2024年山東省禹城市九年級第二次練兵考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024年九年級第二次練兵

數(shù)學(xué)試題

（滿分150分時間120分鐘）

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形

碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.請將選擇題答案用2B鉛筆填涂在答題卡指定題號里；將非選擇題的答案用0.5毫米黑色墨

水簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，答在試題卷上無效.

3.考生必須保持答題卡的整潔.

一、選擇題：本大題共12小題，共48分，在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要

求的，選錯、不選或選出的答案超過一個均記零分.

1.在（一2）「2?,—（一2）,—卜2|,（一2）中負數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘方計算，化簡絕對值和多重符號，負數(shù)的定義，先分別求出對應(yīng)的數(shù)

的值，再根據(jù)負數(shù)是小于0的數(shù)求解即可.

【詳解】解：（-2）3=-8,-22=-4,-（-2）=2,-|-2|=-2,（-2）=-2,

...在（—2）1—22,—（—2）,―卜2M—2）中負數(shù)有4個，

故選：D.

2.下列運算正確的是（）

A.3a.a=3a?B.（q+1）="+1

C.（3a尸=3aD.（-3a2）2=-6a4

【答案】A

【解析】

【分析】本題主要考查單項式乘單項式，完全平方公式，負整數(shù)指數(shù)事以及積的乘方與幕的乘方，運用相

關(guān)運算法則逐項計算進行判斷即可

【詳解】解：A.3a-a=3a2,此選項計算正確，符合題意；

B.（。+1）2="+2。+1,原選項計算錯誤，不符合題意；

C.（3ar'=—,原選項計算錯誤，不符合題意；

D.（-3/）2=9/,原選項計算錯誤，不符合題意；

故選：A

3.今冬，哈爾濱旅游火了凍梨精致擺盤、把交響樂演出搬進火車站、鄂倫春族同胞被請出來表演馴鹿，哈

爾濱的各種花式“寵粉”操作，使眾多當(dāng)?shù)鼐W(wǎng)友直呼：“爾濱，你讓我感到陌生”，因為“爾濱”的真情

實意款待，在2024年元旦小長假，哈爾濱3天總游客量達到304.79萬人，旅游收入59.14億元，創(chuàng)歷史

新高那么，將數(shù)據(jù)“59.14億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.5.914xl013B.O.5914xlO10C.5.914xlO10D.5.914xl09

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為4X10"的形式，其中"為整

數(shù)，確定〃的值時，要看把原數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同，當(dāng)

原數(shù)絕對值大于等于10時，〃是正數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對值小于I時〃是負數(shù)；由此進行求解即可得到答案.

【詳解】解：59.14億=5914000000=5.914x1()9,

故選：D.

4.下列是小紅借助旋轉(zhuǎn)、平移或軸對稱設(shè)計的四個圖案，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是

【解析】

【分析】根據(jù)圖形的性質(zhì)和軸對稱圖形與中心對稱圖形的定義解答.

【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意;

B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項不合題意;

C、既是軸對稱圖形又是對稱圖形，故此選項符合題意;

D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意.

故選：C.

【點睛】掌握中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念.在同一平面內(nèi)，如果把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度，

旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形.這個旋轉(zhuǎn)點，就叫做中心對稱

點.如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形.這條直線叫做對稱

軸.

5.在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形、一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽馬”

（如圖）.“陽馬”的俯視圖是（）

【答案】A

【解析】

【分析】找到從上面看所得到的圖形即可.

【詳解】解：“陽馬”的俯視圖是一個矩形，還有一條看得見的棱，即俯視圖為:

故選

【點睛】本題考查了學(xué)生的思考能力和對幾何體三種視圖的空間想象能力與及考查視圖的畫法，看得到的

棱畫實線，看不到的棱畫虛線.

