高考數(shù)學一輪復習點點練：定積分與微積分基本定理

點點練11—定積分與微積分基本定理

I一基礎小題練透篇

1.若”=「x2i/x,b=「x3Jx,c=C2sinxJx,則a,b,c的大小關系是()

JCJQJ0

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<b<aD.c<a<b

2.由曲線xy=l,直線y=x,y=3所圍成的平面圖形的面積為（）

32

A,~gB.2~In3

C.4+/〃3D.4—In3

3.［2023?甘肅省蘭州市第一次月考］求由拋物線y=2x2與直線x=0,x=t（t>0）,y=0

所圍成的曲邊梯形的面積時，將區(qū)間［0,t］等分成n個小區(qū)間，則第i—1個區(qū)間為（）

「Ft(i-1)til

LnnJ

-t(i-2)t(i-1)一

D.--------,--------

LnnJ

4.若數(shù)列｛aj是公比不為1的等比數(shù)列，且a20i8+a2020=C2弋4一x?dx,則22017(22019

J0

+2a2021+a2023)—()

A.4層B.2MC.712D.3出

5.一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度v（t）=7—3t+幣

（t的單位：s,v的單位：m/s）行駛至停止.在此期間汽車繼續(xù)行駛的距離（單位：㈤是（)

A.1+25/〃5B.8+25/幾

C.4+25歷5D.4+50加2

fl+x2,x<0,

6.已知分段函數(shù)f（x）=f(x—2)dx=()

X,x>0,

171

A.3+工B.2—eC.3--

7.設函數(shù)f(x)=ax2+b(ar0),若「f(x)dx=3f(x°),xo>O,則xo

J0

[2023?河南省信陽考試],2d+y/l—南一信2)ck=

8.

能力小題提升篇

1.［2023?蘭州檢測］曲線和直線x=0,x=l,y=；所圍成的圖形(如圖中陰影部分

所示)的面積為()

A.1B.gC.3D.；

i—1

2.［2023?河北唐山聯(lián)考］曲線y=干與其在點(0,—1)處的切線及直線尤=1所圍成的

封閉圖形的面積為()

A.1—In2B.2—21n2

C.21n2-lD.In2

3

3.［2023?河南商丘檢測］已知不等式1一1時<0的解集為(一1,2),則(2e2x+x)dx

=()

A.e+萬B.e—2

C.e2+^D.

4.［2023?河南省洛陽市考試］由拋物線y=-x?+4x—3及其在點M(0,—3)和點N(3,

0)處的兩條切線所圍成的圖形的面積為()

997

A.aB.%caD2

x+4,—4<x<0,

5.［2023?江西省新余市第一中學考試］函數(shù)的圖象f(x)=<與x軸所圍

成的封閉圖形的面積為.

6J2023?吉林省東北師范大學模擬］設y=f(x)為區(qū)間［0,1］上的連續(xù)函數(shù)，且恒有0<f(x)<l,

可以用隨機模擬方法近似計算積分/f(x)dx,先產生兩組(每組n個)區(qū)間［0,1］上的均勻隨

機數(shù)X1，X2，…，Xn和yi，y2，…，yn>由此得到n個點(七，yi)(i=l,2,n),再數(shù)出

其中滿足y>f(xi)(i=l,2,n)的點有m個，那么由隨機模擬方法可得積分/f(x)dx的

近似值為.

f(x—4),x>0,

7」2023?吉林省實驗中學檢測諾f(x)=<2則f(2018)=

x

2+p0c(?53xdx,x<0,

一:高考小題重現(xiàn)篇

1.［湖南卷］由直線尤=冶,,y=0與曲線尸cosx所圍成的封閉圖形的面積為

()

A.B.1C.當D.y［3

2.［湖北卷］若函數(shù)於)，g(x)滿足，J(')8(X)dX=0,則稱f(x),g(x)為區(qū)間［—1,

1］上的一組正交函數(shù).給出三組函數(shù)：

@f(x)=sin3x,g(x)=cos；x②f(x)=x+l,g(x)=x—1③f(x)=x,g(x)=x2.

