全國統(tǒng)考2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第14章推理與證明1備考試題文含解析

第十四章推理與證明練好題·考點自測1.[改編題]下面結(jié)論正確的個數(shù)是()(1)綜合法是干脆證明,分析法是間接證明.(2)分析法是從要證明的結(jié)論動身,逐步找尋使結(jié)論成立的充要條件.(3)用反證法證明結(jié)論“a>b”時,應(yīng)假設(shè)“a<b”.(4)反證法是指將結(jié)論和條件同時否定,推出沖突.(5)在解決問題時,經(jīng)常用分析法找尋解題的思想與方法,再用綜合法呈現(xiàn)解決問題的過程.(6)證明不等式2+7A.1 B.2 C.3 D.4圖14-12.[2024全國卷Ⅱ,3,5分][文]如圖14-1,將鋼琴上的12個鍵依次記為a1,a2,…,a12.設(shè)1≤i<j<k≤12.若k-j=3且j-i=4,則稱ai,aj,ak為原位大三和弦;若k-j=4且j-i=3,則稱ai,aj,ak為原位小三和弦.用這12個鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個數(shù)之和為()A.5 B.8 C.10 D.153.[2024貴州模擬]泰山有“五岳之首”“天下第一山”之稱.現(xiàn)有四條登泰山的線路:紅門盤道徒步線路,桃花峪登山線路,天外村汽車登山線路,天燭峰登山線路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的線路時,發(fā)覺三人走的線路均不同,且均沒走天外村汽車登山線路,三人向其余旅友進(jìn)行如下陳述:甲:我走紅門盤道徒步線路,乙走桃花峪登山線路.乙:甲走桃花峪登山線路,丙走紅門盤道徒步線路.丙:甲走天燭峰登山線路,乙走紅門盤道徒步線路.事實上,甲、乙、丙三人的陳述都只對了一半,依據(jù)以上信息,可推斷下面說法正確的是()A.甲走桃花峪登山線路 B.乙走紅門盤道徒步線路C.丙走桃花峪登山線路 D.甲走天燭峰登山線路4.[2024江西省模擬]數(shù)式1+11+11+…中省略號“…”代表無限重復(fù),但該式是一個固定值,可以用如下方法求得:令原式=t(t>0),則1+1t=t,t2-t-1=0,取正值得t=5+125.[2024山東章丘四中檢測]兩千多年前,古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)在沙灘上探討數(shù)學(xué)問題,他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數(shù),依據(jù)點或小石子能排列的形態(tài)對數(shù)進(jìn)行分類,如圖14-2中的實心點個數(shù)1,5,12,22,…被稱為五角形數(shù),其中第1個五角形數(shù)記作a1=1,第2個五角形數(shù)記作a2=5,第3個五角形數(shù)記作a3=12,第4個五角形數(shù)記作a4=22,…,若按此規(guī)律接著下去,得數(shù)列{an},則an-an-1=(n≥2);對n∈N*,an=.

圖14-2拓展變式[2024全國卷Ⅱ,9,5分][文]甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成果.老師說:你們四人中有2位優(yōu)秀,2位良好,我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成果,給乙看丙的成果,給丁看甲的成果.看后甲對大家說:我還是不知道我的成果.依據(jù)以上信息,則()A.乙可以知道四人的成果 B.丁可以知道四人的成果C.乙、丁可以知道對方的成果 D.乙、丁可以知道自己的成果答案第十四章推理與證明1.B(1)錯誤,綜合法和分析法都是干脆證明;(2)錯誤,找尋的是使結(jié)論成立的充分條件;(3)錯誤,應(yīng)假設(shè)“a≤b”;(4)錯誤,反證法是只否定結(jié)論,推出沖突;(5)(6)正確.2.C解法一由題意,知ai,aj,ak構(gòu)成原位大三和弦時,j=k-3,i=j-4,所以ai,aj,ak為原位大三和弦的狀況有:k=12,j=9,i=5;k=11,j=8,i=4;k=10,j=7,i=3;k=9,j=6,i=2;k=8,j=5,i=1.共5種.ai,aj,ak構(gòu)成原位小三和弦時,j=k-4,i=j-3,所以ai,aj,ak為原位小三和弦的狀況有:k=12,j=8,i=5;k=11,j=7,i=4;k=10,j=6,i=3;k=9,j=5,i=2;k=8,j=4,i=1.共5種.所以用這12個鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個數(shù)之和為10,故選C.解法二由題意,知當(dāng)ai,aj,ak為原位大三和弦時,k-j=3且j-i=4,又1≤i<j<k≤12,所以5≤j≤9,所以這12個鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦的個數(shù)為5.當(dāng)ai,aj,ak為原位小三和弦時,k-j=4且j-i=3,又1≤i<j<k≤12,所以4≤j≤8,所以這12個鍵可以構(gòu)成的原位小三和弦的個數(shù)為5.所以用這12個鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個數(shù)之和為10,故選C.3.D解法一因為甲、乙的陳述都只對了一半,所以若乙的陳述中,“甲走桃花峪登山線路”正確,則甲的陳述全部錯誤,與題意不符,故乙的陳述中,“甲走桃花峪登山線路”不正確,“丙走紅門盤道徒步線路”正確,故甲的陳述中,“乙走桃花峪登山線路”正確,丙的陳述中,“甲走天燭峰登山線路”正確,故選D.解法二若A選項正確,由甲的陳述得,“甲走紅門盤道徒步線路”錯誤,“乙走桃花峪登山線路”正確,此時甲和乙都走桃花峪登山線路,與“三人走的線路均不同”沖突,所以A選項錯誤.若B選項正確,由甲的陳述得,“乙走桃花峪登山線路”錯誤,“甲走紅門盤道徒步線路”正確,此時甲與乙都走紅門盤道徒步線路,與“三人走的線路均不同”沖突,所以B選項錯誤.若C選項正確,由甲的陳述得,“乙走桃花峪登山線路”錯誤,“甲走紅門盤道徒步線路”正確.再由乙的陳述得,“甲走桃花峪登山線路”錯誤,“丙走紅門盤道徒步線路”正確,與“丙走桃花峪登山線路”沖突,所以C選項錯誤.若D選項正確,由甲的陳述得,“甲走紅門盤道徒步線路”錯誤,“乙走桃花峪登山線路”正確,再由乙的陳述得,“甲走桃花峪登山線路”錯誤,“丙走紅門盤道徒步線路”正確,由丙的陳述得,“乙走紅門盤道徒步路途”錯誤,此時滿意甲、乙、丙三人的陳述都只對一半.故選D.【方法點撥】邏輯推理問題常用代入法或反證法,依據(jù)推理是否出現(xiàn)沖突,推斷各選項是否正確.4.4依據(jù)已知代數(shù)式的求值方法,令12+12+12+…=m(m>0),兩邊平方得,12+12+12+12+…=m2,即12+m=m25.3n-2(n≥2)n(3n-1)2因為a1=1,a2=5,a3=12,a4=22,…,所以a1=1,a2-a1=4,a3-a2=7,a4-a3=10,…,an-an-1=3n-2(n≥2),以上n個式子等號兩邊分別相加,得an=1+4+7+10+…+3n-2=n(3n-1)2.綜上,an-