6.如圖，△NBC的外角//CD的平分線CP與內(nèi)角N48C的平分線8P交于點P,若/8PC=40°,則

C.50°D.60

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)外角與內(nèi)角性質(zhì)得出NA4c的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定，得

出/。1P=/E4P,即可得出答案.

【詳解】解：延長"4,作PNLBD,PFLBA,PMLAC,

設(shè)/PCD=x°,

N4CP=NPCD=x°,PM=PN,

；BP平分/ABC,

：.ZABP=ZPBC,PF=PN,

:.PF=PM,

/BPC=40°,

:./ABP=NPBC=/PCD-NBPC=(x-40)0,

ZBAC=ZACD-ZABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°,

：.ZCAF^100°,

在RtAPF4和RtAPMA中，

PA=PA

‘PM=PF'

.?.RtM以絲RtA/W(HL),

：.ZFAP=ZPAC=5Q°.

故選C.

【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)和直角三角全等的判定等知識，根據(jù)角平分線

的性質(zhì)得出PM=PN=P尸是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，計算/a的度數(shù)為（）

A.68°B.56°C.45°D.54°

【答案】B

【解析】

【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AD〃:BC,故可得出/DAC的度數(shù)，由角平分線的定義求出NEAF的度

數(shù)，再由EF是線段AC的垂直平分線得出NAEF的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出/AFE的度數(shù)，進

而可得出結(jié)論.

【詳解】解：???四邊形ABCD是矩形，

；.AD〃BC,

.?.ZDAC=ZACB=68°.

:由作法可知，AF是NDAC的平分線，

.?.ZEAF=yZDAC=34°.

???由作法可知，EF是線段AC的垂直平分線，

.\ZAEF=90o,

.?.ZAFE=90o-34°=56°,

Na=560.

故選：B.

【點睛】本題考查的是作圖-基本作圖，熟知角平分線及線段垂直平分線的作法是解答此題的關(guān)鍵.

8.某工程需要在規(guī)定時間內(nèi)完成，如果甲工程隊單獨做，恰好如期完成；如果乙工程隊單獨做，則多用3

天，現(xiàn)在甲、乙兩隊合做2天，剩下的由乙隊單獨做，恰好如期完成，求規(guī)定時間.如果設(shè)規(guī)定日期為X

天，下面所列方程中錯誤的是（）

.2x23c/ll'cx-211x,

A.—I--------=1B.一=----C.Ix2-I—1D.—I----------=1

xx+3xx+31xx+3Jx+3xx+3

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)總工程量為1,因為甲工程隊單獨去做，恰好能如期完成，所以甲的工作效率為工；因為乙工

X

程隊單獨去做，要超過規(guī)定日期3天，所以乙的工作效率為,，根據(jù)甲、乙兩隊合做2天，剩下的由

x+3

乙隊獨做，恰好在規(guī)定日期完成，列方程即可.

【詳解】解：設(shè)規(guī)定日期為x天，

由題意可得，（工+—二］x2+23=1,

Ixx+3/x+3

..?2x?2x?23

整理mz倚—?-----=I1,或一=I---------或一=-----.

xx+3xx+3xx+3

則ABC選項均正確，

故選：D.

【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的

等量關(guān)系，列方程.

9.二次函數(shù)y=a/+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=ax+6和反比例函數(shù)>=￡在同一直角坐標(biāo)

x

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象推出a>0,b<Q,c<0,再根據(jù)一次函數(shù)，反比例函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系即

可得到答案.

【詳解】解：由二次函數(shù)圖象可知，二次函數(shù)開口向上，對稱軸在了軸右側(cè)，且與y軸交于負半軸,

a>0,----->0,c<0,

2a

：.b<Q,

...一次函數(shù)y=ax+6經(jīng)過第一、三、四象限，反比例函數(shù)>=￡經(jīng)過第二、四象限，

四個選項中只有B選項符合題意，

故選B.