其中為區(qū)間［—1,1］上的正交函數(shù)的組數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

3.［江西卷］若f(x)=x?+2'f(x)dx,貝!J「f(x)dx=()

Joo

A.—1B.l10§D.1

4.［湖北卷］已知二次函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，則它與x軸所圍圖形的面積為()

-1O

27r

A.T

5.(xT)dx=

6.［福建卷］如圖，在邊長為e(e為自然對數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機撒一粒黃豆，則它

落到陰影部分的概率為.

經典大題強化篇

1.［2023?四川綿陽模擬］A,2兩站相距7.2km,一輛電車從A站開往B站，電車開出fs

后到達途中C點，這一段的速度為12m/s,到C點的速度為24m/s,從C點到8站前的。

點以等速行駛，從。點開始剎車，經fs后，速度為(24—12)m/s,在8站恰好停車，試求：

(1)A,C間的距離；

(2)2,。間的距離.

2.［2023?江西省贛州市贛縣月考］已知函數(shù)7(x)=ar+lnx(aeR).

(1)若。=2,求導函數(shù)曲線y=/(x)與直線尤=1,x=e及x軸所圍成的面積;

⑵求1x)的單調區(qū)間.

點點練11定積分與微積分基本定理

基礎小題練透篇

1.答案：D

解析：a=f2x2Jx=(jx3^)|o=|,b=r2x3Jx=(jx4^|o=4,c=,sinxdx

JoJ0J0

、|2

=(—cosx)0=1—cos2.

???cos2￡[—1,1],「.I—cos2￡[0,2],

8

1—cos2<^<4,故c<a<b.

2.答案：D

[(3-)djr+X2X2=(3j;—InJC)+2

解析：S=Jmx24=4—/n3.

3.答案：D

解析：在[0,t]上等間隔插入(n-1)個分點，把區(qū)間[0,t]等分成n個小區(qū)間，每個小

區(qū)間長度均為:，故第i—1個區(qū)間為「由二9,配二?.

nLnnJ

本題選擇D選項.

4.答案：C____

解析：根據(jù)定積分的幾何意義，「港二乒dx表示以原點為圓心，以2為半徑的四分

_____J0

之一圓的面積，所以/44—x2dx=「所以a20i8+a2020=%,設a20i8=a,公比為q,則a+

2—

aq一冗,

242

所以a20i7(a20i9+2a202i+a2023)=1(aq+2aq3+叫5)=a2(i+2q+q)=a(1+

q2)2=[a(1+q2)]2=Z

5.答案：C

解析：令v(t)=7—3t+缶=0,又t>0,則t=4,汽車剎車的距離是p(7—3t+蓋)

J0

dt=4+25/〃5.

6.答案：C

解析：f3f(x—2)dx=p2f(x—2)dx+f3f(x—2)dx=p2(x2—4x+5)dx+f3

?/]?/??/?/??/2

1x+2dx

=(JX3—2X2+5X^)1+(—0-x+2)2

=[[JX23-2X22+5X2)-[jxl3-2xl2+5xl^]+[(-^3+2)-(~e~2+2)]=1.

7.答案：A/3

解析：依題意得學，+bx)=3(axo+b),即3ax：=9a(a^O),XQ=3(XQ>0),

由此解得Xo=，5.

,jr

8.答案：In2+^

解析：由題意得，/.+11一(x-2)2)dx=「(dx+/25一(x—2)2dx=ln

x|i+￡y/l-(x-2)2dx=/幾2+[(x-2)2dx.

根據(jù)定積分的幾何意義可知，「71一(x—2)2dx表示圓(x—2>+y2=l滿足10x02,

J1

y>0的這一部分面積，即圓面積的〃,故/2yjl—(x—2)2dx=^.

-------------7T

因此,2(X-2)2dx~~In2+(x—2)2dx=In2+].

