(－1,1)上是減函數(shù)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t－1>－t，,－1<t－1<1，解得\f(1,2)<t<1.,－1<－t<1，))即不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<t<1)))).22．(12分)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋mx－m.(1)若函數(shù)f(x)的最大值為0，求實(shí)數(shù)m的值；(2)若函