【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)，二次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的綜合判斷，熟知三個函數(shù)圖象與其對應(yīng)

的系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

10.關(guān)于x的方程f—2根x+=4的兩個根X],4滿足再=2/+3，且七〉》2，則加的值為（）

A.-3B.1C.3D.9

【答案】C

【解析】

bc

【分析】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)再+/=-一，再々=一代入求解即可得到答案；

aa

【詳解】解：???方程12―2加工+加2=4的兩個根毛，巧，

「?西+%2=2掰，=加2—4,

X]=2X2+3,

22

再+%=2m=3X2+3,再入2-2X2+3x2=m-49

2m—34m+3

■,,

313

2m—3、？o.

2x(-——-——)2+(2m-3)=m2-4,

解得：加i=3,m2=-9,

西〉/，

4m+32m-3

------>-------，

33

解得：m>-3,故相=3,

故選：C.

11.如圖，點/為的內(nèi)心，連接力并延長交OBC的外接圓于點。，交BC于點E,若

AI=2CD,則——的值為（）

/r^-L^c

I)

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【解析】

r~x77，z-ti1

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)心性質(zhì)，證明得至I］一=一=_,則￡>￡=—。，進而

CDAD33

oAJ7

得到4E=—CD,代入——即可得到答案.

3ED

【詳解】解：連接/C,如圖所示：

A■

1

//|\

t/I\\

I)

?.,/為A48C的內(nèi)心，，

NL4C=ZIAB,ZICA=ZICB,

ZDIC=ZIAC+ZICA,NDCI=/BCD+NICB,

/.ZDIC=ZDCI,

：.DI=DC,

AI=2CD,

：.AI=2DI,AD=3CD,

4BCD=/BAD=ACAI,ND=ND,

：.LCDEsA4DC,

?DEC。1

"CD~AD~3f

：.DE=-CD,

3

1Q

AE=AD-DE=3CD——CD=-CD

33

??------------O，

EDlCD

3

故選：D.

【點睛】本題考查三角形的內(nèi)心、三角形的外接圓、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會

添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題.

12.對于二次函數(shù)y=2機x—3,有下列說法：

①它的圖象與x軸有兩個交點：

②如果將它的圖象向左平移3個單位后過原點，則加=1

③如果當(dāng)x<l時，y隨x的增大而減小，則閉=-1

④如果當(dāng)x=2時的函數(shù)值與x=2010時的函數(shù)值相等，則x=2012時的函數(shù)值為-3；

其中正確的說法是()

A.①②B.②③C.①②④D.①③④

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系，利用判別式即可判

斷①；先求出平移后的解析式為y=(x-加+3『-3-加2,再把原點坐標(biāo)代入求解即可判斷②；求出對稱

軸，再根據(jù)增減性即可判斷③；根據(jù)對稱性求出對稱軸即加的值，進而求出x=2012的函數(shù)值即可判斷

④.

【詳解】解：由題意得，A=(-2m)2+12=4m2+12>0,

它的圖象與x軸有兩個交點，故①說法正確；

將y=——2加x—3=(x—加丫—3—加2它的圖象向左平移3個單位后的解析式為

y=(X—加+3)~—3一加2,

???平移后的函數(shù)圖象經(jīng)過原點，

(0-m+3)--3-m2=0,

解得m=l,故②正確；

—2m

???對稱軸為直線》=------=m,且拋物線開口向上，

2

???如果當(dāng)X<1時，>隨x的增大而減小，則故③錯誤；

如果當(dāng)X=2時的函數(shù)值與X=2010時的函數(shù)值相等，則對稱軸為直線x=m=--------=1006,

2

??.當(dāng)x=2012時，j=(2012-1006)2-3-10062=-3,故④正確，

故選：C.

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分.

13.計算：V3x2^+20230-sin60o=.

【答案】1

【解析】

【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算，熟練掌握負指數(shù)幕的意義、零指數(shù)幕的意義以及特殊角的三角函數(shù)

值是解答本題的關(guān)鍵.