二能力小題提升篇

1.答案：D

解析：令X2=（,得x=T或X=一3（舍去），所以所求的陰影部分的面積為

!

；一乂2）dx+P］卜一￡1）dx=2_1

Fol+x~4'

、2o2

2.答案：C

x—1x~1Ov—1

解析：因為y==，所以y'=（x+i）2'則曲線y=￡jzy在（o,-1）

x+1

x—1

處的切線的斜率k=2,切線方程為y=2x—1,則曲線y=F7與其在點（0,—1）處的切

Jx十1

X—12

線及直線x=l所圍成的封閉圖形的面積S=2xT一節(jié)dx=(2x-1-1+?.)

x+1

oJ0

1

Jx=[x2—2x+2/n(x+1)]=2ln2—1.

o

3.答案：D

3x-1-a—3

解析：?.?不等式1<0,'(x+a)(x+a—3)<0,

x+a

3—a=-1

/.—a<x<—a+3,由于1<0的解集為（-1,2）,/.

x+a—a+3=2

2\I1_1

2x”(2e2x+x)dx==e2

解得a=l,；(2e+x)dx—~2,

oo

4.答案：A

解析：Vy=—x2+4x—3,則y，=—2x+4,

在點M(0,-3)的切線斜率ki=y%=o=4,切線方程y=4x—3,

在點N（3,0）的切線斜率k2=y，|［x=3=一2,切線方程y=-2（x—3）,

3

y=4x—3x=2

聯(lián)立方程./八，解得V

.y=-2(x—3)

[y=3

即兩切線的交點坐標為（|，3

3

22

所圍成的圖形的面積為S=o[(4x—3)—(—x+4x—3)]rfx+P2

2

[―2(x—3)—(―x2+4x—3)]dx

3131Q

2323323

=?oxJx+f3(x—6x+9)dx=qxpo+(2x—3X+9X)|3=[.

22

故選A.

5.答案：12

解析：由題意可得：圍成的封閉圖形的面積為:

兀]—

(x+4)Jx+j-Q^COSxdx=(5X2+4X)|°-+4sinx|2o

s=2，4

"-4

=0—(8—16)+4sin卜—0=12.

6.答案：1一々

解析：由題意得滿足y￡f(七)(i=l,2,n)的點有n—m個,

珈n—m-

故丁之f(x)

o

故積分「f(x)dx的近似值為1一個

J0

7

7.答案：五

71

itsin3x6=2X+|,所以f(2018)

解析：當x<0時，f(x)=2X+Pcos3xJx=2H

O3

0.

=f(2)=f(-2)+|7

12?

三高考小題重現(xiàn)篇

1.答案：D

解析：如圖可得，1/

3

2.答案：C

解析：由題意，要滿足f(x),g(x)是區(qū)間［—1,1］上的一組正交函數(shù)，即需滿足/

—^COSX

1sinxdx=

3=o,故第①組是區(qū)間［—i,1］上的正交函數(shù);f(x)-g(x)dx=f1(x+1)(x

-1JT

—1)dx=

4(x2—1)dx=?~—x)3=—gM，故第②組不是區(qū)間［—1,1］上的正交函數(shù)；

-1

)/f(x)g(x)dx=Jixx?dx=Jix3dx=?3=0,故第③組是區(qū)間［-1,1］

上的正交函數(shù).綜上，其中為區(qū)間［—1,1］上的正交函數(shù)的組數(shù)是2.

3.答案：B

解析：不妨設「f(x)dx=k,貝!Jf(x)=X2+2C1f(x)dx=x2+2k,所以pf(x)

J0J0Jo

dx=p(x2+2k)Jx=Qx3+2kx^+2k=k,得k=-g,即:f(x)dx=—g.

JoJ0

4.答案:B

解析：容易求得二次函數(shù)的解析式為f(x)=1—x2,所以S=「(l—x2)dx=(x—^)

l-i=］.

5.答案：0

解析：「(x—1)dx=(^x2—x^|ox22—2=0.

Jo

2

6.答案：.

解析：聯(lián)