先根據(jù)負指數(shù)暴的意義、零指數(shù)暴的意義以及特殊角的三角函數(shù)值化簡，再算加減即可.

【詳解】百x2-1+2023°-sin60°

=ALi—立

22

=1.

故答案為：1.

14.一個不透明的口袋中裝有5個紅球和切個黃球，這些球除顏色外都相同，某同學(xué)進行了如下試驗：從

袋中隨機摸出1個球記下它的顏色后，放回搖勻，為一次摸球試驗.根據(jù)記錄在下表中的摸球試驗數(shù)據(jù)，

可以估計出m的值為.

摸球的總次數(shù)。10050010002000???

摸出紅球的次數(shù)b19101199400???

摸出紅球的頻率2

01900.2020.1990.200???

a

【答案】20

【解析】

【分析】利用大量重復(fù)試驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根

據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率求解

即可.

【詳解】解：???通過大量重復(fù)試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定于0.2,

5

---=0.2,

5+m

解得：加=20.

經(jīng)檢驗”=20是原方程的解,

故答案為：20.

【點睛】此題主要考查了利用頻率估計概率和解分式方程，本題利用了用大量試驗得到的頻率可以估計事

件的概率.關(guān)鍵是根據(jù)摸出紅球的頻率得到相應(yīng)的等量關(guān)系.

15.如圖，用圓心角為120。，半徑為6cm的扇形紙片卷成一個圓錐形無底紙帽，則這個紙帽的高是

cm.

【答案】472

【解析】

【分析】先求出扇形弧長，再求出圓錐的底面半徑，再根據(jù)勾股定理即可出圓錐的高.

【詳解】圓心角為120。，半徑為6cm的扇形的弧長為'Ox6乃=4乃加

180

圓錐的底面半徑為41-2萬=2,

故圓錐的高為病與=40cm

故答案為：472

【點睛】此題主要考查圓的弧長及圓錐的底面半徑，解題的關(guān)鍵是熟知圓的相關(guān)公式.

16.如圖，在矩形中48CD中，48=4,8c=6,當(dāng)直角三角板的直角頂點尸在邊上移動時,

直角邊始終經(jīng)過點4設(shè)直角三角板的另一直角邊PN與。相交于點。.BP=x,C0=y，那么y

與x之間的函數(shù)式為

1,3

【答案】y=—x"H—x

42

【解析】

【分析】先證明△48PSAPC。，再利用相似三角形對應(yīng)邊的比相等進行轉(zhuǎn)化即可求解.

【詳解】解：???NMPN=90。，

；.NAPB+NQPC=90。,

又???矩形中，ZB=90°,

.■.ZAPB+ZPAB=90°,

ZPAB=ZQPC,

???NB=NC=90°,

.?.△ABPSAPCQ,

BP_AB

"~CQ~~PC'

BPPC_x[6-x）

??-----------------------，

AB4

123

**?y——xH—x

429

193

故答案為：y=—x'H—x.

42

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是正確得到相似的三角形.

2.x—1<3（x-2）

17.若關(guān)于x的一元一次不等式組1x_a的解集為x>5,且關(guān)于夕的分式方程

------>1

[2

ya?

-^+-------1有非負整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)。的和為____________.

y-22-V

【答案】3

【解析】

【分析】本題考查了分式方程的解，解一元一次不等式組，一元一次不等式組的整數(shù)解，先解不等式組，

根據(jù)不等式組的解集確定。的范圍，再解分式方程求出了的值，然后根據(jù)分式方程有非負整數(shù)解，確定a

的值即可解答.

【詳解】解：x-?g，

------->1(2)

I2

解不等式①得：x>5,

解不等式②得：x>2+a,

:不等式組的解集為x>5,

：.2+a<5,

：.a<3,

ya.

—+----1,

y-22-y

去分母得，y—a=一(y—2),

解得：y^a+2,

???分式方程有非負整數(shù)解，

<7+2>0,且a+2w2,

a2-2且a70,

綜上所述：一2<。<3且。工0,

符合條件的所有整數(shù)a的值為：-2,-1,1,2,3,

符合條件的所有整數(shù)a的值的和為：-2+(-1)+1+2+3=3,

故答案為：3.

18.如圖，在平面直角坐標(biāo)內(nèi)有點4(1,0),點4第一次跳動到點4(T1)，第二次點4跳動到a(2,1)，

第三次點4跳動到4(-2,2),第四次點4跳動到4(3,2),…依此規(guī)律動下去，則點4O23的坐標(biāo)是.

【答案】(—1012,1012)

【解析】

【分析】根據(jù)跳動后點的坐標(biāo)的變化，可得出變化規(guī)律"4,1(〃為非負整數(shù))”，再代入

2?-1=2023即可求出結(jié)論.

【詳解】解：因為4(—1,1),4(2,1),

4(-2,2),4(3,2),

4(-3,3),4(4,3),

4(-4,4),4(5,4),

4"一(一"，")，4"("+1，〃)(〃為正整數(shù)),

當(dāng)2〃-1=2023時，/7=1012,

所以4(儂(-1012,1012),

故答案為：(—1012,1012).

【點睛】本題考查了點的坐標(biāo)規(guī)律探究，解決本題的關(guān)鍵是尋找點的變化規(guī)律.

三、解答題：本題共7小題，共78分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

aa—\(a1)

19.先化簡，再求值：----------+----廠丁，其中Q=2sin450+tan45。

Q+1a(Q+2a+2a)

2「

【答案】-----,^2—2

a+\

【解析】

【分析】先利用分式的混合運算法則進行化簡，再利用二次根式、特殊角的三角函數(shù)值的運算法則進行計

算求解.

aa-\a1

【詳解】解:

Q+1aQ+2a2+2a

__C_t____Q__—__1_!___Q_2__—_1_

Q+1aQ(Q+2)

Q-l、，

—--a---------xQ(Q+2)

Q+1a(Q+1)(Q—1)

_aQ+2

Q+1Q+1

=__2_

a+1

,?*a=2sin450+tan45°=V2+1，

當(dāng)Q=V2+1時，

原式=—加1石=—￡=3—2.

【點睛】本題考查了分式的化簡求值，利用分式的除法和減法進行化簡，再利用實數(shù)的運算法則進行計算

求解是解答關(guān)鍵.

20.如圖，反比例函數(shù)＞=—的圖象與一次函數(shù)y=fcc+6的圖象交于/,8兩點，點月的坐標(biāo)為（2,6）,

x

（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達式；

（2）點E為y軸上一個動點，若S/^EB=5,求點后的坐標(biāo).

121

【答案】（1）y=—；＞=--x+7；（2）點E的坐標(biāo)為（0,6）或（0,8）.

x2

【解析】

【分析】（1）把點/的坐標(biāo)代入y=一,求出反比例函數(shù)的解析式，把點2的坐標(biāo)代入＞=—,求出〃的

Xx

值，即可得點2的坐標(biāo)，再把/、3的坐標(biāo)代入直線＞=履+6,求出鼠6的值，從而得出一次函數(shù)的解析

式；

（2）設(shè)點E的坐標(biāo)為（0,m）,連接/E,BE,先求出點尸的坐標(biāo)（0,7）,得出尸￡=血-7],根據(jù)

s/\A￡B=S-SAJ4EP=5,求出m的值,從而得出點E的坐標(biāo).

m

【詳解】解：（1）把點/（2,6）代入y=—,得〃?=12,

x

,12

則ny=—.

x

把點3(n,1)代入y=—，得〃=12,

x

則點5的坐標(biāo)為(12,1).

2k+b=6

由直線過點/(2,6),點5(12,1)得上27「

12k+b=1

k=--

解得《2,

b=7

則所求一次函數(shù)的表達式為y=-1x+7；

(2)如圖，直線與y軸的交點為尸，設(shè)點￡的坐標(biāo)為(0,%)，連接BE,

則點P的坐標(biāo)為(0,7).

：.PE=\m-7|.

?'S/\AEB=S/\BEP~S4AEP=5，

yXIm-71X(12-2)=5

|m-71=1

??m]=6,%2=8

...點￡的坐標(biāo)為(0,6)或(0,8).

21.隨著信息技術(shù)的迅猛發(fā)展，人們?nèi)ド虉鲑徫锏闹Ц斗绞礁佣鄻印⒈憬?某校數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計了一

份調(diào)查問卷，要求每人選且只選一種你最喜歡的支付方式.現(xiàn)將調(diào)查結(jié)果進行統(tǒng)計并繪制成如下兩幅不完

整的統(tǒng)計圖，請結(jié)合圖中所給的信息解答下列問題：

(1)這次活動共調(diào)查了人；在扇形統(tǒng)計圖中，表示“支付寶”支付的扇形圓心角的度數(shù)為;

(2)將條形統(tǒng)計圖補充完整.觀察此圖，支付方式的“眾數(shù)”是“”；

(3)在一次購物中，小明和小亮都想從“微信”、“支付寶”、“銀行卡”三種支付方式中選一種方式進行支

付，請用畫樹狀圖或列表格的方法，求出兩人恰好選擇同一種支付方式的概率.

支

微

銀

付

信

行

金他

寶

卡

【答案】(1)200、81°；(2)補圖見解析；(3)-

3

【解析】

【分析】(1)用支付寶、現(xiàn)金及其他的人數(shù)和除以這三者的百分比之和可得總?cè)藬?shù)，再用360。乘以“支付

寶”人數(shù)所占比例即可得；

(2)用總?cè)藬?shù)乘以對應(yīng)百分比可得微信、銀行卡的人數(shù)，從而補全圖形，再根據(jù)眾數(shù)的定義求解可得；

(3)首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與兩人恰好選擇同一種支付方式的

情況，再利用概率公式即可求得答案.

【詳解】(1)本次活動調(diào)查的總?cè)藬?shù)為(45+50+15)+(1-15%-30%)=200人，

45

則表示“支付寶”支付的扇形圓心角的度數(shù)為360詠力=81。，

200

故答案為200、81°；

(2)微信人數(shù)為200、30%=60人，銀行卡人數(shù)為200xl5%=30人，

補全圖形如下：

伙數(shù)

75

支

微

銀

付

信

行

金他

寶

卡

由條形圖知，支付方式的“眾數(shù)”是“微信”，

故答案為微信；

(3)將微信記為《、支付寶記為3、銀行卡記為C,

畫樹狀圖如下：

畫樹狀圖得：

開始

:共有9種等可能的結(jié)果，其中兩人恰好選擇同一種支付方式的有3種，

31

，兩人恰好選擇同一種支付方式的概率為一=一.

93

【點睛】此題考查了樹狀圖法與列表法求概率.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

22.隨著科技的發(fā)展，無人機已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)和生活，如代替人們在高空測量距離和角度.某?！熬C合

與實踐”活動小組的同學(xué)要測星CD兩座樓之間的距離，他們借助無人機設(shè)計了如下測量方案：無人

機在NB,CD兩樓之間上方的點。處，點O距地面NC的高度為60m,此時觀測到樓N8底部點/處的俯

角為70。，樓CD上點E處的俯角為30。，沿水平方向由點。飛行24m到達點尸，測得點￡處俯角為

60°,其中點4B,C,D,E,F,。均在同一豎直平面內(nèi).請根據(jù)以上數(shù)據(jù)求樓與CD之間的距離

/C的長（結(jié)果精確到1m.參考數(shù)據(jù)：sin70°?0.94,cos70°?0.34,tan70°?2.75,73?1,73）.

【答案】58m

【解析】

【分析】延長和CD分別與直線。尸交于點G和點X,則NZG。=N￡〃0=90°,再根據(jù)圖形應(yīng)用三

角函數(shù)即可求解.

【詳解】解：延長AB和CD分別與直線OF交于點G和點H,則ZAGO=ZEHO=90°.

GOFH

又；ZGAC=90°,

四邊形/CHG是矩形.

GH=AC.

由題意，得4G=60,。尸=24,ZAOG=70°,NEOF=30。，NEFH=60°.

在R/ZXZGO中，ZAGO=90°,tanZAOG=——

OG

OG=———=‘°一現(xiàn)一21.8-22(m).

tanZAOGtan70°2.75

,/NEFH是AEOF的外角,

ZFEO=ZEFH-ZEOF=60°-30°=30°.

/.ZEOF=ZFEO.

EF=OF=24m.

FH

在Rt^EHF中,NEHF=90°,cosNEFH=—

EF

/.FH=EF-cos/EFH=24xcos600=12(m).

.?./C=G〃=G0+0E+W=22+24+12a58(m).

答：樓48與CD之間的距離NC的長約為581n.

【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確構(gòu)造直角三角形并應(yīng)用三角函數(shù)進行求解是解題的關(guān)

鍵.

23.某電子商品經(jīng)銷店欲購進/、2兩種平板電腦，若用9000元購進/種平板電腦12臺，5種平板電腦

3臺；也可以用9000元購進/種平板電腦6臺，8種平板電腦6臺.

(1)求/、2兩種平板電腦的進價分別為多少元？

(2)考慮到平板電腦需求不斷增加，該商城準備投入3萬元再購進一批兩種規(guī)格的平板電腦，已知/型

平板電腦售價為700元/臺，2型平板電腦售價為1300元/臺.根據(jù)銷售經(jīng)驗，/型平板電腦不少于2型平

板電腦的2倍，但不超過3型平板電腦的2.8倍.假設(shè)所進平板電腦全部售完，為使利潤最大，該商城應(yīng)

如何進貨？

【答案】(1)/、8兩種平板電腦的進價分別為500元、1000元

(2)為使利潤最大，購進3種平板電腦13臺，A種平板電腦34臺.

【解析】

【分析】(1)設(shè)/和2的進價分別為x和y,臺數(shù)X進價=付款，可得到一個二元一次方程組，解即可.

(2)設(shè)購買8平板電腦。臺，則購進/種平板電腦“OOOTOOO"臺,由題意可得到不等式組，解不等

500

式組即可.

【小問1詳解】

[12x+3j=9000

設(shè)/、3兩種平板電腦的進價分別為X元、V元.由題意得，,

6x+=9000

x=500

解得《

>=1000

答：/、2兩種平板電腦的進價分別為500元、1000元;

【小問2詳解】

30000-1000a,

設(shè)商店準備購進3種平板電腦a臺，則購進工種平板電腦--------------臺，

500

c30000-1000O

2a<---------------

由題意，得《500

30000—1000。。

---------------------<2.8a

500

解得12.5<a<15,

為整數(shù),

.513或14或15.

、30000-1000(2、

設(shè)總利潤為w,則:w=(700-500)X---------------------+(1300-1000)a=-100。+12000,

500

V-100<0,

Aw隨a的增大而減小,

30000-1000x13

.??為使利潤最大，該商城應(yīng)購進8種平板電腦13臺，/種平板電腦=34臺.

500

答：購進8種平板電腦13臺，/種平板電腦34臺.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用以及二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知

數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程組求解.

24.【閱讀理解】如圖1,在矩形48CD中，若AB=a,BC=b,由勾股定理，得同理

BD2=a2+b2,故3+*=2(/+/)

【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2,四邊形4BC。為平行四邊形，若4B=a,BC=b,則上述結(jié)論是否依然成立？請

加以判斷，并說明理由.

【拓展提升】如圖3,已知80為的一條中線，4B=a,BC=b,AC=c.求證:

BO'3上

24

【嘗試應(yīng)用】如圖4,在矩形4BCD中，若4g=8,8C=12,點P在邊4。上，則尸B'+PC?的最小值

圖3圖4

【答案】探究發(fā)現(xiàn)：結(jié)論依然成立，理由見解析；拓展提升：證明見解析；嘗試應(yīng)用：200

【解析】

【分析】探究發(fā)現(xiàn)：作于點E,作。E1BC交8C的延長線于點R則

ZAEB=ZCFD=90°,證明R34BE4R3DCF（HL）,BE=CF,利用勾股定理進行計算即可得

到答案；

拓展提升：延長80到點C,使OD=BO,證明四邊形4BCD是平行四邊形，由【探究發(fā)現(xiàn)】可知，

AC2+BD2=2（AB2+BC2）,則02+（280『=2（/+b2）,得到c?+萬。?=2（，+比）,即可得到

結(jié)論；

嘗試應(yīng)用：由四邊形4BC。是矩形，AB=8,BC=T2,得到45=CD=8,8C=幺。=12,

ZA=ZD=90°,設(shè)/尸=x,PD=12-x,由勾股定理得到尸4+尸不=2（x—6y+200,根據(jù)二次函

數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.

【詳解】探究發(fā)現(xiàn)：結(jié)論依然成立，理由如下：

作NE_LBC于點E,作。E18C交8C的延長線于點R則=NCED=90°,

:四邊形4BQ?為平行四邊形，若4B=a,BC=b,

：.AB=DC=a,AD〃BC,AD=BC=b,

,：AEVBC,DF1BC,

：.AE=DF,

：.RtA^^RtADCF(HL),

BE=CF,

AC2+BD2=AE2+CE2+BF2+DF2

=（AB2-BE2）+（BC-BE?+（BC+CF）2+OF2

=AB2-BE2+BC--2BC-BE+BE2+BC2+2BC-BE+BE2+AE~

=AB2+BC-+BC2+BE2+AE2

AB-+BC2+BC~+AB-

=2（^52+5C2）

=2（4+/）；

拓展提升：延長8。到點C,使0D=8。,

V8。為A48c的一條中線，

0A=CO,

四邊形4BCD是平行四邊形,

■:AB=a,BC=b,AC=c.

...由【探究發(fā)現(xiàn)】可知，AC2+BD-=2[AB2+BC2Y

/.c2+（2BO）2=2（a2+62）,

c2+4BO-=2（a2+b2）,

“。2=且—d

24

嘗試應(yīng)用：..?四邊形4BCD是矩形，48=8,3。=12,

AB—CD—8,BC—AD=12,Z_A=ND=90°,

設(shè)AP=X,則PZ）=4D—4P=12—x,

PB-+PC2=AP-+AB2+PD-+CD2=x2+82+（12-x）2+82

=2x2-24x+272=2（x-61+200,

,?2>0,

...拋物線開口向上，

.,.當(dāng)x=6時，尸4+尸。2的最小值是20。

故答案為：200

【點睛】此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、勾股定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識，熟練掌

握勾股定理和數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線＞="2+區(qū)—3（。。0）與x軸交于點/（—3,0）、5（1,0）,與了

軸交于點C.點尸在線段NC上（不與點/、C重合），尸?！▂軸交拋物線于點0,以P。為邊作矩形

PQMN,矩形的頂點M、N均在此拋物線的對稱軸上.設(shè)點尸的橫坐標(biāo)為小.

（1）求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達式；

（2）當(dāng)一22時，y的取值范圍是；

（3）設(shè)矩形PQW的周長為/,求/與機之間的函數(shù)關(guān)系式；

（4）當(dāng)矩形尸。被線段ZC分成的兩部分圖形的面積比為1:3時，直接寫出加的值.

【答案】（1）y=x"+2x—3

(2)-4<y<5

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